高考数学（理）考点一遍过考点24 数列的综合应用-之

1 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、等比数 列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法． 考向一 等差、等比数列的综合应用 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系， （1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽 出来，研究这些项与序号之间的关系； （2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列 各自的特征进行求解． 典例 1 已知数列 na 的各项均为整数， 8 2a   ， 13 4a  ，前 12 项依次成等差数列，从第 11 项起依次 成等比数列，则 15a  A．8 B．16 C．64 D．128 【答案】B 【解析】设由前 12 项构成的等差数列的公差为 d ，从第 11 项起构成的等比数列的公比为 q ， 由  22 12 13 11 2 4 42 3 daa a d      ，解得 1d  或 3 4d  ，又数列  na 的各项均为整数，故 1d  ，所以 2 13 12 2aq a   ，所以 11 10 12 2 13n n n na n     ， ， ，故 4 15 2 16a   . 故选 B． 【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用 等差数列、等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值. 典例 2 已知等差数列 na 中， 1 2 42, 16a a a   . （1）设 2 na nb  ，求证：数列 nb 是等比数列； （2）求 n na b 的前 n 项和. 【答案】（1）见解析；（2）   3 23 1 1 422 7 7 nn n     . 【解析】（1）设等差数列 na 的公差为 d ， 由 2 4 16a a  ，可得   1 1 3 16a d a d    ，即 12 4 16a d  . 又由 1 2a  ，可得 3d  . 故    1 1 2 1 3 3 1na a n d n n         ， 依题意， 3 12 n nb  ， 因为 3 2 31 3 1 2 22 n n n n b b     （常数）， 故 nb 是首项为 4，公比 8q  的等比数列. （2）因为 na 的前 n 项和为    1 3 1 2 2 nn a a n n  ，  nb 的前 n 项和为 3 1 3 3 21 4 2 2 1 421 1 8 7 7 n nnb b q q         ， 故 n na b 的前 n 项和为   3 23 1 1 422 7 7 nn n     . 【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中 熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解 3 本题时，（1）设 na 的公差为 d ，由题意求得 3d  ，即可求得数列的通项公式，进而得到数列 nb 的通 项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得 na 的前 n 项和和 nb 的前 n 项和，即可 得到数列 n na b 的前 n 项和. 1．已知公差不为零的等差数列 na 和等比数列 nb 满足： 1 1 2 43,a b b a   ，且 1 4 13, ,a a a 成等比数列. （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）令 n n n ac b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nS . 考向二 数列与函数、不等式等的综合应用 1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数 的观点来研究数列． 解决数列与函数综合问题的注意点： （1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群 孤立的点． （2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的 问题． （3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； （3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相 邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式． 典例 3 已知数列 满足 = ． 4 （1）求证：数列 是等比数列; （2）若 恒成立,求实数 的取值范围． 典例 4 已知函数 满足 且 . （1）当 *nN 时，求 的表达式； （2）设 ， ，求证： … ； （3）设       19n f nb n f n   ， ， 为 的前 项和，当 最大时，求 的值. 5 ∴数列 是一个首项是 4，公差为 的等差数列， ∴当 时， ；当 时， ；当 时， . 故当 或 时， 取得最大值，为 8 7 14 8 ( ) 182 2      . 2．已知数列 na 为等比数列，数列 nb 为等差数列，且 1 1 1b a  ， 2 1 2b a a  ， 3 32 6a b  . （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）设 2 1 n n n c b b   ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，证明： 1 1 5 3nT  . 6 考向三 等差、等比数列的实际应用 1．数列实际应用中的常见模型 ①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 c ， c 是公差； ②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 q ， q 是公比； ③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式． 2．解答数列实际应用题的步骤 学￥ ①审题：仔细阅读题干，认真理解题意； ②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； ③求解：求出该问题的数学解； ④还原：将所求结果还原到实际问题中． 在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一 般入手，找到递推关系，再进行求解． 