（1）理解等差数列的概念.
（2）掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数的关系.
一、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．即 1n na a d ， d 为常数．
2．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且
2
a bA ．
3．等差数列的通项公式及其变形
以 1a 为首项，d 为公差的等差数列{ }na 的通项公式为 1 ( 1)na a n d ．
公式的变形： ( )n ma a n m d ， ,m n *N ．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式 1 ( 1)na a n d ，可得 1( )na dn a d ．
令 p d ， 1q a d ，则 na pn q ，其中 p ， q 为常数．
（1）当 0p 时， ( , )nn a 在一次函数 y px q 的图象上，数列{ }na 的图象是直线 y px q 上均匀
分布的一群孤立的点，且当 0d 时数列{ }na 为递增数列，当 0d 时数列{ }na 为递减数列．
（2）当 0p 时， na q ，等差数列为常数列，数列{ }na 的图象是平行于 x 轴的直线（或 x 轴）上均
匀分布的一群孤立的点．
二、等差数列的前 n 项和
1．等差数列的前 n 项和
首项为 1a ，末项为 na ，项数为 n 的等差数列{ }na 的前 n 项和公式： 1
1
( ) ( 1)= =2 2
n
n
n a a n nS na d ．
令
2
dp ， 1 2
dq a ，可得 2
nS pn qn ，则
① 当 0p ，即 0d 时， nS 是关于 n 的二次函数，点 ( , )nn S 是 2=y px qx 的图象上一系列孤立的点；
② 当 0p ，即 0d 时， nS 是关于 n 的一次函数 ( 0q ，即 1 0)a 或常函数 ( 0q ，即 1 0)a ，点
( , )nn S 是直线 y qx 上一系列孤立的点．学%科网
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前 n 项和的相关问题．
2．用前 n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前 n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{ }na 的前 n
项和 2
nS an bn c ，那么当且仅当 0c 时，数列{ }na 是以 a b 为首项， 2a 为公差的等差数列；
当 0c 时，数列{ }na 不是等差数列．
三、等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为 d 的等差数列 na 具有如下性质：
（1）通项公式的推广： ( )n ma a n m d ， ,m n *N ．
（2）若 m n p q ，则 qpnm aaaa ( , )m n, p,q *N ．
特别地，①若 2m n p ，则 2m n pa a a ( , )m n, p *N ；
②若 m n t p q r ，则 m n t p q ra a a a a a ( , )m n, p,q,t,r *N ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
1 2 1 1 .n n i n ia a a a a a L L
（3）下标成等差数列的项 2, , ,k k m k ma a a L 组成以 md 为公差的等差数列．
（4）数列 ( ,nta t 是常数 ) 是公差为 td 的等差数列．
（5）若数列 nb 为等差数列，则数列 n nta b ( ,t 是常数 ) 仍为等差数列．
（6）若 ,p qa q a p ，则 0p qa ．
2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式易得等差数列的前 n 项和具有如下性质：
设等差数列 na （公差为 d）和 nb 的前 n 项和分别为 ,n nS T ，
（1）数列{ }nS
n
是等差数列，首项为 1a ，公差为 1
2 d ．学&科网
（2） 2 3 2 ( 1), , , , ,k k k k k mk m kS S S S S S S L L 构成公差为 2k d 的等差数列．
（3）若数列 na 共有 2n 项，则 S S nd 奇偶 ，
1
n
n
S a
S a
奇
偶
．
（4）若数列 na 共有 2 1n 项，则 S S 奇 偶 na ， ( ,1 n
S n S naS n
奇
奇
偶
( 1) )nS n a 偶 ．
（5） 2 1
2 1
n n
n n
S a
T b
， 2 1
2 1
2 1
2 1
m m
n n
S am
T n b
．
考向一 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的方法：
① 定义法： 1 ( )n na a d n *N 或 1 ( 2, )n na a d n n *N na 是等差数列；
② 定义变形法：验证是否满足 1 1( 2, )n n n na a a a n n *N ；
③ 等差中项法： 1 22 ( )n n n na a a n a *N 为等差数列；
④ 通项公式法：通项公式形如 ( ,na pn q p q 为常数 ) na 为等差数列；
⑤ 前 n 项和公式法： 2 ( ,nS pn qn p q 为常数 ) na 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 1 2, ,n n na a a ，使得 1 22 n n na a a 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
典例 1 已知数列 ,n na b 满足 1n n nb a a ，则“数列 na 为等差数列”是“数列 nb 为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列 na 为等差数列”能推出“数列 nb 为等差数列”，“数列 nb 为等
差数列”不能推出“数列 na 为等差数列”，从而可得结果.
