1
了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单
的实际问题.
一、条件概率与相互独立事件的概率
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符
号 P(B|A)来表示，其公式为 ( )( | ) ( )
P ABP B A P A
( ( ) 0P A )．
在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 ( )( | ) ( )
n ABP B A n A
(n(AB)表示 A，B 共同发
生的基本事件的个数)．
（2）条件概率具有的性质
① 0 1|P B A ；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 ( | ) | |P B C A P B A P C A + .
2．相互独立事件
（1）对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A，B 是相互独立事件．
（2）若 A 与 B 相互独立，则 | |P B A P B P AB P B A P A P A P B , ．
（3）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
（4）若 P AB P A P B ，则 A 与 B 相互独立．
【注】① A B, 中至少有一个发生的事件为 A∪B；
② A B, 都发生的事件为 AB；
2
③ A B, 都不发生的事件为 AB ；
④ A B, 恰有一个发生的事件为 AB AB ；
⑤ A B, 至多有一个发生的事件为 AB AB AB .
二、独立重复试验与二项分布
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
若 1,2( )iA i n ， ， 表示第 i 次试验结果，则 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )n nP PP A A A A A A AP PA .
【注】独立重复试验是各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么
发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的．
2．二项分布
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称随
机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.
在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 ( ) C (1 ) 0 ), ,2( 1k k n k
n kk p p nP X ， , ．
考向一 条件概率
条件概率的两种解法：
(1)定义法：先求 ( )P A 和 ( )P AB ，再由 ( )( | ) ( )
P ABP B A P A
求 ( | )P B A ．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 ( )n A ，再求事件 A 发生的条件下事
件 B 包含的基本事件数 ( )n AB ，得 ( )( | ) ( )
n ABP B A n A
.
典例 1 从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2
个数均为偶数”，则 |P B A 等于
3
A． 1
8 B． 1
4
C． 2
5 D． 1
2
【答案】B
1．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的 12 个球，其中黄球 5 个，蓝球 4 个，绿球 3 个.现从盒子中随
机取出两个球，记事件 为“取出的两个球颜色不同”，事件 为“取出一个黄球，一个绿球”，则
A． 12
47 B． 2
11
C． 20
47 D． 15
47
考向二 相互独立事件的概率
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
典例 2 已知 学校有 个数学老师，其中 个男老师， 个女老师， 学校有 个数学老师，其中 3 个男老
师，7 个女老师，为了实现师资均衡，现从 学校任意抽取一个数学老师到 学校，然后从 学校任意抽取一
个数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的的概率是
A． 9
55 B． 12
55
4
C． 4
11 D． 3
50
【答案】B
【解析】A 学校任意抽取一个数学老师到 B 学校，抽到男老师的的概率是 9 3
15 5
，
然后从 B 学校任意抽取一个老师，抽到男老师的的概率是 4 4
10 1 11
，
则两个事件同时发生的概率是 3 4 12
5 11 55
.故选 B.
典例 3 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道
题的概率是 3
4
，甲、乙两人都回答错误．．的概率是 1
12
，乙、丙两人都回答正确．．的概率是 1
4 .设每人回答问题
正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
由（1），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 学#￥
得 2 1
3 4P B C P B P C y ,
解得 3.8y
则甲、乙、丙三人都回答错误的概率为
P A B C P A P B P C 3 2 31 1 14 3 8
5 .96
5
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以，所求事件的概率为 5 911 .96 96P M
2．如图所示的电路有 a ，b ， c 三个开关，每个开关开或关的概率都是 1
2
，且是相互独立的，则灯泡甲亮
的概率为___________．
3．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随
机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；
（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率．
考向三 独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：
(1)在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概
率即可．
(2)根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验
次数 n 和变量的概率，求得概率．
6
典例 4 设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若 P(ξ≥1)=5
9
，则 P(η≥2)的值为
A．32
81 B．11
27
C．65
81 D．16
81
【答案】B
【解析】由 P(ξ≥1)=5
9
，得 1 2 2
2 2
51( )C C 9
＋p p p ，即 9p2−18p＋5=0，解得 p=1
3
或 p=5
3(舍去)，
∴ 22 2 3 3 4 4 2 2 3 4
4 4 4
1 2 1 2 1 112 C 1 C 1 C 6 ( ) ( ) 4 ( ) ( )3 3 3 3 3 27P p p p p p .
