（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
（2）能用圆的方程解决一些简单的问题.
一、圆的方程
圆的标准方程 圆的一般方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F
圆心 ( , )a b ( , )2 2
D E
半径 r 2 21 42 D E F
区别与
联系
（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；
（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程
注：当 D2+E2－4F = 0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F = 0 表示一个点 ( , )2 2
D E ；当 D2+E2－4F＜0 时，方程
x2+y2+Dx+Ey+F = 0 没有意义，不表示任何图形．
二、点与圆的位置关系
标准方程的形式 一般方程的形式
点（x0，y0）在圆上 2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r 2 2
0 0 0 0 0x y Dx Ey F
点（x0，y0）在圆外 2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r 2 2
0 0 0 0 0x y Dx Ey F
点（x0，y0）在圆内 2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r 2 2
0 0 0 0 0x y Dx Ey F
三、必记结论
（1）圆的三个性质
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．
①同心圆系方程： 2 2 2 0( ) ( ) ( )x a y b r r ，其中 a，b 为定值，r 是参数；
②半径相等的圆系方程： 2 2 2 0( ) ( ) ( )x a y b r r ＝ ，其中 r 为定值，a，b 为参数．
考向一 求圆的方程
1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一
般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦
心距、弦长的一半构成直角三角形”．
典例 1 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 1,3 的圆的方程是
A． 22 2 1x y B． 22 2 1x y
C． 22 3 1x y D． 22 3 1x y
【答案】C
故选 C.
【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为 1，且过
点 1,3 ，即可求得结论.学科%网
1．已知圆 2 2: 6 8 4C x y ，O 为坐标原点，则以 OC 为直径的圆的方程为
A． 2 23 4 100x y B． 2 23 4 100x y
C． 2 23 4 25x y D． 2 23 4 25x y
考向二 与圆有关的对称问题
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
典例 2 （1）已知圆 C1：（x+1）2+（y－1）2 =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1=0 对称，则圆 C2 的方程
为
A． 2 2(( ) )2 2 1x y B． 2 2(( ) )2 2 1x y
C． 2 2(( ) )2 2 1x y D． 2 2(( ) )2 2 1x y
（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9 上相异两点 P，Q 关于直线 kx+2y－4=0 对称，则 k 的值为_________．
【答案】（1）B；（2）2．
（2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9 的圆心为（－1，3），
由题设知，直线 kx+2y－4=0 过圆心，则 k×（－1）+2×3－4=0，解得 k=2．
2．圆 2 2 2 1 0x y ax y 关于直线 1x y 对称的圆的方程为 2 2 1x y ，则实数 a 的值为
A．0 B．1
C．±2 D．2
考向三 与圆有关的轨迹问题
1．求轨迹方程的步骤如下：
建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标 ,( )M x y ．
写集合：写出满足复合条件 P 的点 M 的集合 |M P M ．
列式：用坐标表示 P M ，列出方程 , 0f x y ．
化简：化方程 , 0f x y 为最简形式．
证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．求与圆有关的轨迹方程的方法
典例 3 已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点
为 M，O 为坐标原点．
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|时，求直线 l 的方程及 POM△ 的面积．
【答案】（1）M 的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l 的方程为 y＝－1
3x＋8
3
， POM△ 的面积为16
5
．
【解析】（1）圆 C 的方程为 x2＋（y－4）2＝16，圆心为（0,4），半径 r＝4．学科.网
设 M（x，y），则 ( ), (4 2 ,2 )CM x y MP x y ＝ , ＝ ．
由题设可知 0CM MP ，即： ( ) ( 4 )2 2 0)(x x y y ,即（x－1）2＋（y－3）2＝2，
由于点 P 在圆 C 的内部，
所以点 M 的轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2．
3．已知点 2,2P ，圆C ： 2 2 8 0x y y ，过点 P 的动直线l 与圆C 交于 ,A B 两点，线段 AB 的中点为
M ，O 为坐标原点.
