（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置
关系.
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
一、直线与圆的三种位置关系
（1）直线与圆相离，没有公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相交，有两个公共点．
二、直线与圆的位置关系的判断方法
判断方法 直线与圆的位置关系
几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长
r 的大小关系来判断
d r 直线与圆相离
d r 直线与圆相切
d r 直线与圆相交
代数法：联立直线与圆的方程，消元后得
到关于 x（或 y）的一元二次方程，根据
一元二次方程的解的个数来判断
方程无实数解，直线与圆相离
方程有唯一的实数解，直线与圆相切
方程有两个不同的实数解，直线与圆相交
三、圆与圆的位置关系
两圆的位置关系
外切
相切
两圆有唯一公共点
内切
内含
相离 两圆没有公共点
外离
相交 两圆有两个不同的公共点
四、圆与圆位置关系的判断
圆与圆的位置关系的判断方法有两种：
（1）几何法：由两圆的圆心距 d 与半径长 R，r 的关系来判断（如下图，其中 R r ）．
（2）代数法：设圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①，圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②，
联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相
切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．学科&网
考向一 直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：
（1）明确圆心 C 的坐标（a,b）和半径长 r，将直线方程化为一般式；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d；
（3）比较 d 与 r 的大小，写出结论.
典例 1 若直线 l : 1 0y kx k 与圆C : 2 22 1 2x y 相切,则直线 l 与圆 D : 2 22 3x y
的位置关系是
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可
以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关
系来确定直线与圆位置关系.求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率 k ，
再根据圆 D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.学*科网
1．已知半圆 2 2( 1) ( 2) 4 2x y y 与直线 1 5y k x 有两个不同交点，则实数 k 的取值范围是
A． 5 5,2 2
B． 3 3,2 2
C． 5 3,2 2
D． 3 5 5 3, ,2 2 2 2
考向二 圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：
（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 1 2 1 2| |r r r r ， － ；
（3）比较 1 2 1 2, ,| |d r r r r － 的大小，写出结论.
典例 2 圆 O1: 2 2 2 0x y x 和圆 2 2
2 : 4 0O x y y 的位置关系是
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
【答案】B
2．圆心为 2,0 的圆C 与圆 2 2 4 6 4 0x y x y 相外切，则C 的方程为
A． 2 2 4 2 0x y x B． 2 2 4 2 0x y x
C． 2 2 4 0x y x D． 2 2 4 0x y x
考向三 圆的弦长问题
1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：
一是利用半径长 r、弦心距 d、弦长 l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理 2 2 2( )2
ld r 求解；
二是若斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 1 1 2 2, ,( ) ( )A x y B x y， 两点，则 2
1 2| | 1 | |AB k x x .
2．求两圆公共弦长一般有两种方法：
一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；
二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.
典例 3 已知直线 y=kx+3 与圆 2 2 6 4 5 0x y x y 相交于 M,N 两点,若|MN|=2 ,则 k 的值是
A．1 或 2 B．1 或-1
C． 2 或 1
2 D． 2 或 1
2
【答案】C
3．在圆 2 2 4 2 0x y x y 内，过点 1,0M 的最短弦的弦长为
A． 5 B． 2 5
C． 3 D． 2 3
考向四 圆的切线问题
1．求过圆上的一点 0 0( , )x y 的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则由图形可写出切线方程为 0y y ;若 0k ,则由图形可写出
切线方程为 0x x ;若 k 存在且 k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为 1
k
，由点斜式方程可求切线方程.
2．求过圆外一点 0 0( , )x y 的圆的切线方程：
（1）几何方法
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 0 0( )y y k x x ，即 0 0 0kx y y kx .由圆心到直线的距离等
于半径长，即可得出切线方程.
（2）代数方法
当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 0 0( )y y k x x ，即 0 0y kx kx y ,代入圆的方程，得到一个关
于 x 的一元二次方程，由 0 ,求得 k,切线方程即可求出.学科*网
3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线
只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
典例 4 已知点 ( 2 1,2 2)P ，点 M（3，1），圆 C：（x－1）2＋（y－2）2＝4．
（1）求过点 P 的圆 C 的切线方程；
（2）求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
【答案】（1） 1 2 2 0x y ；（2）过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3=0 或 3x－4y－5＝0，切线长为
1.
