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考点 17 正、余弦定理及解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理
1．正弦定理
在 ABC△ 中，若角 A，B，C 对应的三边分别是 a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin sin
a b c= =A B C .正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1） sin sin sin, , , sin sin , sin sin , sin sin ;sin sin sin
A a C c B b a B b A a C c A b C c BB b A a C c
（2） ;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin
a b c a b a c b c a b c
A B C A B A C B C A B C
（3） : : sin :sin :sin ;a b c A B C
（4）正弦定理的推广： = = =2sin sin sin
a b c RA B C
，其中 R 为 ABC△ 的外接圆的半径.
3．解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
4．在 ABC△ 中，已知 a ，b 和 A 时，三角形解的情况
2
二、余弦定理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos 2 cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ，
2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos , cos ,cos2 2 2
b c a c a b a b cA B Cbc ca ab
.
3．解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
4．利用余弦定理解三角形的步骤
3
三、解三角形的实际应用
1．三角形的面积公式
设 ABC△ 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S.
（1） 1
2S ah (h 为 BC 边上的高)；
（2） 1 1 1sin sin sin2 2 2S bc A ac B ab C ；
（3） 1 ( )2S r a b c ( r 为三角形的内切圆半径)．
2．三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．
3．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
③南偏西等其他方向角类似．
4
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．
4．解三角形实际应用题的步骤
考向一 利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不
明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．
常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在 ABC△ 中， π A B C ，其变式有： πA B C ， π
2 2 2
A B C 等．
（2）三角形中的三角函数关系：！网
iin( s ns )A B C ； ( ) sos coc A B C ；
sin cos2 2
A B C ； cos sin2 2
A B C .
典例 1 在 ABC△ 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 c
a
的值为
5
A．1 B． 3
3
C． 5
5
D． 7
7
【答案】D
典例 2 已知 ABC△ 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ,线段 的垂直平分线交 于点 ,求 的长.
【解析】(1)因为 ,所以 .
由余弦定理得 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）知 ,
根据余弦定理可得 ，
所以 .
由正弦定理得 ，即 2 5 2 2
sin2
2
B
，解得 .
从而 2 5cos 5B .
6
设 的中垂线交 于点 ,
因为在 Rt BDE△ 中, ，所以 1 5
cos 22 5
5
BEBD B
，
因为 为线段 的中垂线，所以 .
1．在 ABC△ 中， a ,b , c 分别是角 A ， B ，C 的对边，且 2sin sin cos
sin cos
C B a B
B b A
，则 A =
A． π
6 B． π
4
C． π
3
D． 2π
3
2．在 ABC△ 中，边 上一点 满足 ， .
（1）若 ，求边 的长；
（2）若 ，求 .
考向二 三角形形状的判断
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相
应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，
得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 πA B C 这个结论．
提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.
典例 3 在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，满足 3cos cos sin sin cos 2A C A C B ，且
, ,a b c 成等比数列.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 2 , 2tan tan tan
a c b aA C B
,试判断三角形的形状.
7
（2）由 2
tan tan tan
a c b
A C B
,得 cos cos 2 cos
sin sin sin
a A c C b B
A C B
,
利用正弦定理可得 cos cos 2cos 1A C B ,
又因为 2π
3A C ,所以 π
3A C ,
所以 ABC△ 是等边三角形.
3．在 ABC△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若 ，则 ABC△
A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定是斜三角形 D．一定是直角三角形
考向三 与面积、范围有关的问题
（1）求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套
公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当
选择面积公式是解题的关键．
（2）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用
面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
典例 4 在 ABC△ 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；学科网
8
（2）若 ，求 ABC△ 面积的最大值．
【解析】（1）由已知和正弦定理得 ，
，
，解得 ．
（2）由余弦定理得： ，即 ，
整理得： ．
∵ （当且仅当 取等号），∴ ，即 ，
，
故 ABC△ 面积的最大值为 ．
【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦
定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一
的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进
行判断.