1．已知数列 na 满足 1
1 2 2n
n na a
，且 1 2a .
（1）证明：数列
2
n
n
a
是等差数列；
（2）设 2logn n
n
a ac n n
，求数列 nc 的前 n 项和 nS .
考向二 等差数列中基本量的求解
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项 1a 和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)
求解．
2．等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 1a ， na ，d，n， nS ，知其中三个就能求另外两个，
体现了方程的思想．
典例 2 已知{ }na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，若 1 6a ， 3 5 0a a ，则 6 =S _______.
【答案】6
【解析】∵{ }na 是等差数列，∴ 3 5 42 0a a a ， 4 0a ，∴ 4 1 3 6a a d ，解得 2d ，
∴ 6 16 15 6 6 15 ( 2) 6S a d ，故填 6．
典例 3 在等差数列{ }na 中，a1＝1，S5＝－15.
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若数列{ }na 的前 k 项和 Sk＝－48，求 k 的值．
（2）由（1）可知 an＝3－2n，所以 2(1 3 2 ) 22n
n nS n n .
令 22 48k k ，即 k2－2k－48＝0，解得 k＝8 或 k＝－6.
又 *k N ，故 k＝8.
2．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 11 92 7a a ，则 25S
A． 145
2
B．145
C． 175
2
D．175
考向三 求解等差数列的通项及前 n 项和
1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前 n 项和法，即根据前 n 项和 nS 与 na 的关
系求解.
在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通
项法；（2）对称项设法.当等差数列{ }na 的项数为奇数时，可设中间一项为 a ，再以公差为 d 向两边分别设
项： , 2 , , , , 2 ,a d a d a a d a d ；当等差数列 { }na 的项数为偶数时，可设中间两项分别为
,a d a d ，再以公差为 2d 向两边分别设项： , 3 , , , 3 ,a d a d a d a d .
2．递推关系式构造等差数列的常见类型：
（1）转化为 2 1 1( ) (n n na a a )na 常数，则 1n na a 是等差数列；
（2）转化为
1
1 1
n na c a c
常数，则 1{ }
na c （c 可以为 0）是等差数列；
（3）转化为 1n na a 常数，则{ }na 是等差数列；
（4）转化为 2 2
1n na a 常数，则 2{ }na 是等差数列；学*科网
（5）转化为
1
1 1
n nS c S c
常数，则 1{ }
nS c （c 可以为 0）是等差数列．
3．等差数列前 n 项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用 1
( 1)= 2n
n nS na d ；若已知通项公
式，则使用 1( )= 2
n
n
n a aS ，同时注意与性质“ 1 2 1 3 2n n na a a a a a ”的结合使用.
典例 4 已知数列{ }na 中， 1
7
3a ，当 2n 时， 1
1
7 3
3 1
n
n
n
aa a
，求数列{ }na 的通项公式．
典例 5 已知 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，且 16,7 44 Sa .
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设
1
1
nn
n aab ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT .
【解析】（1）设等差数列{ }na 的公差为 d，依题意得
1664
73
1
1
da
da ，解得 2,11 da ，
则 1 2( 1) 2 1na n n .
