（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
（3）理解数形结合的思想.
（4）了解椭圆的简单应用.
一、椭圆的定义
平面上到两定点 1 2,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 P 的轨迹是椭圆. 这两个定点
叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 1 2 2F F c .
定义式： 1 2 1 22 (2 )PF PF a a F F .
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
二、椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上，
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
；
焦点在 y 轴上，
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 , ,a b c 之间的大小关系和等量关系：
2 2 2 , 0, 0a c b a b a c .
三、椭圆的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
ii)
标准方程
几何性质
范围 顶点 焦点 对称性 离心率
椭
圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b
x a
y b
( ,0)a ，
(0, )b
( ,0)c
对称轴： x
轴， y 轴，
对称中心：
原点
0 1e ，
ce a
2 2
2 2 1y x
a b
( 0)a b
y a
x b
(0, )a ，
( ,0)b
(0, )c
注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方
程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出 a 与 c ，然后利用 ce a
计算求得离心率；或者根据
已知条件建立关于 , ,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求
解离心率的值或取值范围.
四、必记结论
1．设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上任意一点 ,( )P x y ，则当 0x＝ 时，| |OP 有最小值 b，P 点在短轴
端点处；当 x a 时，| |OP 有最大值 a，P 点在长轴端点处．
2．已知过焦点 F1 的弦 AB，则 2ABF△ 的周长为 4A．
考向一 椭圆定义的应用
1．椭圆定义的集合语言: 1 2 1 2{ || | 2 ,2 | |}P M MF MF a a F F 往往是解决计算问题的关键，椭圆上的
一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦
定理.
以椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点 0 0( ),P x y 0( 0)y 和焦点 F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的 1 2PF F△
中，若 1 2F PF ，注意以下公式的灵活运用：
（1） 1 2| | 2PF PF a ；
（2） 2 2 2
1 2 1 24 2| | | | cos| || |c PF PF PF PF － ；
（3）
1 2 1 2
1 ·sin2 | || |PF FS PF PF △ .
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求
解.
典例 1 已知 F1，F2 是椭圆
2 2
14 3
x y 的两个焦点，点 P 在椭圆上．
（1）若点 P 到焦点 F1 的距离等于 1，则点 P 到焦点 F2 的距离为________________；
（2）过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，则 2ABF△ 的周长为________________；
（3）若 1 2 120PF F ∠ ，则点 P 到焦点 F1 的距离为________________．
【答案】（1）3；（2）8；（3） 6
5
．
【解析】由椭圆的标准方程可知： 2 4a ， 2 3b ，
故 2a ， 3b ， 2 2 4 3 1c a b ．学科#网
（3）在 1 2PF F△ 中，由余弦定理可得 2 2 2
2 1 1 2 21 1 2 1| | | | | | 2 | || | cosPF PF F F PF F FF PF ∠ ，
即 2 2
2 1 1| | | | 4 2 | |PF PF PF ，
由椭圆的定义可得 1 2| | | | 2PF PF a ，
两式联立解得 1| | 5PF ．
1．已知 、 是椭圆 ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 ，若 的
面积为 9，则 的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
考向二 求椭圆的标准方程
求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a2,b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要
分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
或
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 , ,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 2 2 2c a b － ）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或
把椭圆的方程设为 2 2 1 0 0( )mx ny m n m n ＝ ， 且 .
典例 2 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的方程为
A．
2
2 14
x y B．
2 2
116 4
y x
C．
2
2 14
x y 或
2 2
116 4
y x D．
2
2 14
x y 或
2
2 14
y x
【答案】C
2．已知 1 2,F F 为椭
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点,过点 F2 作椭圆的弦 AB,若 1AF B△ 的周长为 16,椭
圆的离心率 3
2e ，则椭圆的方程为
A．
2 2
14 3
x y B．
2 2
116 3
x y
C．
2 2
116 12
x y D．
2 2
116 4
x y
考向三 椭圆的几何性质及应用
1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、
长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. 学科%网
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出 a,c，代入公式 ce a
.
（2）只需要根据一个条件得到关于 , ,a b c 的齐次式，结合 2 2 2b a c － 转化为 a,c 的齐次式，然后等式（不
等式）两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e 的取值范
围）.