（2）因为 2 2(3 1) +(1 2) 5 4 ，
所以点 M 在圆 C 外部．
当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝3，
又点 C（1，2）到直线 x＝3 的距离 d=3－1=2=r，
所以直线 x＝3 是圆的一条切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k（x－3），即 kx－y＋1－3k＝0，
则圆心 C 到切线的距离 d= 2
| 2 1 3 | 2
1
k k r
k
，解得 k＝ 3
4
，
所以切线方程为 y－1＝ 3
4
（x－3），即 3x－4y－5＝0．
综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3=0 或 3x－4y－5＝0．
因为|MC|= 2 2(3 1) (1 2) 5 ，
所以过点 M 的圆 C 的切线长为 2 2| | 1MC r ．学科.网
4．设 P 为直线3 4 3 0x y 上的动点，过点 P 作圆 2 2 2 2 1 0C x y x y ： 的两条切线，切点分别
为 ,A B ，则四边形 (PACB C 为圆心 ) 的面积的最小值为
A．1 B． 3
2
C． 3 D． 2 3
1．直线3 4 0x y 被圆 2 21 2 2x y 截得的弦长为
A．4 B． 2 3
C． 2 2 D．2
2．已知直线l 过点 2,0 且倾斜角为 ，若l 与圆 2 23 20x y 相切，则 3πsin 2 =2
A． 3
5
B． 3
5
C． 4
5
D． 4
5
3．已知圆 2 2
1 : 1O x y 与圆 2 2
2 : 3 4 16O x x ，则圆 1O 与圆 2O 的位置关系为
A．相交 B．内切
C．外切 D．相离
4．如果实数 ， 满足等式 2 2( 2) 3x y ，那么 的最大值是
A． B．
C． D．
5．已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的离心率为 2 ，则其渐近线与圆 2 2 21
4x a y a 的位置关系
是
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
6．已知圆 2 2: 4C x y ，直线 :l y x b ．当实数 0,6b 时，圆C 上恰有 2 个点到直线l 的距离为1的
概率为
A． 2
3 B． 2
2
C． 1
2
D． 1
3
7．已知两点 ,0A a ， ,0B a （ 0a ），若曲线 2 2 2 3 2 3 0x y x y 上存在点 P ，使得
90APB ，则正实数 a 的取值范围为
A． 0,3 B． 1,3
C． 2,3 D． 1,2
8．动圆 M 与圆 2 2
1 : 1 1C x y 外切，与圆 2 2
2 : 1 25C x y 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是
A．
2 2
18 9
x y B．
2 2
19 8
x y
C．
2
2 19
x y D．
2
2 19
yx
9．已知直线 1 0ax y 与圆 2 2: 1 1C x y a 相交于 A ，B ，且 ABC△ 为等腰直角三角形，则
实数 a 的值为
A． 1
7
或 1 B． 1
C．1或 1 D．1
10．点 P 是直线 3 0x y 上的动点，由点 P 向圆 2 2: 4O x y 作切线，则切线长的最小值为
A． 2 2 B． 3 22
C． 2
2 D． 1
2
11．已知动直线l 与圆 2 2: 4O x y 相交于 ,A B 两点，且满足 2AB ，点C 为直线l 上的一点，且满足
5
2CB CA ，若 M 是线段 AB 的中点，则OC OM 的值为
A．3 B． 2 3
C． 2 D． 3
12．已知圆 2 2 2
1 :C x y r ，圆 2 2 2
2 :C x a y b r ( 0)r 交于不同的 1 1,A x y ， 2 2,B x y 两
点，给出下列结论：
① 1 2 1 2 0a x x b y y ；② 2 2
1 12 2ax by a b ；③ 1 2x x a ， 1 2y y b .