（1）求 M 的轨迹方程；
（2）当 OP OM 时，求l 的方程及 POM△ 的面积.
考向四 与圆有关的最值问题
对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的
特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根
据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．
典例 4 与直线 4 0x y 和圆 2 2 2 2 0x y x y 都相切的半径最小的圆的方程是
A． 2 21 1 2x y B． 2 21 1 4x y
C． 2 21 1 2x y D． 2 21 1 4x y
【答案】C
【解析】圆 2 2 2 2 0x y x y 的圆心为 1,1 ，半径为 2 ，过圆心 1,1 与直线 4 0x y 垂直的
直线方程为 0x y ，所求的圆心在此直线上，又圆心 1,1 到直线 4 0x y 的距离为 6 3 2
2
，
则所求圆的半径为 2 ，设所求圆心为 ,a b ，且圆心在直线 4 0x y 的左上方，则 4 2
2
a b ，
且 0a b ，解得 1, 1a b （ 3, 3a b 不符合，舍去），故所求圆的方程为 2 21 1 2x y ，
故选 C.学科%网
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题.
典例 5 已知点 ( ),x y 在圆 2 2( ) (2 3) 1x y + + 上．
（1）求 x y 的最大值和最小值；
（2）求 y
x
的最大值和最小值．
【答案】（1）x y 的最大值为 2 1 ，最小值为 2 1 ；（2）y
x
的最大值为 2 32 3
，最小值为 2 32 3
.
（2） y
x
可视为点 ( ),x y 与原点连线的斜率， y
x
的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率
的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．学%科网
设过原点的直线的方程为 y kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即
2
| 2 3| 1
1
k
k
，解得
2 32 3k 或 2 32 3k ．
∴ y
x
的最大值为 2 32 3
，最小值为 2 32 3
．
【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值
（1）记 O 为圆心，圆外一点 A 到圆上距离最小为| |AO r ，最大为| |AO r ；
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；
（3）记圆心到直线的距离为 d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为 d r ，最小距离为 d r ；
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．
2．与圆的代数结构有关的最值
（1）形 y b
x a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如 2 2( ) ( )x a y b 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
4．已知方程 2 2 4 2 4 0x y x y ，则 2 2x y 的最大值是
A．14－ 6 5 B．14＋ 6 5
C．9 D．14
1．若方程 2 24 4 8 4 3 0x y x y 表示圆，则其圆心为
A． 11, 2
B． 11, 2
C． 11, 2
D． 11, 2
2．若直线 0x y a 是圆 2 2 2 0x y x 的一条对称轴，则 a 的值为
A．1 B． 1
C．2 D． 2
3．对于 aR ，直线 1 2 1 0a x y a 恒过定点 P ，则以 P 为圆心，2 为半径的圆的方程是
A． 2 2 4 2 1 0x y x y B． 2 2 4 2 3 0x y x y
C． 2 2 4 2 1 0x y x y D． 2 2 4 2 3 0x y x y
4．若过点 2,0 有两条直线与圆 2 2 2 2 1 0x y x y m 相切，则实数 m 的取值范围是
A． , 1 B． 1,
C． 1,0 D． 1,1
5．已知 A（－4，－5）、B（6，－1），则以线段 AB 为直径的圆的方程
A．（x＋1）2＋（y－3）2＝29 B．（x－1）2＋（y＋3）2＝29
C．（x＋1）2＋（y－3）2＝116 D．（x－1）2＋（y＋3）2＝116
6．圆 上的点到直线 的距离最大值是
A． B．
C． D．
7．圆C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线
2
2 13
yx 的渐近线截得的弦长为 3 ，则圆C
的方程为
A． 22 1 1x y B． 22 3 3x y
C．
2
2 3 12x y
D． 22 2 4x y
8．若直线 1 0l ax by ： 经过圆 M： 2 2 4 2 1 0x y x y 的圆心，则 2 22 ( 2)a b 的最小值为
A． 5 B．5
C． 2 5 D．10
9．已知圆C ： 2 23 4 1x y 与圆 M 关于 x 轴对称，Q 为圆 M 上的动点，当Q 到直线 2y x 的
距离最小时，Q 点的横坐标为
A． 22 2
B． 22 2