典例 5 在 ABC△ 中， ， 是 边上的一点.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 ABC△ 周长的取值范围.
【解析】（1）在 ADC△ 中，AD＝1， ，
所以 ＝ cos∠DAC＝1×2 ×cos∠DAC＝3,
所以 cos∠DAC＝ .
由余弦定理得 2 2 2 2 cosCD AC AD AC AD DAC ＝12＋1－2×2 ×1× ＝7，
所以 CD＝ .
（2）在 ABC△ 中，由正弦定理得 2 3 42πsin sin sin sin 3
AB BC AC
C A B
，
，
9
π π 30 , sin ,13 3 2A A
.
，故 ABC△ 周长的取值范围为 .
4．在 ABC△ 中，内角 所对的边分别是 ，已知 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 的取值范围．
5．在 ABC△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ABC△ 的面积 .
（1）求 ；
（2）若 、 、 成等差数列， ABC△ 的面积为 ，求 .
考向四 三角形中的几何计算
几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.
解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.
典例 6 如图，在 ABC△ 中， D 为 AB 边上一点，且 DA DC ，已知 π
4B ， 1BC .
（1）若 ABC△ 是锐角三角形， 6
3DC ，求角 A 的大小；
（2）若 BCD△ 的面积为 1
6
，求 AB 的长.
【解析】（1）在 BCD△ 中， π
4B ， 1BC ， 6
3DC ，
10
由正弦定理得
sin sin
BC CD
BDC B
，解得
21 32sin 26
3
BDC
，
所以 π
3BDC 或 2π
3
.
因为 ABC△ 是锐角三角形，所以 2π
3BDC .
又 DA DC ，所以 π
3A .
（2）由题意可得 1 π 1sin2 4 6BCDS BC BD △ ，解得 2
3BD ，
由余弦定理得 2 2 2 π2 cos 4CD BC BD BC BD 2 2 2 51 2 19 3 2 9
，解得 5
3CD ，
则 5 2
3AB AD BD CD BD .
所以 AB 的长为 5 2
3
.
6．如图，在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ， (sin cos )a b C C .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 π
2A ， D 为 ABC△ 外一点， 2DB ， 1DC ，求四边形 ABCD 面积的最大值.
考向五 解三角形的实际应用
解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可
用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角
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形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几
个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解
题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦
定理求解.
典例 7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15 15BAC 方向上，匀速向
北航行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 60 方向上，此时测得山顶 P 的仰角为 60 ，若山高为
2 3 千米，
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行10分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处的南偏东什么方向？
（2）在 BCD△ 中，由余弦定理得 6CD ，
在 BCD△ 中，由正弦定理得 2sinsin sin 2
CD BC CDBDBC CDB
,
所以山顶位于 D 处南偏东 45方向.
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7．某新建的信号发射塔的高度为 AB ，且设计要求为：29 米 AB 29.5 米.为测量塔高是否符合要求，先
取与发射塔底部 B 在同一水平面内的两个观测点 ,C D ，测得 60BDC ， 75BCD ， 40CD
米，并在点C 处的正上方 E 处观测发射塔顶部 A 的仰角为 30°，且 1CE 米，则发射塔高 AB
A． 20 2 1 米 B． 20 6 1 米
C． 40 2 1 米 D． 40 6 1 米
考向六 三角形中的综合问题
1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、
余弦定理与三角形的面积公式，建立如“ 2 2, ,a b ab a b ”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式
考查相关范围问题.
2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数
的化简、计算及考查相关性质等.
3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积
或基本不等式进行求解.
典例 8 在 ABC△ 中，已知 π
6C ，向量 (sin ,1)Am ， (1,cos )Bn ，且 m n .
