1
（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
（2）能用圆的方程解决一些简单的问题.
一、圆的方程
圆的标准方程 圆的一般方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程 2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r 2 2 2 20( 4 0)x y Dx Ey F D E F
圆心 ( , )a b ( , )2 2
D E
半径 r 2 21 42 D E F
区别与
联系
（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；
（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程
注：当 D2+E2－4F = 0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F = 0 表示一个点 ( , )2 2
D E ；当 D2+E2－4F＜0 时，方程
x2+y2+Dx+Ey+F = 0 没有意义，不表示任何图形．
二、点与圆的位置关系
标准方程的形式 一般方程的形式
点（x0，y0）在圆上 2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r 2 2
0 0 0 0 0x y Dx Ey F
点（x0，y0）在圆外 2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r 2 2
0 0 0 0 0x y Dx Ey F
2
点（x0，y0）在圆内 2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r 2 2
0 0 0 0 0x y Dx Ey F
三、必记结论
（1）圆的三个性质
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．
①同心圆系方程： 2 2 2 0( ) ( ) ( )x a y b r r ，其中 a，b 为定值，r 是参数；
②半径相等的圆系方程： 2 2 2 0( ) ( ) ( )x a y b r r ＝ ，其中 r 为定值，a，b 为参数．
考向一 求圆的方程
1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一
般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦
心距、弦长的一半构成直角三角形”．
典例 1 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 1,3 的圆的方程是
A． 22 2 1x y B． 22 2 1x y
C． 22 3 1x y D． 22 3 1x y
【答案】C
【解析】设圆心坐标为 0,a ， 圆的半径为 1，且过点 1,3 ， 2 20 1 3 1a ，解得 3a ，
所求圆的方程为 22 3 1x y .
故选 C.
3
【名师点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.设出圆心坐标，利用半径为 1，且过
点 1,3 ，即可求得结论.
1．已知圆 2 2: 6 8 4C x y ，O 为坐标原点，则以 OC 为直径的圆的方程为
A． 2 23 4 100x y B． 2 23 4 100x y
C． 2 23 4 25x y D． 2 23 4 25x y
考向二 与圆有关的对称问题
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
典例 2 （1）已知圆 C1：（x+1）2+（y－1）2 =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1=0 对称，则圆 C2 的方程
为
A． 2 2(( ) )2 2 1x y B． 2 2(( ) )2 2 1x y
C． 2 2(( ) )2 2 1x y D． 2 2(( ) )2 2 1x y
（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9 上相异两点 P，Q 关于直线 kx+2y－4=0 对称，则 k 的值为_________．
【答案】（1）B；（2）2．
【解析】（1）圆 C1 的圆心为（－1，1），半径长为 1，设圆 C2 的圆心为（a，b），
由题意得 1 1 1 02 2
a b 且 1= 1+1
b
a
，解得 a=2，b=－2，
所以圆 C2 的圆心为（2，－2），且半径长为 1，故圆 C2 的方程为（x－2）2+（y+2）2=1．
（2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9 的圆心为（－1，3），
4
由题设知，直线 kx+2y－4=0 过圆心，则 k×（－1）+2×3－4=0，解得 k=2．
2．圆 2 2 2 1 0x y ax y 关于直线 1x y 对称的圆的方程为 2 2 1x y ，则实数 a 的值为
A．0 B．1
C．±2 D．2
考向三 与圆有关的轨迹问题
1．求轨迹方程的步骤如下：
建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标 ,( )M x y ．
写集合：写出满足复合条件 P 的点 M 的集合 |M P M ．
列式：用坐标表示 P M ，列出方程 , 0f x y ．
化简：化方程 , 0f x y 为最简形式．
证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．求与圆有关的轨迹方程的方法
典例 3 已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点
为 M，O 为坐标原点．
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|时，求直线 l 的方程及 POM△ 的面积．
5
【答案】（1）M 的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l 的方程为 y＝－1
3x＋8
3
， POM△ 的面积为16
5
．
3．已知点 2,2P ，圆C ： 2 2 8 0x y y ，过点 P 的动直线l 与圆C 交于 ,A B 两点，线段 AB 的中点为
M ，O 为坐标原点.
（1）求 M 的轨迹方程；
（2）当 OP OM 时，求l 的方程及 POM△ 的面积.
考向四 与圆有关的最值问题
对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的
特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根
据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．
6
典例 4 与直线 4 0x y 和圆 2 2 2 2 0x y x y 都相切的半径最小的圆的方程是
A． 2 21 1 2x y B． 2 21 1 4x y
C． 2 21 1 2x y D． 2 21 1 4x y
【答案】C
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题.