故数列{ }na 的通项公式为 2 1na n .
（2）由（1）得 )12
1
12
1(2
1
)12)(12(
1
nnnnbn ，
1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )] (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n
nT n n n n
，
故数列{ }nb 的前 n 项和
2 1n
nT n
.
3．已知数列 na 是等差数列，且 2 49, 17a a .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 na 的前 n 项和 nS .
考向四 数列{| |}na 的前 n 项和的求解
1．求数列 | |na 的前 n 项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的
数列进行求和．
2．当 na 的各项都为非负数时， | |na 的前 n 项和就等于 na 的前 n 项和；当从某项开始各项都为负数
（或正数）时，求 | |na 的前 n 项和要充分利用 na 的前 n 项和公式，这样能简化解题过程．
3．当所求的前 n 项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
典例 6 已知数列 na 的前 n 项和为 nnSn 493 2 .
（1）请问数列 na 是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设 nn ab ，求数列 nb 的前 n 项和.
【解析】（1）由 ,493 2 nnSn 可得 214913 2
1 nnnSn ，
两式相减可得 ,526,46,2526 11 naSanna nn 可得而由
于是由 61 nn aa 可知数列 na 为等差数列.
（2）记数列 nb 的前 n 项和为 nT ，
;4938 2 nnTn n 时，当
40049349340029 22
8 nnnnSSTn nn时，当 .
故数列 nb 的前 n 项和为
2
2
3 49 8
3 49 400 9n
n n n
T
n n n
.学科#网
典例 7 设数列 na 满足 31 2
9 7 5 11 2
na aa a nn
．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 na 的前 n 项和 nT ．
（2）设数列 的前 项和为 ，当 时， ，所以有
当 时， ；
当 时，
.
综上，
2
2
10 , 5
10 50, 5n
n n nT
n n n
.
4．已知数列 na 的通项公式为 2 11na n .
（1）求证：数列 na 是等差数列；
（2）令 n nb a ，求数列 nb 的前10项和 10S .
考向五 等差数列的性质的应用
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵
活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如 m n p q ，则
qpnm aaaa ( , )m n, p,q *N ，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．
典例 8 已知等差数列的公差 0d ， 3 7 4 612, 4a a a a ，则 20 =S __________．
【答案】180
典例 9 一个等差数列的前 10 项的和为 30，前 30 项的和为 10，求前 40 项的和．
【解析】方法 1：设其首项为 1a ，公差为 d，则
10 1
30 1
10 910 302
30 2930 102
S a d
S a d
，解得 1
21
5a ， 4
15d ，
故 40 1
40 39 21 40 39 440 40 ( ) 402 5 2 15S a d ．
方 法 2 ： 易 知 数列 10 20 10 30 20 40 30, , ,S S S S S S S 成 等 差数 列 ， 设 其公 差 为 1d ， 则 前 3 项 的 和 为
3110 0
3 23 102 dS S ，即 110
10+ 3S d ，
又 10 30S ，所以 1
80
3d ，所以 40 30 10 1+3 30S S dS 803 ( ) 503
，
所以 40 3050 40S S ．学科.网
方法 3：设 2
nS pn qn ，则 10
30
100 10 30
900 30 10
S p q
S p q
，解得 2 13,15 3p q ，
故 22 13
15 3nS n n ，所以 2
40
2 1340 40 4015 3S ．
方法 4：因为数列 na 是等差数列，所以数列{ }nS
n
也是等差数列，点 ( , )nSn n
在一条直线上，即 10(10, )10
S ，
30(30, )30
S ， 40(40, )40
S 三点共线，于是
30 10 40 10
30 10 40 10
30 10 40 10
S S S S
，将 10 30S ， 30 10S 代入解得 40 40S ．
方法 5：因为 11 30
30 10 11 12 30 1 40
20( ) 10( )2
a aS S a a a a a L ，
又 30 10 = 20S S ，所以 1 40 2a a ，所以 1 40
40
40( ) 402
a aS ．
方法 6：利用性质： ( )( )n m
m n
m n S SS n m
，可得 30 10
40
(10 30)( ) 4030 10
S SS
．
方法 7：利用性质：当 mS n ， nS m ( )m n 时， ( )m nS m n ．
由于 10 30S ， 30 10S ，可得 40 (30 10) 40S ．
5．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 10 12 2
1 6, 42a a a ,则 5a
A． 2 B． 4
C．8 D．16
考向六 等差数列的前 n 项和的最值问题
1．二次函数法： 2 2 21 1
1
1 1( ) [ ( )] ( )2 2 2 2 2 2n
a ad d d dS n a n n d d
，由二次函数的最大值、最小值的
知识及 n *N 知，当 n 取最接近 11
2
a
d
的正整数时， nS 取得最大（小）值．但应注意，最接近 11
2
a
d
的正
整数有 1 个或 2 个．
注意：自变量 n 为正整数这一隐含条件.
