（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理：
·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
理解以下性质定理，并能够证明：
·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
·垂直于同一个平面的两条直线平行.学%科网
（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
一、直线与平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
简记为：线线平行
⇒
线面平行
图形语言
符号语言 a
⊄
α，b
⊂
α，且 a∥b
⇒
a∥α
作用 证明直线与平面平行
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直
线平行.
简记为：线面平行
⇒
线线平行
图形语言
符号语言 , ,a a b a b ∥ ∥
作用
①作为证明线线平行的依据．
②作为画一条直线与已知直线平行的依据.
二、平面与平面平行的判定与性质
1．平面与平面平行的判定定理
文字语言
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
简记为：线面平行
⇒
面面平行
图形语言
符号语言 a
⊂
β，b
⊂
β， a b P ，a∥α，b∥α
⇒
α∥β
作用 证明两个平面平行
2．平面与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
简记为：面面平行
⇒
线线平行
图形语言
符号语言 , ,a b a b ∥ ∥
作用 证明线线平行
3．平行问题的转化关系
三、常用结论（熟记）
1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．
3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．
考向一 线面平行的判定与性质
线面平行问题的常见类型及解题策略：
(1)线面平行的基本问题
①判定定理与性质定理中易忽视的条件．
②结合题意构造图形作出判断．
③举反例否定结论或反证法证明．
(3)线面平行的探索性问题
①对命题条件的探索常采用以下三种方法：
a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；
b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．学科#网
②对命题结论的探索常采用以下方法：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，
如果得到了矛盾的结果就否定假设.
典例 1 已知 m，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：
①若 m∥α，n∥α，则 m∥n； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若 m∥α，m∥β，则α∥β； ④若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n.
其中正确的有________．（填序号）
【答案】④
1．如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列命题正确的是
A． B．
C． 平面 D． 平面
典例 2 如图，四棱锥 中， ， 1
2AB BC AD ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点，
与 交于 点， 是线段 上一点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
（2）如图，连接 ， ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .学科#网
又∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又∵ ，
∴平面 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ 平面 .学科&网
2．如图，在四棱锥 中， 平面 是 的
中点.
（1）求证: 平面 ;
（2）求三棱锥 的体积.
考向二 面面平行的判定与性质
判定面面平行的常见策略：
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).
典例 3 如图，直角梯形 与梯形 全等，其中 ， 1 12AD AB CD ，且 平面
，点 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的距离．
（2）设点 到平面 的距离为 ，
易知 ，
由 ，
得 21 1 1 1sin603 2 3 2AE d CG AD DE ，
即 2
3
sin60 3
CG AD DEd AE
，
∵平面 平面 ，
∴平面 与平面 间的距离为 3
3
．学.科网
3．如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心， 1AO ⊥底面 ABCD， 1AB AA
2 .
（1）证明：平面 1A BD ∥平面 1 1CD B ；
（2）求三棱柱 1 1 1ABD A B D 的体积．
1．已知直线 ,m n 和平面 ，满足 ,m n ，则“ m n∥ ”是“ m ∥ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．平面α与平面β平行的条件可以是
A．α内的一条直线与β平行 B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行 D．α内的两条相交直线分别与β平行
3．平面 与△ABC 的两边 AB，AC 分别交于点 D，E，且 AD︰DB=AE︰EC，如图，则 BC 与 的位置关
系是
A．异面 B．相交
C．平行或相交 D．平行
4．下列命题中，错误的是
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
5．如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和
AD 于点 G,H,则 HG 与 AB 的位置关系是
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
6．设 是空间中不同的直线， 是不同的平面，则下列说法正确的是
A． ，则 B． ，则
C． ,则 D． ，则
7．在长方体 中，若经过 的平面分别交 和 于点 ，则四边形 的形状是
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
8．如图,正方体 中, 分别为棱 的中点,则在平面 内且与平面 平行的直线
A．有无数条 B．有 2 条
C．有 1 条 D．不存在
9．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 3，点 E 在 1 1A B 上，且 1 1B E ，平面α∥平面 1BC E （平面α是图中
的阴影平面），若平面 平面 1 1 1AA B B A F ，则 AF 的长为
A．1 B．1.5
C．2 D．3
10．在正方体 中, 分别是棱 的中点, 是 与 的交点,平面 与平面 相
交于 ,平面 与平面 相交于 ,则直线 的夹角为
A． π
2 B． π
6
C． π
3 D． 0
11．如图，直三棱柱 中， 为边长为 2 的等边三角形， ，点 、 、 、 、 分别是边
、 、 、 、 的中点，动点 在四边形 的内部运动，并且始终有 平面 ，则动
点 的轨迹长度为
A． B． 2 3
C． 2π D．
12．已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外一点，点 D，E，F 分别是 SA，SB，SC 的中点，则平面 DEF 与
平面 ABC 的位置关系是________．
13．如图,在长方体 ABCD A B C D 中，E,F,G,H 分别为 CC',C'D',D'D,CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在
四边形 EFGH 内运动,则 M 满足 时,有 MN//平面 B'BDD'．
14．下列四个正方体图形中, 为正方体的两个顶点, 分别为其所在的棱的中点,能得出 AB∥平面
的图形的序号是 ．
15．如图,已知空间四边形 ABCD,E,F,G,H 分别是其四边上的点且共面,AC∥平面 EFGH,AC=m,BD=n,当 EFGH
是菱形时, AE
EB = .
