高考数学（理）考点一遍过考点49 二项式定理-之

1 （1）能用计数原理证明二项式定理. （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 一、二项式定理 0 1 1( ) C C C C ( )n n n k n k k n n n n n na b a a b a b b n         L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边 的多项式叫做 ( )na b 的二项展开式，共有 n+1 项，其中各项的系数 C ( {0,1,2, , })k n k n L 叫做二项式系 数. 二项展开式中的 Ck n k k na b 叫做二项展开式的通项，用 1kT  表示，即通项为展开式的第 1k  项： 1 Ck n k k k nT a b   . 注意：二项式系数是指 0Cn ， 1Cn ，…，Cn n ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关； 而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关．如 ( )na bx 的展开式中，第 r＋1 项的二项式系数是 Cr n ，而该项的系数是 Cr n r r na b .当然，某些特殊的二 项展开式如 (1 )nx ，各项的系数与二项式系数是相等的． 二、二项式系数的性质 （1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 C Cm n m n n  得 到. （2）增减性与最大值.当 1 2 nk  时，二项式系数是逐渐增大的；当 1 2 nk  时，二项式系数是逐渐减 2 小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当 n 是偶数时，中间的一项的二项式系数 2C n n 最大；当 n 是奇 数时，中间的两项的二项式系数 1 1 2 2C ,C n n n n   相等且最大. （ 3 ） 各 二 项 式 系 数 的 和 . 已 知 0 1 2 2(1 ) C C C C Cn k k n n n n n n nx x x x x       L L . 令 1x  ， 则 0 1 22 C C C Cn n n n n n    L .也就是说， ( )na b 的展开式的各个二项式系数的和为 2n . （4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 0 2 1 3 1C C C C 2n n n n n      L L . 三、必记结论 （1） Ck n k k na b 是第 k＋1 项，而不是第 k 项． （2）通项公式中 a，b 的位置不能颠倒． （3）通项公式中含有 a，b，n，k，Tk＋1 五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求 一”. 考向一 二项展开式通项的应用 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k 的取值范围（ 0,1,2, ,k n L ）. （1）第 m 项：：此时 k+1=m,直接代入通项. （2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 典例 1 的展开式中, 的系数为 A．60 B．-60 C．240 D．-240 【答案】C 【解析】 的展开式中第 项为 6 6C ( 2 )r r rx y  , 3 令 r=4，可得 的系数为 典例 2 若 a= dx(e 为自然对数的底数),则二项式(x- )6 的展开式中的常数项为 A．-160 B．160 C．20 D．-20 【答案】A 典例 3 已知关于 x 的二项式(ax- )n 展开式的二项式系数之和为 256,常数项为 112,则 a 的值为 A．1 B．±1 C．2 D．±2 【答案】D 【解析】由题意得,二项式系数和为 2n=256,即 n=8, 所以二项展开式的通项为 Tr+1= ·(ax)8-r·( 3 1 x  )r=(-1)r·a8-r · , @#网 令 48 03 r  ，得 r=6, 所以 T7=(-1)6·a2· =112,所以 a=±2,故选 D． 1．( -2x)6 的展开式中 x2 项的系数为 A．240 B．-240 C．160 D．-160 2．已知二项式( 3 1a x x  )n(a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中 x2 项的系数 为 84,则 a 的值为 4 A．1 B． C．2 D． 3．在二项式 3 3 1 2 n x x     的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项. 考向二 求二项式系数和或各项的系数和 二项式定理给出的是一个恒等式,对于 a,b 的一切值都成立.因此,可将 a,b 设定为一些特殊的值.在使用赋值法 时,令 a,b 等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,   1 或 0”,有时也取其他值. （1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x ＝1 即可． （2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． （3）若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝ (1) ( 1) 2 f f  ， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ (1) ( 1) 2 f f  . 