高考数学（理）考点一遍过考点52 几何概型-之

1 （1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. （2）了解几何概型的意义. 一、几何概型 1．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概 率模型,简称为几何概型. 2．几何概型的特点 （1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. （2）每个基本事件发生的可能性相等. 3．几何概型的概率计算公式 ( )P A  A构成事件 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. 4．必记结论 （1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； （2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分 别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问 题； （3）与体积有关的几何概型. 二、随机模拟 2 用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法. 这个方法的基本步骤是： （1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； （2）统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N； （3）计算频率 ( )n Mf A N  作为所求概率的近似值. 注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所 求事件的概率是一个确定的数值. 考向一 与长度有关的几何概型 求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件 A 包含的基本事件转化为相应长度，进 而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等. 注意：在寻找事件 A 发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件 A 的 概率. 典例 1 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为 40 分钟．第一节课上课的时间为 7:50~8:30,课间休息 10 分钟．某同学请假后返校,若他在 8:50~9:30 之间到达教室,则他听第二节课的时间不 少于 10 分钟的概率是 A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 3 5 【答案】A 【解析】由题意得第二节课上课的时间为 8:40~9:20, 该同学到达教室的时间总长度为 40,其中在 8:50~9:10 进入教室时,听第二节课的时间不少于 10 分钟,其时间 长度为 20, 故所求概率为 20 1 40 2  ,选 A． 3 典例 2 在区间 0,2 上随机抽取一个数 x ,则事件“ 1 2 11 log 12x       ”发生的概率为 A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 【答案】A 1．在 上随机取一个实数 m，能使函数 在 R 上有零点的概率为 A． 2 5 B． 3 5 C． 1 5 D． 3 10 2．中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午 到 ，在某星期天中午的午间新闻中将 随机安排播出时长 分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天 打开电视，则他能收看到这条新 闻的完整报道的概率是 A． 2 5 B． 1 3 C． 1 5 D． 1 6 考向二 与面积有关的几何概型 求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两 个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把 变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方 4 法. 典例 3 在如图所示的扇形 AOB 中,∠AOB= ,半圆 C 切 AO 于点 D,与圆弧 AB 切于点 B,若随机向扇形 AOB 内投一点,则该点落在半圆 C 外的概率为 A． B． C． D． 【答案】A 典例 4 如图,已知 A(a,0)(a>0),B 是函数 f(x)=2x2 图象上的一点,C(0,2),若在矩形 OABC 内任取一点 P,则点 P 落在阴影部分的概率为________. 学￥% 5 【答案】 3．一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为 A． 31 π6  B． 3 4 C． 3 π6 D． 1 4 4．在区间 上随机取两个实数 ，记向量 ， ，则 的概率为 A． π1 8  B． π1 4  C． π1 2  D． 3π1 4  考向三 与体积有关的几何概型的求法 6 用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区 域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行 描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解. 典例 5 一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容 器六个表面中至少有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器 六个表面的距离均大于 10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那 么蜜蜂飞行安全的概率是 学#$ A． 5 12 B． 2 3 C． 1 27 D． 4 25 【答案】C 5．有一底面半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 l 的概率为 A． 1 3 B． 2 3 C． 3 4 D． 1 4 考向四 随机模拟的应用 7 利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形 A 的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率 ( ) AP A  随机取的点落在 中的 随机取点 频数 的总次数 ，然后根据 ( ) 随机取点 构 的 成事 全部 件 的区 结果构成的区域面积 域面积AP A  列等 式求解. 典例 6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为 边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积 分别称朱实、黄实,利用 2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾 2+股 2=弦 2.设勾股形中勾股比为 1∶ 3 ,若向弦图内随机抛掷 3000 颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为( 3 ≈1.732) A．134 B．268 C．402 D．536 【答案】C 【解析】设大正方形的边长为 2， 由图中直角三角形的两直角边长之比为 1∶ 3 ,可得小正方形的边长为 3 -1， 所以小正方形与大正方形的面积比值为 2( 3 1) 4  = 31 2  , 所以落在小正方形内的图钉数为( 31 2  )×3000≈(1- 1 2 ×1.732)×3000=402. 故选 C. 6．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我 8 们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个 都小于 1 的正实数对 ，再统计其中 能与 1 构成钝角三角形三边的数对 的个数 m，最后根据统计个数 m 估计 的值. 