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（ 十 八 ） 推理与证明
1．合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
2．直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
一、推理
1．推理
（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．推理一般包含两个部
分：一是前提，是指已知的事实(或假设)；二是结论，是由已知判断推出的新的判断，即推理的形式为“前
提 结论”.
（2）分类：推理
合情推理
演绎推理
．
2．合情推理
（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫
做合情推理.
（2）特点：
①合情推理的结论是猜想，不一定正确；
②合情推理是发现结论的推理.
2
（3）分类：合情推理
归纳推理
类比推理
．
（4）归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤
名
称
归纳推理 类比推理
定
义
根据某类事物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理，或者由个别事实概括出一般结
论的推理，叫做归纳推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象
的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特
征的推理，叫做类比推理
特
征
由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理
步
骤
①通过观察部分对象发现某些相同性质
②从已知的一个明确表达的一般性命题
（猜想）中推出相似性或一致性
①找出两类事物之间的相同性质
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，
得出一个明确的命题(猜想)
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，
演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）特点：
①演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确；若大前提、小前提、推理
形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的.
②演绎推理是证明结论的推理．
（3）模式：三段论是演绎推理的一般模式，即
①大前提——已知一般的原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
【注】三段论常用的格式为：
大前提：M 是 P.
小前提：S 是 M.
3
结论：S 是 P.
二、证明
1．直接证明——综合法与分析法
（1）综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证
明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示： (其中 P 表示已知条件、已有的定义、定理、
公理等，Q 表示要证的结论)
③思维过程：由因导果．
（2）分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示： (其中 P 表示要证明的结论)
③思维过程：执果索因．
2．间接证明——反证法
（1）定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得
出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
（2）反证法中的矛盾主要是指以下几方面：
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾；
③与定义、公理、定理矛盾；
④与公认的简单事实矛盾；
⑤自相矛盾．
三、数学归纳法
（1）概念：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 *
0 0( )n n N 时命题成立；
②(归纳递推)假设 *
0( , )n k k n k N 时命题成立，证明当 1n k 时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 0n 开始的所有正整数 n 都成立.
4
上述证明方法叫做数学归纳法.
（2）框图表示：
（3）用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫
忘掉”．因此必须注意以下两点：
①验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个数 n0 就是要证明的命题对象的最小自然数，
这个自然数并不一定都是“1”，因此，“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问
题．
②递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出
“n=k+1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．
考向一 合情推理
常见的类比、归纳推理及求解策略：
（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：
①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；
②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个
体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
典例 1 不难证明：一个边长为 a ，面积为 S 的正三角形的内切圆半径 2
3
Sr a
，由此类比到空间，若一个
5
正四面体的一个面的面积为 S ，体积为V ，则其内切球的半径为_____________．
【答案】 3
4
V
S
【解析】由题意得 13 2 ar S
，故 2
3
Sr a
．
将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为 R ，则 14 3 SR V
，
∴ 3
4
VR S
，即内切球的半径为 3
4
V
S
．
故答案为 3
4
V
S .
【名师点睛】类比推理应用的类型及相应方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分
析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知
识的迁移．
典例 2 有一个奇数组成的数阵排列如下：
1 3 7 13 21 …
5 9 15 23 … …
11 17 25 … … …
19 27 … … … …
29 … … … … …
… … … … … …
则第 30 行从左到右第 3 个数是________．
【答案】1051
【解析】先求第 30 行的第 1 个数，再求第 30 行的第 3 个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第
30 行的第 1 个数是 30 (2 60)1 4 6 8 10 60 1 9292
.
又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n，第 3 个数比第 2 个数大 2n+2，
所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60，第 3 个数比第 2 个数大 62，
故第 30 行从左到右第 3 个数是 929+60+62 =1051.
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【技巧点拨】解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：
①明确各行、各列数的排列顺序；
②分别归纳各行、各列中数的规律；
③按归纳出的规律写出第 n 行第 m 个数.解决此类问题一般需要转化为求数列的通项公式或前 n 项和等.