16．如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M，D1 作正方体的截面，
则截面的面积是________.
17．如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱 1AA ⊥底面 ABC ， 90ACB ，E 是棱 1CC 的中点，F 是 AB
的中点， 11 2AC BC AA , .
（1）求证：CF∥平面 1AB E ；
（2）求三棱锥 1C AB E 的高．
18．如图,四边形 ABCD 与 ADEF 均为平行四边形， , ,M N G 分别是 , ,AB AD EF 的中点.
(1)求证: BE∥平面 DMF ;
(2)求证:平面 BDE∥平面 MNG .
19．如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点.
(1)当 1 1
1 1
A D
D C 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1?
(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 AD
DC
的值.
20．如图,四边形 中, = = = 分别在 上, ,现将四边形 沿
折起,使 .
(1)若 ,在折叠后的线段 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求出 的值;若不存在,说
明理由;
(2)求三棱锥 的体积的最大值,并求出此时点 到平面 的距离.
1．（2017 新课标全国Ⅰ文科）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是
A． B．
C． D．
2．（2016 浙江文科）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
3．（2018 江苏节选）在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1 1 1,AA AB AB B C ．
求证： 1 1AB A B C平面∥ ．
4．（2018 新课标全国Ⅲ文科）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直， M 是 CD 上异于
C ， D 的点．
（1）证明：平面 AMD ⊥平面 BMC ；
（2）在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC∥平面 PBD ？说明理由．
5．（2017 新课标全国Ⅱ文科）如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD , 1 ,2AB BC AD BAD 90 .ABC
（1）证明：直线 BC∥平面 PAD ;
（2）若△ PCD 的面积为 2 7 ，求四棱锥 P ABCD 的体积.
6 ． （ 2016 新 课 标 全 国 Ⅲ 文 科 ） 如 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 平 面 ABCD ， AD BC∥ ，
3AB AD AC ， 4PA BC ， M 为线段 AD 上一点， 2AM MD ， N 为 PC 的中点．
（1）证明 MN∥平面 PAB ；
（2）求四面体 N BCM 的体积.
7．（2016 四川文科）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= 1
2
AD.
（1）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由；
（2）证明：平面 PAB⊥平面 PBD.
变式拓展
1．【答案】C
2．【解析】（1）取 PB 中点 M,连接 AM,MN.
∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN∥BC,且 MN= BC.
依题意得， 1
2AD BC∥ ，则有 AD MN∥ ,
∴四边形 AMND 是平行四边形,∴ND∥AM,
∵ND
⊄
平面 PAB,AM
⊂
平面 PAB,
∴ND∥平面 PAB.
3．【解析】（1）由题设知，BB1 ∥DD1，
∴四边形 1 1BB D D 是平行四边形，
∴ 1 1BD B D∥ .
又 BD
⊄
平面 1 1CD B ， 1 1B D
⊂
平面 1 1CD B ，
∴BD∥平面 1 1CD B .
∵ 1 1A D ∥
1 1B C ∥BC，
∴四边形 1 1A BCD 是平行四边形，
∴ 1 1A B D C∥ .
又 1A B
⊄
平面 1 1CD B ， 1D C
⊂
平面 1 1CD B ，
∴ 1A B ∥平面 1 1CD B .
又∵ 1BD A B B ，
∴平面 1A BD ∥平面 1 1CD B .
（2）∵ 1AO ⊥平面 ABCD，
∴ 1AO 是三棱柱 1 1 1ABD A B D 的高．
又∵ 1
1 1 22AO AC AA , ，
∴ 2 2
1 1 1AO AA OA .
