1
基本不等式： ( 0, 0)2
a b ab a b
（1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
一、基本不等式
1．基本不等式：
2
a bab
（1）基本不等式成立的条件： 0, 0a b .
（2）等号成立的条件，当且仅当 a b 时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设 0, 0a b ，则 a、b 的算术平均数为
2
a b ，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积 xy 是定值 P，那么当且仅当 x y 时，x＋y 有最小值是 2 P .(简记：积定和最小)
（2）如果和 x＋y 是定值 P，那么当且仅当 x y 时，xy 有最大值是
2
4
P .(简记：和定积最大)
4．常用结论
（1） 2 2 2 ( , )a b ab a b R
（2） 2( , )b a a ba b
同号
（3） 2( ) ( , )2
a bab a b R
2
（4）
2 2
2( ) ( , )2 2
a b a b a b R
（5） 2 2 22( ) ( ) ( , )a b a b a b R
（6）
2 2 2( ) ( , )2 4
a b a b ab a b R
（7）
2 2 2 ( 0, 0)1 12 2
a b a b ab a b
a b
二、基本不等式在实际中的应用
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 ( 0,by ax ax
0)b 等．
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
考向一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变
形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情
况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本
不等式得出最值．
③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式
3
相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.
注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.
典例 1 若正数 a，b 满足 1 1 1a b
，则 1 9
1 1a b
的最小值为
A．1 B．6
C．9 D．16
【答案】B
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二
定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
4
1．（1）已知 5
4x ，求函数 14 1 4 5y x x
的最大值；
（2）已知 *,x y R (正实数集)，且 1 9 1x y
，求 x y 的最小值．
考向二 基本不等式的实际应用
有关函数最值的实际问题的解题技巧：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
典例 2 2017 年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，
1400 多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达
到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资 元建成一大型设备，已知这台设备
维修和消耗费用第一年为 元，以后每年增加 元（ 是常数），用 表示设备使用的年数，记设备年平均
维修和消耗费用为 ，即 (设备单价 设备维修和消耗费用） 设备使用的年数． *网
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）当 ， 时，求这种设备的最佳更新年限．
答：这种设备的最佳更新年限为 15 年．
5
【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过
相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型 2 ( 0, 0, 0)bax ab a b xx
上靠拢.
2．要制作一个体积为 39m ，高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 10 元，侧面造
价是每平方米 5 元，盖的总造价为 100 元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？
考向三 基本不等式的综合应用
基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方
程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然
后利用基本不等式求解．
（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.
典例 3 下列不等式一定成立的是
A． 2 1lg( ) lg ( 0)4x x x B． 1sin 2( , )sinx x k kx
Z
C． 2 1 2 | | ( )x x x R D． 2
1 1( )1 xx
R
【答案】C
【解析】对于 A： 2 1
4x x (当 1
2x 时， 2 1
4x x )，A 不正确；
对于 B： 1sin 2(sin (0,1])sinx xx
， 1sin 2(sin [ 1,0))sinx xx
，B 不正确；
对于 C： 2 22 | | 1 (| | 1) 0( )x x x x R ，C 正确；
对于 D： 2
1 (0,1]( )1 xx
R ，D 不正确.
故选 C.
【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判
断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式
6
和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.
3．设正实数 ,x y 满足 1 , 12x y ,不等式
2 24
1 2 1
x y my x
恒成立,则 m 的最大值为
A． 2 2 B． 4 2
C．8 D．16
典例 4 设正项等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2017 6051S ，则
4 2014
1 4
a a
的最小值为______．
【答案】 3
2
【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然
后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式
子，然后利用基本不等式求解最值． 学*
4．已知函数 log 2 2ay x m n 恒过定点 3,2 ，其中 0a 且 1a ， ,m n 均为正数，则 1 1
1 2m n
的最小值是_____________.
7
1．函数 1 ( 0)4y x xx
取得最小值时， x 的值为
A． 1
2
B． 1
2
C．1 D．2
2．已知 a,b∈R，且 ab≠0，则下列结论恒成立的是
A．a+b≥2 B． + ≥2
C．| + |≥2 D．a2+b2>2ab
3． （ ）的最大值为
A． B．
C． D．
4．已知 , ,x y z 为正实数，则 2 2 2
xy yz
x y z
的最大值为
A． 2 3
5 B． 4
5
C． 2
2 D． 2
3
5．若正实数 a，b 满足 1a b ，则
A． 1 1
a b
有最大值 4 B． a b 有最大值
C．ab 有最小值 1
4 D． 2 2a b 有最小值 2
2
6．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教
室在第 层楼时,上下楼造成的不满意度为 ,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在
楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第 层楼时,环境不满意度为 ,则同学们认为最适宜的教室应在楼
A． B．
C． D．
8
7．若关于 x 的方程 9x+(4+a)·3x+4=0 有解,则实数 a 的取值范围是
A．(-∞,-8]∪[0,+∞) B．(-∞,-4)
C．[-8,4) D．(-∞,-8]
8．若对任意正数 x，不等式 2
1
1
a
x x
恒成立，则实数 a 的最小值为
A．1 B． 2
C． 2
2
D． 1
2
9．已知 1x ， 1y ，且 2log x ， 1
4
， 2log y 成等比数列，则 xy 有
A．最小值 2 B．最小值 2
C．最大值 2 D．最大值 2
10．如图，在 ABC△ 中，点 是线段 上两个动点，且 ，则 的最小值为
A． B．
C． D．
11．已知正实数 满足 当 取最小值时， 的最大值为
A．2 B．
C． D．
12．在锐角 ABC△ 中， 为角 所对的边，且 ，若 ，则
的最小值为
A．4 B．5
C．6 D．7
13．函数 的图象恒过定点 ，若定点 在直线 上，则
9
的最小值为
A．13 B．14
C．16 D．12
14．已知 满足 ， 的最大值为 ，若正数 满足 ，则 的最小值为
A．9 B．
C． D．
15．当 x>0 时， 2
2( ) 1
xf x x
的最大值为 .