典例 5 2018 年 9 月 16 日下午 5 时左右，今年第 22 号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆，给当地
人民造成了巨大的财产损失，某记者调查了当地某小区的 100 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的
数据分成 ， ， ， ， 五组，并作出如下频率分布直
方图（图 1）.
（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的 100 户居民的捐款情况如下表格，在图 2
表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失
是否到 4000 元有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取 1 户
居民，抽取 3 次，记被抽取的 3 户居民中自身经济损失超过 4000 元的户数为 ，若每次抽取的结果是相互
独立的，求 的分布列，期望 和方差 .
图 1 图 2
参考公式：
2
2 n ad bcK a b a d b c c d
，其中 .
参考数据：
7
0 3
0
3
3 7 3430 C 10 10 1000P
； 学@#
1 2
1
3
3 7 4411 C 10 10 1000P
；
2 1
2
3
3 7 1892 C 10 10 1000P
；
8
4．若随机变量 服从二项分布 ，则
A． B．
C． D．
5．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的
概率分别为 1
10
和 p.
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49
50
，求 p 的值；
（2）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 次，记正面向上的次数为 ，则
A． B．
C． D．
2．已知随机变量 X 服从二项分布 16 3X B
， ，则 2P X 等于
9
A． 13
16 B． 4
243
C． 80
243 D． 13
243
3．设 A ，B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概率为 3
10
，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概
率为 1
2
，则事件 A 发生的概率为
A． 2
5 B． 3
5
C． 4
5
D． 3
10
4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7，两人是否被录取互不
影响，则其中至少有一人被录取的概率为
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
5．设随机变量 X 服从二项分布，且期望 3E X ， 1
5p ，则方差 D X 等于
A． 3
5
B． 4
5
C． 12
5
D． 2
6．在 4 次独立重复试验中，随机事件 恰好发生 1 次的概率不小于其恰好发生 2 次的概率，则事件 在一次
试验中发生的概率 的范围是
A． B．
C． D．
7．设随机变量 X 服从二项分布 15, 2X B
，则函数 2 4f x x x X 存在零点的概率是
A． 5
6 B． 4
5
C． 31
32 D． 1
2
8．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，
已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.4 B．0.6
10
C．0.75 D．0.8
9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 2
3
，且
各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为
A． 1
3 B． 2
5
C． 2
3 D． 4
5
10．集装箱有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，
如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖.若有 4 人参与摸奖，恰好有 3 人获奖的概率是
A． 16
625 B． 96
625
C． 624
625 D． 4
625
11．某学校对高三学生进行体能测试,若每名学生测试达标的概率都是 2
3 (相互独立),经计算,5 名学生中恰有
k 名学生同时达标的概率是 80
243 ,则 k 的值为
A．2 B．3
C．4 D．3 或 4
12．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成 6 道自我检测题，甲及格的概率为 4
5
，
乙及格的概率为 3
5
，丙及格的概率为 7
10
，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为
A． 3
20 B． 42
135
C． 47
250 D．以上都不对
13．如图所示，在边长为 1 的正方形OABC 内任取一点 P ，用 A 表示事件“点 P 恰好取自由曲线 y x 与
直线 1x 及 x 轴所围成的曲边梯形内”， B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内”，则 |P B A 等于
11
A． 1
4 B． 1
5
C． 1
6 D． 1
7
14．为了响应国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有 10 名同学参加足球射
门比赛，已知每名同学踢进的概率均为 ，每名同学有 2 次射门机会，且各同学射门之间没有影响.
现规定：踢进两个得 10 分，踢进一个得 5 分，一个未进得 0 分，记 为 10 个同学的得分总和，则 的
数学期望为
A．30 B．40
C．60 D．80
15．某校高三年级要从 名男生和 名女生中任选 名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男
生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是__________．
16．设随机变量 X～B(2，p)，随机变量 Y～B(3，p)，若 P(X≥1)＝ 5
9
，则 P(Y≥1)＝__________．
17．学生李明上学要经过 4 个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为 1
2
,第四个路口遇到红灯的概率为 1
3
,设在
各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为__________．
18．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 2
3
和 3
4
.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影
响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
（1）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率.
