高考数学（理）考点一遍过考点41 直线与圆锥曲线的位置关系-之

1 （1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想. 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点 在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 1 2,C C ，已知它们的方程为 1 2: ( , ) 0, : ( , ) 0C f x y C g x y  ， 求曲线 1 2,C C 的交点坐标，即求方程组 ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y    的实数解. 方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定 设直线 : 0l Ax By C   ，圆锥曲线 : ( , ) 0C f x y  ，把二者方程联立得到方程组，消去 ( )y x 得到一 个关于 ( )x y 的方程 2 20( 0)ax bx c ay by c      . （1）当 0a  时， 0   方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 0   方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0   方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点. （2）当 a=0 时，方程为一次方程，若 b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若 b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点. 2 （1）直线与椭圆有两个交点  相交；直线与椭圆有一个交点  相切；直线与椭圆没有交点  相离. （2）直线与双曲线有两个交点  相交. 当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直 线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点  相离. （3）直线与抛物线有两个交点  相交. 当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直 线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点  相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两个不同的点， 则弦长 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 22 1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y kk           . （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题 （1）AB 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的弦， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直线 的斜率为 2 0 2 0 b xk a y   ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值 2 2 b a  . （2）AB 为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的弦， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在 直线的斜率为 2 0 2 0 b xk a y  ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和双曲线中心 O 的连线的斜率之积为定值 2 2 b a . （3）在抛物线 2 2 ( 0)y px p  中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率 0 pk y  . 3 考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次 方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. 2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项 系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程；若不为 0,则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解. 典例 1 已知椭圆 ，直线 :y＝x＋m． (1)若 与椭圆有一个公共点，求 的值； (2)若 与椭圆相交于 P,Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值． 典例 2 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 (1,0)F ，抛物线 2: 2 ( 0)E x py p  的焦点为 M ． （1）若过点 M 的直线l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的方程； （2）若直线 MF 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，求 OAB△ 的面积． 4 【解析】（1）由题意知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 (1,0)F ，抛物线 2: 2 ( 0)E x py p  的焦点为 M ， 所以 2p  ， (0,1)M ， 1．已知直线 y kx 与双曲线 2 24 16x y  ．当 k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点． 考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题 直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： 5 （1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． （2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系 数的关系. 