（1）求 A 的值；
（2）若点 D 在边 BC 上，且3BD BC
uuur uuur ， 13AD ，求 ABC△ 的面积．
【解析】（1）由题意知 sin cos 0A B m n ，又 π
6C ， πA B C ，所以 5πsin cos( ) 06A A ，
即 3 1cos sin 0s n 2i 2A AA ，即 πsin( ) 06A .
又 0 5π
6A ，所以 π π 2π( , )6 6 3A ，所以 π 06A ，即 π
6A .
（2）设| |BD x
uuur ，由3BD BC
uuur uuur ，得| | 3BC x
uuur ，由（1）知 π
6A C ，所以| | 3BA x
uur
, 2π
3B .
在 ABD△ 中，由余弦定理，得 2 22 2π( 3 ) 213) ( 33 cosx x x x ，解得 1x ，所以 3AB BC ，
13
所以 · ·sin 3 3 sin1 1 2π 9 3
2 2 3 4ABCS BA BC B △ .
典例 9 ABC△ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
（1）若 a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
（2）若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值．
【解析】（1）因为 a，b，c 成等差数列，所以 a＋c＝2b.
由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B.
因为 sin B＝sin[ π －(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以 sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
（2）因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac.
由余弦定理得 cos B＝a2＋c2－b2
2ac
＝a2＋c2－ac
2ac
≥2ac－ac
2ac
＝1
2
，
当且仅当 a＝c 时等号成立．
所以 cos B 的最小值为 1
2 .
8．已知函数 （ ）的图象上相邻的最高点间的距离是 .
（1）求函数 的解析式；
（2）在锐角 ABC△ 中，内角 满足 ，求 的取值范围.
1．在 ABC△ 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若 a＝ 6 ，b＝3，B＝60°，则 A=
A．45° B．45°或 135
C．135° D．60°或 120°
2．在△ABC 中，若 tanA·tanB＜1，则该三角形一定是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
3．在 ABC△ 中， ， ，则角 的取值范围是
14
A． B．
C． D．
4． ABC△ 中， 2AB ， 10BC ， 1cos 4A ，则 AB 边上的高等于
A． 3 15
4
B． 3
4
C． 3 15
2
D．3
5．已知 ABC△ 的面积为 ， ，则 的最小值为
A． B．
C． D．
6．设 ABC△ 的三个内角 所对的边分别为 ，如果 ，且 ，
那么 ABC△ 外接圆的半径为
A．2 B．4
C． D．1
7．已知 ABC△ 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则
A．2 B．
C． D．
8．若 ABC△ 的三个内角 所对的边分别是 ， ，且 ，则
A．10 B．8
C．7 D．4
9．已知 ABC△ 的面积为 ，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
A．2 B．4
C． D．
10．在 ABC△ 中，D 为 BC 边上一点，若 ABD△ 是等边三角形，且 4 3AC ，则 ADC△ 的面积的最
15
大值为 .
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30 的方
向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度
CD ___________m.
12．在 ABC△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 的值．
13．在 ABC△ 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知向量 ( , 3 )b am ， (cos ,sin )B An ，
且 ∥m n ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 2b ， ABC△ 的面积为 3 ，求 a c 的值．
16
14．如图所示，在 ABC△ 中, 点 D 为 BC 边上一点，且 1BD , E 为 AC 的中点, 3 ,2AE 2 7cos ,7B
2π
3ADB .
（1）求 AD 的长；
（2）求 ADE△ 的面积.
15．在 ABC△ 中， , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 cos , cos , cosa C b B c A成等差数列．
（1）求 B 的值；
（2）求 22sin cosA A C 的范围．
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16．已知函数
（1）当 时，求 的值域；学科网
（2）在 ABC△ 中，若 求 ABC△ 的面积.