2．通项公式法：求使 0na ( 0na )成立时最大的 n 值即可．
一般地，等差数列{ }na 中，若 1 0a ，且 ( )p qS S p q ，则
①若 p q 为偶数，则当
2
p qn 时， nS 最大；
②若 p q 为奇数，则当 1
2
p qn 或 1
2
p qn 时， nS 最大．
3．不等式法：由 1
1
( 2, )n n
n n
S S n nS S
*N ，解不等式组确定 n 的范围，进而确定 n 的值和 nS 的最大值．
典例 10 已知数列{ }na 是一个等差数列，且 2 1a ， 5 5a .
（1）求{ }na 的通项 na ；
（2）求{ }na 的前 n 项和 nS 的最大值．
【解析】（1）由题意知 5 2 5 1 25 2 5 2
a ad
，
所以 2 2 1 2 2 2 5na a n d n n .
（2）因为 1 3a ，所以 2213 2 4 2 42n
n nS n n n n
，
根据二次函数的图象及性质可知，当 2n 时，前 n 项和取得最大值，最大值为 4.
典例 11 已知数列{ }na , *
na N ,前 n 项和 Sn= 1
8 (an+2)2.
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）设 bn= 1
2 an−30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值.
【解析】（1）由已知得 8Sn=(an+2)2,则 8Sn−1=(an−1+2)2(n≥2),
两式相减,得 8an=(an+2)2−(an−1+2)2,即(an+an−1)(an−an−1−4)=0.
因为 *
na N ,所以 an+an−1>0,所以 an−an−1=4(n≥2),
故数列{an}是以 4 为公差的等差数列.
（2）令 n=1,得 S1=a1= 1
8 (a1+2)2,解得 a1=2.
由（1）知 an=2+(n−1)×4=4n−2,所以 bn= 1
2 an−30=2n−31.
由 bn=2n−310.
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,学科&网
则 T15 最小,其值为 15
15 1415 29 2 2252T .
6．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 13 0S ， 14 0S ，则 nS 取最大值时 n 的值为
A．6 B．7
C．8 D．13
1．公差为 2 的等差数列 na 的前 n 项和为 .nS 若 3 12S ，则 3a
A． 4 B． 6
C．8 D．14
2．公差为 2 的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，则数列 nS
n
是
A．公差为 2 的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公比为 2 的等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列
3．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 4 11 18a a a ，则 11S
A．9 B． 22
C．36 D． 66
4．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 6 7 92 18a a a ,则 6 3S S
A．18 B．27
C．36 D．45
5．已知数列 na 满足 13 9 3n na a ，且 2 4 6 9a a a ，则 1 5 7 9
3
log a a a
A．3 B．−3
C． 1
3
D． 1
3
6．已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，
2 2
1 1
2
n n
n
a aa （n≥2），则 a6=
A． 2 2 B．4
C．16 D．45
7．程大位《算法统宗》里有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.