典例 5 某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每年比 上一年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年的纯利润(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年 的总支出-投资额). （1）从第几年开始获得纯利润? （2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以 48 万美元出售 该厂；②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂.问哪种方案较合算? 【解析】由题意,知每年的经费构成了以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 则 f(n)=50n-[12n+  1 2 n n  ×4]-72=-2n2+40n-72. （1）获得纯利润就是要求 f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得 20，所以 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数. 由条件得,f( 2013 1a  )=−1,f( 4 1a  )=1，∴ 2013 41 1 0a a    ,从而 4a + 2013a =2， 又等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，所以 2016S =  1 20162016 2 a a =  4 20132016 2 a a =2016， 因为 f( 2013 1a  )=−1,f( 4 1a  )=1,f(x)在 R 上单调递增，所以 4 1a  > 2013 1a  ,即 4a > 2013a ， 故选 D． 【名师点睛】本题解题的关键是由题意合理构造函数 f(x)=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确 4a + 2013a =2，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解. 学￥ 24 8．【答案】B 9．【答案】 3 【解析】∵数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，∴ 1000 1018 10092 2πa a a   ，即 1009 πa  ； 2 6 2012 1009 2b b b   .∴ 2 2016 1009 2 3 2015 1009 2 2πtan tan tan 31 1 3 a a a b b b       . 故答案为 3 . 10．【答案】( 1 2 ， 3 2 ) 【解析】因为 1 2 1n na a n    ，所以  1 2 1 2n na a n n    ，两式作差得 1 1 2n na a    2n  ， 数 列  na 中 ， 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 为 公 差 等 于 2 的 等 差 数 列 ， 又 由 条 件 可 得 1a m ， 2 3 43 , 2 , 5a m a m a m      ，若数列 na 为递增数列，则只需 1 2 3a a a  ，解得 1 3 2 2m  . 故填( 1 2 ， 3 2 ). 【名师点睛】本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列 1 3 5, , ,a a a 和数列 2 4 6, , ,a a a  分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据 1 0n na a   求解，注意分类讨论，即当 n 为奇（偶） 数时， 1n  为偶（奇）数. 11．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 25 【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列： 11 2 1n na a   （ ），再根据等比数列的定义给予证明； （2）先根据等比数列通项公式求得 1 2n na   ，即得 na 的通项公式，再根据分组求和法得 nS ，最 后判断 2n nn S a  是否成立. 12．【答案】（1） 72n na  ， *nN ；（2） 2 2 2 13nT n n  . 【解析】（1）设等比数列 na 的公比为 q ，则 0q  . 因为 1 2 1 1 2 n n na a a    ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 2 n n na q a q a q   ， 因为 0q  ，解得 2q  . 所以 1 71 2 264 n n na     ， *nN . （2）    2 21 logn n nb a          2 27 21 log 2 1 7n nn n       . 26 设 7nc n  ，则    21 n n nb c   . 2 1 2 3 4nT b b b b    2 1 2n nb b       2 2 2 1 2 3c c c            2 2 2 4 2 1 2n nc c c          1 2 1 2 3 4c c c c c c          3 4 2 1 2n nc c c c     2 1 2n nc c  1 2 3 4 2 1 2n nc c c c c c       2 6 2 7 2 n n      2 13n n  22 13n n  . 13．【答案】（1） 4 4na n  ；（2）见解析. 所以 32 2nT n  . 【名师点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项， 保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是 27 此法的根源与目的． 14．【答案】（1）an=2n−1；（2） 1 2 36 2n n nT    .   2 11 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 n n nT n                              111 2 1 2 n            12 1 2 n n        2 33 2n n  ， 所以 1 2 36 2n n nT    ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差 数列的性质、错位相减法的合理运用． 15．【答案】（1）见解析；（2）11. 【解析】（1）设等差数列 na 的公差为 d ，      2 2 1 1 1 2 1 1a f x x x x        ，      2 3 1 1 2 1 1a f x x x       2 4 4x x   ， 因为 1 3 22a a a  ， 2 2a  ， 28 所以 2 2 4 4 4x x x    ，解得 0x  或 2x  当 0x  时， 1 0a  ， 2 2a  ， 3 4a  ，此时 2d  ， 2 2na n  ； 当 2x  时， 1 4a  ， 2 2a  ， 3 0a  ，此时 2d   ， 2 6na n   . （2）若 na 单调递增，则 0d  ， 2 2na n  ，  0 2 2 12n nS n n n     ， 由不等式  1 100n n   解得 1 401 102n   （且 1 401 112   ）， 所以 n 的最小值为 11. 