12
19．从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同．在
下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数 的分布列．
（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；
（2）每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中．
20．某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以
选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知全市教师中，有 0.6 选择心理学培训，有 0.75选
择计算机培训，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名教师，求该教师只选择参加一项培训的概率；
（2）任选3名教师，记 X 为3名教师中选择不参加培训的人数，求随机变量 X 的分布列和期望．
13
21．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图 如
图所示 ，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
（1）求图中 a 的值；
（2）根据已知条件完成下面 22 列联表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 3 人进行约谈，记这 3 人中晋级失败的人
数为 X，求 X 的分布列与数学期望 E(X)．
晋级成功 晋级失败 合计
男 16
女 50
合计
14
参考公式：
2
2 ( )n ad bcK a b c d a c b d
，其中
22．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐
曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，
则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是 3
4
，乙猜对歌名的
概率是 2
3
，丙猜对歌名的概率是 1
2
，甲、乙、丙猜对与否互不影响．
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）记乙猜歌曲的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
23．统计全国高三学生的视力情况，得到如图所示的频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道
前 4 组的频率成等比数列，后 6 组的频率成等差数列.
（1）求出视力在[4.7，4.8)的频率；
（2）现从全国的高三学生中随机地抽取 4 人，用 表示视力在[4.3，4.7)的学生人数，写出 的分布列，
并求出 的期望与方差.
15
1．(2018 新课标全国Ⅲ理科)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，
设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX ， 4 6P X P X ，则 p
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
2．(2015 新课标全国Ⅰ理科)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投
中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
3．(2017 新课标全国Ⅱ理科)一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100
次， X 表示抽到的二等品件数，则 DX ____________．
4．(2016 四川理科)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则
在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 .
5．(2015 广东理科)已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p ，若 ( ) 30, ( ) 20E X D X ，则 p .
6．(2018 新课标全国Ⅰ理科)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产
16
品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据
检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 )10( pp ，且各件
产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 )( pf ,求 )( pf 的最大值点 0p ．
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0p 作为 p 的值．已知每
件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费
用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求 EX ;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
7．（2018 北京理科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ 1k ”表示第 k 类电影
得到人们喜欢，“ 0k ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 1D ， 2D ，
3D ， 4D ， 5D ， 6D 的大小关系．
17
8．（2016 新课标全国Ⅱ理科）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，
续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5
概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
9．（2016 山东理科）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活
动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，
则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是 3
4
，乙每轮猜对的概率是 2
3
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不
影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
18
（2）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX .
10．（2015 湖南理科）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装
有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球
中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；
（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期
望.
变式拓展
1．【答案】D
【解析】记事件 A 为“取出的两个球颜色不同”，事件 B 为“取出一个黄球，一个绿球”，
19
2．【答案】 1
8
【解析】设“ a 闭合”为事件 A ，“b 闭合”为事件 B ，“ c 闭合”为事件C ，
则灯泡甲亮应为事件 ABC ，且 A ，C ， B 之间彼此独立，
因为 1
2P A P B P C ，
所以 1
8P ABC P A P B P C ．
3．【解析】（1）设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，
由题设知 0.5P A ， 0.4P B ，
因为利润=产量×市场价格−成本，所以 X 所有可能的取值情况为：
500 10 1000 4000,500 6 1000 2000 ，300 10 1000 2000,300 6 1000 800 .
则 ( ) ( ) ( ) (4000 1 0 ).5 1 0.4( ) 0.3AX BP P P ，
2000 1 0.5( ) ( ) ( ) ( ) 0.4 0.5 1 0.4 5( ) 0.＋ ＋P X P P B P AA BP ，
800 0.5 0.4 0.( ) 2P X P A P B ，
所以 X 的分布列为
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
（2）设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”( 1,2,3i )，
由题意知 1 2 3, ,C C C 相互独立，
由（1）知， ( ) ( )4000 2000 0.3 0.5 0.8 1,2( ,3)＋ ＋iP C P X P X i ，
20
则 3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 3
1 2 3 1 2 3 0.8 0.512P C C C P C P C P C ；
3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 学@#
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) 3 0.8 0.2 0.384＋ ＋C CP C C P C C P C CC ，
所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512 0.384 0.896＋ .
4．【答案】D
5．【解析】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 11 1 10( )CP p 49
50
，解得 p=1
5.
（2）由题意得，ξ的所有可能取值为 0,1,2,3，
则 P(ξ=0)=C03
1
10 3= 1
1000
，
P(ξ=1)=C13
1
10 2× 1－ 1
10 = 27
1000
，
P(ξ=2)=C23× 1
10× 1－ 1
10 2= 243
1000
，
P(ξ=3)=C33
1－ 1
10 3= 729
1000.
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1
1000
27
1000
243
1000
729
1000
1 27 243 7290 1 2 3 2.71000 1000 1000 1000E .
