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考点 15 三角函数的图象与性质
（1）能画出 y=sin x，y =cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π] 上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等），
理解正切函数在区间 ,2 2
内的单调性.
（3）了解函数 sin( )y A x 的物理意义；能画出 sin( )y A x 的图象，了解参数 , ,A 对函数
图象变化的影响.学——
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
一、正弦函数 siny x ,余弦函数 cosy x ,正切函数 tany x 的图象与性质
函
数
siny x cosy x tany x
图
象
定
义
域
R R ,2x x k k Z
值
域
1,1 1,1 R
2
最
值
当 π2 π 2x k k Z 时，
max 1y ；
当 2 2x k k Z 时，
min 1y ．
当 2x k k Z 时，
max 1y ；
当 2x k k Z 时，
min 1y ．
既无最大值，也无最小值
周
期
性
最小正周期为 2 最小正周期为 2 最小正周期为
奇
偶
性
sin sinx x ,奇函数 cos cosx x ，偶函数 tan tanx x ，奇函数
单
调
性
在[2 ,2 ]( )2 2k k k Z
上是增函数；
在 3[2 ,2 ]( )2 2k k k Z
上是减函数．
在 2 ,2k k k Z 上是
增函数；
在 2 ,2k k k Z 上
是减函数．
在 ( , )( )2 2k k k Z
上是增函数．
对
称
性
对称中心 ( ,0)( )k k Z ；
对称轴 2x k k Z ，
既是中心对称图形又是轴对称
图形.
对称中心 ( ,0)( )2k k Z ；
对称轴 x k k Z ，
既是中心对称图形又是轴对称
图形.
对称中心 ( ,0)( )2
k k Z ；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对
称图形.
二、函数 sin( )y A x 的图象与性质
1．函数 sin( )y A x 的图象的画法
（1）变换作图法
由函数 siny x 的图象通过变换得到 sin( )y A x （A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平
移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
3
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使 y 取得最小值、最大值的点和曲线与 x 轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期 T= 2
,在一个周期内作出图象；
②令 =X x ,令 X 分别取 0，
2
, , 3 22
, ,求出对应的 x 值，列表如下：
由此可得五个关键点； 学+
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到 sin( )y A x 的简图.
2．函数 sin( )y A x （A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性： =k 时，函数 sin( )y A x 为奇函数； = 2k 时，函数 sin( )y A x 为
偶函数.
（2）周期性： sin( )y A x 存在周期性，其最小正周期为 T= 2
.
（3）单调性：根据 y=sint 和 t= x 的单调性来研究，由 +2 2 ,2 2k x k k Z 得单调
增区间；由 +2 2 ,2 2k x k k Z 得单调减区间.
4
（4）对称性：利用 y=sin x 的对称中心为 ( ,0)( )k k Z 求解，令 x k k Ζ ，求得 x.
利用 y=sin x 的对称轴为 ( )2x k k Z 求解，令 + 2x k k Ζ ，得其对称轴.
3．函数 sin( )y A x （A>0,ω>0）的物理意义
当函数 sin( )y A x （A>0,ω>0, [0, )x ）表示一个简谐振动量时，则 A 叫做振幅，T= 2
叫做
周期，f = 1
2πT
叫做频率, x 叫做相位，x=0 时的相位 叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数 sin( )y A x ， cos( )y A x 的定义域均为 R ；函数 tan( )y A x 的定义域
均为 π π{ | , }2
kx x k
Z .
（ 2 ） 函 数 sin( )y A x ， cos( )y A x 的 最 大 值 为 | |A ， 最 小 值 为 | |A ； 函 数
tan( )y A x 的值域为 R .