其中正确结论的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
13．圆 2 2 2 4 20 0x y x y 截直线5 12 0x y c 所得的弦长为 8，则 c 的值是________．
14．设圆 2 2 4 5 0x y x 的弦 AB 的中点为 3,1P ，则直线 AB 的方程是________．
15．若圆 2 2
1 : 5O x y 与圆 2 2
2 : 20O x m y 相交于 ,A B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，
则线段 AB 的长度是________．
16．已知动圆C 与直线 2 0x y 相切于点 0, 2A ，圆C 被 x 轴所截得的弦长为 2 ，则满足条件的所
有圆C 的半径之积是________．
17．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程为 2 2 4x y ，点 2, 3M ．
（1）求过点 M 且与圆 C 相切的直线方程；
（2）过点 M 任作一条直线与圆 C 交于 A，B 两点，圆 C 与 x 轴正半轴的交点为 P，求证：直线 PA 与
PB 的斜率之和为定值．
18．已知圆C 经过原点 0,0O 且与直线 2 8y x 相切于点 4,0P .
（1）求圆C 的方程；
（2）在圆C 上是否存在两点 ,M N 关于直线 1y kx 对称，且以线段 MN 为直径的圆经过原点？若
存在,写出直线 MN 的方程；若不存在，请说明理由.
19．已知点 )2,2(P ，圆C : 0822 yyx ，过点 P 的动直线l 与圆C 交于 BA, 两点，线段 AB 的中点为 M ，
O 为坐标原点.
（1）求 M 的轨迹方程；
（2）当| | | |OP OM 时，求直线l 的方程及 POM△ 的面积.
20．已知圆 2 2
1 : 6 0C x y x 关于直线 1 : 2 1l y x 对称的圆为C .
（1）求圆C 的方程；
（2）过点 1,0 作直线l 与圆C 交于 ,A B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行
四边形OASB 中| | | |OS OA OB ？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理
由.
1．（2018 新课标Ⅲ文）直线 2 0x y 分别与 x 轴，y 轴交于 A ，B 两点，点 P 在圆 2 2( 2) 2x y 上，
则 ABP△ 面积的取值范围是
A． 2 6， B． 4 8，
C． 2 3 2 ， D． 2 2 3 2 ，
2．（2016 北京文）圆 2 2( 1) 2x y 的圆心到直线 3y x 的距离为
A．1 B．2
C． 2 D． 2 2
3．（2016 新课标 II 文）圆 2 2 2 8 13 0x y x y 的圆心到直线 1 0ax y 的距离为 1，则 a=
A． 4
3
B． 3
4
C． 3 D．2
4．（2016 山东文）已知圆 M： 2 2 2 0( 0)x y ay a+ - = > 截直线 0x y+ = 所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与
圆 N： 2 2( 1) ( 1) 1x y 的位置关系是
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
5．（2018 新课标 I 文）直线 1y x 与圆 2 2 2 3 0x y y 交于 A B， 两点，则 AB ________．
6．（2018 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 : 2l y x 上在第一象限内的点， (5,0)B ，以 AB 为直径
的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 0AB CD ，则点 A 的横坐标为________．
7．（2016 上海文）已知平行直线 012:,012: 21 yxlyxl ，则 21,ll 的距离为__________．
8．（2016 浙江文）已知 aR ，方程 2 2 2( 2) 4 8 5 0a x a y x y a 表示圆，则圆心坐标是__________，
半径是__________．
9．（2016 天津文）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 (0, 5)M 在圆 C 上，且圆心到直线 2 0x y 的
距离为 4 5
5
，则圆 C 的方程为__________．
10．（2016 新课标 I 文）设直线 2y x a 与圆 C： 2 2 2 2 0x y ay 相交于 A，B 两点，若 AB 2 3 ，
则圆 C 的面积为__________．
11．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， ( 12,0), (0,6),A B 点 P 在圆 2 2: 50O x y 上，若 20,PA PB ≤
则点 P 的横坐标的取值范围是 ．
12．（2017 新课标 III 文）在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 2y x mx 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标
为 (0,1) .当 m 变化时，解答下列问题：
（1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.