典例 5 已知点 ( ),x y 在圆 2 2( ) (2 3) 1x y + + 上．
（1）求 x y 的最大值和最小值；
（2）求 y
x
的最大值和最小值．
【答案】（1）x y 的最大值为 2 1 ，最小值为 2 1 ；（2）y
x
的最大值为 2 32 3
，最小值为 2 32 3
.
【解析】（1）设t x y + ，则 y x t ＝ ，t 可视为直线 y x t ＝ 的纵截距，
∴x＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵
截距． 学@#
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 | 2 ( 3) | 1
2
t ，解得 2 1t 或 2 1t ．
∴ x y 的最大值为 2 1 ，最小值为 2 1 ．
（2） y
x
可视为点 ( ),x y 与原点连线的斜率， y
x
的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率
的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为 y kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即
2
| 2 3| 1
1
k
k
，解得
7
2 32 3k 或 2 32 3k ．
∴ y
x
的最大值为 2 32 3
，最小值为 2 32 3
．
【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值
（1）记 O 为圆心，圆外一点 A 到圆上距离最小为| |AO r ，最大为| |AO r ；
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；
（3）记圆心到直线的距离为 d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为 d r ，最小距离为 d r ；
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．
2．与圆的代数结构有关的最值
（1）形 y b
x a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如 2 2( ) ( )x a y b 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
4．已知方程 2 2 4 2 4 0x y x y ，则 2 2x y 的最大值是
A．14－ 6 5 B．14＋ 6 5
C．9 D．14
1．若方程 2 24 4 8 4 3 0x y x y 表示圆，则其圆心为
A． 11, 2
B． 11, 2
C． 11, 2
D． 11, 2
2．若直线 0x y a 是圆 2 2 2 0x y x 的一条对称轴，则 a 的值为
8
A．1 B． 1
C．2 D． 2
3．对于 aR ，直线 1 2 1 0a x y a 恒过定点 P ，则以 P 为圆心，2 为半径的圆的方程是
A． 2 2 4 2 1 0x y x y B． 2 2 4 2 3 0x y x y
C． 2 2 4 2 1 0x y x y D． 2 2 4 2 3 0x y x y
4．若过点 2,0 有两条直线与圆 2 2 2 2 1 0x y x y m 相切，则实数 m 的取值范围是
A． , 1 B． 1,
C． 1,0 D． 1,1
5．已知 A（－4，－5）、B（6，－1），则以线段 AB 为直径的圆的方程
A．（x＋1）2＋（y－3）2＝29 B．（x－1）2＋（y＋3）2＝29
C．（x＋1）2＋（y－3）2＝116 D．（x－1）2＋（y＋3）2＝116
6．圆 上的点到直线 的距离最大值是
A． B．
C． D．
7．圆C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线
2
2 13
yx 的渐近线截得的弦长为 3 ，则圆C
的方程为
A． 22 1 1x y B． 22 3 3x y
C．
2
2 3 12x y
D． 22 2 4x y
8．若直线 1 0l ax by ： 经过圆 M： 2 2 4 2 1 0x y x y 的圆心，则 2 22 ( 2)a b 的最小值为
A． 5 B．5
C． 2 5 D．10
9．已知圆C ： 2 23 4 1x y 与圆 M 关于 x 轴对称，Q 为圆 M 上的动点，当Q 到直线 2y x 的
9
距离最小时，Q 点的横坐标为
A． 22 2
B． 22 2
C． 23 2
D． 23 2
10．过点 ( )1,1P 的直线将圆形区域 2 2{( ) 4|, }x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该
直线的方程为
A． 2 0x y B． 1 0y
C． 0x y D． 3 4 0x y
11．已知点 1,,Q m ， P 是圆C ： 2 22 4 4x a y a 上任意一点，若线段 PQ 的中点 M 的轨
迹方程为 22 1 1x y ，则 m 的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
12．已知圆 2 2: 2 2 3 3 0C x y x y ，点 0, ( 0)A m m ， A B、 两点关于 x 轴对称．若圆 C 上存
在点 M ，使得 0AM BM ，则当 m 取得最大值时，点 M 的坐标是
A． 3 3 2,2 2
B． 3 2 3,2 2
C． 3 3 3,2 2
D． 3 3 3,2 2
13．在平面直角坐标系中，三点 0,0O , 2,4A ， 6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是__________．
14．设点 M（x0,1），若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠OMN＝45°，则 x0 的取值范围是________．
15．已知 x,y 满足 2x －4 x －4＋ 2y ＝0, 则 2 2x y 的最大值为________．
16．已知圆C 的圆心坐标为 0 0,C x x ，且过定点 6,4P ．
（1）写出圆C 的方程；
（2）当 0x 为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．
10
17．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 1,2A ， 0,0O .