（3）函数 sin( )y A x ， cos( )y A x 的最小正周期为 2π
；函数 tan( )y A x 的最小
正周期为 π
．
（4）对于 siny A x ，当且仅当 πk k Z 时为奇函数，当且仅当 ππ 2k k Z 时为
偶 函 数 ； 对 于 cosy A x ， 当 且 仅 当 ππ 2k k Z 时 为 奇 函 数 ， 当 且 仅 当
πk k Z 时为偶函数；对于 tany A x ，当且仅当 π
2k k Z 时为奇函数．
（5）函数 sin 0 , 0y A x A 的单调递增区间由不等式 π π2 π 2 π (2 2k x k k
)Z 来确定，单调递减区间由不等式 π 3π2 π 2 π2 2k x k k Z 来确定；函数
cos 0 , 0y A x A 的单调递增区间由不等式 2 π π 2 πk x k k Z 来确
定，单调递减区间由不等式 2 π 2 π πk x k k Z 来确定；函数
tan 0 , 0y A x A 的单调递增区间由不等式 π ππ π2 2k x k k Z 来
确定．
【注】函数 sin( )y A x ， cos( )y A x ， tan( )y A x （ 有可能为负数）的单
5
调区间：先利用诱导公式把 化为正数后再求解．
（ 6 ） 函 数 sin( )y A x 图 象 的 对 称 轴 为 π π ( )2
kx k
Z ， 对 称 中 心 为
π( ,0)( )k k
Z ；函数 cos( )y A x 图象的对称轴为 π ( )kx k
Z ，对称中心为
π π( ,0)( )2
k k
Z ；函数 tan( )y A x 图象的对称中心为 π( ,0)( )2
k k
Z .
【注】函数 sin( )y A x ， cos( )y A x 的图象与 x 轴的交点都为对称中心，过最高点
或最低点且垂直于 x 轴的直线都为对称轴. 函数 tan( )y A x 的图象与 x 轴的交点和渐近线与
x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.
考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数 y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或 y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，
只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的 x 变为 x±|φ|，而不是ωx 变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
典例 1 将函数 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图
象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到
的图象，
再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，
6
即 ，
由 ，得 ，
则当 时，离原点最近的对称轴方程为 ，故选 A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意
平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，
如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
1．已知函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，为了得到
的图象，只需将 的图象
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 1 个单位长度 D．向右平移 1 个单位长度
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式 y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求 A，B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 ,2 2
M m M mA B .
（2）求ω，已知函数的周期 T，则 2π
T
.
（3）求φ，常用方法有：学科网
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B 已知)．
7
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 ( ,0)
作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋
φ= π
2
；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ= 3π
2
；“第五
点”为ωx＋φ=2π.
典例 2 已知函数 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式.
（2）求函数 在区间 上的最值，并求出相应的 值.
【解析】（1）由图象可知 ，又 ，故 .
周期 4 13 π 4 3ππ π3 12 3 3 4T
，
又 ，∴ .
∴
∵ .
则函数 的解析式为 .
8
2．已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,00）的单
调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0）的最小正周期为 4π，则
A．函数 f（x）的图象关于点 ( ,0)3
对称
B．函数 f（x）的图象关于直线 x= 3
对称
C．函数 f（x）的图象向右平移
3
个单位后，图象关于原点对称
D．函数 f（x）在区间（0，π）内单调递增
6．若函数 与 都在区间 上单调递减，则 的最大值
为
A． B．
C． D．
考向四 函数 sin( )y A x 的性质与其他知识的综合应用
与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题
常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为 y=Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，再结合正弦函
12
数 y=sinx 的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．
典例 5 已知向量 3sin , cos , cos ,cosx x x x a b ，函数 1
2f x a b （ 0 ）的最小
正周期是 π .
（1）求 的值及函数 f x 的单调递减区间；
（2）当 π0, 2x
时,求函数 f x 的值域.
【解析】（1） 2 1 3 1 1 33sin cos cos sin2 1 cos2 sin22 2 2 2 2f x x x x x x x
1 πcos2 sin 22 6x x
，又 f x 的最小正周期为 π ，∴ 1 .
∴ πsin 2 6f x x
.
令 π π 3π2 π 2 2 π2 6 2k x k ，得 1 5π π π π,3 6k x k k Z ，
∴函数 f x 的单调递减区间为 1 5π π, π π ,3 6k k k Z .
（2）∵ π0 2x ，∴ π π 5π26 6 6x ，∴ 1 πsin 2 12 6x
,
故 f x 的值域为 1 ,12
.
典例 6 已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且角 满足 ，若 ， 边上的中
线长为 ，求 的面积 .
13
（2） ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，则 ，
又 上的中线长为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，①
由余弦定理得 ，所以 ，②
由①②得： ，
所以 .