又∵ 1 2 2 12ABDS △ ，
∴
1 1 1 1 1ABD A B D ABDV S AO △ .学&科网
【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求
解，注意求体积的一些特殊方法——割补法、等体积法．
①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
②等体积法：应用等体积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到，利用等体积法可以用来求解
几何体的高，特别是在求三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三棱锥的高，而通过直接计
算得到高的数值．
考点冲关
1．【答案】A
【解析】若 ,m n ，m n∥ ，由线面平行的判定定理可得 m ∥ ，若 ,m n ，m ∥ ，则
m 与 n 可以是异面直线，所以“ m n∥ ”是“ m ∥ ”的充分而不必要条件，故选 A.
2．【答案】D
3．【答案】D
【解析】在 ABC△ 中，因为 AD AE
DB EC
，所以 DE BC∥ ，又 BC 平面 ，DE 平面 ，所以 BC∥
平面 ，选 D．
4．【答案】C
【解析】如果两个平面平行，则位于这两个平面内的直线可能平行，可能异面．
5．【答案】A
【解析】∵E,F 分别是 AA1,BB1 的中点,∴EF//AB．
又 AB
⊄
平面 EFGH,EF
⊂
平面 EFGH,∴AB//平面 EFGH.
又 AB
⊂
平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 EFGH=GH,∴AB//GH.
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】长方体 中，平面 与平面 平行，又经过 的平面分别交 和
于点 ，根据面面平行的性质定理，得 ，
同理可证 ，所以四边形 为平行四边形，故选 C．
8．【答案】A
【解析】如图所示,延长 D1F 交直线 DC 于点 P,连接 PE 并延长,交 DA 的延长线于点 R,连接 RD1,交 AA1
于 Q,则 QD1 是平面 与平面 的交线,在平面 内,与直线 QD1 平行的直线有无数条,由直线
与平面平行的判定定理可知,这无数条直线与平面 都平行,故答案为 A．学&科网
9．【答案】A
【解析】因为平面α∥平面 1BC E ，平面 平面 1 1 1AA B B A F ，平面 1BC E 平面 1 1AA B B BE ，
所以 1 ∥A F BE .又 1 ∥A E BF ，所以四边形 1A EBF 是平行四边形，所以 1 2A E BF ，所以 1AF .
10．【答案】D
【解析】如图所示，∵E，F 分别是棱 的中点,∴EF∥AC，则平面 即平面 EFCA 与平面
相交于 ,即直线 m；由 CF∥OE，可得 CF∥平面 OD1E，故平面 与平面 相交于 n 时，必有
n∥CF，即 m//n,则直线 的夹角为 0.
11．【答案】A
【解析】因为 AC,所以 平面 .取 中点 N,因为 ,所以 平面 ，从而平
面 平面 ,即动点 的轨迹为线段 HF,因此长度为 4，选 A．
12．【答案】平行
13．【答案】M 在线段 FH 上移动
【解析】当 M 在线段 FH 上移动时,有 MH//DD'.而 HN//BD,∴平面 MNH//平面 B'BDD'.
又 MN
⊂
平面 MNH,∴MN//平面 B'BDD'.
14．【答案】①④
【解析】对于①,该正方体的对角面∥平面 得出 AB∥平面 ;
对于②,直线 与平面 不平行;
对于③,直线 与平面 不平行;
对于④,直线 与平面 内的直线 平行.
15．【答案】 m
n
16．【答案】 9
2
【解析】在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，因为平面 1MCD 平面 1 1 1DCC D CD ，所以平面 1MCD
平面 1 1ABB A MN ，且 1∥MN CD ，所以 N 为 AB 的中点（如图），所以该截面为等腰梯形 1MNCD .
因为正方体的棱长为 2，所以 MN= 2 ，CD1= 2 2 ，MD1= 5 ，
所以等腰梯形 MNCD1 的高 MH=
2
2 2 35 22 2
，
所以截面面积为 1 3 2 92 2 22 2 2
.学科@网
（2）∵三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱 1AA ⊥底面 ABC， 1 1AA BB∥ ，
∴ 1BB ⊥平面 ABC．
∵AC
⊂
平面 ABC，
∴ 1AC BB ，
∵ 90ACB ，
∴ AC BC ，
∵ 1 1BB BC B BB , 平面 1EB C BC , 平面 1EB C ，
∴AC⊥平面 1EB C ，
∵ 1CB 平面 1EB C ，
∴ 1AC CB ，
∴
1 1
1 1 1 1( 1 1) 13 3 2 6A EB C EB CV S AC △ .
∵ 1 12 6AE EB AB , ，
∴
1
3
2AB ES △ .
