高考数学（理）考点一遍过考点35 直线的位置关系-之

1 （1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. （3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 一、两条直线的位置关系 斜截式  1 1 1 2 2 2 : : l y k x b l y k x b     一般式  1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 l A x B y C l A x B y C       1l 与 2l 相交 1 2k k 1 2 2 1 0A B A B  1l 与 2l 垂直 1 2 1k k   1 2 1 2 0A A B B  1l 与 2l 平行 1 2k k 且 1 2b b 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 A B A B B C B C      或 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 A B A B AC A C      1l 与 2l 重合 1 2k k 且 1 2b b 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0A B A B AC A C B C B C      注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘 记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 二、两条直线的交点 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 1l 与 2l 的交点坐标就是方程组 1 1 1 2 2 2 0 0 A x B y C A x B y C        的解． （1）方程组有唯一解  1l 与 2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解  1l ∥ 2l ； （3）方程组有无数解  1l 与 2l 重合． 三、距离问题 （1）平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝ 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y   ． 2 （2）点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ 0 0 2 2 | |Ax By C A B    ． （3）两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离 d＝ 1 2 2 2 | |C C A B   ． 四、对称问题 （1）中心对称：点 ( , )B x y 为点 1 1( , )A x y 与 2 2( , )C x y 的中点，中点坐标公式为 1 2 1 2 2 2 x xx y yy     ． （2）轴对称：若点 P 关于直线 l 的对称点为 P' ，则 PP' l P P' l    直线 与 的中点在 上 ． 考向一 两直线平行与垂直的判断及应用 由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率 不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏 解. 典例 1 若直线 2 1y x  与直线 3 0x my   平行，则 m 的值为 A． 1 2 B． 1 2  C． 2 D．2 【答案】B 【解析】直线 2 1y x  化为 2 1 0x y   ，因为 2 1 0x y   与直线 3 0x my   平行， 1 3 2 1 1 m    ，解得 1 2m   ，故选 B. 【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直 接根据两直线平行的充要条件，列出关于 m 的方程求解即可. 3 1．“ 1a  ”是“直线 2 1 1 0a x ay    和直线 3 3 0ax y   垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向二 两直线的相交问题 1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助 直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程. 典例 2 已知直线 l 经过直线 2x-y-3=0 和 4x-3y-5=0 的交点 P,且垂直于直线 2x+3y+5=0,求直线 l 的方程. 【答案】直线 l 的方程为 3x-2y-4=0. #网 因为直线 l 与直线 2x+3y+5=0 垂直,所以 2 4 1 3     ·(- 2 3 )=-1,解得λ=1. 故直线 l 的方程为 3x-2y-4=0. 4 2．已知直线 1 1 1: 1＋ ＝l a x b y 和直线 2 2 2: 1＋ ＝l a x b y 相交于点 P(2,3)，则经过点 P1(a1，b1)和 P2(a2，b2)的直 线方程是________. 考向三 距离问题 1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般 考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在. 3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解. 也可以转化成点到直线的距离问题. 典例 3 （1）若点 A(2，3)，B(－4，5)到直线 l 的距离相等，且直线 l 过点 P(－1,2)，则直线 l 的方程为_________； （2）若直线 m 被两直线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 所截得的线段的长为 2 2 ，则直线 m 的倾斜角 θ(θ 为锐角)为_________． 【答案】（1）x＋3y－5＝0 或 x＝－1；（2）15°或 75° 学@ 5 3．