C． 23 2
D． 23 2
10．过点 ( )1,1P 的直线将圆形区域 2 2{( ) 4|, }x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该
直线的方程为
A． 2 0x y B． 1 0y
C． 0x y D． 3 4 0x y
11．已知点 1,,Q m ， P 是圆C ： 2 22 4 4x a y a 上任意一点，若线段 PQ 的中点 M 的轨
迹方程为 22 1 1x y ，则 m 的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
12．已知圆 2 2: 2 2 3 3 0C x y x y ，点 0, ( 0)A m m ， A B、 两点关于 x 轴对称．若圆 C 上存
在点 M ，使得 0AM BM ，则当 m 取得最大值时，点 M 的坐标是
A． 3 3 2,2 2
B． 3 2 3,2 2
C． 3 3 3,2 2
D． 3 3 3,2 2
13．在平面直角坐标系中，三点 0,0O , 2,4A ， 6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是__________．
14．设点 M（x0,1），若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠OMN＝45°，则 x0 的取值范围是________．
15．已知 x,y 满足 2x －4 x －4＋ 2y ＝0, 则 2 2x y 的最大值为________．
16．已知圆C 的圆心坐标为 0 0,C x x ，且过定点 6,4P ．
（1）写出圆C 的方程；
（2）当 0x 为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．
17．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 1,2A ， 0,0O .
（1）在 x 轴的正半轴上求一点 M ，使得以OM 为直径的圆过 A 点，并求该圆的方程;
（2）在（1）的条件下，点 P 在线段OM 内，且 AP 平分 OAM ，试求 P 点的坐标.
18．已知圆过点 1, 2A ， 1,4B ．
求：（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线 2 4 0x y 上的圆的方程．
19．已知圆 2 2: 2 5C x y ，直线 : 1 2 0l mx y m ， mR ．
（1）求证：对 mR ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点 ,A B ；
（2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.
1．（2018 天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
变式拓展
1．【答案】C
【解析】由题意可知， 0,0 , 6, 8O C ，则圆心坐标为 3, 4 ，圆的直径为 226 8 10 ，
据此可得圆的方程为
2
2 2 103 4 2x y
，即 2 23 4 25x y .学￥科网
本题选择 C 选项.
2．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时，
两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于 1 ，属于基础题．
3．【答案】（1） 2 21 3 2x y ；（2） 16
5
.
【解析】（1）圆C 的方程可化为 22 4 16x y ，
所以圆心为 0,4C ，半径为 4，
设 ,M x y ，则 , 4 , 2 ,2CM x y MP x y ，
由题意知 0CM MP ，故 2 4 2 0x x y y ，即 2 21 3 2x y ，
由于点 P 在圆C 的内部，
所以 M 的轨迹方程是 2 21 3 2x y .
【思路点拨】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由CM
与 MP
数量积等于 0 列式
得 M 的轨迹方程；
（2）设 M 的轨迹的圆心为 N ，由 OP OM 得到ON PM ．求出ON 所在直线的斜率，由直线方
程的点斜式得到 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径
及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案．学$科网
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立 x ， y 之间的关系 , 0F x y ；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点 ,P x y 依赖于另一动点 0 0,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点
,P x y 的轨迹方程．
4．【答案】B
【解析】由 2 2 4 2 4 0x y x y ，得圆的标准方程为 2 22 1 9x y ，表示以 2,1B 为圆
心，3为半径的圆，如图所示，
连接 OB ，并延长交圆于点 A ，此时 2 2x y 取得最大值，又 2 22 1 3 3 5OA OB r ,
所以 22 3 5 14 6 5OA ，即 2 2x y 的最大值为14 6 5 ，故选 B.