务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”大意为：996 斤棉花，分别赠送给8 个子女做旅费，从第一个开始，
以后每人依次多17 斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八
个孩子分得斤数为
A． 65 B．184
C．183 D．176
8．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2016 20170, 0S S ，对任意正整数 n ，都有 n ka a ，则 k
的值为
A．1007 B．1008
C．1009 D．1010
9．函数 y f x 为定义域 R 上的奇函数，且在 R 上是单调函数，函数 5g x f x ；数列 na 为等
差数列，公差不为 0，若 1 9 0g a g a ，则 1 2 9a a a
A． 45 B．15
C． 45 D． 0
10．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 1 0a ， 50 0S .设 *
1 2n n n nb a a a n N ，则当数列 nb 的前 n 项
和 nT 取得最大值时, n 的值为
A．23 B．25
C．23 或 24 D．23 或 25
11．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 13 6S ，则 9 103 2a a __________．
12．设等差数列 na 的公差是 d ，其前 n 项和是 nS ，若 1 1a d ，则 8n
n
S
a
的最小值是__________．
13．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 5a ， 2
1 1n nnS n S n n .
（1）求证：数列 nS
n
为等差数列；
（2）若
1
2 1n
n
b n a
，判断 nb 的前 n 项和 nT 与 1
6
的大小关系，并说明理由.
14．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 5
3 4, ,2
SS S 成等差数列， 5 2 13 2 2a a a .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）设 12n
nb ，求数列 n
n
a
b
的前 n 项和 nT .
15．已知正项数列 na 满足： 24 2 3n n nS a a ，其中 nS 为数列 na 的前 n 项和.
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）设 62 na
nb ，记数列 nb 的前 n 项积 1 2 3n nT b b b b ，试求 nT 的最小值.
1．（2017 浙江）已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2016 浙江文科）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且 1 1 2n n n nA A A A ， 2 ,n nA A n *N ，
1 1 2 2, ,n n n n n nB B B B B B n *N (P Q 表示点 P 与 Q 不重合 ) ．若 ,n n n nd A B S 为 1n n nA B B △
的面积，则
A．{ }nS 是等差数列 B． 2{ }nS 是等差数列
C．{ }nd 是等差数列 D． 2{ }nd 是等差数列
3．（2016 新课标全国 II 文科）等差数列 na 中， 3 4 5 74, 6a a a a ．
（1）求 na 的通项公式；
（2）设 [ ]n nb a ，求数列{ }nb 的前 10 项和，其中[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
4．（2017 江苏）对于给定的正整数 k ，若数列{ }na 满足： 1 1 1 1n k n k n n n k n ka a a a a a 2 nka
对任意正整数 ( )n n k 总成立，则称数列{ }na 是“ ( )P k 数列”．
（1）证明：等差数列{ }na 是“ (3)P 数列”；
（2）若数列{ }na 既是“ (2)P 数列”，又是“ (3)P 数列”，证明：{ }na 是等差数列．
5．（2018 北京文科）设 na 是等差数列，且 1 2 3ln2, 5ln2a a a .
（1）求 na 的通项公式；
（2）求 1 2e e e naa a .
变式拓展
1．【答案】（1）见解析；（2） 1 12 22
n
n
n nS .
方法二：由已知， 1
1 2 2n
n na a
两边同除以 12n 得 1
1 1
2 12 2
n n
n n
a a
，即 1
1 12 2
n n
n n
a a
，
又 1
1 12
a .
∴
2
n
n
a
是以1为首项，公差为 1 的等差数列． 学%科网
（2）由（1）得 1 1 12
n
n
a n n ，
故 2n
na n ．
∴ 2n
nc n .
∴ 1 2 3n nS c c c c 1 2 32 1 2 2 2 3 2n n
1 2 32 2 2 2 1 2 3n n 2 1 2 1
1 2 2
n n n
1 12 22
n n n .