若动点    1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y 分别在直线 1 2: 5 0, : 15 0l x y l x y      上移动，则 1 2PP 的中点 P 到 原点的距离的最小值是 A．5 2 B． 15 2 2 C．15 2 D． 5 2 2 考向四 对称问题 解决对称问题要抓住以下两点： （1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． 典例 4 已知直线 l:3x-y+3=0,求: （1）点 P(4,5)关于直线 l 的对称点的坐标; （2）直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0. 【解析】设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P'(x',y'). ∵kPP'·kl=−1, 6 4．光线通过点  2,3A ，在直线 : 1 0l x y   上反射，反射光线经过点  1,1B . （1）求点  2,3A 关于直线l 对称点的坐标； 学@ （2）求反射光线所在直线的一般式方程． 考向五 直线过定点问题 求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法： （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含 参数直线所过的定点，从而问题得解. （2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的 项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点. 典例 5 求证：不论 m 取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0 都经过一个定点，并求出这个定 点的坐标． 【答案】详见解析. 7 5．已知点  2 0A ， ，点  2 0B  ， ，直线 l：   3 1 4 0x y       （其中  R ）． （1）求直线 l 所经过的定点 P 的坐标； （2）若分别过 A，B 且斜率为 3 的两条平行直线截直线 l 所得线段的长为 4 3 ，求直线l 的方程． 1．过两直线 3x＋y−1=0 与 x＋2y−7=0 的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0 C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=0 2．已知 m 为实数,直线 1 : 1 0l mx y   ,  2 : 3 2 2 0l m x my    ,则“ 1m  ”是“ 1 2l l∥ ”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知倾斜角为α的直线 l 与直线 x+2y-3=0 垂直,则 cos( -2α)的值为 A． B．- 8 C．2 D．- 4．若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则两直线间的距离为 A．2 B．2 C． D． 5．直线 4 2 0ax y   与直线 2 5 0x y b   垂直，垂足为 1,c ，则 a b c   A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 6．若点 10 2 （ ，）到直线 : 3 0 0l x y m m   （ ）的距离为 10 ，则 m  A． 7 B． 17 2 C．14 D．17 7．设两条直线的方程分别为 0x y a   ， 0x y b   ，已知 a，b 是方程 2 0x x c   的两个实根， 且 10 8c  ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 A． 2 2 ， 1 2 B． 2 ， 2 2 C． 2 ， 1 2 D． 2 4 ， 1 4 8．设直线 1 : 2 1 0l x y   与直线 2 : 3 0l mx y   的交点为 A ， ,P Q 分别为 1 2,l l 上任意两点，点 M 为 ,P Q 的中点，若 1 2AM PQ ，则 m 的值为 A． 2 B． 2 C．3 D． 3 9．已知三条直线 2 3 1 0x y   ，4 3 5 0x y   ， 1 0mx y   不能构成三角形，则实数 m 的取值集合 为 A． 4 2,3 3     B． 4 2,3 3     C． 4 2 4, ,3 3 3     D． 4 2 2, ,3 3 3      9 10．已知点 P(m,n)到点 A(0,4)和 B(-8,0)的距离相等,则( )m+( )n 的最小值为 A．-3 B．3 C．16 D．4 11．若直线 与直线 互相垂直，则实数 . 12．若直线 1 : 2l y kx k   与直线 2l 关于直线 1y x  对称，则直线 2l 恒过定点________． 13．若直线 1 : 1 0l ax y   与直线 2 : 2 2 1 0l x y   的倾斜角相等，则实数 a  . 14．已知 0a  ， 0b  ，若直线  1 2 1 0a x y    与直线 0x by  互相垂直，则 ab 的最大值是 __________． 15．若直线 1 : 2 0( 0)l x y m m    与直线 2 : 3 0l x ny   之间的距离是 5 ，则 m n  _________. 16．设  2,P n n 是函数 2y x 图象上的动点，当点 P 到直线 1y x  的距离最小时， n _________. 17．一条光线从  3,2A )发出，到 x 轴上的 M 点后，经 x 轴反射通过点  1,6B  ，则反射光线所在直线的 斜率为________． 18．已知 l1,l2 是分别经过 A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当 l1,l2 之间的距离最大时,直线 l1 的方程是 . 19．已知直线 与 相交于点 （1）求交点 的坐标； （2）设直线 ，分别求过点 且与直线 平行和垂直的直线方程. 20．已知直线 . （1）若 ，求实数 的值； 10 （2）当 时，求直线 与 之间的距离. 21．已知 ABC△ 的三个顶点为  4,0A 、  8,10B 、  0,6C . （1）求过点 A 且平行于 BC 的直线方程； （2）求过点 B 且与 A、C 距离相等的直线方程. 