13．（2016 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 2 2:M x y 12 14 60 0x y
及其上一点 (2,4)A ．
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 6x 上，求圆 N 的标准方程；
（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 ,B C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；
（3）设点 ( ,0)T t 满足：存在圆 M 上的两点 P 和Q ，使得TA TP TQ ，求实数 t 的取值范围．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】绘制半圆如图所示，直线 1 5y k x 表示过点 1,5K ，斜率为 k 的直线，
如图所示的情形为临界条件，即直线与圆相切，
本题选择 D 选项.
【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；
若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．求解本题时，绘制半圆的图形
和直线，考查临界条件，确定 k 的取值范围即可.
2．【答案】D
【解析】圆 2 2 4 6 4 0x y x y ，即 2 22 3 9x y ，其圆心为 2,3 ，半径为 3.
设圆C 的半径为 r .由两圆外切知，圆心距为 2 22 2 0 3 5 3 r .所以 2r .
所以圆C 的方程为 2 22 4x y ，展开得： 2 2 4 0x y x .学*科网
故选 D.
【名师点睛】此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用
等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代
数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，
通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.
3．【答案】D
故答案为 D.
【名师点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解
决；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减
半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，先将圆
的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点 1,0M 的最短弦长是过点 M 和 OM 垂直的弦,再根据垂径定
理得到结果.
4．【答案】C
【解析】∵圆的方程为 2 2 2 2 1 0x y x y ，∴圆心 C（1，1）、半径 r 为 1.
根据题意，若四边形面积最小，则当圆心与点 P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长
PA，PB 最小.∵圆心到直线的距离为 d=2，∴|PA|=|PB|= 2 2 3d r ，∴ 12 32PACBS PA r 四边形 .
故选 C．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时还考查
了转化思想，属于中档题.求解本题时，由圆的方程为求得圆心 C（1，1）、半径 r 为 1，由“若四边形面
积最小，则圆心与点 P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长 PA，PB 最小”，最后将四
边形转化为两个直角三角形面积求解．
考点冲关
1．【答案】D
【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．一般直
线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化
为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线
长时，经常用到垂径定理.求解本题时，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理
可得直线 3x﹣4y=0 被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 截得的弦长．
2．【答案】A
【解析】设直线 : tan 2l y x ,
因为l 与圆 2 23 20x y 相切，所以
2
| 5tan | 20, tan 2
1 tan
，
因此
2 2 2
2 2 2
3π cos sin 1 tan 1 4 3sin 2 = cos2 ,2 cos sin 1 tan 1 4 5
故选 A.
3．【答案】C
【解析】圆 1O 的圆心为 0,0 ，半径为 1r ，圆 2O 的圆心为 3, 4 ，半径为 4R ，
∴两圆的圆心距 9 16 5d ，∴ d R r ，∴两圆外切，故选 C ．
4．【答案】D
【解析】过原点作圆 2 2( 2) 3x y 的切线，切线斜率 ，故选 ．
【名师点睛】与圆上点 ( ),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如 型的最值问题，可转化为过点 ( ),a b 和点 ( ),x y 的直线的斜率的最值问题；
②形如 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；学.科网
③形如 2 2( () )x a y b 型的最值问题，可转化为动点到定点 ( ),a b 的距离平方的最值问题．
5．【答案】C
6．【答案】A
【解析】如图，圆 C 的圆心坐标为 O（0，0），半径为 2，直线 l 为：x﹣y+b=0．
由 3
2
b ，即 b=3 2 时，圆上恰有一个点到直线 l 的距离为 1，
由 1
2
b ，即 b= 2 时，圆上恰有 3 个点到直线 l 的距离为 1．
∴当 b∈（ 2 3 2， ）时，圆上恰有 2 个点到直线 l 的距离为 1，故概率为 3 2 2 2
6 3
．
故选 A．
【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，
点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定
时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之
比．求解本题时，由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三
点到直线 l 的距离为 1 的 b 值，由测度比为长度比得答案．
7．【答案】B
8．【答案】B
【解析】设动圆 M 半径为 r ，则 1 2 1 2 1 2| 1 ,| 5 || | |+| | 6 | |,MC r MC r MC MC C C ，
因此动圆圆心 M 的轨迹是以 1 2,C C 为焦点的椭圆，所以
2 2
22 6, 1, 8, 19 8
x ya c b ，故选 B.
