高考数学（理）考点一遍过考点51 古典概型-之

1 （1）理解古典概型及其概率计算公式. （2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 一、基本事件 在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件. 基本事件有如下特点： （1）任何两个基本事件是互斥的. （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 二、古典概型的概念及特点 把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型. 三、古典概型的概率计算公式 ( )P A  A事件 包含的基本事件数 试验的基本事件总数 . 四、必记结论 （1）古典概型中的基本事件都是互斥的． （2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的． 2 考向一 古典概型的概率求解 1.求古典概型的基本步骤： (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件数 m. (3)代入公式 ( ) mP A n  ，求出 P(A)． 2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本 事件. 基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择. 3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事 件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件 的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 典例 1 一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为 、 、x y z ，当且仅当 ,y x y z  时，称这样的数 为“凸数”(如 243)，现从集合 1,2,3,4 中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概 率为 A． 2 3 B． 1 3 C． 1 6 D． 1 12 【答案】B 【解析】因为从集合 1,2,3,4 中取出三个不相同的数共有 3 4A 24 个, 由题意知,凸数有 132,231,143,341,243,342,342,243，共 8 个, 所以这个三位数是“凸数”的概率为 8 1 24 3P   .选 B． 典例 2 某校高一、高二、高三分别有 400 人、350 人、350 人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的 方法从中抽取一个容量为 n 的样本.已知从高一的同学中抽取 8 人. 3 (1)求样本容量 n 的值和从高二抽取的人数； 学#@ (2)若从高二抽取的同学中选出 2 人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被 选中的概率. 1．从甲、乙、丙、丁 4 人中随机选出 2 人参加志愿活动,则甲被选中的概率为 A． 1 5 B． 1 2 C． 1 4 D． 3 4 2．中国农业银行已经开始为遍布全国大江南北的农行 ATM 机安装“刷脸取款”系统.某农行营业点为了解居 民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖问卷,从 2017 年度该行的客户(年龄在[25,55]内) 中随机抽取 100 人填写调查问卷,按年龄分成 6 组,频数分布表如下(其中 x∶y∶z=2∶4∶5),其中女客户年 龄的茎叶图如图: 年龄/岁 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 频数 5 x y z 15 25 4 (1)求 x,y,z 的值,若从抽取的男客户中随机选取 1 人,估计这个人的年龄恰在[45,50)内的概率; (2)若从年龄在[30,40)内的男客户中按照分层抽样的方法抽取 6 人进行满意度调查,再从中选取 2 人做进一 步调查,求选取的 2 人的年龄均在[35,40)内的概率. 考向二 用随机模拟估计概率 用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个 一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组， 即可求解概率. 典例 3 已知小李每次打靶命中靶心的概率都为 40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命 中靶心的概率.先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1,2,3 表示命中靶心,4,5,6,7,8,9 表示未命 中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为 A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40 【答案】B 【解析】由题意知,在 20 组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有 421,191,271,932,800,531, 共 6 组随机数, 所以所求概率为 6 20 =0.30,故选 B． 5 3．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数, 指定 0,1,2,3 表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随 机模拟产生了 20 组如下的随机数: 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为__________． 1．甲、乙两人有三个不同的学习小组 A,B,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参 加同一个小组的概率为 A． 1 3 B． 2 3 C． 1 6 D． 5 6 2．现有 2 个正方体,3 个三棱柱,4 个球和 1 个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为 A． 1 10 B． 2 5 C． 1 2 D． 7 10 3．从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,则这两个数都是奇数的概率是 A． 3 10 B． 1 2 C． 7 10 D． 1 5 4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命 中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中；5，6，7，8，9， 0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 137 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.40 B．0.30 6 C．0.35 D．0.25 5．某商场对某一商品搞活动,已知该商品的进价为 3 元/个,售价为 8 元/个,每天销售的第 20 个及之后的商品 按半价出售,该商场统计了近 10 天这种商品的销售量,如图所示,则从这 10 天中随机抽取一天,其日利润不 少于 96 元的概率为 A． 1 2 B． 3 10 C． 7 10 D． 1 5 6．某车间共有 6 名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件 个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间 6 名工人中,任取 2 名,则至少有 1 名优秀工人的概率为 A． 8 15 B． 4 9 C． 3 5 D． 1 9 7．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为 A ,从集合 A 中任取一个元素 a ,则函数  , 0,ay x x   是增函数的概率为 7 A． 3 7 B． 4 5 C． 3 5 D． 3 4 8．用三种不同的颜色给如图所示的两个矩形随机涂色,若每个矩形只涂一种颜色,那么这两个矩形颜色相同 的概率是___________. 9．某单位要在 5 名工人中安排 2 名分别到两地出差(每人被安排是等可能的),则甲、乙两人中恰巧有一人被 安排的概率为___________. 