（1）在 x 轴的正半轴上求一点 M ，使得以OM 为直径的圆过 A 点，并求该圆的方程;
（2）在（1）的条件下，点 P 在线段OM 内，且 AP 平分 OAM ，试求 P 点的坐标.
18．已知圆过点 1, 2A ， 1,4B ．
求：（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线 2 4 0x y 上的圆的方程．
11
19．已知圆 2 2: 2 5C x y ，直线 : 1 2 0l mx y m ， mR ．
（1）求证：对 mR ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点 ,A B ；
（2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.
变式拓展
1．【答案】C
12
2．【答案】D
【解析】将圆 2 2 2 1 0x y ax y 化为标准方程为
2 2
212 4
a ax y
.
∴圆心坐标为 , 12
a
，半径为
2
a ， @网
∵圆 2 2 2 1 0x y ax y 关于直线 1x y 对称的圆的方程为 2 2 1x y ，∴ 1 0 1 1
02
a
，
∴ 2a ，故选 D.
【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时，
两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于 1 ，属于基础题．
3．【答案】（1） 2 21 3 2x y ；（2） 16
5
.
【解析】（1）圆C 的方程可化为 22 4 16x y ，
所以圆心为 0,4C ，半径为 4，
设 ,M x y ，则 , 4 , 2 ,2CM x y MP x y ，
由题意知 0CM MP ，故 2 4 2 0x x y y ，即 2 21 3 2x y ，
由于点 P 在圆C 的内部，
所以 M 的轨迹方程是 2 21 3 2x y .
13
【思路点拨】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由CM
与 MP
数量积等于 0 列式
得 M 的轨迹方程；
（2）设 M 的轨迹的圆心为 N ，由 OP OM 得到ON PM ．求出ON 所在直线的斜率，由直线方
程的点斜式得到 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径
及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立 x ， y 之间的关系 , 0F x y ；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点 ,P x y 依赖于另一动点 0 0,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点
,P x y 的轨迹方程．
4．【答案】B
【解析】由 2 2 4 2 4 0x y x y ，得圆的标准方程为 2 22 1 9x y ，表示以 2,1B 为圆
心，3为半径的圆，如图所示，
14
连接 OB ，并延长交圆于点 A ，此时 2 2x y 取得最大值，又 2 22 1 3 3 5OA OB r ,
所以 22 3 5 14 6 5OA ，即 2 2x y 的最大值为14 6 5 ，故选 B.
【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合
思想，借助圆的特征，找出适当的点 A ，把 2 2x y 的最大值转化为原点与 A 的距离的平方是解答的关
键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】圆的一般方程为： 2 2 32 04x y x y ，据此可得，其圆心坐标为： 2 1,2 2
，即 11, 2
.
本题选择 D 选项.
2．【答案】B
【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对
圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即
可得到 a 的值.
3．【答案】A
【解析】由条件知 1 2 1 0a x y a ，可以整理为 1 2 0,x y x a 故直线
1 2 1 0a x y a 过定点 P 2, 1 ，所求圆的方程为 2 22 1 4x y ，化为一般方程为
2 2 4 2 1 0x y x y ．故选 A．
4．【答案】D
15
【解析】圆的方程化为标准式为 2 21 1 1x y m ，
因为过点 2,0 有两条直线与圆 2 21 1 1x y m 相切，所以点 2,0 在圆外.
所以
2 2
1 0
2 1 0 1 1
m
m
，解不等式组得 1 1m ，故选 D.
【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题.由于有两条直线与圆相切，所以
可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得 m 的取值范围.
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】因为圆心 (1,1)C 到直线 的距离是 ，又圆 2 2 2 2 1 0x y x y 的半
径 ，所以圆 上的点到直线 的距离最大值是 ，故选 D．
7．【答案】A
【解析】设圆 C 的方程为 2 2 2( ) 0x y a a a ，圆心坐标为 0,a ，
∵双曲线
2
2 13
yx 的渐近线方程为 3y x ，圆被双曲线的渐近线截得的弦长为 3 ，
∴
2 2
23
2 2
a a
，∴a=1，∴圆 C 的方程为 x2+（y−1）2=1．故选 A．
【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂
直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，
与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所
以应该有三个独立等式．
16
8．【答案】B
【解析】由圆的方程知圆心为 2, 1 ，所以 2 1a b ， 2 22 ( 2)a b 的几何意义为直线 2 1a b
上的动点 ,a b 与定点 2,2 的距离的平方，故过点 2,2 向直线 2 1a b 作垂线段，其长的平方最小，
最小值为
2
2 4 2 1 5
5
d
，故选 B. 学@#
9．【答案】C
10．【答案】A
【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．
因为过点 ( )1,1P 的直径所在直线的斜率为 1，所以所求直线的斜率为 1 ，即方程为 2 0x y .
