高考数学（理）考点一遍过考点08 对数与对数函数-之

1 考点 08 对数与对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在 简化运算中的作用. （2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. （3）知道对数函数是一类重要的函数模型. （4）了解指数函数 xy a 与对数函数 logay x 互为反函数 0, 1( )a a 且 . 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果 xa N ( 0, 1)a a 且 ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logax N ，其 中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以 10 为底的对数 lgN；自然对数，以无理数 e=2.71828…为底数的对 数 lnN. （3）对数式与指数式的互化： logx aa N x N   . 2．对数的性质 根据对数的概念，知对数 log ( 0, 1)a N a a 且 具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即 0N  ； （2）1 的对数等于 0，即 log 1 0a  ； （3）底数的对数等于 1，即 log 1a a  ； （4）对数恒等式 log ( 0)a Na N N  . 3．对数的运算性质 如果 0, 1, 0, 0a a M N   且 ，那么： 2 （1） log ( ) log loga a aM N = M + N ； （2） log log log-a a a M = M NN ； （3） log log ( )n a aM = n M nR . 4．对数的换底公式 对数的换底公式： loglog ( 0, 1; 0, 1; 0)log c b c NN b b c c Nb      且 且 . 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成 什么为底，由已知条件来确定，一般换成以 10 为底的常用对数或以 e 为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： （1） log log 0 1, 0( )且m n aa nb b a a bm     ； （2） (1log 0 1; 0 1log )且 且a b b a a b ba      ； （3） log log log loga b c ab c d d   (其中 a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0). 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数 =log ( 0, 1)ay x a a 且 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0, ) . 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数 =log ( 0, 1)ay x a a 且 的图象与性质如下表所示： 0 1a  1a  图象 定义域 (0, ) 值域 R 3 性质 过定点 (1,0) ，即 1x  时， 0y  在 (0, ) 上是减函数 在 (0, ) 上是增函数 当 x＞1 时，y＜0； 当 0＜x＜1 时，y＞0 当 x＞1 时，y＞0； 当 0＜x＜1 时，y＜0 在直线 1x  的右侧，当 1a  时，底数越大，图象越靠近 x 轴；当 0 1a  时，底数越小，图象越靠近 x 轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数 xy a ( 0a  且 1a  ）与对数函数 log ( 0ay x a  且 1a  ）互为反函数，其图象关于直线 y x 对称. 考向一 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路： （1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一 为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解； （2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算. 注意： （1）在利用对数的运算性质 log ( ) log loga a aM N = M + N 与 log log ( )n a aM = n M nR 进行化简与求值时， 要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性． （2）注意利用等式 lg 2 lg5 1  . 典例 1 化简： （1）  7 1log 02 3log 27 lg25 lg4 7 9.8     ； （ 2 ）  22lg 25 lg8 lg5 lg 20 lg 23     ． 【答案】（1）5；（2）3. 4 【解析】（1）  7 1log 02 3log 27 lg25 lg4 7 9.8     3 2 22 3 1log 3 lg5 lg2 12      3 32lg5 2lg22 2      3 2 lg5 lg2   3 2lg10  3 2 1   5 ． （ 2 ）  22lg 25 lg8 lg5 lg 20 lg 23        22 32lg5 lg 2 lg5 lg5 lg 4 lg 23          2 22lg5 2lg 2 lg5 2lg5 lg 2 lg 2         22 lg5 lg 2 lg5 lg 2     22lg10 lg10  2 1  3 ． 【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着 重考查了推理与运算能力. 典例 2 已知函数   1 3 xf x   ,若  3 21og 2f a  ,则 a  A． 1 3 B． 1 4 C． 1 2 D． 2 【答案】D 【解析】根据题意有   3log 3 1 2log 1 3 1 2 af a a      ，解得 2a  ，故选 D． 【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算 性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数 a 的等量关系式，即 5 可求得结果. 1．设 ,x y 为正数，且3 4x y ，当3x py 时， p 的值为 A． 3log 4 B． 4log 3 C． 36log 2 D． 3log 2 考向二 对数函数的图象 1．对数函数 =log ( 0, 1)ay x a a 且 的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的 问题，只需令真数为 1，解出相应的 ,x y ，即可得到定点的坐标. 2．当底数 1a  时，对数函数 ( ) logaf x x 是 (0, ) 上的增函数，当 1x  时，底数 a 的值越小，函数图 象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数 0 1a  时，对数函数 ( ) logaf x x 是 (0, ) 上的减函数， 当 0 1x  时，底数 a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线 y=1 与所给图象相 交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大， 可比较底数的大小． 3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点 时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数 1a  和 0 1a  的两种不同情况．有些复杂的问题， 借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现． 4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 典例 3 若函数 log )0, 1( 且ay x a a   的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 6 【答案】B 典例 4 已知函数   2log , 0 3 , 0x x f x x x    ，且函数    h x f x x a   有且只有一个零点，则实数 a 的取 值范围是 A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 【答案】B 【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出  y f x 与 y x a   的图象，其中 a 表示直线 7 y x a   在 y 轴上的截距，由图可知，当 1a  时，直线 y x a   与  y f x 只有一个交点．