22．已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y-b=0. （1）若 l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1),求实数 a,b 的值. （2）是否存在实数 a,b,使得 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由. 23．已知两条直线 l1:(a-1)x-2y+b=0,l2:ax+(b-4)y+3=0,其中 a>0.若 l1⊥l2,且 l1 过点(1,3). （1）求 l1,l2 的方程; 11 （2）若光线沿直线 l1 射入,遇到直线 x=0 后反射,求反射光线所在的直线方程. 24．已知三条直线 l1:2x−y+a=0(a>0)，直线 l2:4x−2y−1=0 和直线 l3:x+y−1=0，且 l1 和 l2 的距离是 7 5 10 . （1）求 a 的值. （2）能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点； ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 1 2 ； ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2 : 5 ? 若能，求出 P 点坐标；若不能，请说明理由. 12 变式拓展 【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位 置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特 殊关系：在斜率存在的前提下，（1） 1 2 1 2l l k k ∥ ；（2） 1 2 1 2 1l l k k     ，这类问题尽管简单 却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【答案】2x＋3y＝1 ￥网 【解析】因为 P(2,3)在直线 l1 和 l2 上，所以 1 1 2 2 2 3 1 2 3 1 a b a b      ，则点 1 1 1( )，P a b 和 2 2 2( )，P a b 的坐标是方程 2x＋3y＝1 的解，所以经过点 1 1 1( )，P a b 和 2 2 2( )，P a b 的直线方程是 2x＋3y＝1. 3．【答案】A 【解析】因为 1 2l l∥ ,所以 1 2PP 的中点 P 的轨迹为直线： 15 5 02x y    ，即 10 0x y   ， 因此 P 到原点的距离的最小值是 | 10| =5 2 2  ，故选 A. 4．【答案】（1） 4, 3  ；（2） 4 5 1 0x y   . 【解析】（1）设点  2 3A ， 关于直线 l 的对称点为  0 0 0,A x y ，则 0 0 0 0 3 12 2 3 1 02 2 y x x y         ， 解得 0 04, 3x y    ，即点  2 3A ， 关于直线 l 的对称点为  0 4, 3A   ． （2）由于反射光线所在直线经过点  0 4, 3A   和  1,1B ， 所以反射光线所在直线的方程为  41 15y x   即 4 5 1 0x y   . 13 5．【答案】（1）直线 l 过定点  1,3 ；（2） 1x  或 3 3 33 3y x   ． 则所求直线为 1x  或 3 3 33 3y x   ． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直 线的位置关系，属于中档题. （1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于  的表达式，令系数与常数分别为 0 即可求得过定点 的坐标. （2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程. 考点冲关 1．【答案】B 【解析】由 3 1 0 2 7 0 x y x y        ，得 1 4 x y     ，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂 直，∴所求直线的斜率为 1 3 .∴由点斜式方程得所求直线方程是 y−4= 1 3 (x＋1)，即 x−3y＋13=0. 2．【答案】A 14 【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力. #网 （2）本题也可以利用下面的结论解答，直线 1 1 1 0a x b y c   和直线 2 2 2 0a x b y c   平行，则 1 2 2 1 0a b a b  且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 3．【答案】B 【解析】由题意可知 tan α=2,所以 cos( -2α)=cos(1 008π+ -2α)=-sin 2α=- =- =- . 4．【答案】C 【解析】由 l1∥l2 知, ≠ ,解得 a=-1,所以 l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0,两条平行直线 l1 与 l2 间的距离 d= .故选 C. 5．【答案】B 【解析】∵直线 4 2 0ax y   与直线 2 5 0x y b   垂直，∴ 2 14 5 a    ，∴ 10a  ， ∴直线 4 2 0ax y   即为5 2 1 0x y   ． 将点  1,c 的坐标代入上式可得5 2 1 0c   ，解得 2c   ． 将点 1, 2 的坐标代入方程 2 5 0x y b   得  2 5 2 0b     ，解得 12b   ． ∴ 10 12 2 4a b c       ． 故选 B． 【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵 15 活运用所学知识解题，即明确点  1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得 a ，然后将点  1,c 的坐标 代入直线 4 2 0ax y   可得 c ，同理可得b ，于是可得 a b c  的值． 6．【答案】B 【解析】由题意得 2 13 3 172 10, 10, 0,2 23 1 m m m m             .故选 B. 7．