考点 17 平面向量的概念及其线性运算
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景.
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
（3）理解向量的几何表示.
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.
一、平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；
向量的大小叫做向量的长度(或模)
向量 AB
或 a ；
模| |AB
或| |a
平面向量是自由向量
零向量 长度等于 0 的向量，方向是任意的 记作 0 零向量方向是任意的
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 常用 e 表示 非零向量 a 的单位向量是
| |
a
a
平行向量 方向相同或相反的非零向量 a 与 b 共线可记
为 a b
0 与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a b
两向量只有相等或不等，不能
比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 a b 0 的相反向量为 0
二、向量的线性运算
1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律
2．共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得 b a .
【注】限定 a≠0 的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
考向一 平面向量的基本概念
解决向量的概念问题应关注以下七点：
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(6)非零向量 a 与
| |
a
a
的关系：
| |
a
a
是 a 方向上的单位向量．
(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大
小.
典例 1 下列命题正确的是
A．单位向量都相等 B．模为 0 的向量与任意向量共线
C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等
【答案】B
1．给出下列四个命题：
①若 a b ，则 a b ；
②若 , , ,A B C D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若 a b ， b c ，则 a c ；
④ a b 的充要条件是 a b 且 ∥a b .
其中正确命题的序号是
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
考向二 向量的线性运算
平面向量线性运算问题的求解策略：
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三
角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变
形手段在线性运算中同样适用．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果.
典例 2 若 A 、 B 、C 、 D 是平面内任意四点，给出下列式子：
① AB CD BC DA ，② AC BD BC AD ，③ AC BD DC AB ．
其中正确的有
A．3 个 B．2 个
C．1 个 D．0 个
【答案】B
【解析】① AB CD BC DA 的等价式是 AB DA
= BC
CD
，左边= AB
+ AD
，右边= BC
+ DC
，
不一定相等；
② AC BD BC AD 的等价式是 AC
AD
= BC
BD
，左边=右边= DC
，故正确；
③ AC BD DC AB 的等价式是 AC AB
= BD
+ DC
，左边=右边= BC
，故正确.
所以正确的有 2 个，故选 B．
【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键．
2．如图,在直角梯形 中， , 为 边上一点, , 为 的中点，则
A． B．
C． D．
典例 3 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O ， AB AD AO ，则
____________.
【答案】2
【解析】由平行四边形法则，得 2AB AD AC AO ，故λ=2.
3．已知 ABC△ 中， D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点，连接 AD ， E 为线段 AD 的中点，若
CE mAB nAC ，则 m n
A． 1
3
B． 1
2
C． 1
4
D． 1
2
考向三 共线向量定理的应用
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量 a，b，若存在实数λ，使 a=λb，则 a 与 b 共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使 AB AC ，则 A，B，C 三点共线．
【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.学-科网
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
典例 4 已知两个非零向量 a 与 b 不共线.
（1）若 =a+b, =2a+8b, =3(a−b),求证:A,B,D 三点共线;
（2）试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）k=1 或−1.
【解析】（1）∵ =a+b, =2a+8b, =3(a−b),
∴ + =2a+8b+3(a−b)=5(a+b)=5 ,
∴ , 共线,
又∵它们有公共点 B,
∴A,B,D 三点共线.
（2）∵ka+b 与 a+kb 共线,
∴存在实数λ,使得 ka+b=λ(a+kb),
∴(k−λ)a=(λk−1)b.
∵a,b 是两个不共线的非零向量,
∴k−λ=λk−1=0,
∴k2−1=0,
∴k=1 或−1.
【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线.
对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出 ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一
条件,列出方程组,解出参数.
4．已知O 为 ABC△ 内一点，且 1
2AO OB OC ， AD t AC ，若 B ,O , D 三点共线，则t 的值为
A． 1
4 B． 1
3
C． 1
2 D． 2
3
1．下列说法正确的是
A．向量 AB
与向量CD
是共线向量，则点 , , ,A B C D 必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
2．已知 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则与向量OA
平行的向量为
A． AB AC B． AB BC CD
C． AB AF CD D． AB CD DE
3．设 D 为
△
ABC 所在平面内一点， 4BC CD ，则
A． 1 4
3 3AD AB AC
B． 1 5
4 4AD AB AC
C． 1 4
5 5AD AB AC
D． 4 1
3 3AD AB AC
4．已知 ,a b 为两非零向量，若 a b a b ，则 a 与 b 的夹角的大小是
A．90 B． 60
C． 45 D．30
5．已知非零向量 ,a b ，且 2 , 5 6 , 7 2AB BC CD
a b a b a b ，则一定共线的三点是
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
6．如图，O 在 ABC△ 的内部，D 为 AB 的中点，且 2OA OB OC 0
，则 ABC△ 的面积与 AOC△ 的
面积的比值为
A．3 B．4
C．5 D．6
7．已知 a ， b 为平面向量，若 a b 与 a 的夹角为 π
3
， a b 与 b 的夹角为 π
4
，则 a
b
A． 3
3
B． 6
4
C． 5
3
D． 6
3
8．在 ABC△ 中，点 P 满足 2BP PC ，过点 P 的直线与 AB ， AC 所在直线分别交于点 M ， N ，若
AM mAB ， ( 0, 0)AN nAC m n ，则 2m n 的最小值为
A．3 B．4
C． 8
3 D．10
3
9．已知正方形 ABCD 的边长为 1，设 AB a ， BC b ， AC c ，则 a b c _______.