1．（2017 山东理科）在 ABC△ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ， c ．若 ABC△ 为锐角三角形，且
满足sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C ，则下列等式成立的是
A． 2a b B． 2b a
C． 2A B D． 2B A
2．（2018 新课标全国Ⅱ理科）在 ABC△ 中， 5cos 2 5
C ， 1BC ， 5AC ，则 AB
A． 4 2 B． 30
C． 29 D． 2 5
3．（2018 新课标全国Ⅲ理科） ABC△ 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ABC△ 的面积为
2 2 2
4
a b c ，则C
A． π
2 B． π
3
18
C． π
4
D． π
6
4．（2017 浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结 CD，则△BDC
的面积是______，cos∠BDC=_______．
5．（2018 新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形 ABCD 中， 90ADC ， 45A ， 2AB ， 5BD .
（1）求 cos ADB ；
（2）若 2 2DC ，求 BC .
6．（2017 新课标全国Ⅰ理科） ABC△ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC△ 的面积为
2
3sin
a
A
.
（1）求 sin Bsin C;
（2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求 ABC△ 的周长.
7．（2017 新课标全国Ⅱ理科） ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 2sin 8sin 2
BA C ．
（1）求 cos B ；
（2）若 6a c ， ABC△ 的面积为 2 ，求 b ．
8．（2018 北京理科）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=– 1
7
．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求 AC 边上的高．
19
9．（2017 天津理科）在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 a b ， 5, 6a c ， 3sin 5B ．
（1）求b 和sin A 的值；
（2）求 πsin(2 )4A 的值．
变式拓展
1．【答案】C
2．【解析】（1）∵ ，∴在 Rt ABD△ 中， ，∴ ，
20
在 ABC△ 中， ，
由余弦定理可得， ，
所以 .
（2）在 ACD△ 中，由正弦定理可得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
化简得 ，即 ，
∵ ，∴ .
3．【答案】D
【解析】已知 ，利用正弦定理化简得： ，
整理得： ，
， ，即 .
则 ABC△ 为直角三角形.故选 D．
4．【解析】（1）由正弦定理可得： ，
又 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
21
5．【解析】（1）∵ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ .
（2）∵ 、 、 成等差数列，∴ ，
两边同时平方得： ，
又由（1）可知： ，
∴ ，
∴ ， ，
由余弦定理得， ，得 ，
∴ .
6 ．【 解 析 】（ 1 ） 在 ABC△ 中 ， 由 (sin cos )a b C C ， 得 sin sin (sin cos )A B C C ， 即
sin( ) sin (sin cos )B C B C C ， cos sin sin sinB C B C ，又sin 0C ，∴ cos sinB B ，即
tan 1B ，∵ (0,π)B ，∴ π
4B .
（2）在 BCD△ 中， 2BD ， 1DC ，
2 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosBC D D .
又 π
2A ，∴ ABC△ 为等腰直角三角形，
则 21 1 1 5 cos2 2 4 4ABCS BC BC BC D △ ，
22
又 1 sin sin2BDCS BD DC D D △ ， 5 5 πcos sin 2 sin( )4 4 4四边形ABCDS D D D ，
故当 3π
4D 时，四边形 ABCD 的面积有最大值，最大值为 5 24
.
7．【答案】A
【解析】过点 E 作 EF AB ，垂足为 F ，则 , 1EF BC BF CE 米， 30AEF ，
在 BDC△ 中，由正弦定理得 sin 40 sin60 20 6sin sin45
CD BDCBC CBD
米.
在 Rt AEF△ 中， 3tan 20 6 20 23AF EF AEF 米.
所以 1 20 2AB AF BF 米，符合设计要求.故选 A．
8．【解析】（1） .
因为函数 图象上相邻的最高点间的距离是 ，所以 ，
由 ， ，得 ，
所以 .
（2）由 得 ，即 ，
则 ，
又 ，所以 .
因为 ABC△ 是锐角三角形，所以 ，
则 ，所以 ，
故 .
考点冲关
1．【答案】A
【解析】∵a＝ 6 ，b＝3，B＝60°，∴由正弦定理可得 6 3
sin sin 60A
，∴sinA＝
36 22 =3 2
.又
a
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