高考数学（理）考点一遍过考点33 空间向量与立体几何-之过

1 1．空间向量及其运算 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2．空间向量的应用 （1）理解直线的方向向量与平面的法向量. （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立 体几何问题中的应用. 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 定义 以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方 向，建立两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，建立了一 个空间直角坐标系O xyz 坐标原点 点 O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面 通过每两个坐标轴 的平面 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2 2．空间一点 M 的坐标 （1）空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( , , )x y z 来表示，记作 ( ), ,M x y z ，其中 x 叫做点 M 的横坐 标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标. （2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点 M 与有序实数组 ( , , )x y z 可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z 为空间两点， 则 ,A B 两点间的距离 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( )AB x x y y z z      . ②设点 ( ), ,P x y z ， 则点 ( ), ,P x y z 与坐标原点 O 之间的距离为 2 2 2| |OP x y z   . （2）中点公式 设点 ( ), ,P x y z 为 1 1 1 1, ),(P x y z ， 2 2 2 2, ),(P x y z 的中点，则 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x xx y yy z zz         . 4．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 单位向量 长度(或模)为 1 的向量 零向量 长度(或模)为 0 的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 3 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得 a＝λb. 牢记两个推论： （1）对空间任意一点 O，点 P 在直线 AB 上的充要条件是存在实数 t，使 (1 )OP t OA tOB     或 OP xOA yOB    （其中 1x y  ）. （2）如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上 的充要条件是存在实数 t，使OP OA t   a ，其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量，该式称为直线方程的 向量表示式. 2.共面向量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 x y p a b . 牢记推论：空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 AP xAB yAC    ；或 对空间任意一点 O，有OP OA xAB yAC      . 3.空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3） 0 不能作为基向量. 4.空间向量的运算 （1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量. 4 （2）空间向量的坐标运算 设 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a b b b a b ，则 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b    a b ， 1 2 3( , , )( )a a a      Ra ， 1 1 2 2 3 3a b a b a b   a b ， 1 1 2 2 3 3, , ( )b a b a b a           Ra b b a ， 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b      a b a b ， 2 2 2 2 1 2 3a a a   a a ， 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , a b a b a b a a a b b b        a ba b a b . 三、利用空间向量解决立体几何问题 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作 l ，显然一条直线的方向向量可以有 无数个. （2）若直线l  ，则该直线l 的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作 ,有无数多个，任 意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为 ( , , )x y z .在平面内找出（或求出）两个不共线的向量 5 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a b b b a b ，根据定义建立方程组，得到 0 0      a b   ，通过赋值，取其中一组解，得 到平面的法向量. 2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线 ,l m 的方向向量分别为 ,l m ，平面 ,  的法向量分别为 ,  . （1）线线平行：若 //l m ，则 ( )   Rl m l m ； 线面平行：若 //l  ，则 0   l l  ； 面面平行：若 //  ，则 ( )   R    . （2）线线垂直：若l m ，则 0   l m l m ； 线面垂直：若l  ，则 ( )   Rl l   ； 面面垂直：若  ，则 0       . 