如果统计结果是 ，那么可以估计 的值为 A． 22 7 B． 47 15 C． 51 16 D． 53 17 1．在 0,π 内任取一个实数 x ，则 1sin 2x  的概率为 A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 2．在长为 的线段 上任取一点 ，并以线段 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 与 之间的概率为 A． 3 10 B． 1 5 C． 2 5 D． 4 5 3．在直角坐标系中,任取 n 个满足 x2+y2≤1 的点(x,y),其中满足|x|+|y|≤1 的点有 m 个,则用随机模拟的方法得 到的圆周率π的近似值为 A． 4m n B． 4n m C． 2m n D． 2n m 4．如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,以 A 为圆心、1 为半径作圆弧 DE,点 E 在线段 AB 上,在圆弧 DE 上 任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率是 9 A． 1 4 B． 1 3 C． 2 5 D． 3 5 5．已知函数   2 ,0 1 (e1 ,1 e x x f x xx       为自然对数的底数)的图象与直线 e、x x 轴围成的区域为 E ,直线 e 1、x y  与 x 轴、 y 轴围成的区域为 F ,在区域 F 内任取一点,则该点落在区域 E 内的概率为 A． 4 3e B． 2 3e C． 2 3 D． 2 e 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角 三角形两直角边长分别为8 步和15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆 子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A． 3π 10 B． 3π 20 C． 3π1 10  D． 3π1 20  7．已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于 的概率为 A． 5 14 B． 9 14 C． 5 9 D． 4 9 8．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾 10 股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小 正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一 个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点 取自小等边三角形的概率是 A． 4 13 B． 2 13 13 C． 9 26 D． 3 13 26 9．已知 P 是 ABC△ 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在 ABC△ 内，则黄豆落 在 PBC△ 内的概率是 A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 10．有一根长为 1 米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于 1 8 米的概率为__________. 11．若在区间[0,4]上随机选取一个数 x,使 x≥a 的概率为 1 4 ,则 a=__________. 12．如图，在平面直角坐标系 内，以 轴的正半轴为始边，射线 落在 角的终边上，射线 落在 角的终边上，任作一条射线 ，则射线 落在阴影部分内的概率为__________. 11 13．一个正方体的外接球的表面积为 48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为 __________. 14．下图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的有 225 个点，据此可估计黑色部分的面积为_____________. 15．在区间 0,2 内随机地取出两个实数，则这两个实数之和小于 5 2 的概率是__________． 16．某班早晨 7：30 开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上 7：10 至 7：30 之间到班，且两人在此时 间段的任何时刻到班是等可能的. (1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚 5 分钟到班的概率. 17．已知圆 ,点 . (1)若 是从 三个数中任取的一个数, 是从 三个数中任取的一个数,求点 在圆 内的概率; (2)若 是从区间 任取的一个数, 是从区间 任取的一个数,求点 在圆 外的概率. 12 18．已知函数   2 2 ( ,f x ax bx a a b    R ). (1)若 a 从集合 0,1,2,3 中任取一个元素,b 从集合 0,1,2,3 中任取一个元素,求方程   0f x  有实根 的概率; (2)若b 从区间 0,2 中任取一个数,a 从区间 0,3 中任取一个数,求方程   0f x  没有实根的概率. 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC． ABC△ 的三边所围成的区域记 为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分 13 别记为 p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 2．（2017 新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑 色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． 1 4 B． π 8 C． 1 2 D． π 4 3．（2016 新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 4．（2017 江苏）记函数 2( ) 6f x x x   的定义域为 D ．在区间[ 4,5] 上随机取一个数 x ，则 x D 的概率 是 ▲ ． 5．（2016 山东理科）在[ 1,1]- 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 2 2( 5) 9x y- + = 相交”发生的 概率为 . 变式拓展 1．【答案】B 14 所以有零点的概率为 6 3 10 5  . 2．【答案】D 【解析】午间新闻的播出时间是每天中午 ，时长 30 分钟，小张 打开电视，可能看到完 整新闻报道的时间为 5 分钟，所以所求的概率为 5 1 30 6  .故选 D． @#网 3．【答案】A 【解析】满足条件的正三角形如图所示： 其中正三角形 ABC 的面积 3 16 4 34ABCS   △ ， 满足到正三角形 ABC 的顶点 A B C， ， 的距离至少有一个小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示， 且 2πS 阴影 ， 则使取到的点到三个顶点 A B C， ， 的距离都大于 2 的概率为 2π 31 1 π64 3 P     . 故选 A. 4．【答案】B 15 5．【答案】B 【解析】设点 P 到点 O 的距离小于 1 的概率为 P1， 由几何概型，得 P1＝ 3 2 2π 13 π 1 2 V V    半球 圆柱 ＝ ＝ 1 3 ， 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1－ 1 3 ＝ 2 3 .故选 B． 6．【答案】B 【解析】由题意，120对都小于1的正实数 ,x y 满足 0 1 0 1 x y        ，面积为1； 两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对 ,x y 满足 2 2 1x y  且 0 1 0 1 x y        ， 1x y  ，则面积为 π 1 4 2  ， 因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对  ,x y 的个数为 34m  ， 所以 34 π 1 120 4 2   ， 解得 47π 15  .