1
考点 10 函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类
型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的
广泛应用.
一、常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f x ax b ( ,a b 为常数， 0a )
反比例函数模型 ( ) kf x bx
( ,k b 为常数且 0k )
二次函数模型 2( )f x ax bx c （ , ,a b c 均为常数， 0a ）
指数函数模型 ( ) xf x ab c （ , ,a b c 均为常数， 0a ， 0b ， 1b ）
对数函数模型 ( ) logaf x m x n （ , ,m n a 为常数， 0, 0, 1m a a ）
幂函数模型 ( ) nf x ax b （ , ,a b n 为常数， 0, 1a n ）
二、几类函数模型的增长差异
2
函数
性质 1xy a a log 1ay x a 0ny x n
在(0，＋∞)上的增
减性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓
介于指数函数与
对数函数之间,相
对平稳
图象的变化
随 x 的增大，图象与 y 轴接近
平行
随 x 的增大，图象与 x 轴接近
平行
随 n 值变化而各有
不同
值的比较 存在一个 0x ，当 0x x 时，有 log n x
a x x a
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
3
考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、
判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问
题.
典例 1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.
上市时，外商李经理按市场价格 元/千克在本市收购了 千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价
格每天每千克将上涨 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 元，而且香菇在冷库中
最多保存 天，同时，平均每天有 千克的香菇损坏不能出售.-网
（1）若存放 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 元，试写出 与 之间的函数关系
式；
（2）李经理如果想获得利润 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购
成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得， 与 之间的函数关系式为：
.
（3）设利润为 ，则由（2）得，
，
4
因此当 时， .
又因为 ，
所以李经理将这批香菇存放 天后出售可获得最大利润，为 元.
1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元/件，又不高于 800 元/件，经试销
调查，发现销售量 y（件）与销售单价 x （元/件）可近似看作一次函数 y kx b 的关系（图象如下图
所示）．
（1）根据图象，求一次函数 y kx b 的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为 S 元,
①求 S 关于 x 的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表
示为 1 xy N p (其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的
关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例 2 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积
变为
2
a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 1
4 ,已知到今年为止,森林面积为 2
2 a .
5
（1）求 p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得 101 % 2
aa p ,即 10 11 % 2p ,
解得
1
101% 1 ( )2p .
（2）设经过 m 年，森林面积变为 2
2 a ,
则 21 % 2
ma p a ,即
1
10 21 1 1( ) )2 2 10, 2(
m m ，解得 m=5,
故到今年为止,已砍伐了 5 年.
典例 3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 mg / LP 与时间 ht 之间的
关系为 0e ktP P ．已知5h 后消除了10% 的污染物，试求：
（1）10h 后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据： ln2 0.7 ， ln3 1.1 ， ln5 1.6 ）
【解析】（1）由 0e ktP P ，可知 0t 时， 0P P ，
当 5t 时， 5 5
0 01 10% e e 0.9k kP P P ，
所以 1 ln0.95k ，
当 10t 时，
1ln0.9 10 ln0.815
0 0 0e e 81%P P P P
，
所以10个小时后还剩81%的污染物．
（2）当 050%P P 时，有
1ln0.95
0 050% e
t
P P ，
6
解得
1ln ln2 ln2 0.725 5 5 59 ln9 ln10 ln2 ln5 2ln3 0.7 1.6 2 1.1ln 10
t 35 ，
所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．
2．盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少 %p ，10 天后总量变为原
来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的 1
16
，已知到今天为止，剩余的总量是原来的
2
4
．
（1）求 %p 的值；
（2）到今天为止，工厂已经开采了几天？
（3）今后最多还能再开采多少天？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式
构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规
律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例 4 某公司利用 线上、实体店线下销售产品 ，产品 在上市 天内全部售完.据统计，线上日销售
量 、线下日销售量 （单位：件）与上市时间 天的关系满足：
，产品 每件的销售利润为
(单位：元)（日销售量 线上日销售量 线下日销售量）.