1．设 ABC△ 的三边长分别为 a、b、c， ABC△ 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 2Sr a b c
，类比这个
结论可知，四面体 S−ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径为 R，四面体 S−ABC 的体
积为 V，则 R 等于
A．
1 2 3 4
V
S S S S B．
1 2 3 4
2V
S S S S
C．
1 2 3 4
3V
S S S S D．
1 2 3 4
4V
S S S S
2．将棱长相等的正方体按图示的形状摆放，从上往下依次为第 1 层，第 2 层，…… ，则第 20 层正方体的
个数是
A．420 B．440
C．210 D．220
考向二 演绎推理
（1）演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么
是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.
（2）演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推
理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.
典例 3 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数 ( )f x ，如果 0( ) 0f x ，那么 0x x 是函数 ( )f x
7
的极值点．因为 3( )f x x 在 0x 处的导数值 (0) 0f ，所以 0x 是函数 3( )f x x 的极值点．以上推
理中
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
【答案】A
【解析】因为对于可导函数 )(xf ，如果 0( ) 0f x ，那么 0xx 不一定是函数 )(xf 的极值点，所以大前
提错误.
故选 A．
典例 4 甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄
和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
【答案】C
【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲
是医生，故乙是教师.
故选 C.
3．有一段演绎推理：“对数函数 logay x 是增函数；已知 1
2
logy x 是对数函数，所以 1
2
logy x 是增函
数”，结论显然是错误的，这是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获
奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，
则获奖的歌手是 ．
考向三 直接证明
利用综合法、分析法证明问题的策略：
（1）综合法的证明步骤如下：
8
①分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
②转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法
可以简化解题过程.
（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直
到获得一个显而易见的命题即可.
（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综
合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结
论的途径.
典例 5 已知 0a ，求证： 2
2
1 12 2a aa a
.
【答案】见解析.
【解析】要证 2
2
1 12 2a aa a
，
即 2
2
1 2a a
，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． ￥%网
【名师点睛】①逆向思考是用分析法证明的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确
把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
②证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，
9
然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.
5．（1）设 0a b ，用综合法证明： 3 3 2 2a b a b ab ；
（2）用分析法证明： 6 7 2 2 5 .
考向四 间接证明
1．用反证法证明不等式要把握的三点
（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．
（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导
出的矛盾必须是明显的.
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定
原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤：
（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.
典例 6 用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是
A．自然数 a，b，c 中至少有两个偶数
B．自然数 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数 a，b，c 都是奇数
D．自然数 a，b，c 都是偶数
【答案】B
【解析】“恰有一个偶数”的反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”，故选 B.
【名师点睛】反证法证明含“至少”、“至多”型命题时，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结
论的否定是什么，避免出现错误.需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少
10
有两个”.
典例 7 若 a,b,c 均为实数， 2 π2 2a x x ， 2 4 πb y y ， 2 π2 2c z z .求证：a，b，c 中至少有
一个大于 0.
【答案】见解析.
【解析】设 a、b、c 都小于或等于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，
而 a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋ 2π ＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋ 2π －6>0，
这与假设矛盾，即原命题成立.
【名师点睛】用反证法，假设 , ,a b c 都小于或等于 0，推出 a b c 的值大于 0,出现矛盾，从而得到假设不
正确，命题得证.反证法的适用范围：
（1）否定性命题；
（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；
（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；
（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
6．设 na 是公比为 q 的等比数列．
（1）推导 na 的前 n 项和公式；
（2）设 q≠1，证明：数列 1na 不是等比数列．
考向五 数学归纳法
应用数学归纳法的常见策略：
（1）应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由 n=k 到 n=k＋1 时等式两
边变化的项．
（2）应用数学归纳法证明不等式，关键是由 n=k 成立证 n=k＋1 时也成立．在归纳假设后应用比较法、综
合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧．
（3）应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合情
推理发现结论，然后再证明结论的正确性.
11
典例 8 用数学归纳法证明 1
n＋1
+ 1
n＋2
++ 1
2n>11
34
时，由 k 到 k+1，不等式左边的变化是
A．增加 1
2( 1)k 项
B．增加 1
2k＋1
和 1
2k＋2
两项
C．增加 1
2k＋1
和 1
2k＋2
两项同时减少 1
k＋1
项
D．以上结论都不对
【答案】C
【解析】n=k 时，左边= 1
k＋1
+ 1
k＋2
+ + 1
k＋k
；
n=k+1 时，左边 1 1 1
( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1)k k k k
，
由“n=k”变成“n=k+1”时，不等式左边的变化是 1
2k＋1
+ 1
2k＋2
－ 1
k＋1
.