典例 3 已知抛物线 ： （ ），焦点为 ，直线 交抛物线 于 ， 两点， 为 的中点，且 ． （1）求抛物线 的方程； （2）若 ，求 0x AB 的最小值． ∴ ， 即 ，∴ ， 6 ∴ ， ， 典例 4 已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ， 的距 离之和为 ． 学@ （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，若点 满足 ， 求 的值． 【解析】（1）由已知得 ，则 ， 又 ， ∴ ， ∴椭圆 的方程为 2 2 112 4 x y  ． （2）由 2 2 112 4 y x m x y        得 ①. 7 ∵直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，∴ ，得 ， 设 、 ， 则 ， ， 当 时， ， 此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ， 令 ，得 ． 当 时， ， 此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ． 令 ，得 ． 综上所述， 的值为 或 ． 2．直线 1y ax  与双曲线 2 23 1x y  相交于 A，B 两点． （1）当 2a  时，求线段 AB 的长； （2）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 a 的值． 考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等 8 问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参 数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用 特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等. 典例 5 如图，已知点 E(m,0)(m＞0)为抛物线 y2＝4x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交抛 物线于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是 AB，CD 的中点． （1）若 m＝1，k1k2＝－1，求△EMN 面积的最小值； （2）若 k1＋k2＝1，求证：直线 MN 过定点． 学! 9 典例 6 已知椭圆 E: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2 为椭圆的焦点,且 1 2△MF F 是 边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+2 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B. （1）直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由； （2）求△ABM 的面积的最大值. 【解析】（1）因为 1 2△MF F 是边长为 2 的等边三角形,所以 2c=2,b= c,a=2, 所以 a=2,b= , 所以椭圆 E: + =1,点 M(0, ). 将直线 l:y=kx+2 代入椭圆 E 的方程,整理得(3+4k2)x2+16 kx+36=0. (*) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(16 k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0, 所以 k∈(-∞,- )∪( ,+∞),x1+x2= 2 16 3 3 4 k k   ,x1x2= 2 36 3 4k . 则直线 MA,MB 的斜率之积为 kMA·kMB=   1 21 2 1 2 1 2 3 33 3 kx kxy y x x x x      1 22 1 2 3 3k x xk x x    10 2 2 2 2 2 16 33 33 4 9 36 1 36 36 4 3 4 kk k kk k k            , 学！ 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 5 2e  ，虚轴长为 2 . （1）求双曲线C 的标准方程； （2）若直线 :l y kx m  与双曲线C 相交于 ,A B 两点（ ,A B 均异于左、右顶点），且以 AB 为直径的 圆过双曲线C 的左顶点 D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标. 4．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的离心率为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合，左顶点为 ， 过 的直线交椭圆于 两点，直线 与直线 交于 两点. （1）求椭圆 的方程； （2）试计算 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 11 1．直线 = 与椭圆 = 的位置关系为 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．已知直线 与双曲线 的右支有两个交点，则 的取值范围为 A． B． C． D． 3．设 为抛物线 ： 的焦点，过 作倾斜角为 30°的直线交 于 、 两点，则 A． B．16 C．32 D． 4．若平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率 A． B． C． D． 5．过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右顶点 A 作倾斜角为 135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的 交点分别为 B,C,若 2 2AB BC  ,则双曲线的渐近线方程为 A．( +1)x+y=0 B．( +1)y-x=0 C．( +1)x±y=0 D．( +1)y±x=0 6．已知 O 是坐标原点，F 是椭圆 + =1 的一个焦点，过 F 且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 M,N 两点，则 cos∠MON 的值为 A． 5 13 B． 5 13  12 C． 2 13 13 D． 2 13 13  7．直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最小 值是 A．10 B．9 C．8 D．7 8．