10．已知集合 A={-2,3,5,7},从 A 中随机抽取两个不同的元素 a,b,作为复数 z=a+bi(i 为虚数单位)的实部和虚部. 则复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________. 11．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取 120 人,统计他们 平均每天在家的时间(在家时间超过 4 小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性). 具有“宅”属性 不具有“宅”属性 男生 20 50 8 女生 10 40 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个 6 人的样本,若从这 6 人中随机选取 3 人做进一 步的调查,则选取的 3 人中至少有 1 名女生的概率为___________. 12．有编号为 的 10 个零件,测量其直径(单位: ),得到下面数据: 编号 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间 内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这个零件直径相等的概率. 13．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有 2 个红球 A1,A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1,a2 和 2 个白球 b1,b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都 是红球则中奖,否则不中奖. (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果; 9 (2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为这种说法正确吗?请 说明理由. 14．某科研单位积极推进科学创新，在解决某一技术难题的过程中，需要组建在结构设计和系统程序两方 面强的人才小队，相关研究小组所有人员分别进行结构设计和系统程序两项综合考核，构成的频率分 布直方图如图所示，单项综合成绩在[90,100]内的评为“优 A”，且结构设计综合成绩在[80,90)内的人员 有 10 人. (1)求系统程序综合成绩为“优 A”的人数; (2)在两项综合考核中,恰有 2 人的两项综合考核成绩均为“优 A”,在至少一项成绩为“优 A”的人员中,随机 抽取 2 人进行组队(项目负责人),求这 2 人的两项综合成绩均为“优 A”的概率. 10 15．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按 365 计算)各抽 取 20 名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在 35 分以 下(不包括 35 分)的为需要加强训练的学生;35~75 分之间的为需要提高训练的学生;75 分以上(不包括 75 分)的为运动健儿. (1)以这 20 名学生的身体综合素质分来估计全校 365 名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约 有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生? (2)从两所学校共抽取的 40 名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取 2 名,求抽取的 2 名高 三学生均为运动健儿的概率. 11 16．甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于 100 为优品，大于等于 90 且小于 100 为合格品，小于 90 为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各 100 件进行检测，检测 结果统计如下： 测试指标 机床甲 8 12 40 32 8 机床乙 7 18 40 29 6 （1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率； （2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利 160 元，合格品可盈利 100 元，次品则亏损 20 元.假设甲 机床某天生产 50 件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）； （3）从甲、乙机床生产的零件指标在 内的零件中，采用分层抽样的方法抽取 5 件，从这 5 件中 任选 2 件进行质量分析，求这 2 件都是乙机床生产的概率. 12 17．中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在 [20,60]内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出 600 人,把这 600 人分为对新能源汽车比较关注 和不太关注两类,并制成如下表格: 年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 性别 男性 女性 男性 女性 男性 女性 男性 女性 人数 40 10 120 70 160 100 80 20 比较关注所占比例 20% 50% 60% 70% 70% 80% 60% 80% (1)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的 关注有关; 比较关注 不太关注 总计 男性 女性 总计 (2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这 600 人中选出 6 人进行访谈,最后从这 6 人中随机选出 2 名参与电视直播节目,求其中恰好有一名女性参与电视直播节 目的概率. 附: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 13 K2=      2( )n ad bc a b c d a c b d      ,其中 n=a+b+c+d. 1．（2018 新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴 赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7 23  ．在不超过 30 的素数中，随机 选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A． 1 12 B． 1 14 C． 1 15 D． 1 18 2．（2017 山东理科）从分别标有1， 2 ， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则 14 抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A． 5 18 B． 4 9 C． 5 9 D． 7 9 3．（2018 江苏）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女 生的概率为 ▲ ． 变式拓展 1．【答案】B 2．【解析】(1)由频数分布表知,x+y+z=100-45=55. 学#￥ 因为 x∶y∶z=2∶4∶5, 所以 x= ×55=10,y= ×55=20,z= ×55=25. 由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有 2 人,年龄在[30,35)内的女客户有 4 人,年龄在[35,40)内的女客户 有 8 人,年龄在[40,45)内的女客户有 10 人,年龄在[45,50)内的女客户有 6 人,年龄在[50,55]内的女客户有 10 人, 15 个, 记事件 M 为“选取的 2 人的年龄均在[35,40)内”, 则事件 M 包含的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个, 故 P(M)= 6 2 15 5  . 即选取的 2 人的年龄均在[35,40)内的概率为 2 5 . 3．【答案】 7 20 【解析】由随机数表可知,共有 20 个随机事件, 其中该运动员射击 4 次至少击中 3 次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有 7 个随机事件, 因此估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 7 20 . 