7．已知数列 na 的前 n 项和 *1n nS na n N ．
（1）计算 1a ， 2a ， 3a ， 4a ；
（2）猜想 na 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
1．由①安梦怡是高三（21）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高三（21）班的学生都是独生子女.写一个
“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
2．用反证法证明命题“若 2 2 0a b ，则 ,a b 全为 0 ,a bR ”，其反设正确的是
12
A． ,a b 至少有一个不为 0 B． ,a b 至少有一个为 0
C． ,a b 全不为 0 D． ,a b 中只有一个为 0
3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面 ，直线 a
平面 ，直线b ∥平面 ，则直线b ∥直线 a ”的结论显然是错误的，这是因为
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
4．若数列 na 是等差数列，则数列 nb （ 1 2 n
n
a a ab n
）也是等差数列，类比这一性质可知，若
正项数列 nc 是等比数列，且 nd 也是等比数列，则 nd 的表达式应为
A． 1 2 n
n
c c cd n
B． 1 2 n
n
c c cd n
C． 1 2
n n n
nn
n
c c cd n
D． 1 2
n
n nd c c c
5．有一个奇数列 1，3，5，7，9，…，现进行如下分组：第 1 组为 1 ，第 2 组为 3,5 ；第 3 组为 7,9,11 ；…
试观察每组内各数之和 nS 与该组的编号数 n 的关系为
A． 2
nS n B． 3
nS n
C． 4
nS n D． 1nS n n
6．袋子里有编号为 2,3,4,5,6 的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只
告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．
甲说：“我无法确定.”
乙说：“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”
根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中
A．一定有 3 号球 B．一定没有 3 号球
C．可能有 5 号球 D．可能有 6 号球
7．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 11 11 1
中“...”即代
13
表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11 xx
求得 1 5
2x ，类似上述过程，则
3 3 =
A． 13 1
2
B．3
C．6 D． 2 2
8．如图，第 1 个图形由正三角形扩展而成，共 12 个顶点.第 n 个图形是由正 n+2 边形扩展而来， *nN ，
则第 n 个图形的顶点个数是
A．(2n+1)(2n+2) B．3(2n+2)
C．2n(5n+1) D．(n+2)(n+3)
9．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：
“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该
事故中需要负主要责任的人是
A．丁 B．乙
C．丙 D．甲
10．图一是美丽的“勾股树”，它是分别以一个直角三角形的每一边向外作正方形而得到的.图二是第 1 代“勾
股树”，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代
“勾股树”所有正方形的面积的和为
A． n B． 2n
C． 1n D． 1n
14
11．用数学归纳法证明“
5 3
31 2 3 2
n nn ， *nN ”，则当 1n k 时，应当在 n k 时对应的
等式的左边加上
A． 33 31 2 1k k k B． 3 1k
C． 31k D． 6 31 1
2
k k
12．给出下列等式：
2
3 1 1=1 ;1 2 2 2
2 2
3 1 4 1 1+ =1 ;1 2 2 2 3 2 3 2
2 3 3
3 1 4 1 5 1 1+ + =1 ;1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 2
……
由以上等式可推出一个一般结论：
对于 *nN ， 2
3 1 4 1 2 1+ + =1 2 2 2 3 2 1 2n
n
n n
__________________．
13．已知函数 3 1
1f x x x
， 0,1x .
（1）用分析法证明： 21f x x x ；
（2）证明： 3
4f x .
15
14．设数列{an}满足 a1= 1
2
， *1
1
2 1 2,2
n
n
n
aa n na
N .
（1）证明：数列 1
1
n
n
a
a
为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设 cn=(3n+1)an，证明：数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.
