（1）了解圆锥曲线的简单应用.
（2）理解数形结合的思想.
一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 1 2,C C ，已知它们的方程为 1 2: ( , ) 0, : ( , ) 0C f x y C g x y ，
求曲线 1 2,C C 的交点坐标，即求方程组 ( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线 : 0l Ax By C ，圆锥曲线 : ( , ) 0C f x y ，把二者方程联立得到方程组，消去 ( )y x 得到一
个关于 ( )x y 的方程 2 20( 0)ax bx c ay by c .
（1）当 0a 时，
0 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
0 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
0 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当 a=0 时，方程为一次方程，若 b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若 b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离.
（2）直线与双曲线有两个交点 相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直
线与双曲线的渐近线平行.学科&网
直线与双曲线没有交点 相离.
（3）直线与抛物线有两个交点 相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直
线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点 相离.
二、圆锥曲线中弦的相关问题
1．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两个不同的点，
则弦长 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 22
1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y kk
.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2．中点弦问题
（1）AB 为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的弦， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直线
的斜率为
2
0
2
0
b xk a y
，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值
2
2
b
a
.
（2）AB 为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的弦， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在
直线的斜率为
2
0
2
0
b xk a y
，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和双曲线中心 O 的连线的斜率之积为定值
2
2
b
a
.
（3）在抛物线 2 2 ( 0)y px p 中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率
0
pk y
.
考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次
方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项
系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程；若不为 0,则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解.
典例 1 已知椭圆 ，直线 :y＝x＋m．
(1)若 与椭圆有一个公共点，求 的值；
(2)若 与椭圆相交于 P,Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值．
【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得
2 24 4x y
y x m
，即 ，
由于直线 与椭圆有一个公共点，则
所以 .
典例 2 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 (1,0)F ，抛物线 2: 2 ( 0)E x py p 的焦点为 M ．
（1）若过点 M 的直线l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的方程；
（2）若直线 MF 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，求 OAB△ 的面积．
【解析】（1）由题意知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 (1,0)F ，抛物线 2: 2 ( 0)E x py p 的焦点为 M ，
所以 2p ， (0,1)M ，学.科网
则抛物线 C 的方程为 2 4y x ，抛物线 E 的方程为 2 4x y .
若直线l 的斜率不存在，则易知直线 l 的方程为 0x ；
若直线l 的斜率存在，设为 k ，则直线l 的方程为 1y kx ，
联立 2 4y x ，可得 2 2 (2 4) 1 0k x k x ，
当 0k 时， 1
4x ，满足题意，此时直线l 的方程为 1y ；
当 0k 时， 2 2(2 4) 4 0k k ，解得 1k ，
此时直线l 的方程为 1y x .
综上，直线l 的方程为 0x ，或 1y ，或 1y x .
1．已知直线 y kx 与双曲线 2 24 16x y ．当 k 为何值时，直线与双曲线：
（1）有两个公共点；
（2）有一个公共点；
（3）没有公共点．
考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题
直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系
数的关系.
典例 3 已知抛物线 ： （ ），焦点为 ，直线 交抛物线 于 ， 两点， 为
的中点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 ，求 0x
AB
的最小值．
（2）设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程，得 ，
∵ ，即
2 2
1 1
1 2 14
y y y y ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ， ，
，
2 2
2 21 2 1 1
0 1 2 1 2
1 2 12 4 4
x x y yx y y y y m ，
∴
2
0
2 2
1
2 1 2
x m
AB m m
，
令 ， ，
则 0 1 2
42 1 12 1
x t
AB t t
t
，
当且仅当 1t 时等号成立．
故 0x
AB
的最小值为 2
4
.学科%网
典例 4 已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ， 的距离
之和为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，若点 满足 ，
求 的值．
（2）由 2 2
112 4
y x m
x y
得 ①.