【名师点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
9．【答案】C
【解析】由题意可得 ABC△ 是等腰直角三角形，∴圆心 C（1，﹣a）到直线 1 0ax y 的距离等于
r·sin45°= 2
2
，再利用点到直线的距离公式可得
2
1
1a
= 2
2
，∴a=±1.
故选 C．
【名师点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题在很多情况下是利用数形结合
来解决的，联立方程利用代数方法求解的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，
一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.由题意可得
ABC△ 是等腰直角三角形，可得圆心 C（1，﹣a）到直线 1 0ax y 的距离等于 r·sin45°，再利用点
到直线的距离公式求得 a 的值．
10．【答案】C
【解析】∵圆 2 2: 4O x y ，∴圆心 (0 0)O ， ，半径 2r ．
由题意可知，点 P 到圆 2 2: 4O x y 的切线长最小时，直线 OP 与直线 3 0x y 垂直．
∵圆心到直线 3 0x y 的距离 3 2
2d ，∴切线长的最小值为 9 242 2
．学科.网
故选 C．
【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，
以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，
要使切线长最小，则必须使点 P 到圆的距离最小，求出圆心到直线 3 0x y 的距离，利用切线的性
质及勾股定理求出切线长的最小值即可．
11．【答案】A
12．【答案】D
【解析】公共弦的方程为 2 22 2 0ax by a b ，所以有 2 2
1 12 2 0ax by a b ，②正确；
又 2 2
2 22 2 0ax by a b ，所以 1 2 1 2 0a x x b y y ，①正确；
AB 的中点即为直线 AB 与直线 1 2C C 的交点，又 2 2: 2 2 0AB ax by a b ， 1 2 : 0C C bx ay .
由
2 22 2 0
0
ax by a b
bx ay
得 2
2
ax
by
，故有 1 2 1 2,x x a y y b ，③正确.
综上，选 D.
【名师点睛】当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，
注意合理利用圆的几何性质简化计算.解本题时，根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为
2 22 2 0ax by a b ， ,A B 两点均在该直线上，故其坐标满足上式.而 AB 的中点为直线 AB 与直
线 1 2C C 的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.
13．【答案】10 68或
【名师点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到
直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进
行判断
14．【答案】 4 0x y
【解析】 2 2 4 5 0x y x ,所以圆心为 2,0C ，
因此 1 0 1, 1, : 1 3 , 4 03 2CP ABk k AB y x x y .
15．【答案】4
【 解 析 】 由 题 知 1(0,0)O 与 2 ( ,0)O m: ， 根 据 圆 心 距 大 于 半 径 之 差 而 小 于 半 径 之 和 ， 可 得
5 3 5m＜ ＜ ．再根据题意可得 2
1 2 5 20 25 5O A AO m m ， ， ，
∴利用 5 2 5 52
AB ＝ ，解得 4AB ．学科#网
16．【答案】10
【解析】∵动圆 C 与直线 2 0x y 相切于点 0, 2A ，故直线 AC 与直线 2 0x y 垂直，故 C
落在直线 2 0x y 上，设 C 点坐标为 , 2a a ，则圆的半径 r= 2 a ，则圆的方程为：
2 2 22 2x a y a a ．令 0y ，则 2 2 22 2x a a a ，即 2 2 4 4 0x ax a ，
∵圆 C 被 x 轴所截得的弦长为 2，∴ 22 4 4 4 2a a , 解得： 5a ，或 1a ，故所有圆 C
的半径之积为5 2 2 10 ,故应填 10.
17．【答案】（1） 2x 或5 12 26 0x y ；（2）见解析.
（2）依题意可得当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB： 3 2y k x ，代入 2 2 4 0x y ，
整理得 2 2 2 21 4 6 4 12 5 0k x k k x k k .