考点冲关 1．【答案】A 【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含9 个基本事件, 其中两人参加同一个小组包含3 个基本事件     , , , , ,A A B B C C , 则所求概率为 3 1 9 3P   .故选 A． 学￥% 16 4．【答案】B 【解析】由题意，得在 20 组模拟数据中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有 137、191、271、 932、812、393，共 6 个数据， 则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 6 0.3020  .故选 B． 5．【答案】A 【解析】由题意得当日销售量不少于 20 个时,日利润不少于 96 元，其中当日销售量为 20 个时,日利润为 96 元,当日销售量为 21 个时,日利润为 97 元. 从条形统计图可以看出,日销售量为 20 个的有 3 天,日销售量为 21 个的有 2 天, 故从这 10 天中随机抽取一天,其日利润不少于 96 元的概率为 2 3 1 10 2   . 6．【答案】C 【解析】依题意,平均数  20 60 30 7 9 1 5 6x       =22,故只有 2 名优秀工人, 从中任取 2 名共有 2 6C =15(种)情况, 其中至少有 1 名优秀工人的情况有 2 6C - 2 4C =9(种), 故至少有 1 名优秀工人的概率为 P= 9 3 15 5  . 7．【答案】C 【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出 3; 2y x   ,输出 0; 1y x   ,输出 1; 0y x   ,输出 0; 1y x  ,输出 3; 2y x  ,输出 8; 3y x  ,输出 y=15,程序结束, 故 A={3,0,-1,8,15}, 17 其中有 3 个元素可使得函数  , 0,ay x x   是增函数, 故所求概率为 3 5 . 10．【答案】 1 2 【解析】从集合 A={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素 a,b, 组成复平面内的对应点有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共 12 种， 其中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共 6 种. 所以复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为 P= 6 1 12 2  .故填 1 2 . 11．【答案】 4 5 【解析】记事件 M 为“选取的 3 人中至少有 1 名女生”,则事件 M 为“选取的 3 人都是男生”. 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个 6 人的样本,其中男生有 4 人,编号分别为 a,b,c,d, 女生有 2 人,编号分别为 A,B． 从 6 人中随机选取 3 人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A}, {a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共 20 个. 事件 M 所含的基本事件分别为{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共 4 个, 所以事件 M 的概率为 P( M )= 4 1 20 5  , 所以事件 M 的概率为 P(M)=1-P( M )=1- 1 4 5 5  . 18 12．【解析】(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 ,则   6 3 10 5P A   . (2) (i)一等品零件的编号为 ,从这 6 个一等品零件随机抽取 2 个,所有可能的结果有: , , ,共有 15 种. (ii)“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 )的所有可能结果有: ,共有 6 种. 所以   6 2 15 5P B   . 学#￥ 13．【解析】(1)所有可能的摸出结果是:{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2 },{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2 },{B,a1}, 14．【解析】(1)该单位相关研究小组所有人员的人数为 10÷0.25=40. 则系统程序综合成绩为“优 A”的人数为 40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3. (2)结构设计、系统程序综合成绩为“优 A”的各有 3 人,其中有 2 人的两项综合成绩为“优 A”,所以还有 2 人只有一项综合成绩为“优 A”. 设这 4 人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙的两项综合成绩均为“优 A”,则在至少一项综合成绩为“优 A”的 人员中,随机抽取 2 人进行组队(项目负责人),其基本事件为{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁}, {丙, 丁},共 6 个, 设“随机抽取 2 人,这 2 人的两项综合成绩均为‘优 A’”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件为{甲,乙},共 1 个, 19 故 P(M)= 1 6 . 15．【解析】(1)从甲、乙两所学校中各抽取的 20 名高三学生的身体综合素质分中可得,甲学校有 15 名需要 16．【解析】（1）因为甲机床为优品的频率为 32 8 2 100 5   ， 乙机床为优品的频率为 29 6 7 100 20   ， 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为 2 7,5 20 . （2）甲机床生产一件零件的平均利润为  1 40 160 52 100 8 20 114.4100        元， 所以估计甲机床每生产一件零件的利润为 114.4 元, 所以甲机床某天生产 50 件零件的利润为50 114.4 5720  元. （3）由题意知，甲机床应抽取 125 230   ，乙机床应抽取 185 330   ， 记甲机床的 2 个零件为 ,A B ，乙机床的 3 个零件为 , ,a b c ， 若从 5 件中选取 2 件，有 , , , , , , , , ,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共 10 种取法， 这 2 件都是乙机床生产的共有 3 种，分别为 , ,ab ac bc ， 所以，这 2 件都是乙机床生产的概率 3 10P  . 学！ 20 17．【解析】(1)由题意知,这 600 人中男性的人数为 40+120+160+80=400,女性的人数为 600-400=200,男性 即恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为 8 15 . 直通高考 1．【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个， 随机选取两个不同的数，共有 种方法， 因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法， 故所求概率为 3 1=45 15 ，选 C. 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的 21 基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元 素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限 制条件较多且元素数目较多的题目. 2．【答案】C 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题. 3．【答案】 3 10 【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法， 其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种， 因此所求概率为 3 10 .