16．已知函数 = = ,当 时,函数
g x
f x
的最小值为 .
17．在公比为 的正项等比数列 中， ,则当 取得最小值时， _ ．
18．已知 , ,则 的最小值为 .
19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机
器运转时间 x(单位：年)的关系为 2 *18 2 ( )5y x x x N ，则当每台机器运转 年时，
年平均利润最大，最大值是________万元．
20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为 80 万元，维持系统正常运行的费用包括
保养费和维修费两部分.每年的保养费用为 1 万元.该系统的维修费为：第一年 1.2 万元，第二年 1.6 万
元，第三年 2 万元，…，依等差数列逐年递增.
(1)求该系统使用 n 年的总费用(包括购买设备的费用)；
(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).
10
21．已知函数 ).
(1)若 ,求当 时函数的最小值;
(2)当 时,函数有最大值-3,求实数 的值.
22．(1)设 x,y 是正实数,且 2x+y=4,求 lg x+lg y 的最大值.
(2)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.
23．已知在 ABC△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边长，且 ．
（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
11
1．（2017 山东理科）若 0a b ，且 1ab ，则下列不等式成立的是
A． 2
1 log2a
ba a bb
B． 2
1log2a
b a b a b
C． 2
1 log 2a
ba a bb
D． 2
1log 2a
ba b a b
2．（2015 陕西理科）设 ( ) ln ,0f x x a b ，若 ( )p f ab ， ( )2
a bq f ， 1 ( ( ) ( ))2r f a f b ，
则下列关系式中正确的是
A． q r p B． q r p
C． p r q D． p r q
3．（2018 天津理科）已知 ,a bR ，且 3 6 0a b ，则 12 8
a
b 的最小值为 .
4．（2017 江苏）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为
4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是___________．
5．（2018 江苏）在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 120ABC ， ABC 的平分线交 AC 于点
D，且 1BD ，则 4a c 的最小值为___________． 学*科*网
变式拓展
12
当 4, 12x y 时， min 16x y .
3．【答案】C
13
【解析】
2 24
1 2 1
x y
y x
=
2 2(2 1) 2 2 1 1 ( 1) 2 1 1
1 2 1
x x y y
y x
2 2(2 1) 2 2 1 1 ( 1) 2 1 12 1 2 1
x x y y
y x
1 12 2 1 2 1 22 1 1x yx y
=8，当且仅当 12 1 2 1x x
， 11 1y y
时等号成立.
所以 m .故选 C．
4．【答案】 4
3
【解析】由题意得：3﹣m﹣2n=1，故 m+2n=2，
即（m+1）+2n=3，
故 1 1
1 2m n
= 1
3
（ 1
1m + 1
2n
）[（m+1）+2n]= 1
3
（1+ 2
1
n
m + 1
2
m
n
+1）≥ 2
3 + 2 2 1
3 1 2
n m
m n
= 4
3
，
当且仅当 m+1=2n 时“=”成立，故填 4
3
．
考点冲关
1．【答案】B
【解析】 1 10, 2 14 4x x xx x
，
当且仅当 1
4x x
时取等号,此时 1
2x ，故选 B.
2．【答案】C
【解析】当 a,b 都是负数时,A 不成立；
当 a,b 一正一负时,B 不成立；
当 a=b 时,D 不成立，
因此只有选项 C 是正确的.
3．【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
∴ 3 6 93 6 2 2
a aa a
，当且仅当 ，即 时等号成立，
14
∴ （ ）的最大值为 ．故选 B． 学&
【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基
本不等式求最值.
5．【答案】B
【解析】∵正实数 a，b 满足 1a b ，∴ 1 1 2 2 2 4a b a b b a b a
a b a b a b a b
,当且仅
当 1
2a b 时取等号.故 有最小值 4，故 A 不正确；
由于 2
2 1 2 2a b a b ab ab ,∴
⩽
,故 有最大值 ，故 B 正确；
由基本不等式可得 a+b=1
⩾
2 ,∴ 1
4ab ,故 ab 有最大值 1
4
，故 C 不正确；
∵ 22 2 1 12 1 2 1 2 2a b a b ab ab ,故 有最小值 1
2
，故 D 不正确.