7．已知向量 2 sin ,sin cos , 3 cos , sin cos ( 0)x x x x x x a b ，函数 f x a b 的最
大值为 2 .
（1）求函数 f x 的单调递减区间；
（2）在 ABC△ 中，内角 A B C、 、 的对边分别为 2,cos 2
b aa b c A c
、 、 ，若 0f A m 恒成立，
求实数 m 的取值范围.
14
1．下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 ( , )2
上单调递减的函数是
A． sin 2y x B． 2 cosy x
C． cos 2
xy D． tany x
2．函数 f(x)=cos2x＋2sinx 的最大值与最小值的和是
A．−2 B．0
C． 3
2
D． 1
2
3．函数 1
2
log sin(2 )4y x 的单调减区间为
A． ( , ]( )4k k k Z B． ( , ]( )8 8k k k Z
C． 3( , ] ( )8 8k k k Z D． 3( , ]( )8 8k k k Z
4．设函数 ( ) 2sin( )f x x ， xR ，其中 0 ，| | ．若 5( ) 28f ， ( ) 08f ，且 ( )f x
的最小正周期大于 2，则
A． 2
3
，
12
B． 2
3
，
12
C． 1
3
，
24
D． 1
3
，
24
5．已知函数 （ ， ），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 的
图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
6．函数 （ ， ）的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单
位后得到函数 的图象，若函数 在区间 ( )上的值域为 ，则 等于
15
A． B．
C． D．
7．已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则
A． B．
C． D．
8．若函数 的最大值为 ，则 的最小正周期为__________．
9．已知函数 ， ，直线 与 、 的图象分别交于 、 两点，则
的最大值是________．
10．函数 的最大值是__________．
11．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 的图象，则 的最大
值是__________．学+
12．已知函数 ，若 ，则 __________．
13．设函数 2cos cos 3sinf x x x x xR .
（1）求函数 y f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 π0, 2x
时，求函数 f x 的最大值.
16
14．已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，求 .
15．已知向量 ， ，设函数 ．
（1）若函数 的图象关于直线 对称，且 时，求函数 的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当 时，函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
16．已知函数 的图象经过点 .
（1）求 的值，并求函数 的单调递增区间；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
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1．（2018 天津理科）将函数 sin(2 )5y x 的图象向右平移
10
个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 3 5[ , ]4 4
上单调递增 B．在区间 3[ , ]4
上单调递减
C．在区间 5 3[ , ]4 2
上单调递增 D．在区间 3[ ,2 ]2
上单调递减
2．（2017 新课标全国Ⅰ理科）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π
3
)，则下面结论正确的是
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π
6
个单位长度，得
到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，得
到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π
6
个单位长度，得
到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，
得到曲线 C2
3．（2017 新课标全国Ⅲ理科）设函数 π( 3cos )f x x ，则下列结论错误的是
A． ( )f x 的一个周期为 2π
B． ( )y f x 的图象关于直线 8π
3x 对称
C． ( π)f x 的一个零点为 π
6x
D． ( )f x 在( π
2 , π )单调递减
4．（2018 北京理科）设函数 f（x）= πcos( )( 0)6x ，若 π( ) ( )4f x f 对任意的实数 x 都成立，则ω的最
小值为__________．
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5．（2018 新课标全国Ⅲ理科）函数 πcos 3 6f x x
在 0 π， 的零点个数为________．
6．（2017 新课标全国Ⅱ理科）函数 2 3sin 3 cos 4f x x x ( π0, 2x
)的最大值是 .
7．（2017 浙江）已知函数 2 2sin cos 2 3sin cos ( )( ) x x xf x x x R ．
（1）求 2( )3f 的值．
（2）求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间．
8．（2017 江苏）已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0,π].x x x a b
（1）若 a∥b，求 x 的值；
（2）记 ( )f x a b ，求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
变式拓展
1．【答案】C
【解析】 ，由 是正三角形可知 ，
则 .令 ，代入 可得
，解得 .故选 C.
19
2．【解析】(1)由函数的图象可知, ,解得 .
设函数 f(x)的最小正周期为 T,则由题意得 - ,所以 T=π,
所以 2π
=π,解得ω=2.
因为函数 f(x)的图象过点( π
12 ,2),且 0
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