典例 4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则 a1+a2+…+a11 的值为 A．0 B．-5 C．5 D．255 【答案】C 典例 5 已知(1-2x)n 的展开式中的二项式系数的和是 64,则 n= ;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn, 则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= . 【答案】6 729 5 典例 6 在二项式 3 3 1 2 n x x     的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为 ,求展开式中二项式系数最大的项． (2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和. 【解析】(1)由已知得 0 1C C C 64n n n n    ， 2 64n  ， 6n  ， 则展开式中二项式系数最大的项是 6 3 31 1 3 03 3 4 6 1 1 5C 202 8 2T x x x                        . (2)展开式的通项为 2 3 1 1 C2 r n r r r nT x         0,1, ,r n  . 由已知 0 2 0 1 21 1 1C , C , C2 2 2n n n            成等差数列，即 1 21 12 C 1 C2 4n n   ， ∴n=8, 在 8 3 3 1 2 x x     中，令 x=1，得各项系数和为 1 .256 4．在 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 32,则 的系数为 A．50 B．70 C．90 D．120 5．已知(1-x)4+4(1-x)3+6(1-x)2-4x+5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,那么 a2+a4 的值为 A．9 B．18 C．25 D．41 6．已知二项式 . （1）若 ,展开式中含 项的系数为 960,求 的值; （2）若展开式中各项系数和为 ,且 ,求展开式的所有二项式系数之和. 6 考向三 整除问题 利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一 个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被 除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. 学@# 典例 7 利用二项式定理证明 2n+2·3n+5n－4( n N )能被 25 整除. 7． 被 49 除所得的余数是 A．-14 B．0 C．14 D．35 1．(1+x)7 的展开式中 x2 的系数是 A．42 B．35 C．28 D．21 7 2．二项式 62x x     的展开式的第二项是 A．6x4 B．﹣6x4 C．12x4 D．﹣12x4 3．若实数 a=2- ,则 a10-2 a9+22 a8-…+210= A．32 B．-32 C．1024 D．512 4．已知 x(x- )5 的展开式中含 x4 项的系数为 30,则 a= A． B．- C．-6 D．6 5．设二项式(x- 1 x )6 的展开式的常数项为 m,则 π 2 0 sin 5 mx dx 的值为 A． 5 3 B． 5 3  C． 1 3 D． 1 3  6．若 = ,则 A．0 B．1 C．32 D．-1 7．若 的展开式中的二项式系数和为 的系数为 ,则 P S 为 A． 15 2 B． 15 4 C． D． 8．在 的展开式中，各二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为 A．135 B．105 C．30 D．15 9．已知( + )5 的展开式的第三项为 10,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状为 8 A B C D 10．已知(ax+ )n 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大,且含 x8 的项的系数为 ,则常数项为 A． 55 2 B． 55 4 C． 55 8 D． 55 16 11．在 的展开式中,x 的系数为 A．160 B．3840 C．1080 D．1600 12．在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 中,若 2a2+an-5=0,则自然数 n 的值是 A．10 B．9 C．8 D．7 13．(2x+1)( )9 的展开式中,x 项的系数为 A．-168 B．84 C．-84 D．168 14．(x3- )n 的二项展开式的各项系数的绝对值之和为 729,则(x- )n 展开式中的二次项的系数是 A．-60 B．60 C．