3.利用空间向量求空间角 设直线 ,l m 的方向向量分别为 ,l m ，平面 ,  的法向量分别为 1 2,n n . （1）直线 ,l m 所成的角为 ，则 π0 2   ，计算方法： cos  l m l m ； （2）直线l 与平面 所成的角为 ，则 π0 2   ，计算方法： 1 1 sin  l n l n ； （3）平面 ,  所成的二面角为 ，则 0 π  ， 如图①，AB，CD 是二面角α－l－β的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝ ,〈 〉AB CD   ． 如图②③， 1 2,n n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝ 1 2 1 2 n n n n ，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)． 6 4.利用空间向量求距离 （1）两点间的距离 设点 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z 为空间两点， 则 ,A B 两点间的距离 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z       . （2）点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则 B 到平面α的距离为 | || | | | ABBO   n n . 考向一 空间直角坐标系 对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标 的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合. 典例 1 如图，以长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建 立空间直角坐标系，若 1DB  的坐标为 4,3,2 ，则 1AC  的坐标为________. 【答案】  4,3,2 7 【解析】 如图所示，以长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系，因为 1DB  的坐标为 4,3,2 ，所以    14,0,0 , 0,3,2A C ,所以  1 4,3,2AC   . 1．如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|， N 在 D1C 上且为 D1C 中点，求 M、N 两点间的距离． 考向二 共线、共面向量定理的应用 1.判断两非零向量 ,a b 平行，就是判断 a b 是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线. 2.证明空间三点 P、A、B 共线的方法： ① PA PB  (λ∈R)； ②对空间任一点 O，OP OA t AB    (t∈R)； ③对空间任一点 O， ( 1)OP xOA yAB x y      ． 3.证明空间四点 P、M、A、B 共面的方法： ① MP xMA yMB    ； ②对空间任一点 O，OP OM xMA yMB      ； ③对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB      (x＋y＋z＝1)； ④ ∥PM AB   (或 ∥PA MB   或 ∥PB AM   ). 8 典例 2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且 =2 ，F 在体对角线 A1C 上，且 1 2 3A F FC  .求证：E,F,B 三点共线. 【解析】设 =a, =b, =c. ∵ =2 , 1 2 3A F FC  , ∴ b, 1 1 2 2 5 5A F AC   ( - )= 2 5 ( + - )= 2 5 a+ 2 5 b- 2 5 c. ∴ 1 1 2 5EF A F A E    a- 4 15 b- 2 5 c= 2 5 (a- 2 3 b-c). 又 + + =- 2 3 b-c+a=a- 2 3 b-c, ∴ 2 5EF EB  . ∴E,F,B 三点共线. 2．如图，已知 、 、 、 、 、 、 、 、 为空间中的 个点，且OE kOA  ，OF kOB  ， OH kOD  ， +AC AD mAB   ， +EG EH mEF   ， ， . 9 求证：（1） 、 、 、 四点共面， 、 、 、 四点共面； （2） AC EG  ∥ ； （3）OG kOC  . 考向三 利用向量法证明平行问题 1.证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行. 2.证明线面平行： （1）该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； （2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； （3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3.证明面面平行：两个平面的法向量平行. 典例 3 如图,已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中,E、M、N 分别是 BC、AE、CD1 的中点,AD＝AA1＝a,AB＝2a. 求证：MN∥平面 ADD1A1. 【解析】以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E( 1 2 a,2a,0), ∵M、N 分别为 AE、CD1 的中点, ∴M( 3 4 a,a,0),N(0,a, 2 a ).∴ 3 ,0( , )4 2 aMN a  . 10 取 n＝(0,1,0),显然 n⊥平面 A1D1DA,且 ·n＝0, ∴ ⊥n. 又 MN ⊄ 平面 ADD1A1，∴MN∥平面 ADD1A1. 3．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，求证： （1）FC1∥平面 ADE； （2）平面 ADE∥平面 B1C1F. 考向四 利用向量法证明垂直问题 1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． 2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． 3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 典例 4 如图,已知正四棱锥 V-ABCD 中,E 是 VC 的中点, 正四棱锥的侧面 VBC 为正三角形.求证:平面 VAC⊥ 平面 EBD. 