1
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
一、正态曲线
1．正态曲线的定义
函数
2
2
( )
2
,
1( ) e , ( , )
2
x
x x
，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称 , ( )x 的图象为正态分布
密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
2．正态曲线的特点
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，关于直线 x 对称；
③曲线在 x 处达到峰值 1
2
；
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线
越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2
二、正态分布
1．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 ,a b a b ，随机变量 X 满足 , d
b
a
P a X b x x (即 x=a，x=b，正态曲线
及 x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量 X 服从正态分布，记作 2~ ( ),X N ．
2．正态分布的三个常用数据
① 0( ) .6826P X ；
② 2 2 0 5( ) .9 44P X ；
③ 3 3 0 9( ) .9 74P X .
【注】若 2~ ( , )X N ，则 ( ) 0.5P X .
考向一 正态分布
关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：
(1)熟记 ( )P X ， 2( )2P X ， 3( )3P X 的值．
(2)正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上的概率相同．
(3) ( ) ( ) ( )1 ,P X a P X a P X a P X a ＋ .
(4)若 X 服从正态分布，即 2 ),(X N ～ ，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为
1.
典例 1 已知随机变量 服从正态分布 1,1N ，若 1 0.9772P ，则 1 3P
A．0.6827 B．0.8522
C．0.9544 D．0.9772
【答案】C
【解析】因为随机变量 服从正态分布 1,1N ，所以其图象关于直线 1x 对称，
因为 1 0.9772P ，所以 1 1 0.9772 0.0228P ，
3
所以 1 3 0.0228P P ，所以 1 3 1 0.0228 2 0.9544P .
故选 C.
【名师点睛】本题考查正态分布，关键是对正态分布曲线的理解与掌握，是基础题.利用正态分布的对称
性结合已知求得 3P ，然后求解即可.
1．设两个正态分布 2
1 1 1( ), 0N 和 2
2 2 2( ), 0N 的密度函数图象如图所示，则
A． 1 2 1 2, B． 1 2 1 2,
C． 1 2 1 2, D． 1 2 1 2,
2．已知随机变量ξ服从正态分布 22,N ,且 4 0.8, 0 2P P
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
考向二 正态分布的应用
正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、
填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率统计结合，在解答题中考查．
典例 2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 2800,50N 的随机变量．记一天中从甲地去
乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 0p ，则 0p 的值为
(参考数据：若 2 ),(X N ～ ，则 0( ) .6826P X ； 2( )2P X 0.9544 ；
4
3 3 0 9( ) .9 74P X .)
A．0.9544 B．0.6826
C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于随机变量 X 服从正态分布 2800,50N ，故有μ=800，σ=50，则 700 900 0.9544P X .
由正态分布的对称性，可得
0 900 800 800 19 200p P X P X P X 1 700 900 0.97722 P X .
3．已知某厂生产的电子产品的使用寿命 X （单位：小时）服从正态分布 21000N ， ，且
800 0.1P X ， 1300 0.02P X ．
（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在 12001300， 的概率；
（2）现从该厂随机抽取 3 件产品，记抽到的 3 件产品使用寿命在 8001200， 的件数为Y ，求Y 的分布
列和数学期望 E Y ．
1．随机变量 服从正态分布 2,N ，若 ( 2) 0.2P ， (2 6) 0.6P ，则
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知随机变量 ~ 7,4X N ，且 (5 9) , (3 11)P X a P X b ，则 (3 9)P X
A．
2
b a B．
2
b a
C． 2
2
b a D． 2
2
a b
3．已知随机变量 服从正态分布 2,N ，若 ( 1) ( 5) 0.15P P ，则 1 3P 等于
5
A． 0.35 B． 0.3
C． 0.5 D． 0.7
4．已知三个正态分布密度函数
2
21 e
2π
i
i
x
i
i x
（ xR ， 1,2,3i ）的图象如图所示，则
A． 1 2 3 1 2 3, B． 1 2 3 1 2 3,
C． 1 2 3 1 2 3, D． 1 2 3 1 2 3,
5．某商场经营的某种包装的大米质量ξ（单位：kg）服从正态分布 N（10，σ2），根据检测结果可知 P（9.9≤ξ≤10.1）
＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 1000 名职工，则分发到的大
米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为
A．10 B．20
C．30 D．40
6．已知随机变量 X ～ 1,1N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷 10000 个点，
则落入阴影部分的点的个数的估计值为
附：若随机变量 X ～ 2,N ，则 ( ) 0.6826P X ， ( 2 2 )P X
0.9544 ， 3 3 0 9( ) .9 74P X .