∵直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，∴ ，得 ，
设 的中点为 ，则 ， ，
当 时， ，
此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ，
令 ，得 ．学科%网
当 时， ，
此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ．
令 ，得 ．
综上所述， 的值为 或 ．
2．直线 1y ax 与双曲线 2 23 1x y 相交于 A，B 两点．
（1）当 2a 时，求线段 AB 的长；
（2）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 a 的值．
考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等
问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参
数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用
特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.
典例 5 如图，已知点 E(m,0)(m＞0)为抛物线 y2＝4x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交抛
物线于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是 AB，CD 的中点．
（1）若 m＝1，k1k2＝－1，求△EMN 面积的最小值；
（2）若 k1＋k2＝1，求证：直线 MN 过定点．
【解析】（1）当 时， 为抛物线 的焦点，
∵ ，∴ .
设直线 的方程为 ， ，
由 得 ， ， .
则 2
1 1
2 21 ,M k k
，同理， ，
∴ 2 2
1 12 2
1 1
1 1 2 11 1 22 2EMNS EM EN k kk k
△ ，
化简得
2
1
1
11 2 2 2 42EMN
kS EM EN k
△ ，
当且仅当 时等号成立.
故 的面积取得最小值，为 4.
典例 6 已知椭圆 E:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2 为椭圆的焦点,且 1 2△MF F 是
边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+2 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B.
（1）直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求△ABM 的面积的最大值.
【解析】（1）因为 1 2△MF F 是边长为 2 的等边三角形,所以 2c=2,b= c,a=2,
所以 a=2,b= ,学科*网
所以椭圆 E: + =1,点 M(0, ).
将直线 l:y=kx+2 代入椭圆 E 的方程,整理得(3+4k2)x2+16 kx+36=0. (*)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(16 k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,
所以 k∈(-∞,- )∪( ,+∞),x1+x2= 2
16 3
3 4
k
k
,x1x2= 2
36
3 4k .
则直线 MA,MB 的斜率之积为 kMA·kMB= 1 21 2
1 2 1 2
3 33 3 kx kxy y
x x x x
1 22
1 2
3 3k x xk x x
2 2
2 2
2
16 33 33 4 9 36 1
36 36 4
3 4
kk k kk k
k
,
所以直线 MA,MB 的斜率之积是定值 1
4 .
3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 5
2e ，虚轴长为 2 .
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若直线 :l y kx m 与双曲线C 相交于 ,A B 两点（ ,A B 均异于左、右顶点），且以 AB 为直径的
圆过双曲线C 的左顶点 D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标.
4．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的离心率为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合，左顶点为 ，
过 的直线交椭圆于 两点，直线 与直线 交于 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）试计算 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
1．直线 = 与椭圆 = 的位置关系为
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．已知直线 与双曲线 的右支有两个交点，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
3．设 为抛物线 ： 的焦点，过 作倾斜角为 30°的直线交 于 、 两点，则
A． B．16
C．32 D．
4．若平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率
A． B．
C． D．
5．过双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右顶点 A 作倾斜角为 135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的
交点分别为 B,C,若 2
2AB BC
,则双曲线的渐近线方程为
A．( +1)x+y=0 B．( +1)y-x=0
C．( +1)x±y=0 D．( +1)y±x=0
6．已知 O 是坐标原点，F 是椭圆 + =1 的一个焦点，过 F 且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 M,N 两点，则
cos∠MON 的值为
A． 5
13 B． 5
13
C． 2 13
13
D． 2 13
13
7．直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最小
值是
A．10 B．9
C．8 D．7
8．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的右焦点为 (3,0)F ，过点 F 的直线交椭圆于 ,A B 两点．若 AB 的
中点坐标为 (1, 1) ，则 E 的方程为
A．
2 2
118 9
x y B．
2 2
136 27
x y
C．
2 2
127 18
x y D．
2 2
145 36
x y
9．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离
心率为
A． B．
C． D．
10．过抛物线 上的焦点 ，作直线 与抛物线交于 ， 两点，已知 ，则
A．2 B．3
C． D．
11．若椭圆 与直线 有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是
A． 10, 2
B． 10, 2
C． 1 ,12
D． 1 ,12
12．如图,过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且
|AF|=3,则此抛物线的方程为
A． 2 9y x B． 2 6y x
C． 2 3y x D．y2= x
13．已知椭圆 C: + =1,过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,若 =2 ,则直线 l 的斜率为
A． 1
14
B． 1
14
C． 14
14
D． 14
14
14．若直线 y=kx-1 与抛物线 y2=4x 有且只有一个公共点,则 k 的值为_________.