21
（或 9~ (3, )10B ，则 93 2.710E ）
考点冲关
1．【答案】D
【解析】将一枚硬币连续抛掷 5 次，正面向上的次数 .
故选 D．
2．【答案】C
【解析】由二项分布可知
4 2
2
6
2 1 80C 3 3 243
，选 C.
【解析】由于二项分布的数学期望 3E X np ，
所以二项分布的方差 121 3 1 5D X np p p ，应选 C.
6．【答案】D
【解析】事件 在一次试验中发生的概率为 ，
∵随机事件 恰好发生 次的概率不小于其恰好发生 次的概率，
，
解得 ，
即 的范围是 ，故选 D．
7．【答案】C
【解析】∵函数 2 4f x x x X 存在零点， 16 4 0 4X X ， ，
22
∵随机变量 X 服从二项分布 15, 2X B
， 5
1 314 1 5 1 2 32P X P X （ ） （ ） ．
故选 C．
8．【答案】D
【解析】设“某一天的空气质量为优良”为事件 A，“随后一天的空气质量为优良”为事件 B，
则 ，
∴
0.6( | ) 0.80.75
P ABP B A P A
．
故选 D．
9．【答案】B
10．【答案】B
【解析】获奖的概率为 2
6
6 2
C 5p ，记获奖的人数为 ，则 ，所以 4 人中恰好有 3 人获奖的
概率为
3
3
4
2 3 96C 5 5 625P
，故选 B. 学@#
11．【答案】D
【解析】设 X 表示这 5 名学生中达标的人数,则
5
5
2 1C 3 3
k k
kP X k
, 0,1,2,3,4,5k .
由已知,得 80
243P X k ,即
5
5
2 1 80C 3 3 243
k k
k
,解得 3k 或 4k .
故选 D.
12．【答案】C
【解析】甲及格的概率为 4
5
，乙及格的概率为 3
5
，丙及格的概率为 7
10
，
仅甲及格的概率为： 4 3 7 241 15 5 10 250
；
23
仅乙及格的概率为： 4 3 7 91 15 5 10 250
；
仅丙及格的概率为： 4 3 7 141 15 5 10 250
，
则三人中只有一人及格的概率为： 24 9 14 47
250 250 250 250
.
故选 C．
13．【答案】A
14．【答案】C
【解析】由题意知每个学生的进球个数 服从二项分布，即 ，B n p ，其中 ，所以
由二项分布的数学期望公式可得每个学生进球个数 的数学期望为 0.6 2 1.2E np ，因此 10
个同学得分的数学期望是 10 5 60E X E ，应选 C.
15．【答案】 3
5
【解析】男生甲被选中记作事件 A，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件 B，则
2
6
3 3
7 7
C 15
C CP A ，
1 1
4 4
3 3
7 7
C C 1 9
C CP AB ，由条件概率公式可得：
3( | ) 5
P ABP B A P A
.
16．【答案】 19
27
24
【解析】随机变量服从 2,X B p ，
20
2
51 1 0 1 C 1 9P X P X p ，
解得 1
3p ，
3
0 3 191 1 0 1 C 1 27P Y P Y p ，故答案为 19
27 . 学@#
17．【答案】 7
24
18．【解析】（1）设“甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标”为事件 A ，
则其对立事件 A 为“4 次均击中目标”，
则
42 651 1 3 81P A P A
；
（2）设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B ，
则
2 2 3
2 3
4 4
2 1 3 1 1C C3 3 4 4 8P B
.
