高考数学（理）考点一遍过考点04 函数及其表示-之

1 考点 04 函数及其表示 （1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. （3）了解简单的分段函数，并能简单应用. 一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合 A、B 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系 f，使对于集 合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意 一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 2 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 2．必记结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和 对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1 均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 mn 个． 二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sinx，y＝cosx 的定义域均为 R. (6)y＝logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx 的定义域为 π{ | π , }2x x k k  Z . 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不 注明定义域往往导致错误. 3 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数 y＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)的值域为 R. (2)反比例函数 ky x  (k 为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数且 a≠0)， 当 a>0 时，二次函数的值域为 24[ , )4 ac b a   ； 当 a0，b>0)求最值． 若“和定”，则“积最大”，即已知 a＋b＝s，则 ab  2 2( )2 4 a b s  ，ab 有最大值 2 4 s ，当 a＝b 时取等号； 若“积定”，则“和最小”，即已知 ab＝t，则 a b  2 2ab t ，a＋b 有最小值 2 t ，当 a＝b 时取等 号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”． 9．判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数 y＝f(x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a(y)x2＋b(y)x＋c(y) ＝0，则在 a(y)≠0 时，由于 x，y 为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取 值范围. 10．有界性法： 充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域. 11．导数法： 利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数 与极值、最值的关系求函数的值域. 7 典例 3 求下列函数的值域： （1） 2 4 3, [ 1,1]y x x x     ； （2） 1 2y x x   ； （3） 2 ( 1)1 xy xx   . 【答案】（1）[0，8]；（2） 1( , ]2  ；（3）[4, ) . 【解析】（1） 2 24 3 ( 2) 1y x x x      ， ∵ 1 ≤x≤1，∴ 3 ≤x−2≤ 1 ， ∴1≤(x−2)2≤9，则 0≤(x−2)2 1 ≤8． 故函数 2 4 3, [ 1,1]y x x x     的值域为[0，8]． （2）f(x)的定义域为 1( , ]2  ， 令 211 2 , ( 0)2 tt x x t    ，得 21 1 2 2y t t    ， 故 1( , ]2y   . （3） 2 2( 1) 2( 1) 1 11 2 41 1 1 x x xy xx x x             .当且仅当 x＝2 时“＝”成立. 故 2 ( 1)1 xy xx   的值域为[4, ) . 3．已知函数 f(x)＝1 2(x－1)2＋1 的定义域与值域都是[1，b](b＞1)，则实数 b 的值为 ． 考向三 求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 8 2．配凑法： 由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式； 3．待定系数法： 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法： 已知关于 f(x)与 1( )f x 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方 程求出 f(x). 典例 4 已知 ( 1) 2f x x x   ，则 ( )f x  A． 2 1( 1)x x  B． 2 1x  C． 2 1( 1)x x  D． 2 1x  【答案】A 【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为 1t  ，如果忽略了这一点，在求 ( )f x 时就 会出错. 4．已知 2( 1)f x x  ，则 ( )f x 的表达式为 A． 2( ) 2 1f x x x   B． 2( ) 2 1f x x x   C． 2( ) 2 1f x x x   D． 2( ) 2 1f x x x   考向四 分段函数 9 分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考 的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性 质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值： 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值： 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数： “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式： 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性： 利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解. 