【答案】A 【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意 a b c， ， 之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 8．【答案】A 【解析】根据题意画出图形，如图所示： 直线 1 2 1 0l x y  ： 与直线 2 3 0l mx y  ： 的交点为 A ， M 为 PQ 的中点， 若 1 2AM PQ ，则 PA QA ，即 1 2 1 2 1 0l l m      ， （ ） ，解得 2m  ． 学@ 故选 A． 9．【答案】D 16 10．【答案】C 【解析】因为点 P(m,n)到点 A(0,4)和 B(-8,0)的距离相等,所以 = ,即 2m+n=-6,又( )m>0,( )n>0,所以( )m+( )n≥2 = 2 =2 =16,当且仅当 ,即 2m=n=-3 时取等号. 11．【答案】 【解析】由题得， ,解得 .故答案为 . 12．【答案】 3,0 【解析】 直线 1 : 2l y kx k   经过定点 1 2， ，点 1 2， 关于直线 1y x  对称的点为 3 0， ，∴点  3 0， 在直线 2l 上，即直线 2l 恒过定点 3 0， ，故答案为 3 0， . 13．【答案】1 【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有： 1 2 2 a   ，求解关于实数 a 的方程可得： 1a  . 14．【答案】 1 8 【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时， 17 注意凑项，方便使用基本不等式. 15．【答案】0 【解析】 直线 1 : 2 0( 0)l x y m m    与直线 2 : 3 0l x ny   之间的距离是 5 ， 2 3 5 5 n m      ，解得 2n   ， 2m  （负值舍去），则 2 2 0m n    . 故答案为 0 . 【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较 为基础. 16．【答案】 1 2 【解析】  2,P n n 是函数 2y x 图象上的动点，则点 P 到直线 1y x  的距离为 2 2 1 2 4 2 5 1 2 nn n d         ， ∴当 1 2n  时， d 取得最小值． 故答案为 1 2 ． 【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得 n 的关 系式，从而求得距离最小时 n 的值． 17．【答案】−2 【解析】如图所示： 【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题 一般要转化为求对称点的问题，判断点 A在直线 MB 上，是解题的关键. @网 18．【答案】2x-y-3=0 18 【解析】由平面几何知识,得当 l1⊥AB 时,l1,l2 之间的距离最大.∵A(2,1),B(0,2),∴kAB=- , =2. 则直线 l1 的方程是 y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0. 19．【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】（1）由 ，得 ， . （2）与 平行直线方程 ，即 . 与 垂直的直线方程 ，即 . 20．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 知 ，解得 . （2）当 1 2l l∥ 时，有 ,解得 ， ，即 ， 所求距离为 = . 【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意： （1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值； （2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 21．【答案】（1） 2 4 0x y   ；（2） 7 6 4 0x y   或3 2 44 0x y   . 19 【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属 于中档题． 22．【答案】（1）a=2,b=2；（2）不存在. 【解析】（1）由已知可得 l2 的斜率存在,为 k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2, ∴直线 l1 的斜率必不存在,即 b=0. 又 l1 过点(-3,-1), ∴-3a+4=0,即 a= (矛盾). ∴此种情况不存在, 20 ∴不存在满足条件的实数 a,b，使得 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 23．【答案】（1）l1,l2 的方程分别为 l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0. 学@ 【解析】（1）∵l1 过点(1,3), ∴(a-1)-6+b=0. ① 由 l1⊥l2,得(a-1)a-2(b-4)=0. ② 联立①②,得 a2+a-6=0 ⇒ a=2 或 a=-3(舍去), ∴a=2,b=5. ∴l1,l2 的方程分别为 l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0. （2）由 ,解得入射点 A(0, ). 取直线 x-2y+5=0 上一点 B(-5,0),点 B 关于直线 x=0 的对称点 B1(5,0)必在反射线上, 所以直线 AB1 的方程即为所求的反射光线所在的直线方程, 由 y-0= (x-5),整理得 x+2y-5=0. 即反射光线所在的直线方程为 x+2y-5=0. 21 24．【答案】（1）3；（2）P( 1 37,9 18 ). 学@ 【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量 比较大，注意不要算错，属于中档题. （1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得 a 的值. （2）根据点到直线的距离公式，讨论当 P 点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果 的取舍.