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的右焦点为 (3,0)F ，过点 F 的直线交椭圆于 ,A B 两点．若 AB 的 中点坐标为 (1, 1) ，则 E 的方程为 A． 2 2 118 9 x y  B． 2 2 136 27 x y  C． 2 2 127 18 x y  D． 2 2 145 36 x y  9．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离 心率为 A． B． C． D． 10．过抛物线 上的焦点 ，作直线 与抛物线交于 ， 两点，已知 ，则 A．2 B．3 C． D． 11．若椭圆 与直线 有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A． 10, 2      B． 10, 2      C． 1 ,12      D． 1 ,12     13 12．如图,过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则此抛物线的方程为 A． 2 9y x B． 2 6y x C． 2 3y x D．y2= x 13．已知椭圆 C: + =1,过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,若 =2 ,则直线 l 的斜率为 A． 1 14  B． 1 14 C． 14 14  D． 14 14 14．若直线 y=kx-1 与抛物线 y2=4x 有且只有一个公共点,则 k 的值为_________. 15．如图，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C： 2 2 18 4 y x  的下焦点，交椭圆 C 于 A，B 两点，则弦 AB 的长 等于__________． 16．如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为___________. 17．直线 与椭圆 分别交于点 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 14 的斜率为 ，则 的值为__________． 18．过抛物线 C:y2=x 上一点 A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于 P,Q(异于点 A)两点,则直线 PQ 恒过定点_________. 19．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率 6 3e  ，焦距是 2 2 ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线 2( 0)y kx k   与椭圆交于C 、 D 两点， 6 2 5CD  ，求 k 的值． 20．已知抛物线 上的点 P 到点 的距离与到直线 的距离之差为 ，过点 的直 线 交抛物线于 两点. （1）求抛物线的方程； （2）若 的面积为 ，求直线 的方程. 15 21．设 A 、B 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右项点，双曲线的实轴长为 4 3 ，焦点到渐近 线的距离为 3 ． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 3 23y x  与双曲线的右支交于 M 、 N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D 使 OM ON tOD    ，求 t 的值及点 D 的坐标． 22．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  上的点 (3, )T t 到焦点 F 的距离为 4 ． （1）求t ， p 的值； （2）设 A ，B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 5OA OB   ，其中O 为坐标原点．求证： 直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标． 16 23．已知点 (1, 2)D 在双曲线 :C 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）上，且双曲线的一条渐近线的方程是 3 0x y  ． （1）求双曲线C 的方程； （2）若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； （3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于 A B、 两个不同的点，若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点， 求实数 k 的值． 24．已知椭圆 以 ， 为焦点，且离心率 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、 ，求 的取值范围； （3）设椭圆 与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在直线 ，满足（2）中的条件且使 得向量 与 垂直？如果存在，写出 的方程；如果不存在，请说明理由. 17 25．已知抛物线 2 1 : 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 以及椭圆 2 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b     的上、下焦点及左、右 顶点均在圆 2 2: 1O x y  上． （1）求抛物线 1C 和椭圆 2C 的标准方程； （2）过点 F 的直线交抛物线 1C 于 ,A B 不同的两点，交 y 轴于点 N ，已知 1NA AF  ， 2NB BF  ， 求证： 1 2  为定值． 26 ． 已 知 椭 圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的 离 心 率 与 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 互 为 倒 数 关 系 ， 直 线 : 2 0l x y   与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点，设两直线的斜率分别 为 k1、k2，且 1 2 4k k  ，证明：直线 AB 过定点 1( , 1)2   ． 