15．如图，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C：
2 2
18 4
y x 的下焦点，交椭圆 C 于 A，B 两点，则弦 AB 的长
等于__________．
16．如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为___________.
17．直线 与椭圆 分别交于点 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 ，则 的值为__________．
18．过抛物线 C:y2=x 上一点 A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于 P,Q(异于点 A)两点,则直线 PQ
恒过定点_________.
19．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率 6
3e ，焦距是 2 2 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 2( 0)y kx k 与椭圆交于C 、 D 两点， 6 2
5CD ，求 k 的值．
20．已知抛物线 上的点 P 到点 的距离与到直线 的距离之差为 ，过点 的直线
交抛物线于 两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若 的面积为 ，求直线 的方程.
21．设 A 、B 分别为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右项点，双曲线的实轴长为 4 3 ，焦点到渐近
线的距离为 3 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 3 23y x 与双曲线的右支交于 M 、 N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D 使
OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标．
22．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p 上的点 (3, )T t 到焦点 F 的距离为 4 ．
（1）求t ， p 的值；
（2）设 A ，B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 5OA OB ，其中O 为坐标原点．求证：
直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标．
23．已知点 (1, 2)D 在双曲线 :C
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）上，且双曲线的一条渐近线的方程是
3 0x y ．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；
（3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于 A B、 两个不同的点，若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，
求实数 k 的值．
24．已知椭圆 以 ， 为焦点，且离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、 ，求 的取值范围；
（3）设椭圆 与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在直线 ，满足（2）中的条件且使
得向量 与 垂直？如果存在，写出 的方程；如果不存在，请说明理由.
25．已知抛物线 2
1 : 2 ( 0)C y px p 的焦点 F 以及椭圆
2 2
2 2 2: 1( 0)y xC a ba b
的上、下焦点及左、右
顶点均在圆 2 2: 1O x y 上．
（1）求抛物线 1C 和椭圆 2C 的标准方程；
（2）过点 F 的直线交抛物线 1C 于 ,A B 不同的两点，交 y 轴于点 N ，已知 1NA AF ， 2NB BF ，
求证： 1 2 为定值．
26 ． 已 知 椭 圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的 离 心 率 与 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 互 为 倒 数 关 系 ， 直 线
: 2 0l x y 与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点，设两直线的斜率分别
为 k1、k2，且 1 2 4k k ，证明：直线 AB 过定点 1( , 1)2
．
1．（2017 新课标全国 II 文科）过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交C 于点 M （ M 在 x
的轴上方），l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为
A． 5 B． 2 2
C． 2 3 D．3 3
2．（2018 北京文科）已知直线l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴，若l 被抛物线 2 4y ax 截得的线段长为 4 ，则抛
物线的焦点坐标为________________．
3．（2018 新课标全国Ⅰ文科）设抛物线 2 2C y x： ，点 2 0A ， ， 2 0B ， ，过点 A 的直线l 与 C 交于 M ，
N 两点．
（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；
（2）证明： ABM ABN∠ ∠ ．
4．（2018 新课标全国Ⅱ文科）设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)k k 的直线l 与 C 交于 A ，
B 两点，| | 8AB ．
（1）求 l 的方程；
（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
5．（2018 新课标全国Ⅲ文科）已知斜率为 k 的直线l 与椭圆
2 2
14 3
x yC ： 交于 A ， B 两点．线段 AB 的
