高考数学（理）考点一遍过考点53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-之

1 （1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. （3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并 能解决一些实际问题. 一、离散型随机变量的分布列 1．随机变量的有关概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 , , ,X Y   ，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 1x ， 2x ，…， nx ，X 取每一个值 ix (i＝1，2，…，n)的概率 ( )i iP X x p= = ，则下表称为随机变量 X 的概率分布，简称为 X 的分布列. X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np 有时也用等式 ( ) , 1,2 ,，i iP X x p i n   表示 X 的分布列． （2）离散型随机变量的分布列的性质 ① 0ip  (i＝1，2，…，n)； ② 1 2 1np p p   ． 2 3．必记结论 （1）随机变量的线性关系 若 X 是随机变量，Y aX b  ，a，b 是常数，则 Y 也是随机变量． （2）分布列性质的两个作用 ①利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值． ②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 二、常见的离散型随机变量的概率分布模型 1．两点分布 若随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 1－p p 称 X 服从两点分布，而称 ( 1)p P X  为成功概率． 2．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 X k 发生的概率为 C C( ) C k n k M N M n N P X k - -= = ，k＝0，1，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分 布列 X 0 1 … m P 0 0C C C n M N M n N - - 1 1C C C n M N M n N - - … C C C m n m M N M n N - - 为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布. 3．必记结论 （1）两点分布实际上是 n＝1 时的二项分布． （2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和． 三、离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： 3 X 1x 2x … ix … nx P 1p 2p … ip … np （1）称 1 1 2 2( ) n nE X x p x p x p   为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取 值的平均水平． （2）称 2 1 ( ) ( ( )) n i i i D X x E X p    为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏 离程度，其算术平方根 ( )D X 为随机变量 X 的标准差． 2．均值与方差的性质 若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量， 且 E(aX＋b)＝aE(X)＋b； D(aX＋b)＝a2D(X)． 考向一 离散型随机变量分布列性质的应用 分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用： （1）利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概 率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 典例 1 随机变量 X 的分布列为 X -1 0 1 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等于 4 A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【答案】D 典例 2 已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 … n-1 n P 1 1 2 1 2 3 …   1 1n n x 其中 n∈N*,则 x 的值为 A．   1 1n n  B．    1 1 2n n  C． 1 n D． 1 1n  【答案】C 【解析】由分布列的性质,得 1 1 2 + 1 2 3 +…+   1 1n n  +x=1, 即(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 1n  - 1 n )+x=1- 1 n +x=1,所以 x= 1 n . 学#￥ 1．某离散型随机变量ξ的分布列如下表,且 E(ξ)=1.5,则 P(ξ≥2)= ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2．若随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝2，则 D(2X－3)＝ 5 A．2 B．3 C．4 D．5 考向二 离散型随机变量的分布列、均值与方差 1．求离散型随机变量 X 的分布列的步骤： （1）理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； （2）求 X 取每个值的概率； （3）写出 X 的分布列. 2．（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列． （2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列． （3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列． （4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出 分布列． 3．求解离散型随机变量 X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求    ,E X D X 即可. 典例 3 某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决 赛的概率分别为 3 2 1, , ,4 3 4 且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为 . (1)求 的分布列和数学期望. (2)记“函数    3sin π2 xf x x  R 是偶函数”为事件 A ,求 A 发生的概率; 【解析】(1) 的可能取值为   11,2,3, 1 ,4P      3 1 12 4 3 4P      ,   3 2 13 4 3 2P      . 6 则 的分布列为  1 2 3 P 1 4 1 4 1 2 1 1 1 9( ) 1 2 34 4 2 4E         . (2)因为    3sin π2 xf x x  R 是偶函数,所以 1  或 3.  故      1 3P A P P     = 1 3 2 3 4 4 3 4    . 典例 4 某高校进行自主招生考试,有 A、B、C 3 个专业可供选报,每名考生必须选报且只能报其中 1 个专业, 且选报每个专业的概率相等.