-30 D．30 15．设(x+ )6 的展开式中 x3 的系数和常数项分别为 a,b,在区间[0,300]上任取一个数 x,则 a≤x≤b 的概率是 A． 2 5 B． 3 5 C． 2 3 D． 3 4 9 16． 的展开式中, 的系数为__________. 17．若( 1 x -x)n 的展开式的各个二项式系数的和为 256,则( 1 x -x)n 的展开式中的常数项为__________. 18． 的展开式中 的系数与 的系数之和等于__________. 19．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 的展开式中 x4 的系数是-35,则 a1+a2+…+a7=__________. 20． 的二项式中不含 的项的系数为__________. 21．已知( + )n 展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为 128,则 n 的值为__________. 22．若(1+2x2)(1+ )n 的展开式中所有项的系数和为 96,则展开式中含 项的系数是 . 23．若(2 - )6(a>0)的展开式的常数项为 960,则展开式中所有无理项的系数之和为 . 24．设(5x- )n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,求展开式中二项式系数最大 的项. 25．求 8912 除以 11 的余数. 26．在二项式(2x-3y)9 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; 10 (2)各项系数之和; (3)各项系数绝对值之和. 27．在二项式 的展开式中, (1)写出其中含 的项; (2)如果第 项和第 项的二项式系数相等,求 的值. 28．二项式 的二项式系数和为 256. （1）求展开式中二项式系数最大的项； 11 （2）求展开式中各项的系数和； （3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由. 29．已知二项式 . （1）若 ,展开式中含 项的系数为 960,求 的值; （2）若展开式中各项系数和为 ,且 ,求展开式的所有二项式系数之和. 12 1．（2018 新课标全国Ⅲ理科） 5 2 2x x     的展开式中 4x 的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 2．（2016 四川理科）设 i 为虚数单位，则 6( i)x  的展开式中含 x4 的项为 A．－15x4 B．15x4 C．－20i x4 D．20i x4 3．（2017 新课标全国Ⅰ理科） 6 2 1(1 )(1 )xx   展开式中 2x 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 4．（2017 新课标全国Ⅲ理科）  52x y x y  的展开式中 3 3x y 的系数为 A． 80 B． 40 C．40 D．80 5．（2018 浙江）二项式 83 1( )2x x  的展开式的常数项是___________． 6．（2018 天津理科）在 51( ) 2 x x  的展开式中， 2x 的系数为 . 7．（2017 浙江理科）已知多项式 3 2 5 4 3 2 1 2 3 4 5( 1) ( 2)x x x a x a x a x a x a       ，则 4a =________， 5a =________． 8．（2017 山东理科）已知  1 3 nx 的展开式中含有 2x 项的系数是 54 ，则 n  . 9．（2016 新课标全国Ⅰ理科） 5(2 )x x 的展开式中，x3 的系数是 .（用数字填写答案） 变式拓展 13 1．【答案】A 2．【答案】A 【解析】由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，可知 n=9， 则展开式的通项公式为 Tr+1= ( )r= a9-r · a9-r (r=0,1,2,3,…,9), 令 =2,则 r=3, 所以 a9-3= a6=84,解得 a=±1, 因为 a>0,所以 a=1. 3．【解析】二项式 3 3 1 2 n x x     的通项为  3 1 3 1C 2 r n rr r nT x x        1 2 3 31 C2 r n rr n x      ， 由前三项系数的绝对值成等差数列，得 2 0 2 11 1C C 2 C2 2n n n        , 解这个方程得 n＝8 或 n＝1(舍去). （1）展开式的第 4 项为： 3 2 3 3 23 4 8 1 C 7 .2T x x       （2）当 8 2 03 3 r  ,即 r＝4 时,常数项为 4 4 8 1 35C2 8      . 4．【答案】C 【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为 32,∴ ∴ ∴通项公式为 ， 令 故 的系数为 @#网 14 5．【答案】C 6．【解析】（1） 的展开式的通项为 , 令 ,得 ， 解得 . 7．【答案】B 【解析】由题可得， = + + ， 所以 被 49 整除，所以余数为 0.故选 B． 考点冲关 1．【答案】D 15 【解析】(1+x)7 的展开式的通项公式为 Tr+1= xr, 令 r=2,得 x2 的系数为 =21. 2．