中点为 (1, )( 0)M m m ．
（1）证明： 1
2k ；
（2）设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP FA FB 0
．证明： 2 | | | | | |FP FA FB ．
6．（2018 北京文科）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
的离心率为 6
3
，焦距为 2 2 ．斜率为 k 的直线
l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ， B ．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）若 1k ，求| |AB 的最大值；
（3）设 ( 2,0)P ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D ．若 C ，
D 和点 7 1( , )4 4Q 共线，求 k ．
7．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 过点 1( 3, )2
，焦点 1 2( 3,0), ( 3,0)F F ，圆
O 的直径为 1 2F F ．
（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 ,A B 两点．若 OAB△ 的面积为 2 6
7
，求直线 l 的方程．
8．（2018 天津文科）设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右顶点为 A，上顶点为 B．已知椭圆的离心率为 5
3
，
| | 13AB ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 : ( 0)l y kx k 与椭圆交于 ,P Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限．若
BPM△ 的面积是 BPQ△ 面积的 2 倍，求 k 的值．
9．（2017 新课标全国Ⅰ文科）设 A，B 为曲线 C：y=
2
4
x 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4．
（1）求直线 AB 的斜率；
（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程．
变式拓展
1．【解析】由 2 24 16x y
y kx
消去 y 得 2 2(4 ) 16 0k x ①，
当 24 0k ，即 2k 时，方程①无解；学科%网
当 24 0k 时， 2 20 4(4 )( 16) 64(4 )k k ，
当 0 ，即 2 2k 时，方程①有两解；
当 0 ，即 2k 或 2k 时，方程①无解；
当 0 ，且 24 0k 时，这样的 k 值不存在．
综上所述，（1）当 2 2k 时，直线与双曲线有两个公共点；
（2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的 k 值；
（3）当 2k 或 2k 时，直线与双曲线没有公共点．
3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
，
由已知得 5 ,2 2,2
c ba
又 2 2 2a b c ，解得 2, 1a b ，
所以双曲线的标准方程为
2
2 14
x y .
4．【解析】（1）由题意知 ，右焦点 ，即 ，且 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知 ，
当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为 ，
易知 ，所以直线 .
令 ，可知： ,
此时 . 学%科网
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
设 ，直线 直线
令 ，可知 ，
联立
2 2
1
3 4 12
y k x
x y
，消去 整理得 ，
∴
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,3 4 3 4
k kx x x xk k
.
此时
2
1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
13636 36 362 2 2 4
k x x x xy yPM PN x x x x x x
2
2( 936 36 27)36k k
.
综上所述， 为定值，且 27PM PN
.
考点冲关
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】∵双曲线的渐近线方程为 y x ，∴当﹣1＜k≤1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点；
当 k≤﹣1 时，直线与双曲线的右支没有交点.
把 1y kx 代入 得 2 2(1 ) 2 5 0k x kx ，
令 2 24 20(1 ) 0k k ，解得 k= 或 k=﹣ （舍去）．
∴直线 与双曲线 的右支有两个交点时，1＜k＜ ．故选 D．
3．【答案】C
4．【答案】B
【解析】设直线 的方程为 ， ， ，
利用椭圆与平行四边形的对称性可得： .
联立 2 2
14 2
y x t
x y
，消去 y，得 ，
由 ，即 2 2(4 ) 4 3 (2 4) 0t t ，
解得 （ 时不能构成平行四边形），
且 ，
则直线 的斜率 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 11 1 4 2
3
y y x x t t tk tx x x x x x
.故选 B.
5．【答案】C
【解析】由题意知直线过点 A(a,0),且斜率 k=tan 135°=-1,
则直线的方程为 x+y-a=0.
将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得 B( , ),C( ,- ),
则有
2 2
2 2 2 2
2 2( , )a b a bBC a b a b
, ( , )ab abAB a b a b
.
因为 ,所以
2
2 2
2ab a b
a b a b
,
化简得 +1,则双曲线的渐近线方程为( +1)x±y=0.故选 C.
6．【答案】B
【解析】由题意,a2=4,b2=3,故 c= = =1.