典例 3 已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为
A．1
3 B． 3
3
C． 2
2 D．1
2
【答案】B
【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x2
m
2
＋y2
m
3
＝1，
∴a2＝m
2
，b2＝m
3
，
∴c2＝a2－b2＝m
6
，
∴e2＝c2
a2
＝1
3
，即 e＝ 3
3 .故选 B．
3．设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的一个焦点为 1,0F ，点 1,1A 为椭圆 E 内一点，若椭圆 E 上存
在一点 P ，使得 9PA PF ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是__________．
1．若方程
2 2
14
x y
m m
表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是
A． 2m B． 0 2m
C． 2 4m D． 2m
2．椭圆 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m=
A． 1
4
B． 1
2
C．2 D．4
3．已知椭圆
2 2
1100 36
x y 上的一点 到左焦点 的距离为 ，点 是线段 1PF 的中点， 为坐标原点，则
A． B．
C． D．
4．已知椭圆 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的 倍，抛物线 的焦点与椭圆 的一个
顶点重合，则椭圆 的标准方程为
A．
2
2 14
x y B．
2 2
14 16
x y
C．
2 2
116 4
x y 或
2
2 14
y x D．
2
2 14
x y 或
2 2
14 16
x y
5．已知椭圆 x2+my2=1 的离心率 e∈( 1
2 ,1),则实数 m 的取值范围是
A．(0, 3
4 ) B．( 3
4 ,+∞)
C．(0, 3
4 )∪( 4
3 ,+∞) D．( 3
4 ,1)∪(1, 4
3 )
6．对于常数 m,n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示的曲线是椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知椭圆 C:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的离心率为 2
2
,右顶点到直线 x=
2a
c
(c 为椭圆的半焦距)的距离为 2- 2 ,
则椭圆 C 的方程为
A．
2
2
x +y2=1 B．
2
4
x +
2
2
y =1
C．
2
4
x +y2=1 D．
2
6
x +
2
4
y =1
8．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，点 ,A B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 P ，使得 120APB ，
则该椭圆的离心率的最小值为
A． 2
2 B． 3
2
C． 6
3 D． 3
4
9．已知 的顶点 、 在椭圆
2
2 13
x y 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边
上，则 的周长是
A． B．
C． D．
10．如图，椭圆
2 2
19 4
x y 的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，点 P 为其上的动点，当 1 2F PF 为钝角时，则点 P
的横坐标的取值范围是
A． 3 5 3 5,5 5
B． 3 5 3 5 3, ,35 5
C．( 2 5 2 5, )5 5
D． 5 5,3 3
11．已知点 是椭圆
2
2 14
x y 上一点， 是椭圆的焦点，且满足 ，则 1 2MF F△ 的面积为
A．1 B．
C．2 D．4
12．已知 F 是椭圆C ：
2 2
19 5
x y 的左焦点， P 为C 上一点， 41, 3A
，则 PA PF 的最小值为
A．10
3 B． 11
3
C． 4 D．13
3
13．已知 , ,m n m n 成等差数列， , ,m n mn 成等比数列，则椭圆
2 2
1x y
m n
的离心率为
A． 2
2
B． 1
2
C． 2
3
D． 2
3
14．已知椭圆
2 2
13 4
x y 的两个焦点是 1F ， 2F ， M 是椭圆上一点， 1 2 1MF MF ，则 1 2MF F△ 的形
状是
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
15．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ， 1 2,F F 分别是椭圆的左、
右焦点，且 1F AB△ 的面积为 2 3
2
，点 P 为椭圆上的任意一点，则
1 2
1 1
PF PF
的取值范围为
A． 1,2 B． 2, 3
C． 2,4 D． 1,4
16．设椭圆
2 2
2
2 1(2 )2
x y bb
的焦点为 1 2,F F , 2 2
2 2,0 , ,0
2 2
M N
b b
，若 1 22MN F F ，
则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为
A．
2
2 12
x y B．
2 22 12 3
x y
C．
2 2
12 2
x y D．
2 2
12 3
x y
17．已知椭圆
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在点 P，使
1 2sin
a
PF F 2 1sin
c
PF F ,则该椭圆离心率的取值范围为
A．(0, 2 -1) B．( 2
2
,1)
C．(0, 2
2
) D．( 2 -1,1)
18．椭圆
2 2
14 3
x y 的焦距等于__________．
19．已知椭圆的两焦点坐标分别是 2 0 ， 、 2 0， ，并且过点 2 3 3， ，则该椭圆的标准方程是
__________．
20．已知 F1,F2 为椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若 2ABF△ 为正三角
形,则椭圆的离心率为 .