【解析】如图，以 V 在底面 ABCD 内的射影 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz, 11 设 VB=VC=BC=2a,在 Rt△VOC 中,VO= a, ∴V(0,0, a),A( a,0,0),C(- a,0,0),B(0, a,0),D(0,- a,0),E( 2 2  a,0, 2 2 a), 则 =( 2 2  a, a, 2 2 a), =(0,-2 a,0), =(- a,0,- a). ∵ · =a2+0-a2=0, · =0, ∴ ⊥ , ⊥ ,即 DE⊥VC,BD⊥VC. ∵DE∩BD=D, ∴VC⊥平面 EBD. 又VC  平面 VAC, ∴平面 VAC⊥平面 EBD. 典例 5 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 求证:（1）AE⊥CD; （2）PD⊥平面 ABE. 【解析】（1）易知 AB,AD,AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. 12 设 PA=AB=BC=1,则 A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1). ∵∠ABC=60°, ∴△ABC 为正三角形, ∴C( 1 2 , 3 2 ,0),E( 1 4 , 3 4 , 1 2 ). 设 D(0,y0,0),由 AC⊥CD,得 · =0,即( 1 2 , 3 2 ,0)·(- 1 2 ,y0- 3 2 ,0)=0,解得 y0= 2 3 3 , ∴D(0, 2 3 3 ,0), ∴ =( 1 2  , 3 6 ,0). 又 =( 1 4 , 3 4 , 1 2 ), ∴ · =- + +0=0, ∴ ⊥ ,即 AE⊥CD. （2）方法一：由（1）知 =(0, 2 3 3 ,-1), ∴ · =0+ 3 2 3 4 3  + 1 2 ×(-1)=0, ∴ ⊥ ,即 PD⊥AE. ∵ =(1,0,0),∴ · =0, ∴PD⊥AB. 13 又 AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE. 方法二：由（1）知 =(1,0,0), =( 1 4 , 3 4 , 1 2 ). 设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· =0,n· =0,得 0 1 3 1 04 4 2 x x y z     , 令 y=2,则 z=- , ∴平面 ABE 的一个法向量为 n=(0,2,- ). ∵ =(0, 2 3 3 ,-1),显然 n, ∴ ∥n, ∴ ⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE. 4．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E ， F ， H 分别为 1 1A B ， 1 1B C ， 1CC 的中点. （1）证明： BE AH ； （2）在棱 1 1D C 上是否存在一点G ，使得 AG∥平面 BEF ？若存在，求出点 G 的位置；若不存在，请 说明理由. 考向五 用向量法求空间角 1.用向量法求异面直线所成的角 （1）建立空间直角坐标系； 14 （2）求出两条直线的方向向量； （3）代入公式求解，一般地，异面直线 AC，BD 的夹角β的余弦值为 | |cos | || | AC BD AC BD       . 2.用向量法求直线与平面所成的角 （1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角． 3.用向量法求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹 角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 典例 6 如图,在五棱锥 P ABCDE 中,PA⊥平面 ABCDE, 2 2 2PA AB AE BC DE     ,∠DEA= ∠EAB=∠ABC=90°. （1）求二面角 P DE A  的大小; （2）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值. 【解析】由题可知,以 AB、AE、AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 15 则          0,0,0 , 0,2,0 , 1,2,0 , 0,0,2 , 2,1,0A E D P C . 设平面 PDE 的法向量为  , ,x y zn ,又 =(1,0,0), =(0,-2,2). 由 0 2 2 0 ED x EP y z            n n ,得 0x y z    ,令 y=1,得  0,1,1n . （1）由于 PA⊥平面 ABCDE,则平面 ADE 的一个法向量为 =(0,0,2), 于是 cos= AP AP    n n = 2 2 2 = 2 2 , 所以=45°, 则二面角 P DE A  的大小为 45°. （2）由于 =(2,1,-2), 所以 cos< ,n>= PC PC     n n =  2 0 1 1 2 1 3 2        = 2 6  . 故 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 2 6 . 典例 7 如图，在五面体 ABCDEF 中，FA⊥平面 ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M 为 EC 的中点，AF＝ AB＝BC＝FE＝ 1 2 AD. （1）求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小； （2）证明：平面 AMD⊥平面 CDE； （3）求二面角 A－CD－E 的余弦值. 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系 A－xyz. 16 设 AB＝1，依题意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M( 1 2 ，1， 1 2 ). （1） ＝(－1,0,1)， ＝(0，－1,1)， 于是 cos〈 ， 〉＝ BF DE BF DE     ＝ ＝ ， 所以异面直线 BF 与 DE 所成角的大小为 60°. （2）由 ＝( 1 2 ，1， 1 2 )， ＝(－1,0,1)， ＝(0,2,0)，可得 · ＝0， · ＝0. 因此，CE⊥AM，CE⊥AD. 又 AD∩AM＝A， 故 CE⊥平面 AMD. 