直通高考 1．【答案】B 【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如  2ln 1,e 1,e 1 0 .x xx x x x x       2．【答案】A 【解析】设等差数列 na 的公差为 d ，由 a2，a3，a6 成等比数列可得 2 3 2 6a a a ，即     21 2 1 1 5d d d    ，整理可得 2 2 0d d  ，又公差不为 0 ，则 2d   ，故 na 前 6 项的和 为      6 1 6 6 1 6 6 16 6 1 2 242 2S a d             .故选 A． 学￥ 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就 能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量 代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 29 3．【答案】1 【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 d 和 q ，则 31 3 8d q     ，求得 2, 3q d   ， 那么 2 2 1 3 12 a b    ． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方 程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大 部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前 n 项和公式列方程求出等差数列的首项 1a 和公 差 d 及等比数列的公比 q ，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出 数列 2 2 1{ }n na b  的前 n 项和． 故 2 32 4 5 4 8 4 (3 1) 4n nT n          ， 2 3 4 14 2 4 5 4 8 4 (3 4) 4 (3 1) 4n n nT n n              ， 上述两式相减，得 2 3 13 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4n n nT n              30 112 (1 4 ) 4 (3 1) 41 4 n nn       1(3 2) 4 8nn      ， 即 13 2 843 3 n n nT    ， 所以数列 2 2 1{ }n na b  的前 n 项和为 13 2 843 3 nn    ． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比， 进而写出通项公式及前 n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相 加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 5．【解析】（1）设数列{ }nx 的公比为 q ，由已知 0q  . 31 所以 (2 1) 2 1.2 n n nT    【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列 问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式 是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解 析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能 力等. 6．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用 能力. 1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b b b            2 31 1 1(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 32 2 2 n nn n           . 设 2 21 1 13 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 22 2 2 n nT n n          ， 2 2 11 1 1 1 13 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n n            32 所以 2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n            ， 因此 2114 (4 3) ( ) , 22 n nT n n     ， 又 1 1b  ，所以 2115 (4 3) ( )2 n nb n     . 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数 的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ” 的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种 情况求解. 学# 7．【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与 33 因为 (1, 2]mq ，则 11 2n mq q   ， 从而 1 1 2 01 nq bn    ， 1 1 01 nq bn   ，对 2,3, , 1n m  均成立． 因此，取 d=0 时， 1| |n na b b  对 2,3, , 1n m  均成立． 下面讨论数列 1 2{ }1 nq n    的最大值和数列 1 { }1 nq n   的最小值（ 2,3, , 1n m  ）． ①当 2 n m  时， 1 1 1  2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nq q nq q nq n q q q n n n n n n               ， 当 1 1 2 mq  时，有 2n mq q  ，从而 1( )  2 0n n nn q q q    ． 因此，当 2 1n m   时，数列 1 2{ }1 nq n    单调递增， 故数列 1 2{ }1 nq n    的最大值为 2mq m  ． ②设 ( ) ( )2 1xf x x  ，当 x>0 时， ln2 1( 0( n) l 2 2) xf x x     ， 所以 ( )f x 单调递减，从而 ( )f x