18 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过点 ( 2,0) 且斜率为 2 3 的直线与C 交于 M ， N 两点，则 FM FN   A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知 1F ， 2F 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b    ： 的左，右焦点， A 是C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上， 1 2PF F△ 为等腰三角形， 1 2 120F F P   ，则C 的离心率为 A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 3．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线 2 2: 13 xC y  ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过 F 的直线 与C 的两条渐近线的交点分别为 M ， N ．若 OMN△ 为直角三角形，则| |MN  A． 3 2 B．3 C． 2 3 D．4 4．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知点 ( 1,1)M  和抛物线 2: 4C y x ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交 于 A ， B 两点．若 90AMB   ，则 k ________________． 5．（2018 新课标全国Ⅱ理科）设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)k k  的直线 l 与C 交 于 A ， B 两点，| | 8AB  ． （1）求l 的方程； （2）求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程． 19 6．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设椭圆 2 2: 12 xC y  的右焦点为 F ，过 F 的直线l 与 C 交于 ,A B 两点，点 M 的坐标为 (2,0) ． （1）当l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明： OMA OMB   ． 7．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2 2 14 3 x yC  ： 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中 点为   1 0M m m ， ． （1）证明： 1 2k   ； （2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP FA FB   0    ．证明： FA  ， FP  ， FB  成等差数列， 并求该数列的公差． 8．（2018 北京理科）已知抛物线 2: 2C y px 经过点 (1,2)P ．过点 (0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同 的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ． 20 （1）求直线l 的斜率的取值范围； （2）设O 为原点，QM QO  ，QN QO  ，求证： 1 1   为定值． 9．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 过点 1( 3, )2 ，焦点 1 2( 3,0), ( 3,0)F F ，圆 O 的直径为 1 2F F ． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 ,A B 两点．若 OAB△ 的面积为 2 6 7 ，求直线 l 的方程． 10．（2018 天津理科）设椭圆 2 2 2 2 1x y a b   (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B．已知椭圆的离心率为 5 3 ， 点 A 的坐标为 ( ,0)b ，且 6 2FB AB  ． 21 （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l： ( 0)y kx k  与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q． 若 5 2 sin4 AQ AOQPQ   (O 为原点)，求 k 的值． 11．（2017 新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是 以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 (4, 2)P  ，求直线 l 与圆 M 的方程． 12．（2017 新课标全国 I 理科）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( )0x y a b a b    ，四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 3 2 ），P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆 C 上． 22 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明： l 过定点． 变式拓展 2．【解析】由 2 2 1 3 1 x x y y a       消去 y 得 2 2(3 ) 2 2 0a x ax    ． 23 设 1 1( ),A x y ， 2 2( ),B x y ，则 1 2 2 2 3 ax x a    ， 1 2 2 2 3x x a   ． （1） 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) (1 )[( ) 4 ]AB x x y y a x x x x        2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(6 )2 8(1 )[( ) ]3 3 |3 | a aaa a a a        ． 当 2a  时， 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(6 ) 2 (1 2 )(6 2 )| | 2 10|3 | |3 2 | a aAB a        ． （2）由题意知，OA⊥OB，则 1 2 1 2 0x x y y  ，即 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax    ， 即 2 1 2 1 2(1 ) ( ) 1 0a x x a x x     ，即 2 2 2 2 2(1 ) 1 03 3 aa aa a        ，解得 1a   ． 