10．设 a ， b 是不共线的两个非零向量，若 12OA k
a b ， 4 5OB
a b ， 10OC k
a b ，且点 A ，
B ，C 在同一直线上，则 k __________．学科=网
1．（2018 年高考新课标Ⅰ卷文科）在 ABC△ 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
A． 3 1
4 4AB AC
B． 1 3
4 4AB AC
C． 3 1
4 4AB AC
D． 1 3
4 4AB AC
2．（2017 年高考新课标Ⅱ卷文科）设非零向量 a ， b 满足 + = a b a b ，则
A． a ⊥ b B． =a b
C． a ∥ b D． a b
变式拓展
1．【答案】B
【解析】① a b ，即 ,a b 的模的大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；
②若 , , ,A B C D 是不共线的四点，则 AB DC AB CD ∥ 且 AB CD 四边形 ABCD 为平行四边
形，故②正确；
③若 a b ，则 ,a b 的模的大小相等，方向相同，若 b c ，则 ,b c 的模的大小相等，方向相同，故 ,a c
的模的大小相等，方向相同，即 a c ，故③正确；
④ a b 的充要条件是 a b 且 ,a b 同向，故④错误．
故正确命题的序号是②③，故选 B.
2．【答案】D
【解析】由题意得， 那么
【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾
顺次相接的若干向量的和为 0 的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平
行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.
在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注
意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.
3．【答案】B
【解析】如图， ABC△ 中， D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点， E 为线段 AD 的中点，则
CB AB AC ， 2 2 2
3 3 3CD CB AB AC ，
1 1 1 1 1 5
2 3 3 2 3 6CE CD CA AB AC AC AB AC ，
CE mAB nAC ， 1 5,3 6m n ， 1
2m n .
故选 B．
【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用，考查了学生的推理与运算能力.解本题时，根据题
意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算的三角形法则和平行四边形法则，用 AB
、AC
表示CE
，
求出 ,m n 的值即可.
【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：
① , ,A B C 三点共线 AB AC ；
②O 为平面上任一点， , ,A B C 三点共线 OA OB OC ，且 1 .
考点冲关
1．【答案】D
【解析】对于 A，若向量 AB
与向量CD
是共线向量，则 AB CD∥ 或点 A B C D, , , 在同一条直线上，故
A 错误；
对于 B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，
故 B 错误；
对于 C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故 C 错误；
对于 D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，
故 D 正确.
故选 D．
【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义．解题时，根据题意，结合向
量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．
2．【答案】B
【解析】因为 2 2AB BC CD AD AO OA ，
故选 B．
【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运算法则，结合
向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果.
3．【答案】B
【解析】 5 5 1 5
4 4 4 4AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC
,故选 B．
4．【答案】A
【解析】因为 a b a b ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四边形为正方形或
长方形，由此可得 ,a b 的夹角为 90°，故选 A．
【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.
5．【答案】A
【解析】由向量的加法法则可得 5 6 7 2BD BC CD
a b a b 2 4 2AB
a b ，
所以 AB
与 BD
共线，又两线段过同点 B ，所以 , ,A B D 三点一定共线.故选 A．
【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共
线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法的“三角形”法则，可得
2BD AB ，从而可得结果.
6．【答案】B
【解析】∵D 为 AB 的中点，∴ 2OA OB OD ，∵ 2OA OB OC 0
，∴ OC OD ，∴O 是 CD
的中点，∴S
△
AOC=S
△
AOD= 1
2 S
△
AOB= 1
4 S
△
ABC.故选 B．
【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量小题的常用方法有：数形结合，
向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小
和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运算可知 O 为 CD 的中点，从而得出答案．
7．【答案】D
【解析】如图所示：
在平行四边形 ABCD 中， , ,AB AD AC
a b a b ， π π,3 4BAC DAC ，
在 ABC△ 中，由正弦定理可得，
π 2sin 64 2
π 33sin 3 2
a
b
，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查平面向量的运算法则、几何意义以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中
档题.
8．【答案】A
【解析】如图， 2 1 2 1 2 ,3 3 3 3 3AP AB BP AB AC AB AB AC AM ANm n
, ,M P N 三点共线， 1 2 1, ,3 3 3 2
nmm n n
则 2
2
2 5 23 2 3 26 3 3 3 32 23 2 3 2 3 2
n nn n nm n nn n n
2 1 5 2 53 2 2 3,3 3 2 3 3 3n n
当且仅当
13 2 3 2n n
，即 1m n 时等号成立.
故选 A．
【名师点睛】考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.解本题
时，用 AM
， AN
表示出 AP
,根据三点共线得出 ,m n 的关系，最后利用基本不等式得出 2m n 的最小
值.
9．【答案】2
【解析】如图， a b c ，所以 2 a b c a ，又 1a ， 2 a b c ，故答案为 2 .
【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，属于基础题.向量的运算有两种方法，
一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何
问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．运算法则是：
（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；
（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
【名师点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握
水平.（2） , ,A B C 三点共线 AB BC .
直通高考
1．【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC
1 1 1 3 1
2 4 4 4 4BA BA AC BA AC ，所以 3 1
4 4EB AB AC ，故选 A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的
三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
2．【答案】A
【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量 a ， b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从
而可得 a ⊥ b .故选 A.
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