【答案】D 【解析】展开式的通项公式 6 1 6 2C r r r rT x x        , 令 1r  ,可得展开式的第二项为 1 1 5 6 2C x x     = 412x .选 D． 3．【答案】A 【解析】因为(a-2)10=a10-2 a9+22 a8-…+210,a=2- , 所以 a10-2 a9+22 a8-…+210=(- )10=32. 4．【答案】C 【解析】由题意，可转化为求(x- )5 的展开式中含 x3 项的系数， (x- )5 的展开式的通项 Tr+1= x5-r(- )r= x5-2r(-a)r, 令 5-2r=3,得 r=1,所以 (-a)1=30,解得 a=-6. 5．【答案】C 【解析】二项式(x- 1 x )6 的展开式的常数项为 m= 2 6C x2(- 1 x )4=15, 所以 π 2 0 sin 5 mx dx= π 2 0 sin 3xdx= 1 3  cos 3x π 2 0| = 1 3  cos 3π 2 -( 1 3  cos 0)= 1 3 ,故选 C． 6．【答案】A 7．【答案】B 【解析】 的展开式的通项为 , 令 r=4，则 ，即 p=240， 16 又 S= ， 则 15 4 P S  . @#网 8．【答案】A 【解析】因为在 的展开式中，各二项式系数之和为 64，即 2n=64，所以 n=6， 二项展开式的通项 6 3 2 1 6C3 r r r rT x    ， 令 ， 则展开式中的常数项为 9．【答案】D 【解析】由题意得 ( )5-2( )2=10, 故 xy=1(x>0),得 y= (x>0).故选 D． 10．【答案】A 11．【答案】B 【解析】(x2+3x-4)5=(x-1)5(x+4)5, (x-1)5 的展开式中,x 的系数为 ,常数项为-1, (x+4)5 的展开式中,x 的系数为 ×44,常数项为 45. 因此(x2+3x-4)5 的展开式中,x 的系数为 ×45- ×44=3840.故选 B． 12．【答案】C 【解析】由题意得,该二项展开式的通项公式为 Tr+1= ·(-1)rxr,∴ar=(-1)r· , 17 ∵2a2+an-5=0,∴2(-1)2 +(-1)n-5 =0,即 2 +(-1)n-5 =0, ∴n-5 为奇数,∴2 , 即 2× , ∴(n-2)(n-3)(n-4)=120,∴n=8. 13．【答案】A 【解析】( )9 的展开式的通项公式为 Tr+1= ( )9-r·(- )r=(-1)r , 令 =0,得 r=3, 令 =1,得 r= ,舍去, 所以(2x+1)( )9 的展开式中,x 项为 2x·(-1)3 =-168x, 所以 x 项的系数为-168. 14．【答案】B 【解析】(x3- )n 的二项展开式的各项系数的绝对值之和就是(x3+ )n 的二项展开式的各项系数之和, 取 x=1,得(2+1)n=3n,则有 3n=729=36,所以 n=6. 于是(x- )6 的二项展开式的通项 Tr+1= x6-r(- )r= (-2)rx6-2r. 令 6-2r=2,得 r=2. 所以二次项的系数为 (-2)2=60.故选 B． 15．【答案】B 【解析】(x+ )6= 的展开式的通项公式为 Tk+1= x6-k·2k· =2k , 令 6- k=3,得 k=2, 所以 x3 的系数为 a=22 =60, 令 6- k=0,得 k=4,则常数项 b=24 =240, 由几何概型的概率计算公式可得 a≤x≤b 的概率是 240 60 180 3 300 0 300 5    . 16．【答案】 【解析】 的展开式的通项为 , 18 则 的展开式中, 的系数为 17．【答案】70 【解析】依题意得 2n=256,解得 n=8, 所以 Tr+1= ( 1 x )8-r·(-x)r=(-1)r x2r-8, 令 2r-8=0,则 r=4, 所以 T5=(-1)4 =70, 所以( 1 x -x)n 的展开式中的常数项为 70. 18．【答案】 【解析】 的展开式的通项为 的系数与 的系数之和等于 . 故填 . 19．【答案】1 20．【答案】 【解析】 展开式的通项为 , 令 , 的二项式中不含 的项的系数为 . 21．【答案】7 【解析】令 x=1,得( + )n 的展开式中的各项系数的和为(1+3)n=4n, 又( + )n 的展开式中的各个二项式系数的和为 2n, 所以 4 2 n n =128, 所以 2n=128,解得 n=7. 19 22．【答案】20 【解析】令 x=1,则 3×2n=96,得 n=5, (1+2x2)(1+ )n=(1+2x2)(1+ )5=(1+ )5+2x2(1+ )5, 则(1+ )5 的展开式中含 项的系数是 =10, 2x2(1+ )5 的展开式中含 项的系数是 2 =10, 故(1+2x2)(1+ )n 的展开式中含 项的系数为 20. 23．【答案】-2048 【解析】(2 - )6 的展开式的通项 Tr+1= (2 )6-r(- )r= 26-r(-a)r , 当 r=2 时,第 3 项为常数项,所以 T3= 24(-a)2=960, 因为 a>0,所以 a=2, 所以 Tr+1= ,当 r=1,3,5 时为无理项, 所以无理项的系数之和为-64( + + )=-2048. 24．【解析】依题意得,M=4n=(2n)2,N=2n,于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0, ∴2n=16=24,解得 n=4. 要使二项式系数 最大,则 k=2, @#网 故展开式中二项式系数最大的项为 T3= (5x)2·(- )2=150x3. 20 27．