不妨设 M(1,y0),N(1,-y0),所以 + =1,解得 y0=± 3
2 ,
所以|MN|=3,|OM|=|ON|= 2 231 ( )2
= .学.科网
由余弦定理知
2 2 22 2 2 13 13( ) ( ) 3 52 2cos 2 1313 132 2 2
OM ON MNMON OM ON
,故选 B.
7．【答案】B
8．【答案】A
【解析】由题意设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，所以
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
，整理得 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0x x y y y y
a x x b
；
因为 AB 的中点坐标为 1, 1 ，所以 1 2 1 22, 2x x y y ；
因为 1 2
1 2
1 0 1
1 3 2AB
y yk x x
，所以 2 2
2 1 2 02a b
，所以 2 22a b ；
因为 2 23c a b ，所以 2 218, 9a b ．
所以 E 的方程为
2 2
118 9
x y ．故选 A．
9．【答案】B
【解析】双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线不妨设为： ，
则 2
2
0
14
bx ay
x y
，可得
2 2
2 2
±2
4
±2
4
ax
a b
by
a b
.
一 条 渐 近 线 截 椭 圆 所 得 弦 长 为 ， 可 得
2 2
2 2
4 4 4
4 3
a b
a b
， 即 ， 解 得
．故选 B．学科/网
10．【答案】B
11．【答案】B
【解析】联立方程得 ，消去 y 化简得 ，
由题意得
.
故该椭圆离心率的取值范围是 ，故选 B．
12．【答案】C
【解析】过点 B 作准线的垂线,垂足为 B1,记准线与 x 轴的交点为 F1,则依题意得 1
1
2
3
BB BC
FF CF
,所以
|BB1|= |FF1|= 2
3
p ,由抛物线的定义得|BF|=|BB1|= 2
3
p .令 A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知 F( ,0),可设直线 l 的
方程为 y=k(x- 2
p ).联立方程
2 2
2
y px
py k x
,消去 y 得 k2x2-p(k2+2)x+ =0,则 x1+x2= ,x1·x2= .
又由抛物线的定义知|AF|=x1+ 2
p ,|BF|=x2+ 2
p ,则可得 + = ,于是有 + = ,解得2p=3,所以此抛物线
的方程是 2 3y x ,选 C.
13．【答案】C
14．【答案】-1 或 0
【解析】当 k=0 时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;
当 k≠0 时,将直线方程与抛物线方程联立得 2
1
4
y kx
y x
,得 y2- y- =0,因而Δ= + =0,即 k=-1.
从而 k=-1 或 0.
15．【答案】 8 2
3
16．【答案】
【解析】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
代入抛物线方程 ，整理得 ，
∵渐近线与抛物线相切， ，即 .
故答案为 .学!科网
17．【答案】
【解析】设 ，中点 ，则 ，
把点 代入椭圆的方程 ，整理得 ，
两式相减得 2 2
2 21 2
1 2 02
x x y y ，整理得
2 2
1 2 1 21 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1
2
y y y yy y
x x x x x x
，
即 .
18．【答案】(2,-1)
【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为 0,设 AP:y-1=k(x-1),与抛物线 C:y2=x 联立,消去 x,
得 ky2-y+1-k=0,由根与系数的关系可得, 1
P
ky k
,即 P(( )2, ),同理可得Q((k+1)2,-k-1),所以直线
PQ 的斜率 kPQ= 21 2
k
k k ,所以直线 PQ:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通过对比可知,x=2,y=-1 满足条件,即直线 PQ
恒过定点(2,-1).
（2）设 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y ，
将 2y kx 代入
2
2 13
x y ，整理得 2 2(1 3 ) 12 9 0k x kx ，
所以 2 2(12 ) 36(1 3 ) 0k k ①， 1 2 2
12
1 3
kx x k
， 1 2 2
9
1 3x x k
，
又 2 2
1 2 1 2( ) ( )CD x x y y ， 1 2 1 2( )y y k x x ，
所以 2 2
1 2
6 2 1 ( )5 k x x ，
又
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
12 36( ) ( ) 4 (1 3 ) 1 3
kx x x x x x k k
，
代入上式，整理得 4 27 12 27 0k k ，即 2 2(7 9)( 3) 0k k ，
解得 2 9
7k （舍去）或 2 3k ，即 3k ，
经验证， 3k 能使①成立，
故 3k ．
20．【解析】（1）设 ，
由定义知 ， ， ，
故抛物线的方程为 .
