1
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1） a b a b .
（2） a b a c c b .
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
; ; ax b c ax b c x a x b c .
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：| || | | |.
（2） 2 2 2 2 2( )( + ) ( )a b c d ac bd .
（3） 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y x x y y x x y y .
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当 n 为大于 1 的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.
8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集
不等式 a>0 a=0 ag(x)或|f(x)|0,那么
2
a b ab ，当且仅当 a=b 时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算
术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的
几何平均数,即 1 2
1 2 3
n n
n
a a a a a a an
,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.
2．柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:若 a,b,c,d 都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时,等号成立.
4
(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数 k 使
α=kβ时,等号成立.
(3)二维形式的三角不等式:设 x1,y1,x2,y2∈R,那么 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y .
(4)一般形式的柯西不等式:设 a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 是实数,则( +…+ )( +…+ )≥(a1b1+a2b2+…
+anbn)2,当且仅当 ai=0 或 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数 k 使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
3.证明不等式的基本方法
(1)比较法;
(2)综合法;
(3)分析法;
(4)反证法和放缩法;
(5)数学归纳法.
考向一 绝对值不等式的求解
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）基本性质法：对 ,| | ,| |a x a a x a x a x a x a R 或 .
（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.
（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝
对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解.
（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.
（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.
典例 1 不等式 的解集是
A．[-5，7] B．[-4，6]
C． D．
【答案】D
5
典例 2 已知函数 ，且不等式 的解集为 4 3{ | }5 5
a bx x ， ．
（1）求 的值；
（2）对任意实数 ，都有 成立，求实数 的最大值．
【解析】（1）若 1
2x ，原不等式可化为 2 1 3 2 5x x ，解得 4
5x ，即 4 1
5 2x ；
若 1 2
2 3x ，原不等式可化为 2 1 3 2 5x x ，解得 2x ，即 1 2
2 3x ；
若 2
3x ，原不等式可化为 2 1 3 2 5x x ，解得 6
5x ，即 2 6
3 5x ．
综上所述，不等式 2 1 3 2 5x x 的解集为 4 6
5 5
， ，
所以 1 2a b ， ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
故 ，即 ，解得 ，
所以实数 的最大值为 2．
1．不等式| 5| | 1| 8x x 的解集为
A． ( ,2) B． ( 1,5)
C． ( 2,6) D． (6, )
2．已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
6
考向二 含绝对值不等式的恒成立问题
含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
（1）分享参数法
运用“ max min( ) ( ) , ( ) ( )f x a f x a f x a f x a ”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数
图象，求得最值；利用性质“|| | | || | | | | | |a b a b a b ”求最值. 学@#
（2）更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参
数互换，常可得到简捷的解法.
（3）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维
各自的优势，可直接解决问题.
典例 3 若不等式 log2(|x+1|+|x-2|−m)≥2 恒成立，则实数 m 的取值范围是 .
【答案】(−∞,-1]
典例 4 已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）已知 1( , 0)m n m n ，若 1 1 ( 0)x a f x am n
恒成立，求实数 a 的取值范围.
7
（2） 1 1 1 1 2 4n mm nm n m n m n
，
令
22 2 3
23 2 4 2 3
2 2
x a x
g x x a f x x a x x a x a
x a x a
，
，
，
，
∴ 2
3x 时， max
2
3g x a ，
要使不等式恒成立，只需 max
2 43g x a ，即 100 3a ，
∴实数 a 的取值范围是 100 3
， ．
3．设函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
考向三 不等式的证明
比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变
形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，
当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
8
典例 5 已知函数 1 1( ) 2 2f x x x= - + + ，M 为不等式 f(x) ＜2 的解集.
（1）求 M； 学#￥
（2）证明：当 a，b∈M 时，∣a+b∣＜∣1+ab∣.
4．已知 ， ， ．证明：
（1） ；
（2） ．
9
1．不等式 的解集为
A．（0,1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1,0） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2．不等式 取等号的条件是
A． B．
C． D．
3．若关于 x 的不等式 2 3ax 的解集为 5 1{ | }3 3x x ,则 a
A． 3
5
或 3 B． 3
C． 3
5 D． 3
5
4．已知不等式|x+2|−|x|≤a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是
A．[−2,+∞) B．[2,+∞)
C．[−2,2) D．(−∞,2]
5．若 a，b，c 为正数，且 a+b+c=1，则 1
a + 1
b + 1
c
的最小值为
A．9 B．8
C．3 D． 1
3
6．已知 ,若关于 x 的不等式 对于任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取
值范围是
A．(−1,3) B．(−1,1)
C．(1,3) D．(−3,1)
7．若函数 的最小值 3，则实数 的值为
A． 或 B． 或
C． 或 D．5 或
8．不等式 的解集为___________.