15．已知数列{an}的各项均为正数， *1(1 ) ( )n
n nb n a nn
N ，e 为自然对数的底数．
（1）求函数 f (x)=1＋x−ex 的单调区间，并比较 1(1 )n
n
与 e 的大小；
（2）计算 1
1
b
a
， 1 2
1 2
b b
a a
， 1 2 3
1 2 3
b b b
a a a
，由此推测计算 1 2
1 2
n
n
b b b
a a a
的公式，并给出证明.
16
1．(2017 年高考新课标 II 卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四
人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲
对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
2．（2017 年高考北京卷）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中
任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙
盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
3．(2016 年高考新课标 II 卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相
同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 .
4．(2015 年高考山东卷)观察下列各式：
0 0
1C 4 ；
0 1 1
3 3C C 4 ；
0 1 2 2
5 5 5C C C 4 ;
0 1 2 3 3
7 7 7 7C C C C 4 ；
……
照此规律，当 *nN 时，
0 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1C C C Cn
n n n n
.
5．(2015 年高考湖南卷)设 a>0，b>0，且 1 1a b a b
.证明：
（1） 2a b ；
（2） 2 2a a 与 2 2b b 不可能同时成立.
17
变式拓展
1．【答案】C
【规律总结】类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质 a，b，c，d，B 类事物具有性质 a′，b′，c′(a，
b，c 分别与 a′，b′，c′相似或相同)，所以 B 类事物可能具有性质 d′(d 与 d′相似或相同).
2．【答案】C
【解析】观察可得，第 1 层正方体的个数为 1，第 2 层正方体的个数为 3，比第 1 层多 2 个，
第 3 层正方体的个数为 6，比第 2 层多 3 个；…，
可得，每一层比上一层多的个数依次为 2, 3, 4, 5,…
故第 20 层的正方体个数为 1 20 201 2 3 4 20 2102
.
故选 C.
【点睛】观察相邻两层正方体个数之间的关系，找出规律，利用等差数列求和公式求解即可.归纳推理的
一般步骤:
一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.
二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.
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常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间
的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 学%……
3．【答案】A
【名师点睛】本题主要考查“三段论”的定义以及对数函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问
题的能力，属于简单题.由 a 的范围不确定可得，对数函数 log ( 0ay x a 且 1)a 是增函数这个大前提
是错误的.
4．【答案】丙
【解析】若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意；
若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意；
若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不合题意；
当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.
故答案为丙.
5．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1） 3 3 2 2 2 2a b a b ab a a b b b a 22 2a b a b a b a b ，
而 2 0 0a b a b ， ，
3 3 2 2 0a b a b ab ，
3 3 2 2a b a b ab .
（2）要证 6 7 2 2 5 ，
只需证 2 2
6 7 2 2 5 ，
即证 42 2 10 ，
19
只需证 2 2
42 2 10 ，
即 42 40 ，
而 42 40 显然成立，
故原不等式得证.
【名师点睛】本题主要考查了证明方法中的综合法及分析法，属于中档题.用分析法证明问题时，注意证
明的格式，是从结论出发寻求结论成立的条件.
（1）根据题目可采用作差法求证；
（2）用分析法，采用平方的方法可证明.
6．【答案】（1）
1
1
, 1
(1 ) , 11
n
n
na q
S a q qq
；（2）见解析.
∵a1≠0，
∴ 1 12 k k kq q q .
∵q≠0，
∴ 2 2 1 0q q ，
20
∴q=1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故 1na 不是等比数列． 学￥%
7．【答案】（1） 3 4
1 1,12 20a a ；（2）见解析.
【名师点睛】本题考查了数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个数列与自然数集 N 相关性质，其步
骤为：设 P（n）是关于自然数 n 的命题，先验证 P（n）在 n=1 时成立；然后在 P（k）（k 为任意自然数）
成立的假设下，若可推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都成立.
（1）从 n=1 依次代入 Sn 与 an 的关系式，即可求出 a1，a2，a3，a4；
（2）由 a1，a2，a3，a4 的值与 n 的关系，归纳推理出数列的通项公式，采用数学归纳法来证明.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】因为高三（21）班的学生都是独生子女，而且安梦怡是高三（21）班得学生，所以安梦怡是独
21
生子女.
故选 B.