21．【解析】（1）由实轴长为 4 3 ，得 2 3a ，渐近线方程为
2 3
by x ，即 2 3 0bx y ，
因为焦点到渐近线的距离为 3 ，所以
2
3
12
bc
b
，
又 2 2 2 2, 3c b a b ，
所以双曲线的方程为
2 2
112 3
x y ．
（2）设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )M x y N x y D x y ，
则 1 2 0 1 2 0,x x tx y y ty ，
由 2
1 22 2
3 23 16 3 84 0 16 3
112 3
y x
x x x x
x y
，
所以 1 2 1 2
3 ( ) 4 123y y x x ，所以 0
0
4 3
3
x
y
，
又
2 2
0 0 112 3
x y ，所以 0
0
4 3
3
x
y
，学科@网
所以 4t ，所以 (4 3,3)D ．
22．【解析】（1）由抛物线的定义得， 3 42
p ，解得 2p ，
所以抛物线的方程为 2 4y x ，
代入点 (3, )T t ，可解得 2 3t ．
23．【解析】（1）由题意知，
2 2
1 2 1
3
a b
b
a
，解得
2
2
1
3
1
a
b
．
因此，所求双曲线C 的方程是
2 2
11 1
3
x y ，即 2 23 1x y ．
（2）∵直线l 过点 (0,1) 且斜率为 k ，∴直线l 的方程为 1y kx ．
由
2 23 1
1
x y
y kx
得 2 2(3 ) 2 2 0k x kx ．
∵直线l 与双曲线 C 有两个不同的交点，∴
2
2 2
3 0
( 2 ) 4(3 )( 2) 0
k
k k
，
解得 ( 6, 3) ( 3, 3) ( 3, 6)k ．
（3）设直线l 与双曲线C 的交点为 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ，由（2）可得
1 2 2
1 2 2
2
3
2
3
kx x k
x x k
，
又以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，因此， (OA OB O 为坐标原点），
于是， 0OA OB ，即 1 2 1 2 0x x y y ，
即 2
1 2 1 2(1 ) ( ) 1 0k x x k x x ，即
2 2
2 2
2(1 ) 2 1 03 3
k k
k k
，
解得 1k ．学#科网
又 1k 满足 23 0k ，且 0 ，
所以，所求实数 k 的值为 1 ．
（2）过点 ，斜率为 的直线 ： ，即 ： .
与椭圆 的方程联立，消去 得 ①，
由 与椭圆 有两个不同的交点，知 ，解得 2
2k 或 2
2k .
∴ k 的取值范围是 2 2, ,2 2
.
（3）设 1 1,P x y 、 2 2,Q x y ，可知 1x 、 2x 是①的两根，
则 1 2 2
4 2
2 1
kx x k
，
从而 1 2 1 2 2
2 22 2 2 1y y k x x k
，
则 1 2 1 2 2 2
4 2 2 2, ,2 1 2 1
kOP OQ x x y y k k
，
由题设知 2,0A 、 0,1B ，∴ 2,1AB
.
若 OP OQ AB ，则 2 2
8 2 2 02 1 2 1
kOP OQ AB k k
，
得 2 2 2, ,4 2 2k
.
∴不存在满足题设条件的 .
（2）设直线 AB 的方程为 ( 1)( 0)y k x k ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 (0, )N k ．
由
2 4
( 1)
y x
y k x
消去 y ，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k ，
则 216 16 0k ，
2
1 2 1 22
2 4 , 1kx x x xk
.