（1）设该公司产品 的日销售利润为 ，写出 的函数解析式；
（2）产品 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于 元？
【解析】（1）由题意可得：
7
当 时，日销售量为 ，日销售利润为： ；
当 时 ， 日 销 售 量 为 ， 日 销 售 利 润 为 ：
；
当 时 ， 日 销 售 量 为 ， 日 销 售 利 润 为 ：
.
综上可得：
3．某种商品的市场需求量 1y （万件）、市场供应量 2y （万件）与市场价格 x（元/件）分别近似地满足下列
关系： 1 70y x ， 2 2 20y x ．当 1 2y y 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平
衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该商品的市场销售量 P （万件）是市场需求量 1y 和市场供应量 2y 两者中的较小者，该商品的市
场销售额W （万元）等于市场销售量 P 与市场价格 x 的乘积．
①当市场价格 x 取何值时，市场销售额W 取得最大值；
②当市场销售额W 取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每
件商品征税多少元？
考向四 函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数
模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.
8
典例 5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为 10 万件，12 万件，13 万件，为了预测以后每个月的产量，
以这 3 个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y （单位：万件）与月份 x 的关系. 模拟函数
1: by ax cx
；模拟函数 2: xy m n s .-网
（1）已知 4 月份的产量为 13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过 15 万件，请选用合适的模拟函数预测 6 月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数 1： by ax cx
，
则有
10
12 2 2
13 3 3
a b c
ba c
ba c
，解得 1 25, 3,2 2a b c ，
即 3 25
2 2
xy x
，当 4x 时， 13.75y ．
若用模拟函数 2： xy m n s ，
则有 2
3
10
12
13
mn s
mn s
mn s
，解得 18, , 142m n s ，
即 314 2 xy ，当 4x 时， 13.5y ．
所以选用模拟函数 1 较好．
（2）因为模拟函数 1： 3 25
2 2
xy x
是单调增函数，所以当 12x 时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数 2： 314 2 xy 也是单调增函数，但生产量 14y ，所以不会超过 15 万件，所以应该选用模拟
函数 2： 314 2 xy 好．
当 6x 时， 3 614 2 13.875y ，
所以预测 6 月份的产量为13.875万件.
9
4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得 万元到 万元的投资利益，现准备制定一个对
科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超
过 万元，同时奖金不超过收益的 ．
（1）请分析函数 2150
xy 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．
（2）若该公司采用函数模型 10 3
2
x ay x
作为奖励函数模型，试确定最小正整数 的值．
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若
要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
2．已知三个变量 1 2 3, ,y y y 随变量 x 变化的数据如下表：
则反映 1 2 3, ,y y y 随 x 变化情况拟合较好的一组函数模型是
A． 2
1 2 3 2, 2 , logxy x y y x B． 2
1 2 3 22 , , logxy y x y x
C． 2
1 2 2 3log , , 2xy x y x y D． 2
1 2 2 32 , log ,xy y x y x
3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在 280 万元及以下的
税率为 %p ；超过 280 万元的部分按 2 %p 征税．现有一家公司的实际缴税比例为 0.25 %p ，
则该公司的年收入是
A．560万元 B． 420 万元
C．350万元 D．320万元
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校 2017 年全年投入科研经费 1300 万元，在
此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12% ，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2000 万元
10
的年份是( )(参考数据： lg1.12 0.05 ， lg1.3 0.11 ， lg2 0.30 )
A．2020 年 B．2021 年
C．2022 年 D．2023 年
5．一个容器装有细沙 3cma ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， mint 后剩余的细沙量为
3e cmbty a ，经过 8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ） min ，容器中的沙子只有
开始时的八分之一.
A．8 B．16
C． 24 D．32
6．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元．当销售单价为 6 元
时，日均销售量为 480 桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加 1 元，日均销售量就减少 40
桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为
A． 6.5元 B．8.5 元
C．10.5元 D．11.5元
7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积V 随时间t 的变化规律是
1
10
0e
t
V V
（ e 为
自然对数的底数），其中 0V 为初始值.若 0
3
VV ，则t 的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考
数据： lg3 0.4771, lge 0.4343)
8．某种产品的产销量情况如图所示，其中： 表示产品各年年产量的变化规律； 表示产品各年的销售量
变化情况.有下叙述：
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
11
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.