所以当以 AB 为直径的圆经过坐标原点时，a 的值为1或 1 ． 3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ， 由已知得 5 ,2 2,2 c ba   又 2 2 2a b c  ，解得 2, 1a b  ， 所以双曲线的标准方程为 2 2 14 x y  . （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 2 14 y kx m x y     得 2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x mkx m     ， 则 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 64 16(1 4 )( 1) 0 8 1 4 4( 1) 1 4 m k k m mkx x k mx x k                ， 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x mk x x m        2 2 2 4 1 4 m k k   ， 学@ 24 4．【解析】（1）由题意知 ，右焦点 ，即 ，且 ， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）由（1）知 ， 当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为 ， 易知 ，所以直线 . 令 ，可知： , 25 考点冲关 1．【答案】A 【解析】由题意得直线 = 恒过定点 ,而点 在椭圆 = 的内部,所以直线与椭圆相 交.选 A． 2．【答案】D 【解析】∵双曲线的渐近线方程为 y x  ，∴当﹣1＜k≤1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点； 当 k≤﹣1 时，直线与双曲线的右支没有交点. 把 1y kx  代入 得 2 2(1 ) 2 5 0k x kx    ， 令 2 24 20(1 ) 0k k     ，解得 k= 或 k=﹣ （舍去）． ∴直线 与双曲线 的右支有两个交点时，1＜k＜ ．故选 D． 3．【答案】C 26 【解析】由题意知 ，AB 所在直线的方程为 ，联立 消元得 ，设 ，则 ， 所以 ，故选 C． .网 4．【答案】B 5．【答案】C 【解析】由题意知直线过点 A(a,0),且斜率 k=tan 135°=-1, 则直线的方程为 x+y-a=0. 将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得 B( , ),C( ,- ), 则有 2 2 2 2 2 2 2 2( , )a b a bBC a b a b      , ( , )ab abAB a b a b    . 因为 ,所以 2 2 2 2ab a b a b a b    , 化简得 +1,则双曲线的渐近线方程为( +1)x±y=0.故选 C. 6．【答案】B 【解析】由题意,a2=4,b2=3,故 c= = =1. 27 不妨设 M(1,y0),N(1,-y0),所以 + =1,解得 y0=± 3 2 , 所以|MN|=3,|OM|=|ON|= 2 231 ( )2  = . 由余弦定理知 2 2 22 2 2 13 13( ) ( ) 3 52 2cos 2 1313 132 2 2 OM ON MNMON OM ON          ,故选 B. 7．【答案】B 8．【答案】A 【解析】由题意设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，所以 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ，整理得 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0x x y y y y a x x b      ； 因为 AB 的中点坐标为 1, 1 ，所以 1 2 1 22, 2x x y y     ； 因为 1 2 1 2 1 0 1 1 3 2AB y yk x x       ，所以 2 2 2 1 2 02a b    ，所以 2 22a b ； 因为 2 23c a b   ，所以 2 218, 9a b  ． 所以 E 的方程为 2 2 118 9 x y  ．故选 A． 9．【答案】B 【解析】双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线不妨设为： ， 28 则 2 2 0   14 bx ay x y     ，可得 2 2 2 2 ±2   4 ±2   4 ax a b by a b         . 一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，可得 2 2 2 2 4 4 4 4 3 a b a b   ，即 ，解得 ．故选 B． 学@ 10．【答案】B 11．【答案】B 【解析】联立方程得 ，消去 y 化简得 ， 由题意得 . 故该椭圆离心率的取值范围是 ，故选 B． 12．【答案】C 29 是 2 3y x ,选 C. 13．【答案】C 【解析】由题意可得,直线 l 的斜率存在且不为 0,不妨设直线 l:y=k(x-1), 则由 2 22 8 y kx k x y      消去 y 化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得 x1+x2= 2 2 4 1 2 k k ,x1x2= 2 2 2 8 1 2 k k   . 因为 =2 ,所以 x1+2x2=3, 所以 x2= 2 2 3 2 1 2 k k   ,x1= , 所以 x1x2= · ,化简得 k2= , 解得 k=± ,故选 C. 14．【答案】-1 或 0 【解析】当 k=0 时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点; 当 k≠0 时,将直线方程与抛物线方程联立得 2 1 4 y kx y x     ,得 y2- y- =0,因而Δ= + =0,即 k=-1. 从而 k=-1 或 0. 15．【答案】 8 2 3 学@ 30 16．【答案】 【解析】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 代入抛物线方程 ，整理得 ， ∵渐近线与抛物线相切， ，即 . 故答案为 . 17．