由 1NA AF ， 2NB BF ，得 1 1 1(1 )x x ， 2 2 2(1 )x x ，
整理得 1 2
1 2
1 2
,1 1
x x
x x
，
故 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 11 1 1 ( )
x x x x x x
x x x x x x
.
故 1 2 为定值 1 .
（2）由（1）可知 (0,1)M ．
①若直线 AB 的斜率不存在，设方程为 0x x ，则 0 0 0 0( , ), ( , )A x y B x y ．
由已知得 0 0
0 0
1 1 4y y
x x
，解得 0
1
2x ，学科&网
此时直线 AB 的方程为 1
2x ，显然过点 1( , 1)2
．
②若直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y kx m ，易知 1m ．
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 22 2
y kx m
x y
得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m ，
则 1 2 2
4
1 2
kmx x k
，
2
1 2 2
2 2
1 2
mx x k
.（1）
∵ 1 2 4k k ，∴ 1 2
1 2
1 1 4y y
x x
，
即 1 2
1 2
1 1 4kx m kx m
x x
，即 1 2
1 2
2 ( 1) 4x xk m x x
.
把（1）代入得 21
kmk m
，则 2( 1)k m ，故 12
km .
则直线 AB 的方程为 12
ky kx ，即 1( ) 12y k x ，
故直线 AB 过定点 1( , 1)2
．
直通高考
1．【答案】C
【解析】由题知 : 3( 1)MF y x ，与抛物线 2 4y x 联立得 23 10 3 0x x ，解得 1 2
1 , 33x x ，
所以 (3,2 3)M ，因为 MN l ，所以 ( 1,2 3)N ，因为 (1,0)F ，所以 : 3( 1)NF y x ．
所以 M 到直线 NF 的距离为
2 2
| 3 (3 1) 2 3 | 2 3
( 3) 1
．故选 C．
2．【答案】 (1,0)
【解析】由题意可得，点 (1,2)P 在抛物线上，将 (1,2)P 代入 2 4y ax 中，解得 1a ，所以 2 4y x ，
由抛物线方程可得 2 4p ， 2p ， 12
p ，所以焦点坐标为 (1,0) ．
3．【解析】（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线 BM 的方程为 y= 1 12 x 或 1 12y x ．
4．【解析】（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x–1）（k>0）．
设 A（x1，y1），B（x2，y2）．
由 2
( 1)
4
y k x
y x
得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k ．
216 16 0k ，故
2
1 2 2
2 4kx x k
．
所以
2
1 2 2
4 4( 1) ( 1) kAB AF BF x x k
．
由题设知
2
2
4 4 8k
k
，解得 k=–1（舍去），k=1．
因此 l 的方程为 y=x–1．学#科网
5．【解析】（1）设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ，则
2 2
1 1 14 3
x y ，
2 2
2 2 14 3
x y ．
两式相减，并由 1 2
1 2
=y y kx x
得 1 2 1 2 04 3
x x y y k ．
由题设知 1 2 12
x x ， 1 2
2
y y m ，于是 3
4k m
，
由题设得 30 2m ，故 1
2k ．
（2）由题意得 F（1，0）．设 3 3( )P x y， ，则 3 3 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (0 0)x y x y x y ， ， ， ， ．
由（1）及题设得 3 1 23 ( ) 1x x x ， 3 1 2( ) 2 0y y y m ．
又点 P 在 C 上，所以 3
4m ，从而 3(1 )2P ， ， 3| |= 2FP
uur
．
于是
2
2 2 2 1 1
1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2
x xFA x y x
uur ，同理 2| |=2 2
xFB
uur
，
所以 1 2
14 ( ) 32FA FB x x
uur uur
，故 2| |=| |+| |FP FA FB
uur uur uur ．
6．【解析】（1）由题意得 2 2 2c ，所以 2c ，
又 6
3
ce a
，所以 3a ，所以 2 2 2 1b a c ，所以椭圆 M 的标准方程为
2
2 13
x y ．
（3）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 3 3( , )C x y ， 4 4( , )D x y ，则 2 2
1 13 3x y ①， 2 2
2 23 3x y ②，
又 ( 2,0)P ，所以可设 1
1
1 2PA
yk k x