9．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇
企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品
销售量 w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 3
2
xw （其中推广促
销费不能超过 5 万元）.已知加工此农产品还要投入成本 33 w w
万元（不包括推广促销费用），若加
工后的每件成品的销售价格定为 304 w
元/件.
（1）试将该批产品的利润 y 万元表示为推广促销费 x 万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
10．某电动小汽车生产企业，年利润 （出厂价 投入成本） 年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投
入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提
高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为 x （ 0 1x ），则出厂价
相应提高的比例为 0.75x .同时年销售量增加的比例为 0.6x .
（1）写出本年度预计的年利润 y （万元）与投入成本增加的比例 x 的函数关系式；
（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？
12
11．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是 ,经过一定时间
后,温度 将满足 = ,其中 是环境温度, 称为半衰期.现有一杯用 195F 热水冲的速溶
咖啡,放在 75F 的房间内,如果咖啡降到 105F 需要 20 分钟,问降温到 95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单
位,答案精确到 0.1，参考数据: ）
12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然
和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有
色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某
行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 (0 1)x x .
（1）设 n 年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的 a 倍，请用 ,a n 表示 x ;
（2）若 10%x ，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？
参考数据： lg2 0.301 , lg3 0.477 .
13
13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一
定的条件下，每尾鱼的平均生长速度V （单位：千克/年）是养殖密度 x（单位：尾/立方米）的函数．当
x 不超过 4 尾/立方米时， V 的值为 2 千克/年；当 4 20x 时， V 是 x 的一次函数，且当 20x 时，
0V ．
（1）当 0 20x 时，求V 关于 x 的函数的表达式．
（2）当养殖密度 x 为多大时，每立方米的鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出
最大值．
1．（2014 湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，则该
市这两年生产总值的年平均增长率为
A．
2
p q B． ( 1)( 1) 1
2
p q
C． pq D． ( 1)( 1) 1p q
2．（2015 四川理科）某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位： C ）满足函数关系 ekx by
（ e 2.718 为自然对数的底数，k，b 为常数）.若该食品在 0 C 的保鲜时间是 192 小时，在 22 C
的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 C 的保鲜时间是_________小时.
14
变式拓展
1．【解析】（1）由题意可得 400 600
300 700
k b
k b
，解得 1
1000
k
b
，
所以所求的表达式为 ．
（2）①由（1）得
．
②由①可知， ，其图象开口向下，对称轴为 ，
所以当 时， ．
即该公司可获得的最大毛利润为 62500 元，此时相应的销售单价为 750 元/件．
（3）设今后最多还能再开采 n 天，则 2 11 %4 16
na p a ，
即
5
10 21 1
2 2
n
，即 5
10 2
n ，得 25n ，
故今后最多还能再开采 25 天．
3．【解析】（1）令 1 2y y ，得 70 2 20x x ，
故 30x ，此时 1 2 40y y ．
答：平衡价格是 30 元，平衡需求量是 40 万件．
15
②设政府应该对每件商品征税t 元，则供应商的实际价格是每件 x t 元，
故 2 2 20y x t ，
令 1 2y y ，得 70 2 20x x t ，
由题意可知上述方程的解是 35x ，代入上述方程得 7.5t ．
答：政府应该对每件商品征税 7.5 元．
4．【解析】（1）对于函数模型 ，
当 时, 为增函数,
, 所以 恒成立,
但当 时, ,即 不恒成立,
故函数模型 不符合公司要求.
(2)对于函数模型 ,即 ，
当 ,即 时单调递增,
为使 对于 恒成立,即要 ,即 ,
为使 对于 恒成立, 即要 ,
即 恒成立, 即 恒成立,
16
又 ,故只需 ,所以 .
综上, ,故最小的正整数 的值为 .
考点冲关
1．【答案】D
【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；
要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧
增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；
要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于 1 的数，而此时指数函数增长的速
度也是越来越快的，也不满足要求；
对于对数函数，当底数大于 1 时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选 D.