现有甲、乙、丙、丁 4 名同学决定参加该校的自主招生考试,且每名同学对专业 的选报是相互独立的. (1)求甲、乙 2 名同学都选报 A 专业的概率; (2)已知甲、乙 2 名同学没有选报同一专业, (i)求这 3 个专业恰有 1 个专业没人选报的概率; (ii)这 4 名同学中选 A 专业的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差. (ii)随机变量ξ的所有可能取值为 0,1,2,3, P(ξ=0)= , 7 P(ξ=1)= , P(ξ=2)= , P(ξ=3)= , 因而ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 3．伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机 支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了 50 人，对他们一个月内使用手机支 付的情况进行了统计，如下表： #￥网 （1）若以“年龄 55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认 为使用手机支付与人的年龄有关； （2）若从年龄在 ， 内的被调查人中各随机选取 2 人进行追踪调查，记选中的 4 人中使用 8 手机支付的人数为 . ①求随机变量 的分布列； ②求随机变量 的数学期望. 参考数据如下： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 . 4．某大型商场今年国庆期间累计生成 万张购物单，从中随机抽出 张，对每单消费金额进行统计得到 下表： 消费金额(单位：元) 购物单张数 25 25 30 由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据以上数据绘制成的频率分布直方图所 估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题： （1）估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过 元的概率； （2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过 元者，可抽奖一 次.抽奖规则为：从装有大小、材质完全相同的 个红球和 个黑球的不透明口袋中，随机摸出 个小球， 并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 ，当 时，消费者可分别获得价值 元、 元和 元的购物券，求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望. 考向三 超几何分布 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 X 的概率分布． 超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要熟记公式，正确运用. 9 典例 5 为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛,某市重点中学准备举办一次选拔赛,共有 60 名高二学生报 名参加,按照不同班级统计参赛人数,如表所示: 班级 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 参赛人数 20 15 15 10 (1)从这 60 名高二学生中随机选出 2 人,求这 2 人在同一班级的概率; (2)现从这 60 名高二学生中随机选出 2 人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的 2 人中宏志班的学生人数为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. P(X=2)= , 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0× +1× +2× 19 2 177 3  . 典例 6 为了统计某市网友 2017 年的“双十一”在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市 60 名网友当天的网购 金额情况,得到如下数据统计表: 10 网购金额(单位:千元) 频数 频率 (0,0.5] 3 0.05 (0.5,1] x p (1,1.5] 9 0.15 (1.5,2] 15 0.25 (2,2.5] 18 0.30 (2.5,3] y q 合计 60 1.00 网购金额超过 2 千元与不超过 2 千元的顾客的人数比恰为 2∶3. (1)求 p,q 的值,并补全频率分布直方图(如图); (2)从网购金额超过 2 千元与不超过 2 千元的顾客中用分层抽样的方法抽取 15 人,若需从这 15 人中随机选取 3 人进行问卷调查,设ξ为选取的 3 人中网购金额超过 2 千元的人数,求ξ的分布列和期望. 【解析】(1)由题意得 3 9 15 18 60 18 2 3 9 15 3 x y y x            ,解得 9 6 x y    , 所以 p= 9 60 =0.15,q= 6 60 =0.10. 如图所示,补全频率分布直方图. #￥网 11 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 12 65 216 455 27 91 4 91 E(ξ)=0× 12 65 +1× 216 455 +2× 27 91 +3× 4 6 91 5  . 5．有 件产品，其中 件是次品，从中任取 件，若 表示取得次品的件数，则 A． 3 4 B． 5 7 12 C． 4 5 D． 7 8 6．袋中装有 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 个球,至少得到 个白球的概率是 7 9 . （1）求白球的个数; （2）从袋中任意摸出 个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望. 考向四 利用均值、方差进行决策 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此 可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机 变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 典例 7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一 处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20 万元 15 万元 10 万元 7.5 万元 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为 20 万元;有雨时收益为 10 万元.额外聘 请工人的成本为 a 万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为 20 万元的 概率为 0.36. (1)若不额外聘请工人,写出基地收益 X 的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由. 【解析】(1)设下周一无雨的概率为 p,由题意得 p2=0.36,p=0.6. 基地收益 X 的可能取值为 20,15,10,7.5, 则 P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16, 所以基地收益 X 的分布列为 X 20 15 10 7.5 13 P 0.36 0.24 0.24 0.16 典例 8 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记其质量指标值为 k,当 k≥85 时,产品为一级品;当 75≤k