故选 B． 考点冲关 1．【答案】C 【解析】若 1sin 2x  ,则在 0,π 内 π 5π0 π6 6 或x x    ， 16 所以所求概率为 π 2 16 π 0 3P    .选 C． 学#￥ 2．【答案】B 3．【答案】D 【解析】画出可行域,如图所示,四边形 ABCD 的面积为 2,其中圆 O 的面积为π. 由几何概型的概率公式,可得 2 π m n  ,则π= 2n m ,故选 D． 4．【答案】B 【解析】连接 AC,交圆弧 DE 于点 M. 在 Rt△ABC 中,AB= 3 ,BC=1,所以 tan∠BAC= 3 3 BC AB  ,即∠BAC= π 6 . 要使直线 AP 与线段 BC 有公共点,则点 P 必须在圆弧 EM 上, 于是所求概率为 P= π 16 π 3 2  .故选 B． 5．【答案】A 【解析】由题意，区域 F 的面积为 e; 区域 E 的面积 S= 1 e2 0 1 1d dx x xx   = 3 1 e 0 1 1 4| ln |3 3x x  , 所以在区域 F 内任取一点,则该点落在区域 E 内的概率为 4 3e . 17 6．【答案】D 【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径 r= 8 15 17 32    ， 所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率 P= 1 8 15 9π 3π2 11 208 152        . 7．【答案】B 8．【答案】A 【解析】在 ABD△ 中， 3AD  ， 1BD  ， 120ADB   ， 由余弦定理，得 2 2 2 cos120 13AB AD BD AD BD      ， 所以 2 13 DF AB  . 故所求概率为 2 2 4 1313 DEF ABC S S      △ △ .故选 A． 9．【答案】B 【解析】如图，以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC， 18 则 2 0PB PC PD PB PC PA          ， ，∴ 2PB PC PA     ，得 2PD PA   ， 由此可得 P 是 ABC△ 的边 BC 上的中线 AO 的中点， 则点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 1 2 ，∴ 1 2PBC ABCS S△ △ ． 将一粒黄豆随机撒在 ABC△ 内，则黄豆落在 PBC△ 内的概率为 1 2 PBC ABC SP S  △ △ .故选 B. 10．【答案】 3 4 ￥%网 11．【答案】3 【解析】由题意得[0,4]与[a,+∞)的交集在数轴上的长度为 1，即 x≥a 的概率 P= 4 1 4 4 a  ，解得 a=3. 12．【答案】 1 6 【解析】由题可得 ， ， 根据几何概型的概率计算公式，可得射线 落在阴影部分内的概率为  30 90 60 1 360 6     ． 13．【答案】 【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为 48π,所以这个正方体的棱长为 4,而棱长为 4 的正方体的 体积为 43,该正方体的内切球的半径为 2,体积为 ×23,所以所求概率 P= . 14．【答案】9 19 15．【答案】 23 32 【解析】取    0,2 , 0,2x y  ，  ,x y 所在区域是边长为 2 的正方形区域，面积为 4 ， 直线 5 2x y  上方正方形区域的面积为 1 3 3 2 2 2   ， 直线 5 2x y  下方正方形区域的面积 1 3 3 234 2 2 2 8     ， 由几何概型的概率公式可得，这两个实数之和小于 5 2 的概率是 23 2348 32   ， 故答案为 23 32 . 16．【解析】（1）用 ，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则  10,30 10,30，x y    ， 所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域 ABCD，如图所示． （2）小陈比小李至少晚到 5 分钟，即 5x y  ，对应区域为△BEF ， 则所求概率为 1 15 15 92 20 20 32 △BEF ABCD SP S      ． 17．【解析】(1)用数对 表示基本事件,则其所有可能结果有 20 所以 = 212 2 π 2 π4 12 2 4       . 18．【解析】(1) ,a b 的取值情况 是:                        0,0 , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,0 , 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,0 , 2,1 , 2,2 ,          3,3 , 3,0 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示b 的取值,即基本事件总数为 16． 21 直通高考 1．【答案】A 【解析】设 ，则有 ，从而可以求得 的面积为 ，黑色部分 的面积为 2 2 2 2 1π π π2 2 2 2 c b aS bc                           2 2 2 2 2 21π π4 4 4 2 4 c b a c b abc            1 1 2 2bc bc  ，其余部分的面积为 2 2 3 1 π 1π 2 2 4 2 a aS bc bc        ，所以有 1 2S S ， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 ，故选 A. 2．【答案】B 【解析】设正方形边长为 a ，则圆的半径为 2 a ，正方形的面积为 2a ，圆的面积为 2π 4 a .由图形的对称性 可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色 22 部分的概率是 2 2 1 π π2 4 8 a a   ，选 B． 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概 率 p 满足 1 1 4 2p  ，故选 B． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体 积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算 ( )P A . 3．【答案】B 【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每 30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为 40， 等车不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为 20 1 40 2  ，选 B． 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、 面积、体积等. 4．【答案】 5 9 学￥% 【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要 设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． （3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的， 但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 5．【答案】 3 4 【解析】直线 y=kx 与圆 2 2( 5) 9x y- + = 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即 2 | 5 | 3 1 kd k    ， 解得 3 3 4 4k   ，而 [ 1,1]k Î - ，所以所求概率 P= 3 32 2 4  . 23