∵
1 1C AB E A EB CV V ，
∴三棱锥 1C AB E 的高为 1
1
3 3
3
C AB E
AB E
V
S
△
.学科.网
18．【解析】(1)连接 AE ,则 AE 必过 DF 与GN 的交点O ,
连接 MO ,则 MO 为 ABE△ 的中位线,
所以 BE MO∥ ,
又 BE 平面 ,DMF MO 平面 DMF ，
所以 BE∥平面 DMF .
【名师点睛】在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不
是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定
定理.
（1）应用判定定理证明线面平行的步骤：
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、中位线的性质；利用平行四边形的性质；
利用平行线分线段成比例定理．
（2）利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤:
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．
19．【解析】(1)如图所示,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时 1 1
1 1
A D
D C =1.
连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD1.
(2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面A1BC1∩平面 BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面 AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,
∴ 1 1 1
1 1
A D AO
D C OB
.
又平面 AB1D1∩平面 ACC1A1=AD1,平面 BDC1∩平面 ACC1A1=DC1,
∴AD1∥DC1,
∴AD=D1C1,DC=A1D1,
∴ 1 1
1 1 1
D CAD OB
CD A D AO
=1.
(2)设 BE x ,
∴ AF = (0 4),x x FD = 6 x ,
故 A CDFV = 1 1 2 63 2 x x = 21 63 x x ,
∴当 3x 时, A CDFV 有最大值,且最大值为 3,
此时 1,EC AF =3, 3, 2 2FD DC ,
在 ACD△ 中,由余弦定理得 cos ADC =
2 2 2
2
AD DC AC
AD DC
=
18 8 14
2 3 2 2 2
= 1
2 ,
∴sin ADC = 3
2
,
ADCS△ = 1 sin2 DC DA ADC =3 3 ,
设点 F 到平面 ADC 的距离为 h ,
由于 A CDF F ACDV V ,即3 = 1
3 ADCh S △ ,
∴ h = 3 ,学科&网
即点 F 到平面 ADC 的距离为 3 .
直通高考
1．【答案】A
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方
法有：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直
线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证
明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．
2．【答案】C
【解析】由题意知 ,l l ， ,n n l .故选 C.
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地
看出空间点、线、面的位置关系．
3．【解析】在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1．
因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C，
所以 AB∥平面 A1B1C．
4．【解析】（1）由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD．
因为 BC⊥CD，BC 平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM．
因为 M 为 CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM．
又 BC∩CM=C，所以 DM⊥平面 BMC．
而 DM 平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC．
（2）当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD．
证明如下：连结 AC 交 BD 于 O．因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．
连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC∥OP．
MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD．
（2）取 AD 的中点 M，连接 PM，CM，
由 1
2AB BC AD 及 BC∥AD，∠ABC=90°得四边形 ABCM 为正方形，则 CM⊥AD.
因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，
所以 PM⊥AD，PM⊥底面 ABCD，
因为CM ABCD 底面 ，
所以 PM⊥CM.学科.网
设 BC=x，则 CM=x，CD= ，PM= ，PC=PD=2x.
取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN⊥CD，所以 .
因为△PCD 的面积为 ，
所以 ，解得 x=−2（舍去），x=2，
于是 AB=BC=2，AD=4，PM= ，
所以四棱锥 P−ABCD 的体积 .
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
（2）因为 PA 平面 ABCD， N 为 PC 的中点，
所以 N 到平面 ABCD的距离为 PA2
1 .
取 BC 的中点 E ，连接 AE .
由 3 ACAB 得 BCAE ， 522 BEABAE .
由 BCAM ∥ 得 M 到 BC 的距离为 5 ，
故 1 4 5 2 52BCMS △ .
所以四面体 BCMN 的体积 1 4 5
3 2 3N BCM BCM
PAV S △ .
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角
形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；
（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键是找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采
取割补法、体积转换法求解．
7．【解析】（1）取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点.
理由如下：
(说明：取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)
（2）由已知，PA⊥AB, PA⊥CD,
因为 AD∥BC,BC= 1
2
AD，
所以直线 AB 与 CD 相交，
所以 PA⊥平面 ABCD.从而 PA⊥BD.
因为 AD∥BC,BC= 1
2
AD，
所以 BC∥MD,且 BC=MD.
所以四边形 BCDM 是平行四边形.
所以 BM=CD= 1
2
AD，
所以 BD⊥AB.
又 AB∩AP=A,
所以 BD⊥平面 PAB.
又 BD 平面 PBD,
所以平面 PAB⊥平面 PBD.学科&网
【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.
证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过平面外的直
线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否
则会被扣分.证明面面垂直时，先证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪些线
面垂直，确定要证哪些线线垂直，切忌不加思考，随便写．
微信/支付宝扫码支付