A．6038 B．6587
C．7028 D．7539
6
7．我国成功申办 2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情
的完美展现，某选手的速度 服从正态分布 2100 0 ， ，若 在 80120， 内的概率为 0.7 ，则他
速度不低于120的概率为
A．0.05 B．0.1
C．0.15 D．0.2
8．设随机变量 服从正态分布 ，若 ( 1) 0.2P ，则函数 没有极值点
的概率是
A． 0.2 B． 0.3
C． 0.7 D． 0.8
9．已知随机变量 X 服从正态分布，即 2~ ,X N ，且 ( ) 0.6826P X ，若随机变量
~ 2017,1X N ，则 2018P X
A．0.3413 B．0.3174
C．0.1587 D．0.1586
10．若随机变量 服从正态分布 2,N ，则 ( ) 0.6826P ， ( 2 2 )P
0.9544 .设 21,N ，且 3 0.1587P ，则 __________.
11．为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区 1000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体
重情况,抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于
58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况,则这 1000 名男生中属于正常情况的人数约为__________.
（附：若随机变量 服从正态分布 2,N ，则 ( ) 0.683P ，
( 2 2 )P 0.954 .）
12．在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩 X 近似服从正态分布 N（70，100）．已知成
绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 16 名．
（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?
（2）若该校计划奖励竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少
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人?
附： (| | ) 0.683, (| | 2 ) 0.954, (| | 3 ) 0.997P X P X P X .
13．从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直
方图：
（1）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2,N ，其中 近似为样
本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ．
（i）利用该正态分布，求 187.8 212.2P Z ；
（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间
187.8,212.2 的产品件数，利用（i）的结果，求 E（X）．
附： 150 12.2 ．
若 2,Z N ，则 0.6826P Z ， 2 2 0.9544P Z ．
14．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 11 月份中 5 天的日销售量 y （单位：千克）
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与该地当日最低气温 x （单位： C ）的数据，如下表：
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8 7
（1）求出 y 与 x 的回归方程 ˆˆ ˆy bx a ；
（2）判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关；若该地 11 月份某天的最低气温为 6 C ，请用所求回归方
程预测该店当日的销售量；
（3）设该地 11 月份的日最低气温 X ～ 2,N ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差
2s ，求 (3.8 13.4)P X .
附：①回归方程 ˆˆ ˆy bx a 中， 1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
， ˆˆa y bx .
② 10 3.2 ， 3.2 1.8 ，若 X ～ 2,N ，则 ( ) 0.6826P X ，
( 2 2 ) 0.9544P X .
15．为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，
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测量其直径后，整理得到下表：
直径 mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值 65 ，标准差 2.2 ，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X ，并根据以下不等
式进行评判（ P 表示相应事件的概率）；
① ( ) 0.6826P X ；② ( 2 2 ) 0.9544P X ；
③ ( 3 3 ) 0.9974P X .
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足
其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 M 的性能等级.
（2）将直径小于等于 2 或直径大于 2 的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备 M 的生产流水线上随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望 E Y ；
（ⅱ）从样本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 Z 的数学期望 E Z .
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1．(2015 年高考湖北卷)设 2
1 1~ ( , )X N ， 2
2 2~ ( , )Y N ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列
结论中正确的是
A． 2 1( ) ( )P Y P Y B． 2 1( ) ( )P X P X
C．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t D．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t
2．（2015 年高考山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 20,3N ，从中随机取一
件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 2,N ，则 68.26%P ，
2 2 95.44%P .）
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
3．(2015 年高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布
( )0,1N 的密度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
附：若 X~N(μ，σ2)，则 0.682 6, 2 2 0.954 4P X P X .
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4．(2017 年高考新课标Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽
取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产
的零件的尺寸服从正态分布 2( , )N ．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数，
求 ( 1)P X 及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
16
1
1 9.9716 i
i
x x
，
16 16
2 2 2
1 1
1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i
i i
s x x x x
，其中 ix 为抽取的
第i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i ．
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对当天
的生产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z ，
160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 ．
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变式拓展
1．【答案】A
【解析】由正态分布 N(μ，σ2)的性质知，x=μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1
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