【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合
思想，借助圆的特征，找出适当的点 A ，把 2 2x y 的最大值转化为原点与 A 的距离的平方是解答的关
键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】圆的一般方程为： 2 2 32 04x y x y ，据此可得，其圆心坐标为： 2 1,2 2
，即 11, 2
.
本题选择 D 选项.
2．【答案】B
【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对
圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即
可得到 a 的值.
3．【答案】A
【 解 析 】 由 条 件 知 1 2 1 0a x y a ， 可 以 整 理 为 1 2 0,x y x a 故 直 线
1 2 1 0a x y a 过定点 P 2, 1 ，所求圆的方程为 2 22 1 4x y ，化为一般方程为
2 2 4 2 1 0x y x y ．故选 A．
4．【答案】D
【解析】圆的方程化为标准式为 2 21 1 1x y m ，
因为过点 2,0 有两条直线与圆 2 21 1 1x y m 相切，所以点 2,0 在圆外.
所以
2 2
1 0
2 1 0 1 1
m
m
，解不等式组得 1 1m ，故选 D.
【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题.由于有两条直线与圆相切，所以
可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得 m 的取值范围.
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】因为圆心 (1,1)C 到直线 的距离是 ，又圆 2 2 2 2 1 0x y x y 的半径
，所以圆 上的点到直线 的距离最大值是 ，故选 D．
7．【答案】A
【解析】设圆 C 的方程为 2 2 2( ) 0x y a a a ，圆心坐标为 0,a ，
∵双曲线
2
2 13
yx 的渐近线方程为 3y x ，圆被双曲线的渐近线截得的弦长为 3 ，
∴
2 2
23
2 2
a a
，∴a=1，∴圆 C 的方程为 x2+（y−1）2=1．故选 A．
【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂
直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，
与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所
以应该有三个独立等式．
8．【答案】B
【解析】由圆的方程知圆心为 2, 1 ，所以 2 1a b ， 2 22 ( 2)a b 的几何意义为直线 2 1a b
上的动点 ,a b 与定点 2,2 的距离的平方，故过点 2,2 向直线 2 1a b 作垂线段，其长的平方最小，
最小值为
2
2 4 2 1 5
5
d
，故选 B. 学科$网
9．【答案】C
【解析】圆 M 的方程为： 2 23 4 1x y ，过 M（3，−4）且与直线 2y x 垂直的直线方程为
1y x ,代入 2 23 4 1x y ，得 23 2x ，故当 Q 到直线 2y x 的距离最小时，Q 的
坐标为 23 .2x
10．【答案】A
【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．
因为过点 ( )1,1P 的直径所在直线的斜率为 1，所以所求直线的斜率为 1 ，即方程为 2 0x y .
11．【答案】D
12．【答案】C
【解析】由题得圆的方程为 221 3 1,x y 0, ,B m 设 , ,M x y 由于 0AM BM ，所以
2 2 2 2 2 2, , 0, 0, ,x y m x y m x y m m x y 由于 2 2x y 表示圆 C 上的点到原点距
离 的 平 方 ， 所 以 连 接 OC ， 并 延 长 和 圆 C 相 交 ， 交 点 即 为 M ， 此 时 2m 最 大 ， m 也 最 大 .
3 31 2 3, 60 , 3 sin30 , 3 sin60 3.2 2M MOM MOx x y
故选 C.