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，又 2,0P ，
∴
2
1 2 2
4 6
1
k kx x k
，
2
1 2 2
4 12 5
1
k kx x k
， 1 2
1 2
,2 2PA PB
y yk kx x
，
∴直线 PA 与 PB 的斜率之和为
1 2 2 11 2
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
y x y xy y
x x x x
1 2 2 1
1 2 1 2
2 3 2 2 3 2
2 4
kx k x kx k x
x x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
2 4 3 8 12
2 4
kx x k x x k
x x x x
2 2
2 2
2 2
2 2
4 12 5 4 62 4 3 8 121 1
4 12 5 4 62 41 1
k k k kk k kk k
k k k k
k k
3 2 3 2 2 3 2
2 2 2
8 24 10 16 24 12 18 8 12 8 12
4 12 5 8 12 4 4
k k k k k k k k k k
k k k k k
12 4
9 3
，为定值．
【名师点睛】求定值问题常见的方法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18．【答案】（1） 2 22 1 5x y ；（2）见解析.
【解析】（1）法一：由已知，得圆心在经过点 4,0P 且与 2 8y x 垂直的直线 1 22y x 上，它
又在线段 OP 的中垂线 2x 上，所以求得圆心 2,1C ，半径为 5 .
所以圆C 的方程为 2 22 1 5x y .
（2）假设存在两点 ,M N 关于直线 1y kx 对称，则 1y kx 通过圆心 2,1C ，求得 1k ，
所以设直线 MN 为 y x b ，
代入圆的方程得 2 22 2 2 2 0x b x b b ，
设 1 1,M x x b ， 2 2,N x x b ，
则 2 2
1 2 1 22 3 0OM ON x x b x x b b b ，解得 0b 或 3b .
这时 0 ，符合题意，
所以存在直线 MN 为 y x 或 3y x 符合条件.学科.网
【名师点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及圆的标准方程及其简单的几
何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析
问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、
韦达定理的应用是解答问题的关键
19．【答案】（1） 2 2( 1) ( 3) 2x y ;（2）l 的方程为 1 8
3 3y x ; POM△ 的面积为16
5
.
（2）由（1）可知 M 的轨迹是以点 (1,3)N 为圆心， 2 为半径的圆.
由于| | | |OP OM ，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，
又 P 在圆 N 上，从而ON PM .
因为 ON 的斜率为 3，
所以直线l 的斜率为 1
3
，
故直线l 的方程为 1 8
3 3y x .
又| | | | 2 2OP OM ，O 到l 的距离为 4 10
5
， 4 10| | 5PM ，
所以 POM△ 的面积为16
5
.
20．【答案】（1） 2 21 2 9x y ；（2）存在直线 1x 和 1y x .
（2）由 OS OA OB BA ，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB .
要使OA OB ，必须使 · 0OAOB ，即： 1 2 1 2 0x x y y .
①当直线 l 的斜率不存在时，可得直线 l 的方程为 1x ，与圆 2 2: 1 2 9C x y 交于两点
1, 5 2A 1, 5 2B .
因为 · 1 1 5 2 5 2 0OAOB ，
所以OA OB ，所以当直线l 的斜率不存在时，直线 : 1l x 满足条件.
②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为 1y k x .
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y
由
2 2( 1) ( 2) 9
( 1)
x y
y k x
得： 2 2 2 21 2 4 2 4 4 0k x k k x k k .由于点 1,0 在圆C 内
部，所以 0 恒成立，
所以
2
1 2 2
2 4 2
1
k kx x k
，
2
1 2 2
4 4
1
k kx x k
，
要使OA OB ，必须使 · 0OAOB ，即 1 2 1 2 0x x y y ，
也就是：
2
2
1 22
4 4 1 1 01
k k k x xk
整理得： 2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 4 21 01 1
k k k kk k kk k
.解得 1k ，
所以直线l 的方程为 1y x 学科%网
存在直线 1x 和 1y x ，它们与圆C 交 ,A B 两点，且平行四边形OASB 的对角线相等.
【名师点睛】在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题
中当斜率不存在时也符合题意.
直通高考
1．【答案】A
【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.
先求出 A，B 两点坐标得到 AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点 P 到直线距离的范围，由面积公式计
算即可.