故选 B.
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】由 9x+(4+a)·3x+4=0 得 4+a= 9 4
3
x
x
=-(3x+ )≤ 42 3 3
x
x =-4,即 a≤-8,
15
当且仅当 3x=2 时等号成立.
8．【答案】D
【解析】由题意可得 2 1
xa x
恒成立．
由于 2
1 1
11 2
x
x x x
（当且仅当 1x 时取等号），故 2 1
x
x
的最大值为 1
2
，
1
2a ，即 a 的最小值为 1
2
，故选 D．
9．【答案】A
【解析】∵x>1，y>1，∴ 2 2log 0,log 0x y ，
又∵ 2log x ， 1
4
， 2log y 成等比数列，∴ 2 2
1 log log16 x y ，
由基本不等式可得 2 2 2 2
1log log 2 log log 2x y x y ，
当且仅当 2 2log logx y ，即 x y 时取等号，
故 2
1log 2xy ，即 2xy ，故 xy 的最小值为 2 .
本题选择 A 选项.
10．【答案】D
【解析】易知 x，y 均为正，设 ，
共线， ，
，
则 ，
1 4 1 1 4 1 4 1 4 95 5 22 2 2 2
y x y xx yx y x y x y x y
，
当且仅当 4y x
x y
，即 2 4,3 3x y 时等号成立.
则 的最小值为 ，故选 D． 学&科*网
11．【答案】C
16
12．【答案】C
【解析】由正弦定理及题中条件，可得 ，即 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以选 C.
13．【答案】D
【解析】 时，函数 的值恒为 ，
函数 的图象恒过定点 ，
又点 在直线 上， ，
又 ，
当且仅当 时取“=”，
则 的最小值为 ，故选 D．
14．【答案】B
17
当且仅当 取等号，故选 B．
15．【答案】1
【解析】∵x>0，∴ 2
2 2 2( ) 111 2
xf x x x x
，
当且仅当 1x x
，即 x=1 时取等号．
16．【答案】
【解析】由题意可得
g x
f x =
23 2 1
2
x x
x
= 3 1 3 11 2 12 2 2 2
x x
x x
= 3 1 (当且仅当 3 1
2 2
x
x
,
即 3
3x 时取等号).
17．【答案】 1
4
【解析】 2 2 24
2 6 42 2 2
2 2 22 4 4 2 8 2aa a a q q qq q q
，当且仅当 时取得最小值，
18
则 ，故答案为 . 学&
20．【解析】(1)设该系统使用 n 年的总费用为 依题意，每年的维修费成以 为公差的等差数列，则
年的维修费为
则
(2)设该系统使用的年平均费用为
则 20.2 2 80 80 800.2 2 2 0.2 2 10f n n nS n nn n n n
,
当且仅当 即 时等号成立.
故该系统使用 20 年报废最合算.
19
22．【解析】(1)因为 x>0,y>0,所以由基本不等式得 ≥ ,
因为 2x+y=4,所以 ≤2,所以 xy≤2,当且仅当 2x=y 时,等号成立,
由 2 4
2
x y
x y
,解得 1
2
x
y
,
所以当 x=1,y=2 时,xy 取得最大值 2,
所以 lg x+lg y=lg(xy)≤lg 2,
当且仅当 x=1,y=2 时,lg x+lg y 取得最大值 lg 2.
(2)因为 ab-4a-b+1=0,所以 b= ,ab=4a+b-1.
所以
(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+ ×2+1=6a+ +1=6a+8+ +1=6(a-1)
+ +15.
20
因为 a>1,所以 a-1>0.
所以原式=6(a-1)+ +15≥2 +15=27.
当且仅当(a-1)2=1,即 a=2 时等号成立.
故所求最小值为 27. 学#科#网
直通高考
1．【答案】B
【解析】因为 0a b ，且 1ab ，所以 2 21,0 1, 1,log ( ) log 2 1,2a
ba b a b ab
1
2
1 12 log ( )
a b a a b a a bb b
，所以选 B.
2．【答案】C
【解析】 ( ) lnp f ab ab ， ( ) ln2 2
a b a bq f ， 1 1( ( ) ( )) ln ln2 2r f a f b ab ab ，
函数 ( ) lnf x x 在 0, 上单调递增，因为
2
a b ab ，所以 ( ) ( )2
a bf f ab ，所以 q p r ，
21
故选 C．
3．【答案】
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：
① 2 2, , 2a b a b ab R ，当且仅当 a b 时取等号；
② ,a b R ， 2a b ab ，当且仅当 a b 时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条
件，同时求最值时注意“1 的妙用”．
4．【答案】30
【解析】总费用为 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x
，当且仅当 900x x
，即 30x 时等号
成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即
条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否
则会出现错误．
5．【答案】9
【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得 ，
22
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