故数列 nc 的前 n 项和为 1 12 22
n
n
n nS *nN .
2．【答案】D
【名师点睛】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出.等差数列运算问题的通性通法：
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)
求解．
(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，
体现了方程思想．
3．【答案】（1） 4 1na n ；（2） 22 3n n .
【解析】（1）设数列 na 的公差为 d ，则 4 22 8d a a ，
∴ 4d ，
∴ 2 2 9 4 2 4 1na a n d n n .
（2）由（1）知 1 5a ，
∴ 5 4 1
2n
n nS
22 3n n .
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.（1）利
用等差数列通项公式列出关于基本量 d 的方程，从而得到数列 na 的通项公式；（2）利用等差数列前 n
项和公式求得结果.
4．【答案】（1）见解析；（2）50.
【名师点睛】（1）根据数列的通项公式，通过作差并结合等差数列的定义证明．（2）根据数列 nb 的通
项公式，去掉绝对值后求和即可．
5．【答案】C
【解析】由 10 12
1 62a a 得 10 122 12a a ，∴ 8 12a ,又 2 4a ，∴ 8 2 16a a ，即 5 8a .故选 C．
【名师点睛】本题考查等差数列的有关性质，属中档题.熟练掌握等差中项得性质：若 2p q t ，则
2p q ta a a ，可快速准确解决此类问题.
6．【答案】B
【解析】根据 13 0S ， 14 0S ，可以确定 1 13 7 1 14 7 82 0, 0a a a a a a a ，所以可以得到
7 80, 0a a ，所以 nS 取最大值时 n 的值为 7，故选 B．
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的前 n 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前 n 项
和取最大值的条件
1
0
0
n
n
a
a
，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】因为 3 23 12S a ，所以 2 4a ，又公差为 2，所以 3 6a ，故选 B．学&科网
2．【答案】B
【解析】因为 1 1
1 2 12n
n nS na n n a
，所以 11nS n an
，所以数列 nS
n
是公差为 1
的等差数列.故选 B.
3．【答案】D
【解析】因为 3 4 11 18a a a ，所以可得 1 13 15 18 5 6a d a d ，
所以 11S 111 5 11 6 66a d ，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，意在考查等差数列基本量的运
算，解答过程注意避免计算错误.
4．【答案】B
【解析】根据等差数列的性质，得 6 3 4 5 6 53S S a a a a ，
而 6 7 9 6 6 52 2 2 2 2 18a a a a d a d a ，所以 5 9a ，所以 6 3 27S S ，故选 B．
5．【答案】B
【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的运算性质，等差数列的
性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列 na 是等差数列，求出公差，利用等差数
列的性质化简求解即可.
6．【答案】B
【 解 析 】 因 为
2 2
1 1
2
n n
n
a aa ， 所 以 2 2 2
1 12 = ,n n na a a 所 以 数 列 2
na 为 等 差 数 列 ， 因 为
2 2
2 1 4 1 3,d a a 2 1 3 1 3 2na n n ，因为 0na ，因此 63 2, 16 4na n a ，
故选 B．
【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出 2
na ，再根据正项数列条件得 an，即得 a6.证明或
判断 na 为等差数列的方法：
(1)用定义证明： 1 (n na a d d 为常数）；
(2)用等差中项证明： 1 22 n n na a a ；
(3)通项法： na 为 n 的一次函数；
(4)前 n 项和法： 2
nS An Bn .
7．【答案】B
【名师点睛】本题主要考查等差数列前 n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整
理计算即可求得最终结果.
8．【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为 d，∵满足 S2016=
1 20162016
2
a a
=
1008 10092016
2
a a ＞0，
S2017=
1 20172017
2
a a
=2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，
∵对任意正整数 n，都有|an|≥|ak|，∴k=1009．
故选 C．
【名师点睛】本题的解题关键在于公式的选择和解题思路.本题在转化 2016S 和 2017S 时，选择的都是不含
有公差 d 的公式，如果选择含有 d 的公式，解题就比较困难，所以公式的选择很关键.在得到 a1008+a1009
＞0，a1009＜0 后，要能分析出 a1008＞0，d＜0.这也是解题的一个关键.