而 CE ⊂ 平面 CDE， 所以平面 AMD⊥平面 CDE. （3）设平面 CDE 的法向量为 u＝(x，y，z)，则 0 0 CE DE        u u ，于是 0 0 x z y z       ， 令 x＝1，可得 u＝(1,1,1). 又由题设，可知平面 ACD 的一个法向量为 v＝(0,0,1). 所以 cos〈u，v〉＝ ＝ 0 0 1 3 1    ＝ 3 3 . 因为二面角 A－CD－E 为锐角， 所以其余弦值为 3 3 . 17 5．如图，在斜三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， 1 3BB  ， 1 10AB  ， 1 60CBB   . （1）求证：平面 ABC  平面 1 1BCC B ； （2）求二面角 1B AB C  的正弦值. 考向六 用向量法求空间距离 1.空间中两点间的距离的求法 两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模．因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为 求向量的模. 2. 求点 P 到平面α的距离的三个步骤： （1）在平面α内取一点 A，确定向量 PA  的坐标． （2）确定平面α的法向量 n. （3）代入公式 | | | | PAd   n n 求解． 典例 8 如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=5,AB=12,则直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离是 18 A．5 B．13 2 C． 60 13 D．8 【答案】C 【解析】∵B1C1∥BC,且 1 1B C  平面 A1BCD1, BC 平面 A1BCD1,∴B1C1∥平面 A1BCD1，从而点 B1 到平面 A1BCD1 的距离为所求距离. 方法一：过点 B1 作 B1E⊥A1B 于点 E.∵BC⊥平面 A1ABB1,且 B1E  平面 A1ABB1,∴BC⊥B1E. 又 BC∩A1B=B,∴B1E⊥平面 A1BCD1.在 1 1Rt△A B B 中,B1E= 1 1 1 2 2 1 12 5 60 135 12 A B B B A B     , ∴直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离为 60 13 . 方法二：以 D 为坐标原点, , , 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,12,0),D1(0,0,5), 设 B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0),平面 A1BCD1 的法向量为 n=(a,b,c), 由 n⊥ ,n⊥ ,得 n· =(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,∴a=0,n· =(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,∴b= 5 12 c,令 c=12,则 b=5,∴n=(0,5,12)为平面 A1BCD1 的一个法向量. 又 =(0,0,-5),∴点 B1 到平面 A1BCD1 的距离 d= 1 60 13 B B    n n . 典例 9 如图,直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,AC=BC=1,AA1=3,∠ACB=90°,D 为 CC1 上的点,二面角 1A A B D  的余弦值为 3 6  . 19 （1）求证:CD=2; （2）求点 A 到平面 1A BD 的距离. 【解析】（1）以 C 为坐标原点，分别以 CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz , 则      11,0,0 0,1,0 1,0,3、 、A B A .设  0,0,D a . m=(1,1,0)是平面 1A AB 的一个法向量,设  , ,x y zn 是平面 1A BD 的法向量. =(1,0,3-a), =(0,1,-a),由 ·n=0, ·n=0,得  3 0x a z   , 0y az  , 取 3x a  ,得 y a  , 1z   ,即  3 , , 1a a   n . 由题设,知 2 2 3 2 3 3cos , | |6 62 (3 ) 1 a a a          m nm n m n ,解得 a=2 或 a=1, 所以 DC=2 或 DC=1. 但当 DC=1 时,显然二面角 1A A B D  为锐角,故舍去. 综上,DC=2. （2）由（1）,知 n=(1,-2,-1)为平面 1A BD 的一个法向量, 又 =(0,0,3),所以点 A 到平面 1A BD 的距离 d= 1AA  n n = 6 2 . 20 6．如图，在四棱锥 O−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，OA⊥底面 ABCD，OA=2，M，N，R 分别为 OA，BC，AD 的中点，求直线 MN 与平面 OCD 的距离及平面 MNR 与平面 OCD 的距离. 7．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 5, 1, 2,PB PD AB AP Q    是 CD 中点． （1）求点C 到平面 BPQ 的距离； （2）求二面角 A PQ B  的余弦值． 考向七 用向量法求立体几何中的探索性问题 1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的 数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说 明假设不成立，即不存在． 2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用，这样可减少坐标未知量． 典例 10 如下图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D 为 AC 的中点. 21 （1）求二面角 C1-BD-C 的余弦值; （2）在侧棱 AA1 上是否存在点 P,使得 CP⊥平面 BDC1?并证明你的结论. 【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0),所以 (0,3,2), (1,3,0). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 BDC1 的法向量,则 所以 1 1 1 1 3 2 0 3 0 y z x y      ，令 x1=1,得 n=(1, 1 3  , 1 2 )是平面 BDC1 的一个法向量, 易知 (0,3,0)是平面 ABC 的一个法向量, 所以 cos