2．【答案】C
【解析】圆心坐标为 ( 1,0) ，由点到直线的距离公式可知 | 1 0 3| 2
2
d ，故选 C．
3．【答案】A
【解析】圆的方程可化为 2 2( 1) ( 4) 4x y ，所以圆心坐标为 (1,4) ，由点到直线的距离公式得：
2
4 1 1
1
ad
a
，解得 4
3a ，故选 A．
4．【答案】B
【解析】由 2 2 2 0x y ay （ 0a ）得 2 2 2( )x y a a ( 0)a ，所以圆 M 的圆心为 (0, )a ，半径
为 1r a ，因为圆 M 截直线 0x y 所得线段的长度是 2 2 ，所以 2 2
2 2
2 2( )21 1
a a
，解得
2a ．圆 N 的圆心为 (1,1) ，半径为 2 1r ，所以 2 2(0 1) (2 1) 2MN ， 1 2 3r r ，
1 2 1r r ，因为 1 2 1 2r r MN r r ，所以圆 M 与圆 N 相交，故选 B．
5．【答案】 2 2
【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角
形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转
化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特
殊三角形，利用勾股定理求得弦长.
6．【答案】3
【解析】设 ,2 ( 0)A a a a ，则由圆心C 为 AB 中点得 5 , ,2
aC a
易得 : 5 2 0C x x a y y a ，与 2y x 联立解得点 D 的横坐标 1,Dx 所以 1,2D .
所以 55 , 2 , 1 ,22
aAB a a CD a
，
由 0AB CD 得 255 1 2 2 0, 2 3 0, 32
aa a a a a a
或 1a ，
因为 0a ，所以 3.a 学科*网
【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等
相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这
类问题的一般方法.
7．【答案】 2 5
5
【解析】利用两平行线间的距离公式得
2 2
| 1 1| 2 5
52 1
d
．
8．【答案】 ( 2, 4) 5
【 解 析 】 由 题 意 2 2a a ， 得 a 1 或 2 ． 当 1a 时 方 程 为 2 2 4 8 5 0x y x y ， 即
2 2( 2) ( 4) 25x y ，圆心为 ( 2, 4) ，半径为 5，当 2a 时方程为 2 24 4 4 8 10 0x y x y ，
2 21 5( ) ( 1)2 4x y 不表示圆．
9．【答案】 2 2( 2) 9x y
【解析】设 ( ,0),( 0)C a a ，则 2| 2 | 4 5 2, 2 5 355
a a r ，故圆 C 的方程为 2 2( 2) 9x y ．
10．【答案】 4
11．【答案】[ 5 2,1]
【解析】设 ( , )P x y ，由 20PA PB ，易得 2 5 0x y ，由 2 2
2 5 0
50
x y
x y
，可得 5: 5
xA y
或
1: 7
xB y
，由 2 5 0x y 得 P 点在圆左边弧 AB 上，结合限制条件 5 2 5 2x ，可得点 P
横坐标的取值范围为[ 5 2,1] ．
【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还
是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直
线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．
12．【答案】（1）不会，理由见解析；（2）详见解析
【解析】（1）不能出现 AC⊥BC 的情况，理由如下：
设 , ,则 满足 ，所以 .
又 C 的坐标为（0，1），故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ，所以不能出现 AC⊥BC 的
情况.
【考点】圆的方程，弦长
【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数
方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x ；
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．学科￥网
13．【答案】（1） 2 26 1 1x y ；（2）直线 l 的方程为 2x－y+5=0 或 2x－y－15=0；
（3） 2 2 21,2 2 21 .
【解析】圆 M 的标准方程为 2 26 7 25x y ，所以圆心 M(6，7)，半径为 5．
（1）由圆心在直线 x=6 上，可设 06,N y ．因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 00 7y ，
于 是 圆 N 的 半 径 为 0y ， 从 而 0 07 5y y ， 解 得 0 1y ， 所 以 圆 N 的 标 准 方 程 为
2 26 1 1x y ．
（2）因为直线 l∥OA，所以直线 l 的斜率为 4 0 22 0
，设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x－y+m=0，
则圆心 M 到直线 l 的距离 2 6 7 5 .
5 5
m md
因为 2 22 4 2 5BC OA ， 而 2 2 2( )2
BCMC d ，
所以 2525 55
m ，解得 m=5 或 m=－15，
故直线 l 的方程为 2x－y+5=0 或 2x－y－15=0．
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