13．【答案】 2 2 6 2 0x y x y
【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:
①直接设出动点坐标 ,x y ，根据题意列出关于 ,x y 的方程即可；学#科网
②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；
③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
14．【答案】 [－1,1]
【解析】由已知圆心（0,0），半径 r＝1，M 位于直线 y＝1 上，过 M 作圆的切线，切点为 C，D（如图）．
则∠OMN≤1
2
∠CMD，∴∠CMD≥90°．
当∠CMD＝90°时，则 OCM△ 为等腰直角三角形，故 OC＝CM＝1．
∴所求 x0 的取值范围是－1≤x0≤1．
15．【答案】12 8 2
【解析】由题意，曲线 2 24 4 0x x y ，即为 2 22 8x y ， 所以曲线表示一个圆心在 2,0 ，
半径为 2 2 的圆，又由 2 2x y 表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为 2 ，
所以原点到圆上的点的最大距离为 2 2 2 ，所以 2 2x y 的最大值为 2
2 2 2 10 8 2 ．
【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把 2 2x y 转化为原点到圆上的点之
间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
16．【答案】（1） 2 2 2
0 0 0 0=2 20 52x x y x x x ；（2） 0 5x ， 2 25 5 2x y .
【解析】（1） 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 06 4 =2 20 52x x y x x x x x ；
（2） 2 2 22 2
0 0 0 0 06 4 2 20 52 2 5 2r x x x x x ，
所以 0 5x 时，r 最小，为 2 ，
所以 min 2 ,S 此时圆的标准方程为 2 25 5 2x y .
17．【答案】（1） M 5,0 ， 2 2 5 0x y x ；（2） 5 ,03
.
（2）设 P 的坐标为 ,0a ，依题可得，直线OA的方程为： 2 0x y ，
直线 AM 的方程为： 2 5 0x y .
因为 AP 平分 OAM ，
所以 P 点到直线OA和 AM 的距离相等.
2 2 2 2
2 5
2 1 1 2
a a
，得 2 5a a ，解得 5a 或 5
3a .
0 5a ，
5
3a ，
P 的坐标为 5 ,03
.
【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角
为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，
得到相应的等量关系式，求得结果.
18．【答案】（1）x2＋（y－1）2＝10；（2）（x－3）2＋（y－2）2＝20．
（2） 解法 1：直线 AB 的斜率为 k＝－3，则线段 AB 的垂直平分线的方程是 y－1＝ 1
3
x．即 x－3y＋3
＝0．
由圆心在直线 2 4 0x y 上得两直线交点为圆心即圆心坐标是 C（3,2）．
r＝|AC|＝ 2 21 3 2 2 20 ．
∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20．
解法 2：待定系数法
设圆的方程为：（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
则 .
∴所求圆的方程为：（x－3）2＋（y－2）2＝20．
19．【答案】（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是
2
2 1 12 2 4x y
，它是一个以 12, 2
为圆心， 1
2
为半径的圆．学科*网
【 解 析 】（ 1 ） 圆 2 2: 2 5C x y 的 圆 心 为 2,0C ， 半 径 为 5 ， 所 以 圆 心 C 到 直 线
: 1 2 0l mx y m 的距离
2 2
2 1 2 1| | | | 5
1 1
m m
m m
．
所以直线l 与圆 C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；
或：直线 : 1 2 0l mx y m 的方程可化为 2 1 0m x y ，无论 m 怎么变化，直线l 过定点
2,1 .
由于 2 22 2 1 1 5 ，所以点 2,1 是圆 C 内一点，
故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．
（2）设中点为 ,M x y ，因为直线 : 1 2 0l mx y m 恒过定点 2,1 ，
当直线l 的斜率存在时， 1
2AB
yk x
，又
2MC
yk x
， 1AB MCk k ，
所以 1 12 2
y y
x x
，化简得
2
2 1 12 22 4x y x
．
当直线l 的斜率不存在时，中点 2,0M 也满足上述方程．
所以 M 的轨迹方程是
2
2 1 12 2 4x y
，它是一个以 12, 2
为圆心， 1
2
为半径的圆．
直通高考
1．【答案】 2 2 2 0x y x
【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的
直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆
心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该
有三个独立等式．
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