10
9．设函数 1| | | |f x x x aa
( 0)a ，若 3 5f ，则 a 的取值范围是___________.
10．已知不等式|2x−a|+a≤6 的解集为[−2,3],则实数 a 的值为___________.
11．已知不等式|2x−1|>a−|x−2|恒成立,则实数 a 的取值范围为___________.
12．已知函数 f(x)=x−1(x≠0,x∈R),则不等式 f(|x+ |)+f(|x+2|)>1 的解集为___________.
13．已知 aR ，函数 4f x x a ax
在区间 1 4， 上的最大值是 5，则 a 的取值范围是___________.
14．已知关于 的不等式 无解，则实数 k 的取值范围是___________.
15．设函数 .若存在 ，使得 成立，则 的取值范围为
___________.
16．已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 无解，求实数 的取值范围．
17．已知函数 .
(1)若 ,解关于 的不等式 ;
(2)若 ,使 ,求 的取值范围.
11
18．已知 ;
(1)若 的解集为 ,求 的值;
(2)若 不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
19．已知函数 .
（1）解不等式： ；
（2）若对任意的 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
12
20．已知函数 ,且 的解集为 ．
(1)求 的值;
(2)若 ,且
1 1 1
2 3 ma b c
，求证:
21．已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）设函数 的最小值为 ，若 均为正数，且 1 4 ma b
，求 的最小值．
13
22．已知函数 .
（1）解不等式： ；
（2）当 时，函数 的图象与 轴围成一个三角形，求实数 的取值范围.
1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知 ( ) | 1| | 1|f x x ax .
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 1f x 的解集；
（2）若 (0,1)x 时不等式 ( )f x x 成立，求 a 的取值范围.
14
2．（2018 新课标全国Ⅱ理科）设函数 ( ) 5 | | | 2|f x x a x ．
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）若 ( ) 1f x ，求 a 的取值范围．
3．（2018 新课标全国Ⅲ理科）设函数 2 1 1f x x x ．
（1）画出 y f x 的图像；
（2）当 0x ∈ ， ， f x ax b≤ ，求 a b 的最小值．
15
4．（2017 新课标全国Ⅰ理科）已知函数 2( ) 4f x x ax ， ( ) 1 1g x x x | | | |.
（1）当 a=1 时，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解集；
（2）若不等式 ( ) ( )f x g x 的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围.
16
5．（2017 新课全国Ⅱ理科）已知 3 30, 0, 2a b a b ．证明：
（1） 5 5( )( ) 4a b a b ；
（2） 2a b ．
6．（2017 新课标全国Ⅲ理科）已知函数 f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式 f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式 2f x x x m 的解集非空，求 m 的取值范围.
7．（2016 新课标全国Ⅰ理科）已知函数 1 2 3f x x x .
17
（1）画出 y f x 的图象；
（2）求不等式 1f x 的解集．
变式拓展
1．【答案】C
2．【解析】（1） 可化为 ， 所以 ，所以 ，
18
3．【解析】（1） ， #@网
由 解得 ，
即不等式 的解集为 .
（2）当 时， ，
由 ，得 ，
也就是 在 上恒成立，
故 ，
即 的取值范围为 .
4．【解析】（1）因为 ，
所以 ．
（2）由（1）及 得 ．
因为 2
1 11 1 2
a ba b
， 2 21 1 2 42 2
a b a b
，
所以 ．
考点冲关
19
若 0,a 则 1 5xa a
，∴
1 5
3
5 1
3
a
a
，无解；
若 0,a 则 5 1xa a
，∴
1 1
3
5 5
3
a
a
，∴ 3.a
4．【答案】A
【解析】构造函数 y=|x+2|−|x|，可求得其最小值为−2，因为不等式|x+2|−|x|≤a 的解集不是空集，所以 a≥−2.
故选 A.
5．【答案】A
【解析】
2 2 2
2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1a b c a b ca b c a b c a b c
2
1 1 1 9a b ca b c
，
当且仅当 1
3a b c 时等号成立，故所求的最小值为9，故选 A．
6．【答案】A
【解析】因为|x−1|+|x+2|≥|(x−1)−(x+2)|=3,所以函数 f(x)的最小值为 3.
要使不等式 f(x)>a2−2a 对于任意的 x∈R 恒成立,只需 a2−2a
微信/支付宝扫码支付