【名师点睛】由三段论的一般模式，可得结论.三段论是演绎推理的一般模式：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
2．【答案】A
【解析】由反证法的定义：证明命题“若 2 2 0a b ，则 ,a b 全为 0 ,a bR ”，其反设为 ,a b 至少有一
个不为 0 .
本题选择 A 选项.
3．【答案】A
【名师点睛】（1）归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现
错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．
（2）在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，
也可能是逻辑错误.仔细分析“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 b 平面 ，直线
a 平面 ，直线b ∥平面 ，则直线b ∥直线 a ”的推理过程，不难得到结论．
4．【答案】D
【解析】 数列 na 是等差数列， 1 2 1...
2
n n
n
a a a a ab n
，且{ }nb 也为等差数列，正项数
列 nc 是等比数列，设首项为 1c ，公比为 q ，
1
1 2
1 2 1 1 1 1... ...
n
nnn
n nd c c c c c q c q c q
， }{ nd
是等比数列.
故选 D.
5．【答案】B
【解析】由题意可得，第一组数字之和为 31 1 ；第二组数字之和为 33 5 8 2 ；
22
第三组数字之和为 37 9 11 27 3 ，依次类推，按照规律，归纳可得，第 n 组数字之和为 3
nS n .
故选 B.
【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得
到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明
提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定
正确(前提和推理形式都正确的前提下).由题意可得，第一组数字之和为 31 ；第二组数字之和为 32 ；第三
组数字之和为 33 ，观察规律，归纳可得，第 n 组数字之和与其组的编号数 n 之间的关系.
6．【答案】D
【名师点睛】本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题
难度不大，认真审题是关键. 学#￥
7．【答案】A
【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，
令 3 3 ... 0m m ，则两边平方得，得 23 3 3 ... m ，即 23 m m ，解得
1+ 13 1 13,2 2m m （舍去）.
故选 A.
8．【答案】D
【解析】由已知中的图形我们可以得到：
当 1n 时，顶点共有12 3 4 （个），
2n 时，顶点共有 20 4 5 （个），
3n 时，顶点共有30 5 6 （个），
4n 时，顶点共有 42 6 7 （个），
…
23
由此我们可以推断：第 n 个图形共有顶点 2 3n n 个.
故选 D.
【名师点睛】本题考查的知识点是归纳推理，解答的关键是：先通过观察个别情况发现某些相同性质；
然后从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题或猜想．由已知图形中，我们可以列出顶点个
数与多边形边数 n ，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论.
9．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时
正确使用反证法是解决问题的关键.利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲、乙、丙三人说的均为假话，
进而得到答案.
10．【答案】D
【解析】最大的正方形面积为 1，当 n=1 时，由勾股定理知正方形面积的和为 2，依次类推，可得所有正
方形面积的和为 1n .
故选 D.
11．【答案】A
【解析】当 n=k 时，左边为 31 2 3 k ，
当 n=k+1 时，左边为 33 3 31 2 3 1 2 1k k k k ，
所以左边增加的项为 33 31 2 1k k k ，
故选 A.
12．【答案】
11 1 2nn
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【解析】由已知中的等式：
【名师点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质； ￥%网
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为
2 1
1 2n
n
n n
，
分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为 1，减数为
1
1 2nn
，由此即
可得到结论．
13．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）由 0 1x ，得1 1 2x ，
要证 21f x x x ，
只需证 3 21 1 1 1x x x x x ，
只需证 4 3 31 1x x x ，
只需证 4 0x ，
因为 4 0x 恒成立，
所以 21f x x x 成立.
25
（2）因为
2
2 1 3 31 2 4 4x x x
，当且仅当 1
2x 时取等号，
又 1 1 2 19 3
2 8 3 24 4f
，
所以由（1）得 3
4f x .
【思路点拨】（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以 1x ，可以得到一
个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.
（2）利用（1）的结论，将（1）右边的二次函数配方，求出其最小值，由此可证得 2 31 4f x x x ，
而 1 3
2 4f
，由此可得 3
4f x .
14．【答案】（1）证明见解析， 3 1
3 1
n
n na
；（2）见解析.
∴ 3 1
3 1
n
n na .
（2）由（1）得，cn=(3n+1)an=3n−1，
（反证法）假设存在正整数 l，m，n 且 1≤l
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