典例 5 已知 2 , 0( ) ( 1), 0 x xf x f x x     ，则 4( )3f ＋ 4( )3f  等于 A．－2 B．4 C．2 D．－4 【答案】B 【解析】∵ 4( )3f ＝8 3 ， 4( )3f  ＝ 1( )3f  ＝f 2 3 ＝4 3 ，∴ 4( )3f ＋ 4( )3f  ＝4.故选 B． 【名师点睛】分段函数的应用： 设分段函数 1 1 2 2 ( ),( ) ( ), f x x If x f x x I    . (1)已知 x0，求 f(x0)： ①判断 x0 的范围，即看 x0∈I1，还是 x0∈I2； ②代入相应解析式求解． (2)已知 f(x0)＝a，求 x0： ①当 x0∈I1 时，由 f1(x0)＝a，求 x0； 10 ②验证 x0 是否属于 I1，若是则留下，反之则舍去； ③当 x0∈I2 时，由 f2(x0)＝a，求 x0，判断是否属于 I2，方法同上； ④写出结论． (3)解不等式 f(x)＞a： 1 1 ( ) ( ) x If x a f x a     或 2 2 ( ) x I f x a    . 5．已知函数 f(x)＝ 1 0 0x x x a x     , , ，若 f(1)＝f(－1)，则实数 a 的值等于 A．1 B．2 C．3 D．4 典例 6 已知函数   2 e , 0 2 1, 0 x xf x x x x       ，若    1f a f a   ，则实数 a 的取值范围是 A． 1, 2     B． 1 ,2    C． 10, 2      D． 1 ,12      【答案】A 【解析】函数   1e =( )e x xf x  在  ,0 上为减函数，函数 2 2 1y x x    的图象开口向下，对称轴为 1x   ，所以函数   2 2 1f x x x    在区间 0, 上为减函数，且 0 2e 0 2 0 1      . 所以函数  f x 在 ,  上为减函数.由    1f a f a   得 1a a   ，解得 1 2a  .故选 A． 【思路点拨】判断分段函数   2 e , 0 2 1, 0 x xf x x x x       两段的单调性，当 0x  时，   1e =( )e x xf x  为 指数函数，可判断函数   1e =( )e x xf x  在  ,0 上为减函数；第二段函数 2 2 1y x x    的图象开口 向下，对称轴为 1x   ，可得函数   2 2 1f x x x    在区间 0, 上为减函数. 0x  时，两段函数值 11 相等.进而得函数  f x 在 ,  上为减函数.根据单调性将不等式    1f a f a   变为 1a a  ，从 而解得 1 2a  即可 【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小； （2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“ f ”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用. 6．已知函数 2 1, 0( ) cos , 0 x xf x x x      ，则下列结论正确的是 A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 1．函数    2 1 ln 2 1 4 f x x x     的定义域为 A． 1 ,22     B． 1 ,22     C． 1 ,22     D． 1 ,22     2．设函数     4 2 2 , 4 log 1 , 4 x xf x x x      ，若   1 8f a  ，则 a  A．1 B． 8 1 1 2  C．3 D．1 或 8 1 1 2  3．如图为函数  y f x 的图象，则该函数可能为 12 A． sinxy x  B． cosxy x  C． sinxy x  D． sinxy x  4．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝  2 ln f x x 的定义域是 A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 5．已知函数    2 4 , ,5f x x x x m    的值域是 5,4 ，则实数 m 的取值范围是 A． , 1  B． 1,2 C． 1,2 D． 2,5 6．已知函数  f x 满足    1 1 2 0f f x x xx x         ，则  2f   A． 7 2  B． 9 2 C． 7 2 D． 9 2  7 ． 已 知   sin π1 xf x xx   ， 记  x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如    π 3, e 3    ， 则    2y f x f x         的值域为 A． 1 B． 1 2， C． 01， D． 01,2， 8．函数   4 4xf x   的值域为__________． 9．已知函数   ( 0)f x ax b a   ,    4 3f f x x  ，则  2f  __________． 10．设函数   2 , 0, , 0, x xf x x x     则使得    f x f x  成立的 x 的取值范围是__________． 13 1．（2017 年高考山东卷理科）设函数 24y x  的定义域为 A ，函数 ln(1 )y x  的定义域为 B ,则 A B = A．（1,2） B． (1,2] C．（−2,1） D．[−2,1) 2．（2017 年高考天津卷理科）已知函数 2 3, 1, ( ) 2 , 1. x x x f x x xx        设 aR ，若关于 x 的不等式 ( ) | |2 xf x a  在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 A． 47[ ,2]16  B． 47 39[ , ]16 16  C．[ 2 3,2] D． 39[ 2 3, ]16  3．（2018 年高考江苏卷）函数   2log 1f x x  的定义域为________． 4．（2018 年高考浙江卷）已知λ∈R，函数 f(x)= 2 4, 4 3, x x x x x         ，当λ=2 时，不等式 f(x)