【答案】 【解析】设 ，中点 ，则 ， 把点 代入椭圆的方程 ，整理得 ， 两式相减得  2 2 2 21 2 1 2 02 x x y y    ，整理得       2 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y y yy y x x x x x x        ， 即 . 18．【答案】(2,-1) 31 19．【解析】（1）由题意得 2 2 2c  ，所以 2 2c  ， 又 6 3 c a  ，所以 2 3a  ， 2 1b  ， 所以椭圆的方程为 2 2 13 x y  ． （2）设 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y ， 将 2y kx  代入 2 2 13 x y  ，整理得 2 2(1 3 ) 12 9 0k x kx    ， 所以 2 2(12 ) 36(1 3 ) 0k k     ①， 1 2 2 12 1 3 kx x k     ， 1 2 2 9 1 3x x k    ， 又 2 2 1 2 1 2( ) ( )CD x x y y    ， 1 2 1 2( )y y k x x   ， 所以 2 2 1 2 6 2 1 ( )5 k x x   ， 又 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 36( ) ( ) 4 (1 3 ) 1 3 kx x x x x x k k        ， 代入上式，整理得 4 27 12 27 0k k   ，即 2 2(7 9)( 3) 0k k   ， 解得 2 9 7k   （舍去）或 2 3k  ，即 3k   ， 经验证， 3k   能使①成立， 故 3k   ． 20．【解析】（1）设 ， 由定义知 ， ， ， 故抛物线的方程为 . （2）设 ，由（1）知 . 若直线 的斜率不存在，则方程为 ， 学@ 32 故直线 的方程为 或 . 21．【解析】（1）由实轴长为 4 3 ，得 2 3a  ，渐近线方程为 2 3 by x  ，即 2 3 0bx y  ， 因为焦点到渐近线的距离为 3 ，所以 2 3 12 bc b   ， 又 2 2 2 2, 3c b a b    ， 所以双曲线的方程为 2 2 112 3 x y  ． （2）设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )M x y N x y D x y ， 则 1 2 0 1 2 0,x x tx y y ty    ， 由 2 1 22 2 3 23 16 3 84 0 16 3 112 3 y x x x x x x y              ， 所以 1 2 1 2 3 ( ) 4 123y y x x     ，所以 0 0 4 3 3 x y  ， 又 2 2 0 0 112 3 x y  ，所以 0 0 4 3 3 x y    ， 所以 4t  ，所以 (4 3,3)D ． 22．【解析】（1）由抛物线的定义得， 3 42 p  ，解得 2p  ， 33 23．【解析】（1）由题意知， 2 2 1 2 1 3 a b b a      ，解得 2 2 1 3 1 a b     ． 因此，所求双曲线C 的方程是 2 2 11 1 3 x y  ，即 2 23 1x y  ． （2）∵直线l 过点 (0,1) 且斜率为 k ，∴直线l 的方程为 1y kx  ． 由 2 23 1 1 x y y kx       得 2 2(3 ) 2 2 0k x kx    ． ∵直线l 与双曲线 C 有两个不同的交点，∴ 2 2 2 3 0 ( 2 ) 4(3 )( 2) 0 k k k          ， 解得 ( 6, 3) ( 3, 3) ( 3, 6)k      ． （3）设直线l 与双曲线C 的交点为 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ，由（2）可得 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 kx x k x x k        ， 34 24．【解析】（1）设椭圆 的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为 、 、 . 由题设知： . @网 由 ，得 ，则 . ∴椭圆 的方程为 . （2）过点 ，斜率为 的直线 ： ，即 ： . 与椭圆 的方程联立，消去 得 ①， 由 与椭圆 有两个不同的交点，知 ，解得 2 2k   或 2 2k  . ∴ k 的取值范围是 2 2, ,2 2                 . （3）设  1 1,P x y 、  2 2,Q x y ，可知 1x 、 2x 是①的两根， 35 ∴不存在满足题设条件的 . 25．【解析】（1）由 2 1 : 2 ( 0)C y px p  的焦点 ( ,0)2 pF 在圆 2 2: 1O x y  上得 2 14 p  ，则 2p  . 所以抛物线 1C 的标准方程为 2 4y x . 由椭圆 2 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b     的上、下焦点 (0, ),(0, )c c 及左、右顶点 ( ,0),( ,0)b b 均在圆 2 2: 1O x y  上，可解得 1b c  ，则 2a  ， 故椭圆 2C 的标准方程为 2 2 12 yx   . （2）设直线 AB 的方程为 ( 1)( 0)y k x k   ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 (0, )N k ． 由 2 4 ( 1) y x y k x      消去 y ，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ， 则 216 16 0k    ， 2 1 2 1 22 2 4 , 1kx x x xk    . 由 1NA AF  ， 2NB BF  ，得 1 1 1(1 )x x   ， 2 2 2(1 )x x   ， 整理得 1 2 1 2 1 2 ,1 1 x x x x     ， 36 故 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 11 1 1 ( ) x x x x x x x x x x x x              . 故 1 2  为定值 1 . 26．【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为 2 ，则椭圆的离心率为 1 2 ce a   ， 学@ 此时直线 AB 的方程为 1 2x   ，显然过点 1( , 1)2   ． ②若直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y kx m  ，易知 1m   ． 