故选 B． 2．在同一直角坐标系中，函数   2f x ax  ，    log 2ag x x  （ 0a  ，且 1a  ）的图象大致为 A． B． C． D． 考向三 对数函数性质的应用 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难 都有，且主要有以下几种命题角度： （1）比较对数式的大小： ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类 讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较． （2）解对数不等式： ①形如 log loga ax b 的不等式，借助 logay x 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 1a  与 0 1a  两种情况讨论； 8 ②形如 loga x b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 =logay x 的单调性求解． 典例 5 已知 1 32a   ， 2 1 2 1 1log , log3 3b c  ，则 A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  【答案】C 【解析】因为 1 030 2 2 1a      ， 2 2 1log log 1 03b    ， 1 2 2 2 1log log 3 log 2 13c     ，所以 c a b  ，故选 C． 【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量 1，0 来进行比较. 典例 6 求不等式 1log (4 ) loga a x x   的解集. 3 ． 设 函 数  f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 0x  时 ，   lnf x x ， 记 31 2a f          ， 3 1log 2b f       ，  3c f ，则 , ,a b c 的大小关系为 A． c b a  B．b c a  9 C．b a c  D． a b c  考向四 对数函数的复合函数问题 与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题 等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对 数函数的定义域及底数的取值. 求形如  logay f x 的复合函数的单调区间，其一般步骤为： ①求定义域，即满足   0f x  的 x 的取值集合； ②将复合函数分解成基本初等函数 logay u 及  u f x ； ③分别确定这两个函数的单调区间； ④若这两个函数同增或同减，则  logay f x 为增函数，若一增一减，则  logay f x 为减函数，即“同 增异减”. 典例 7 已知函数 ( ) lg(3 ) lg(3 )f x x x    ． （1）判断 ( )f x 的奇偶性并加以证明； （2）判断 ( )f x 的单调性（不需要证明）； （3）解关于 m 的不等式 ( ) ( 1) 0f m f m   ． 【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3） 1( 3, )2   . 【解析】（1）由 3 0 3 0 x x    ＋ － ，得 3 3x   ， ∴函数 ( )f x 的定义域为 ( 3,3) ． ∵函数 ( )f x 的定义域关于原点对称，且 ( ) lg(3 ) lg(3 ) ( )f x x x f x      ， ∴函数 ( )f x 为偶函数． （2）   2lg(9 )f x x  , lgy u 为增函数， 29u x  在 ( 3,0) 上是增函数，在 (0,3) 上是减函数， ∴ ( )f x 在 ( 3,0) 上是增函数，在 (0,3) 上是减函数. 10 （3） ( ) ( 1) 0f m f m   即 ( ) ( 1)f m f m  ， 则 3 1 33 3 1 m m mm            3 4 3 2 1 2 m m m          ，得 13 2m    . ∴关于 m 的不等式 ( ) ( 1) 0f m f m   的解集为 1( 3, )2   . 4．已知函数    2 2 2 logaf x a a x   是对数函数. （1）若函数      log 1 log 3a ag x x x    ，讨论  g x 的单调性； （2）在（1）的条件下，若 1 ,23x      ，不等式   3 0g x m   的解集非空，求实数 m 的取值范围. 1．计算  3 3 2log log log 8   等于 A．1 B．16 C． 4 D． 0 2．已知 :p “ 100a  ”， q ：“ 1log 10 2a  ”，则 p 是 q 的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数    2ln 2f x x x    的单调递减区间为 A．   , 2 1,   B． 1( 2 )2  , C． 1( ,1)2  D． 1  （ ， ） 4．已知函数     2ln e ex xf x x   ，则使得 f(2x)>f(x+3)成立的 x 的取值范围是 A． 1,3 B．   , 3 3,   C． 3,3 D．   , 1 3,   11 5．已知 0 1a a 且 ，函数 1 , log , x ay y x y x aa        在同一坐标系中的图象可能是 A． B． C． D． 6．已知 3 2 4log 2, log 3, log 7a b c   ，则 , ,a b c 的大小关系为 A． a b c  B．b a c  C． c a b  D． a c b  7．奇函数  f x 满足    2f x f x   ，当  0,1x 时，   13 2 xf x   ，则  3log 54f  A．−2 B． 7 6  C． 7 6 D．2 8 ． 已 知 函 数  f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 在 区 间  ,0 上 单 调 递 增 ， 若 实 数 a 满 足    3log2 2af f   ，则 a 的取值范围是 A． 3, B． 1, 3 C． 0, 3 D． , 3 9．方程    3 3log 3 2 5 log 4 1 0x x     的解为 x  _________． 10．已知函数   3logf x x ，设正实数 ,a b 满足 a b ，且    f a f b ，若  f x 在区间 2 ,a b   上的最 大值为 2，则 ba =________． 11．设函数       log 3 log 3 0, 1a af x x x a a      ，且  0 2f  . （1）求实数 a 的值及函数  f x 的定义域； 12 （2）求函数  f x 在区间 0, 6   上的最小值. 12．已知函数     2log 2xf x k k  R 的图象过点  0,1P . （1）求 k 的值并求函数  f x 的值域； （2）若关于 x 的方程  f x x m  有实根，求实数 m 的取值范围； （3）若函数      122 2 , 0,4 x f xh x a x      ，则是否存在实数 a ，使得函数  h x 的最大值为 0 ?若存 在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由. 13 1．（2018 年高考天津卷理科）已知 2log ea  ， ln2b  ， 1 2 1log 3c  ，则 a，b，c 的大小关系为 A． a b c  B．b a c  C． c b a  D． c a b  2．（2018 年高考新课标Ⅲ卷理科）设 0.2log 0.3a  ， 2log 0.3b  ，则 A． 0a b ab   B． 0ab a b   C． 0a b ab   D． 0ab a b   3．（2017 年高考北京卷理科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普 通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 4．（2017 年高考新课标全国Ⅰ卷理科）设 x、y、z 为正数，且 2 3 5x y z  ，则 A．2x