【解析】(1)展开式的通项 1kT     410 3 101 2 C kk k k x   , 令 10- 4 3 k=2 得 k=6. ∴含 2x 的项是  410 66 6 6 3 101 2 C x    = 6 6 2 102 C x = 213440x . (2)∵ 3 1 10C r = 1 10Cr ，∴3r-1=r+1 或 3r-1+r+1=10, ∴r=1 或 r= 5 2 （舍去）. ∴r=1. 28．【解析】因为二项式 3 3 1 2 n x x     的二项式系数和为 256，所以 ， 解得 . （1）∵ ，∴展开式的通项   8 283 3 1 8 83 1 1C C 22 r rrr r rT x x x                 . ∴二项式系数最大的项为 4 4 5 8 1 35C 2 8T       ； （2）令二项式中的 ， 则二项展开式中各项的系数和为 8 81 1 11 2 2 256             . （3）由通项公式及 且 ， 得当 时为有理项， 系数分别为 1 1 8 1C 42       ， 4 4 8 1 35C 2 8      ， 7 7 8 1 1C 2 16       . 29．【解析】（1） 的展开式的通项为 , 21 直通高考 1．【答案】C 【解析】由题可得 ， 令 ,则 ， 所以 .故选 C. 2．【答案】A 【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考 的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式 6( i)x  可以写为 6(i )x ， 则其通项为 6 6C ir r rx ，则含 4x 的项为 4 6 4 4 4 6C i 15x x   ． 3．【答案】C 【解析】因为 6 6 6 2 2 1 1(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 )x x xx x         ， 所以 6(1 )x 展开式中含 2x 的项为 2 2 2 61 C 15x x  ， 6 2 1 (1 )xx   展开式中含 2x 的项为 4 4 2 62 1 C 15x xx   ， 故 2x 的系数为15 15 30  ，选 C． 22 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含 2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两 个二项展开式中的 r 不同. 4．【答案】C 【解析】      5 5 52 2 2x y x y x x y y x y      ， 由 52x y 展开式的通项公式    5 1 5C 2 r rr rT x y    可得： 当 3r  时，  52x x y 展开式中 3 3x y 的系数为  33 2 5C 2 1 40     ； 当 2r  时，  52y x y 展开式中 3 3x y 的系数为  22 3 5C 2 1 80    ， 则 3 3x y 的系数为80 40 40  . 故选 C． 【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所 求解的项. （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 5．【答案】7 6．【答案】 5 2 【解析】结合二项式定理的通项公式有： 355 2 1 5 5 1 1C C22 r r rr r r rT x x x               ， 令 35 22 r  可得： 2r  ， 则 2x 的系数为： 2 2 5 1 1 5C 102 4 2        . 23 7．【答案】16，4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为： 2 2 3 2 3 2C C 2 C C 2r r m m m r m m r mx x x       ， 分别取 0, 1r m  和 1, 0r m  可得 4 4 12 16a    ， 取 r m ，可得 2 5 1 2 4a    ． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命 题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的 通项公式 1 Cr n r r r nT a b   （可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二 项式系数和；（3）二项式定理的应用． 8．【答案】 4 【解析】  1 3 nx 的展开式的通项公式为 1 C (3 ) C 3r r r r r r n nT x x    ， 令 2r  ，得 2 2C 3 54n   ，解得 4n  ． 【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理 问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地 考查考生的思维能力、基本计算能力等. %……网 9．【答案】10 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项 1rT  ,再确定 r 的值,从而确定指定项系数.