9．【答案】A
【解析】由题意得： 1 9 0g a g a ，所以 1 95 5 0f a f a ，又因为函数 y f x 单调
且为奇函数，所以 1 95 5 0a a ，即 1 9 10a a ，即 5 5a ，再结合等差数列的性质可得：
1 2 9a a a 1 9 54 40 5 45a a a ，故答案为 A．学科.网
【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出 1 9 10a a 是解题的关键，属
于中档题.
10．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查等差数列的求和公式、等差数列的性质，以及数列前 n 项和的最大值问题，
属于难题.求数列前 n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前 n 项和表示成关于 n 的函数，利用函数
的性质求解；②可根据 0na 且 1 0na 确定 nS 最大时 n 的值.
11．【答案】 6
13
【解析】∵等差数列 na 中 13 6S ，∴ 1 13 7
13
13 13 2 62 2
a a aS
，∴ 7
6
13a ．
设等差数列 na 的公差为 d ，则 9 10 9 10 9 9 7
63 2 2 2 13a a a a a a d a ．
【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前 n 项和公式求解，即若 *, , ,m n p q m n p q N ，
则 m n p qa a a a ，这个性质经常和前 n 项和公式 1
2
n
n
n a aS
结合在一起应用，利用整体代换
的方法可使得运算简单．
12．【答案】 9
2
【解析】由 1 1a d ，可知 21 ,2n nS n n a n ，则
28 16 8 1 9
2 2 2 2
n
n
S n n n
a n n
(当且仅
当 n=4 时取等号)．故填 9
2
．
13．【答案】（1）见解析；（2） 1
6nT ．
【解析】（1）∵ 2 *
1 11 , 5,n nnS n S n n n a N
∴ 1 1
1 1 1 , 1, 51 1
n n
n n
S S SnS n S n n n n
,
∴数列 nS
n
是首项为 5,公差为 1 的等差数列.
【名师点睛】（1）数列中已知 nS 求 na 时，要注意公式 1n n na S S 只对 2n 成立，利用 1a 与 1S 相
等求得 1a ，然后比较可得通项公式；
（2）当数列的通项可以看作是由等差数列相乘取倒数所得，即若 na 是等差数列，
1
1
n
n n
b a a
，则
数列 nb 的前 n 项和用裂项相消法求得，其中
1
1 1 1
n
n n
b d a a
．
14．【答案】（1）an=2n−1；（2） 1
2 36 2n n
nT
.
【解析】（1）设等差数列 na 的首项为 1a ,公差为 d ,
由 5
3 4, ,2
SS S 成等差数列，可知 3 4 5S S S ,即 12 0,a d
由 5 2 13 2 2a a a 得： 14 2 0a d ，解得: 1 1, 2a d ，
因此， *2 1na n n N .
（2）令
112 1 2
n
n
n
n
ac nb
，则 1 2n nT c c c ，
∴
2 11 1 11 1 3 5 2 12 2 2
n
nT n
①，
2 31 1 1 1 11 3 5 2 12 2 2 2 2
n
nT n ②，
①－②,得
2 11 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2
n n
nT n
111 2 1 2
n
12 1 2
n
n
2 33 2n
n .
所以 1
2 36 2n n
nT
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【名师点睛】本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列
的性质、错位相减法的合理运用．
15．【答案】（1） 2 1na n ；（2） 1
16
.
（2）由（1）知， 2 1na n ，
设 6 2 5n nc a n ，则数列 nc 是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列，
所以数列 nc 的前 n 项和为 2
1 2 4nc c c n n ，当 2n 时， 2 4n n 有最小值 4 .