11．【答案】D
【解析】设 ,P x y ，PQ 的中点为 0 0,M x y ，则由中点坐标公式得
0
0
1
2
2
xx
y my
.因为点 0 0,M x y
在圆 22 1 1x y 上，所以
2 21 1 12 2
x y m
，即 2 21 2 4x y m .将此方程与
方程 2 22 4 4x a y a 比较可得
1
2 4 2
a
a m
，解得 4m .故选 D.
12．【答案】C
【解析】由题得圆的方程为 221 3 1,x y 0, ,B m 设 , ,M x y 由于 0AM BM ，所以
2 2 2 2 2 2, , 0, 0, ,x y m x y m x y m m x y 由于 2 2x y 表示圆 C 上的点到原点距
离的平方，所以连接 OC，并延长和圆 C 相交，交点即为 M，此时 2m 最大，m 也最大.
17
3 31 2 3, 60 , 3 sin30 , 3 sin60 3.2 2M MOM MOx x y
故选 C.
13．【答案】 2 2 6 2 0x y x y
【解析】设三角形OAB 的外接圆方程是 2 2 0x y Dx Ey F ，由点 0,0O , 2,4A ， 6,2B
在圆上可得，
0
4 16 2 4 0
36 4 6 2 0
F
D E
D E
，解得
0
6
2
F
D
E
，故三角形的外接圆方程为 2 2 6 2 0x y x y ，
故答案为 2 2 6 2 0x y x y .
【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:
①直接设出动点坐标 ,x y ，根据题意列出关于 ,x y 的方程即可；
②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；
③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
14．【答案】 [－1,1]
【解析】由已知圆心（0,0），半径 r＝1，M 位于直线 y＝1 上，过 M 作圆的切线，切点为 C，D（如图）．
则∠OMN≤1
2
∠CMD，∴∠CMD≥90°．
当∠CMD＝90°时，则 OCM△ 为等腰直角三角形，故 OC＝CM＝1．
∴所求 x0 的取值范围是－1≤x0≤1．
15．【答案】12 8 2
【解析】由题意，曲线 2 24 4 0x x y ，即为 2 22 8x y ， 所以曲线表示一个圆心在 2,0 ，
半径为 2 2 的圆，又由 2 2x y 表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为 2 ，
18
所以原点到圆上的点的最大距离为 2 2 2 ，所以 2 2x y 的最大值为 2
2 2 2 10 8 2 ．
【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把 2 2x y 转化为原点到圆上的点之
间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． @#网
16．【答案】（1） 2 2 2
0 0 0 0=2 20 52x x y x x x ；（2） 0 5x ， 2 25 5 2x y .
17．【答案】（1） M 5,0 ， 2 2 5 0x y x ；（2） 5 ,03
.
【解析】（1）依题意设 ,0M x ，
以OM 为直径的圆过 A 点，
0OA AM
.
又 1,2 , 1, 2OA AM x ，
1 1 2 2 0x ，
5x .
∴该圆的圆心坐标为 5 ,02
，半径 5
2r ，
故所求 M 的坐标为 5,0 ，圆的方程为 2 2 5 0x y x .
（2）设 P 的坐标为 ,0a ，依题可得，直线OA的方程为： 2 0x y ，
直线 AM 的方程为： 2 5 0x y .
因为 AP 平分 OAM ，
所以 P 点到直线OA和 AM 的距离相等.
2 2 2 2
2 5
2 1 1 2
a a
，得 2 5a a ，解得 5a 或 5
3a .
19
0 5a ，
5
3a ，
P 的坐标为 5 ,03
.
【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角
为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，
得到相应的等量关系式，求得结果.
18．【答案】（1）x2＋（y－1）2＝10；（2）（x－3）2＋（y－2）2＝20．
19．【答案】（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是
2
2 1 12 2 4x y
，它是一个以 12, 2
为圆心， 1
2
为半径的圆．
【解析】（1）圆 2 2: 2 5C x y 的圆心为 2,0C ，半径为 5 ，所以圆心 C 到直线
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