2．【答案】B
【解析】从题表格可以看出，三个变量 1 2 3, ,y y y 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 1y 的增长
速度最快，呈指数函数变化，变量 3y 的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选 B.
3．【答案】D
【解析】设该公司的年收入为 a 万元，则 280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，解得 a= 280 2
2 0.25
=320．故
选 D．
4．【答案】B
【解析】若 2018 年是第一年，则第 n 年科研费为 1300 1.12n ，由 1300 1.12 2000n ，可得
lg1.3 lg1.12 lg2n ，得 0.05 0.19, 3.8, 4n n n ，即 4 年后，到 2021年科研经费超过 2000 万
元，故选 B．
5．【答案】B
【解析】依题意有 8e ba = 1
2 a ,即 8e b 1
2
，两边取对数得
ln2
81 ln28 ln ln2, , e2 8
t
b b y a
.
当容器中只有开始时的八分之一时，有
ln2 ln2
8 81 1e , e8 8
t t
a a
，两边取对数得
ln2 1ln 3ln2, 248 8t t ，所以再经过的时间为 24-8=16 min .故选 B．
17
6．【答案】D
【解析】设定价在进价的基础上增加 x 元，日销售利润为 y 元，则 y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于 x＞0，且 520﹣40x＞0，所以 0＜x＜13.
即 y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当 520 6.580x 时，y 取最大值．
∴销售单价应定为5 6.5 11.5 元.故选 D.
7．【答案】11
【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为 0
3
VV 时，需要经过的时间为 t ，
则
1
010
0e 3
t VV
，即
1
110 1e 33
t ，所以 11 ln3 ln310 t ，
所以 lg3 0.477110ln3 10 10 11lge 0.4343t .
8．【答案】（2），（3）
【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线 斜率大，上升快， 斜率小，上升慢，
所以随着 的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.
9．【解析】（1）由题意知 30 3 9 63 184 3 30 2 2 3
xy w w x w xw w w x
，
∴ 63 18 0 52 2 3
xy xx
.
（2）∵ 63 18
2 2 3
xy x
，
∴ 63 1 36 1 3633 32 2 3 2 3y x xx x
1 3633 2 3 272 3x x
.
当且仅当 3x 时，上式取“ ” ，
∴当 3x 时， max 27y .
答：当推广促销费投入 3 万元时，利润最大，最大利润为 27 万元.
18
11．【解析】依题意，可令 ， ， ， ，代入式子得 ，
解得 .
又若 ，代入式子得 ，则 .
∴ 21 2
2
1 lg3 0.477110log 10log 6 10 log 3 1 10 1 10 1 25.96 lg2 0.3010t
.
答：降温到 95F 约需要 25.9 分钟.
12．【解析】（1）依题意得： 1 nx a ，则1 nx a ，则 1 nx a .
（2）设 n 年后年产能不超过 2017 年的 25%，则 1 10% 25%n ，即 9 1
10 4
n
，
即 9 1lg lg10 4n ， 2lg3 1 2lg2n ，则 2lg2
1 2lg3n
， 301
23n ，
∵ 30113 1423
，且 *nN ，
∴ n 的最小值为 14.！网
答：至少要到 2031 年才能使年产能不超过 2017 年的 25%.
19
（ 2 ）依题意并由（1）可得 2
2 ,0 4,
1 5 ,4 20,8 2
x x x
f x
x x x x
N
N
，
当 0 4x 时， f x 为增函数，故 max 4 4 2 8f x f ；
当 4 20x 时， 22 21 5 1 120 108 2 8 12.58f x x x x x x ，
故 max 10 12.5f x f ．
所以，当 0 20x 时， f x 的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
直通高考
1．【答案】D
【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( 0)x x ,则有
21 1 1x p q 1 1 1x p q ,故选 D.
2．【答案】24
【解析】由题意，得 22
192 e
48 e
b
k b
，即 11
192 e
1 e2
b
k
，
于是当 x＝33 时， 33 11 3 31e (e ) e ( ) 1922
k b k by ＝24(小时).
20
微信/支付宝扫码支付