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 22 2 y kx m x y      得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ， 则 1 2 2 4 1 2 kmx x k     ， 2 1 2 2 2 2 1 2 mx x k   .（1） ∵ 1 2 4k k  ，∴ 1 2 1 2 1 1 4y y x x    ， 即 1 2 1 2 1 1 4kx m kx m x x      ，即 1 2 1 2 2 ( 1) 4x xk m x x    . 把（1）代入得 21 kmk m   ，则 2( 1)k m  ，故 12 km   . 37 则直线 AB 的方程为 12 ky kx   ，即 1( ) 12y k x   ， 故直线 AB 过定点 1( , 1)2   ． 直通高考 1．【答案】D 2．【答案】D 【解析】因为 1 2PF F△ 为等腰三角形， 1 2 120F F P   ，所以 2 1 2 2PF F F c  ，由 AP 的斜率为 3 6 可 得 2 3tan 6PAF  ，所以 2 1sin 13 PAF  ， 2 12cos 13 PAF  ，由正弦定理得 2 2 2 2 sin sin PF PAF AF APF   ， 所以 2 1 1 2 213 13=π 53 12 1 1sin( )3 2 213 13 c a c PAF        ，所以 4a c ， 1 4e  ，故选 D． 3．【答案】B 【解析】由题可知双曲线 C 的渐近线的斜率为 3 3  ，且右焦点为 (2,0)F ，从而可得 30FON  ， 所以直线 MN 的倾斜角为 60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 60 ，可以得出直线 MN 的 方程为 3( 2)y x  ，分别与两条渐近线 3 3y x 和 3 3y x  联立，求得 (3, 3)M ， 3 3( , )2 2N  ， 所以 2 23 3| | (3 ) ( 3 ) 32 2MN      ，故选 B． 4．【答案】2 【解析】设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x     ，所以 2 2 1 2 1 24 4y y x x   ，所以 1 2 1 2 1 2 4y yk x x y y    ， 38 取 AB 的中点 0 0( , )M' x y ，分别过点 A ， B 作准线 1x   的垂线，垂足分别为 A ， B' ，因为 90AMB   ，所以 1 1 1| | | | (| | | |) (| | | |)2 2 2MM' AB AF BF AA BB'     ，因为 M' 为 AB 的中点， 所以 MM' 平行于 x 轴，因为 1( )1,M  ，所以 0 1y  ，则 1 2 2y y  ，所以 2k  ． 5．【解析】（1）由题意得 (1,0)F ，l 的方程为 ( 1)( 0)y k x k   ．设 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B ， 6．【解析】（1）由已知得 (1,0)F ，l 的方程为 x=1． 由已知可得，点 A 的坐标为 2(1, )2 或 2(1, )2  ，所以 AM 的方程为 2 22y x   或 2 22y x  ． （2）当 l 与 x 轴重合时， 0OMA OMB    ． 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB   ． 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ( 1)( 0)y k x k   ， 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B ， 则 1 22, 2x x  ，直线 MA，MB 的斜率之和为 2 1 2 1 2 2MA MB x x y yk k    ． 由 11 22,y k k xy kx k    得 1 2 1 2 1 2( 2 3 ( ) 4 2)( 2)MA MB x x x xk k x x kk k       ． 将 ( 1)y k x  代入 2 2 12 x y  得 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k     ． 39 所以 2 1 22 1 2 22 4 2 2,2 1 2 1x x xk k k x k     ，则 3 1 3 1 3 2 2 2 4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1 k k k k kk k k kx x x x         ． 从而 0MA MBk k  ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 OMA OMB   ． 综上， OMA OMB   ． 7．【解析】（1）设 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B ，则 2 2 2 2 1 21 21, 14 3 4 3 y x yx     ． 两式相减，并由 1 2 2 1y x y kx   得 11 2 2 04 3 yx y kx    ． 由题设知 1 2 1 21,2 2 x yx y m   ，于是 3 4k m   ．由题设得 30 2m  ，故 1 2k   ． （2）由题意得 (1,0)F ，设 3 3( , )P x y ，则 3 3 1 1 2 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) (0,0)y x x yx y      ． 由（1）及题设得 3 32 1 213 ( ) 1, ( ) 2 0y yx x yx m          ． 又点 P 在 C 上，所以 3 4m  ，从而 3(1, )2P  ， 3| | 2FP  ． 于是 2 2 2 2 1 1 1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2 x xFA x xy         ，同理 2| | 2 2 xFB   ， 所以 1 2 1| | | | 4 ( ) 32FA FB x x      ，故 2 | | | | | |FP FA FB    ，即| |,| |,| |FA FP FB    成等差数列． 8．【解析】（1）因为抛物线 2 2y px 经过点 (1,2)P ， 所以 4 2p ，解得 2p  ，所以抛物线的方程为 2 4y x ． 40 由题意可知直线l 的斜率存在且不为 0 ，设直线l 的方程为 1( 0)y kx k   ． 由 2 4 1 y x y kx      可得 2 2 (2 4) 1 0k x k x    ． 