，直线 PA 的方程为 1( 2)y k x ，
由
1
2
2
( 2)
13
y k x
x y
消去 y 可得 2 2 2 2
1 1 1(1 3 ) 12 12 3 0k x k x k ，
则
2
1
1 3 2
1
12
1 3
kx x k
，即
2
1
3 12
1
12
1 3
kx xk
，又 1
1
1 2
yk x
，代入①式可得 1
3
1
7 12
4 7
xx x
，
所以 1
3
14 7
yy x
，所以 1 1
1 1
7 12( , )4 7 4 7
x yC x x
，同理可得 2 2
2 2
7 12( , )4 7 4 7
x yD x x
．
故 3 3
7 1( , )4 4QC x y ， 4 4
7 1( , )4 4QD x y ，
因为 , ,Q C D 三点共线，所以 3 4 4 3
7 1 7 1( )( ) ( )( ) 04 4 4 4x y x y ，
将点 ,C D 的坐标代入化简可得 1 2
1 2
1y y
x x
，即 1k ．
7．【解析】（1）因为椭圆 C 的焦点为 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F ，可设椭圆 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
．
又点 1( 3, )2
在椭圆 C 上，所以 2 2
2 2
3 1 1,4
3,
a b
a b
，解得
2
2
4,
1,
a
b
因此椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y ．
因为圆 O 的直径为 1 2F F ，所以其方程为 2 2 3x y ．
（2）①设直线 l 与圆 O 相切于 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y ，则 2 2
0 0 3x y ，
所以直线 l 的方程为 0
0 0
0
( )xy x x yy
，即 0
0 0
3xy xy y
．
由
2
2
0
0 0
1,4
3 ,
x y
xy xy y
消去 y，得 2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y ．（*）
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，
所以 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) ( )( 24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x ．
因为 0 0, 0x y ，所以 0 02, 1x y ．因此点 P 的坐标为 ( 2,1) ．
8．【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知得
2
2
5
9
c
a
，又由 2 2 2a b c ，可得 2 3a b ．
由 2 2| | 13AB a b ，从而 3, 2a b ，所以椭圆的方程为
2 2
19 4
x y ．
（2）设点 P 的坐标为 1 1( , )x y ，点 M 的坐标为 2 2( , )x y ，由题意， 2 1 0x x ，
点Q 的坐标为 1 1( , )x y ．由 BPM△ 的面积是 BPQ△ 面积的 2 倍，可得| |=2| |PM PQ ，
从而 2 1 1 12[ ( )]x x x x ，即 2 15x x ．学科^网
易知直线 AB 的方程为 2 3 6x y ，由方程组 2 3 6,
,
x y
y kx
消去 y，可得 2
6
3 2x k
．由方程组
2 2
1,9 4
,
x y
y kx
消去 y ，可得 1 2
6
9 4
x
k
．由 2 15x x ，可得 29 4 5(3 2)k k ，两边平方，整理
得 218 25 8 0k k ，解得 8
9k ，或 1
2k ．
当 8
9k 时， 2 9 0x ，不合题意，舍去；当 1
2k 时， 2 12x ， 1
12
5x ，符合题意．
所以 k 的值为 1
2
．
（2）由
2
4
xy ，得
2
xy' ．
设 M（x3，y3），由题设知 3 12
x ，解得 3 2x ，于是 M（2，1）．
设直线 AB 的方程为 y x m ，故线段 AB 的中点为 N（2，2+m），|MN|=|m+1|．
将 y x m 代入
2
4
xy 得 2 4 4 0x x m ．
当 16( 1) 0m ，即 1m 时， 1,2 2 2 1x m ．
从而 1 2| |= 2 | | 4 2( 1)AB x x m ．
由题设知| | 2 | |AB MN ，即 4 2( 1) 2( 1)m m ，解得 7m ．
所以直线 AB 的方程为 7y x ．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程
是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化
为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦
中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．学科%网
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