又 62 na
nb ，
所以 1 2 3n nT b b b b 2
1 2 42 2nc c c n n ，
故当 2n 时， nT 的最小值是 1
16
.
【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，
熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及
推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列 na 是首项为3，公差为 2 的等差
数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.
直通高考
1．【答案】C
【名师点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知 4 6 52S S S d ，结
合充分必要性的判断，若 p q ，则 p 是 q 的充分条件，若 p q ，则 p 是 q 的必要条件，该题
“ 0d ” “ 4 6 52 0S S S ”，故互为充要条件．
2．【答案】A
【解析】 nS 表示点 nA 到对面直线的距离（设为 nh ）乘以 1n nB B 长度的一半，即 1
1
2n n n nS h B B ，由
题目中条件可知 1n nB B 的长度为定值，那么需要知道 nh 的关系式．
由于 1, nA A 和两个垂足构成了直角梯形，那么 1 1 sinn nh h A A ，其中 为两条线的夹角，即为定值，
则 1 1 1
1 ( sin )2n n n nS h A A B B ，把 n 换成 n+1 可得 1 1 1 1 1
1 ( sin )2n n n nS h A A B B ，
作差后： 1 1 1
1 ( sin )2n n n n n nS S A A B B ，为定值，所以{ }nS 是等差数列．
3．【解析】（1）设数列 na 的公差为 d，由题意有 12 5 4a d ， 12 10 6a d ，解得 1
21, 5a d ，
所以 na 的通项公式为 2 3
5n
na ．学科%网
（2）由（1）知 2 3[ ]5n
nb ，
当 n 1，2，3 时， 2 31 2, 15 n
n b ；
当 n 4，5 时， 2 32 3, 25 n
n b ；
当 n 6，7，8 时， 2 33 4, 35 n
n b ；
当 n 9，10 时， 2 34 5, 45 n
n b ，
所以数列 nb 的前 10 项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24 ．
4．【思路分析】（1）利用等差数列性质得 n k n k na a a 2 ，即得 n n n n na a a a a 3 2 1 1 2+ + n na a 3 6 ，
再 根 据 定 义 即 可 判 断 ； （ 2 ） 先 根 据 定 义 得 n n n n na a a a a 2 1 1 2 4 ，
n n n n na a a a a 3 2 1 1 2 n na a 3 6 ，再将条件集中消元： n n na a a 3 2 14 1( )n na a ，
n n na a a 2 3 14 1( )n na a ，即得 n n na a a 1 1 2 ，最后验证起始项也满足即可．
（2）数列{ }na 既是“ (2)P 数列”，又是“ (3)P 数列”，
因此，当 3n 时， n n n n na a a a a 2 1 1 2 4 ，①
当 4n 时， n n n n n n na a a a a a a 3 2 1 1 2 3 6 ．②
由①知， n n na a a 3 2 14 1( )n na a ，③
n n na a a 2 3 14 1( )n na a ，④
将③④代入②，得 n n na a a 1 1 2 ，其中 4n ，
所以 3 4 5, , ,a a a 是等差数列，设其公差为 d' ．
在①中，取 4n ，则 2 3 5 6 44a a a a a ，所以 2 3a a d' ，
在①中，取 3n ，则 1 2 4 5 34a a a a a ，所以 1 3 2a a d' ，
所以数列{ }na 是等差数列．
5．【答案】（1） ln 2na n ；（2） 12 2n .
（2）由（1）知 ln2na n ，
∵ ln2 ln2e e e =2n
na n n ，
∴ e na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.
∴ 2
1 2 ln2 ln2 ln2 2 1e e e e e e =2 2 2 =2 2n
naa a n n .
∴ 1 2e e e naa a 1=2 2n .
【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和共涉及五个基本量 1, , , ,n na a d n S ，知道其中三个可求另
外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为 d ，根据题意可列关于 1,a d 的方程组，求解
1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得 e 2na n ，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
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