依题意 2 2(2 4) 4 1 0k k       ，解得 0k  或 0 1k  ． 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线l 不过点 (1, 2) ．从而 3k   ． ￥%网 9．【解析】（1）因为椭圆 C 的焦点为 1 2( )  3,0 , ( 3,0)F F ，可设椭圆 C 的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ． 又点 1( 3, )2 在椭圆 C 上，所以 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b       ，解得 2 2 4, 1, a b    因此椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y  ． 因为圆 O 的直径为 1 2F F ，所以其方程为 2 2 3x y  ． （2）①设直线 l 与圆 O 相切于 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y  ，则 2 2 0 0 3x y  ， 所以直线 l 的方程为 0 0 0 0 ( )xy x x yy     ，即 0 0 0 3xy xy y    ． 41 由 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y        消去 y，得 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y     ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(  24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x         ． 因为 0 0, 0x y  ，所以 0 02, 1x y  ．因此点 P 的坐标为 ( 2,1) ． 10．【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 2 2 5 9 c a  ，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b． 由已知可得， FB a ， 2AB b ，由 6 2FB AB  ，可得 ab=6， 从而 a=3，b=2，所以椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  ． （2）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）．由已知有 y1>y2>0，故 1 2sinPQ AOQ y y   ．又 因为 2 sin yAQ OAB   ，而∠OAB= π 4 ，故 22AQ y ．由 5 2 sin4 AQ AOQPQ   ，可得 5y1=9y2． 42 由方程组 2 2 19 4 y kx x y    ， ，消去 x，可得 1 2 6 9 4 ky k   ．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组 2 0 y kx x y      ， ，消去 x，可得 2 2 1 ky k   ．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= 23 9 4k  ，两边平方，整理得 256 50 11 0k k   ，解得 1 2k  ，或 11 28k  ． 所以 k 的值为 1 11 2 28 或 ． 11．【解析】（1）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， : 2l x my  ． 由（1）可得 1 2 1 24, 4y y x x   ． 所以 22 1 0m m   ，解得 1m  或 1 2m   ． 当 1m  时，直线 l 的方程为 2 0x y   ，圆心 M 的坐标为 (3,1) ，圆 M 的半径为 10 ，圆 M 的方 程为 2 2( 3) ( 1) 10x y    ． 当 1 2m   时，直线l 的方程为 2 4 0x y   ，圆心 M 的坐标为 9 1( , )4 2  ，圆 M 的半径为 85 4 ，圆 43 M 的方程为 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y    ． 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的 关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问 题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 0  或说明中点在曲线内部. 12．【解析】（1）由于 3P ， 4P 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 3P ， 4P 两点． 又由 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b    知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上． 因此 2 2 2 1 1 1 3 14 b a b      ，解得 2 2 4 1 a b    ，故 C 的方程为 2 2 14 x y  ． 而 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x     1 2 1 2 1 1kx m kx m x x      1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x    ． 由题设 1 2 1k k   ，故 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x     ， 即 2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k         ，解得 1 2 mk   ， 当且仅当 1m   时 0  ，于是 l： 1 2 my x m   ，即 11 ( 2)2 my x    ， 所以 l 过定点（2， 1 ）． 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判 断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而 44 可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和 存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．