21．已知椭圆C 的方程为
2 2
116 8
x y ， 1F 、 2F 为椭圆上的两个焦点，点 P 在C 上且 1 2
π
3F PF ，则三
角形 1 2F PF 的面积为_________．
22．如图,A,B 分别为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右顶点,点 P 在椭圆上, POB△ 是面积为 4 的等腰
直角三角形,则 b= .
23．已知 A(1,1)为椭圆
2 2
116 12
x y 内一点， 1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，则 1PF PA 的最大
值为____________.
24．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 3
3
，过 2F 的直线l 交C 于
,A B 两点，若 1AF B△ 的周长为 4 3 ，则椭圆C 的方程为____________.
25．设椭圆
2
2 14
x y 的两个焦点分别为 1 2, ,F F M 是椭圆上任一动点，则 1 2·MF MF
的取值范围为 .
26．求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 );
(2)对称轴为坐标轴,经过点 P(-6,0)和 Q(0,8).
27．已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 F 是它的一个顶点，且其
离心率 e= 3
2
，求椭圆 E 的方程．
28．已知椭圆的两焦点分别为 1 0, 1F 、 2 0,1F ，离心率为 1
2
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点 P 在椭圆上，且 1 2 1PF PF ，求 1 2cos F PF 的值.
29．已知椭圆 C 的方程为
2 2
19 1
x y
k k
.
（1）求 k 的取值范围；
（2）若椭圆 C 的离心率 6
7e ，求 k 的值.
1．（2017 浙江）椭圆
2 2
19 4
x y 的离心率是
A． 13
3
B． 5
3
C． 2
3 D． 5
9
2．（2018 新课标全国Ⅰ文）已知椭圆 C ：
2 2
2 14
x y
a
的一个焦点为 (2 0)， ，则C 的离心率为
A． 1
3 B． 1
2
C． 2
2 D． 2 2
3
3．（2017 新课标全国Ⅲ文）已知椭圆 C：
2 2
2 2 0)1(x y
a b a b 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2
为直径的圆与直线 2 0bx ay ab 相切，则 C 的离心率为
A． 6
3
B． 3
3
C． 2
3
D． 1
3
4．（2017新课标全国Ⅰ文）设A，B是椭圆C：
2 2
13
x y
m
长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，
则 m 的取值范围是
A． (0,1] [9, ) B． (0, 3] [9, )
C．(0,1] [4, ) D． (0, 3] [4, )
5．（2018 新课标全国Ⅱ文）已知 1F ， 2F 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 1 2PF PF ，且
2 1 60PF F ，则 C 的离心率为
A． 31 2
B． 2 3
C． 3 1
2
D． 3 1
6．（2018 浙江）已知点 P(0，1)，椭圆
2
4
x +y2=m(m>1)上两点 A，B 满足 AP
=2 PB ，则当 m=___________
时，点 B 横坐标的绝对值最大．
7．（2017 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左、右焦点分别为 1F ，
2F ，离心率为 1
2
，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 1F 作直线 1PF 的
垂线 1l ，过点 2F 作直线 2PF 的垂线 2l ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 1l ， 2l 的交点Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．
（注：椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的准线方程：
2ax c
）
变式拓展
1．【答案】C
2．【答案】D
【解析】由椭圆的定义得 4 16a ，
4a ，
又椭圆的离心率 3
4 2
c ce a
，即 2 3c ，
2 2 2 16 12 4b a c ，学科&网
椭圆的方程为
2 2
116 4
x y .故选 D．
3．【答案】 1 1,5 4
考点冲关
1．【答案】B
【解析】若方程
2 2
14
x y
m m
表示焦点在 y 轴上的椭圆，则
0
4 0
4
m
m
m m
，
解得 ．故选
2．【答案】A
【解析】椭圆 2 2 1x my 的标准方程为：
2
2 11
yx
m
，
椭圆 2 2 1x my 的焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，
1 2m
，解得 1
4m .
故选 A.
3．【答案】C
4．【答案】D
【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，即有 2a b ，
又抛物线 2 8y x 的焦点 2,0 与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点 2,0 ，
若焦点在 x 轴上，则 2a ， 1b ，椭圆方程为
2
2 14
x y ；学科.网
若焦点在 y 轴上，则 2b ， 4a ，椭圆方程为
2 2
116 4
y x .
∴椭圆C 的标准方程为
2
2 14
x y 或
2 2
14 16
x y ．故选
5．【答案】C
【解析】椭圆 x2+my2=1 的标准方程为
2
2 11
yx
m
.
又 1
2
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