19．【解析】（1） 的可能取值为 1，2，3，4．
当 1X 时，只取一次就取到合格品，所以 101 13P X ；
当 2X 时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，所以 3 10 52 13 12 26P X ；
同理可得 3 2 10 53 13 12 11 143P X ； 3 2 1 10 14 13 12 11 10 286P X ．
所以 的分布列为：
1 2 3 4
25
所以 的分布列为：
1 2 3 4
20．【解析】任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件 A ，
“该教师选择计算机培训”为事件 B ，
由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 0.6P A ， 0.75P B ．
（1）任选1名教师，该教师只选择参加一项培训的概率是
1 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45P P AB P AB ．
（2）任选1名教师，该教师选择不参加培训的概率是
0 0.4 0.25 0.1P P AB P A P B ．
因为每名教师的选择是相互独立的，
所以3名教师中选择不参加培训的人数 服从二项分布 3,0.1B ，
且 3
3C 0.1 0.9k k kP k ， 0k ，1， 2 ，3，
即 的分布列是
0 1 2 3
26
P 0.729 0.243 0.027 0.001
所以， 的期望是 1 0.243 2 0.027 3 0.001 0.3E ．
（或 的期望是 3 0.1 0.3E ．） 学￥%
所以有超过 的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，
这人晋级失败的概率为 0.75，所以 X 可视为服从二项分布，即 33, 4X B
～ ，
3
33 1C ( ) ( ) 0,1,2,34 4
k k kP X k k ，
故 0 0 3
3
3 1 10 C ( ) ( )4 4 64P X ， 1 1 2
3
3 1 91 C ( ) ( )4 4 64P X ，
2 2 1
3
3 1 272 C ( ) ( )4 4 64P X ， 3 3 0
3
3 1 273 C ( ) ( )4 4 64P X ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
27
P X k 1
64
9
64
27
64
27
64
数学期望为 3 93 4 4E X ，或 1 9 27 27 90 1 2 3 .64 64 64 64 4E X
22．【解析】分别将甲、乙、丙第i 次猜对歌名记为事件 iA ， iB ， 1,2,3iC i ，则易知 iA ， iB ， iC 相互
∴ 的分布列为
1 36 9 3 630 1 2 34 64 64 64 64E .
【思路点睛】（1）分别将甲、乙、丙第i 次猜对歌名记为事件 iA ， iB ， 1,2,3iC i ，则 iA ， iB ， iC
28
相互独立，由此可得出该小组未能进入第二轮的概率 1 1 1 1 1 1P P A P A B P A B C .
（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．
23．【解析】（1）前四组的频率分别为：0.01，0.03，0.09，0.27，所以后六组数据的首项为 0.27，后六组的
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
p 81
625
216
625
216
625
96
625
16
625
4 0.4 1.6E np ， 学#￥
2 3 241 4 0.965 5 25D np p .
【思路点睛】（1）结合频率分布直方图和题意，分别求出前 4 组的频率以及后 6 组的频率之和，由等
29
差数列前 n 项和公式，求出公差，再算出视力在[4.7，4.8)内的频率；
（2）求出视力在[4.3，4.7)内的频率，学生人数 服从二项分布 4,0.4 ，由二项分布的概率计算公式
求出分布列，再算出期望与方差.
直通高考
1．【答案】B
2．【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 2 2 3
3C 0.6 0.4 0.6 =0.648，故选 A.
3．【答案】1.96
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 ~ 100,0.02X B ，由二项分布的期望公式
可得 1 100 0.02 0.98 1.96DX np p ．
【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
①是否为 n 次独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率是否均为 p；
②随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且 C 1 n kk k
nP X k p p 表示在
独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率．
4．【答案】 3
2
【解析】由题意知，试验成功的概率 3
4p ，故 3~ (2, )4X B ， 3 3( ) 2 4 2E X .
5．【答案】 1
3
【解析】依题意可得 ( ) 30,E X np 且 ( ) (1 ) 20D X np p ，解得 1
3p .
6．【解析】（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2 2 18
20( ) C (1 )f p p p .因此
2 18 2 17 2 17
20 20( ) C [2 (1 ) 18 (1 ) ] 2C (1 ) (1 10 )f p p p p p p p p .
30
令 ( ) 0f p ，得 0.1p .
当 (0,0.1)p 时， ( ) 0f p ；当 (0.1,1)p 时， ( ) 0f p .
所以 ( )f p 的最大值点为 0 0.1p .
（2）由（1）知， 0.1p .
（i）令Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 (180,0.1)Y B: ， 20 2 25X Y ，
即 40 25X Y .
所以 (40 25 ) 40 25 490EX E Y EY .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.
由于 400EX ，故应该对余下的产品作检验. 学科网
7．【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，
8．【解析】（1）设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 A 发生当且仅当一年内出
险次数大于 1，故 ( ) 0.2 0.2 0.1 0.05 0.55.P A
（2）设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60% ”，则事件 B 发生当且仅当一年内出
险次数大于 3，故 ( ) 0.1 0.05 0.15.P B
又 ( ) ( )P AB P B ，
故 ( ) ( ) 0.15 3( | ) .( ) ( ) 0.55 11
P AB P BP B A P A P A
31
因此所求概率为 3 .11
（3）记续保人本年度的保费为 X ，则 X 的分布列为
X 0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P 0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05
1.23 .
EX a a a a a a
a
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
【名师点睛】条件概率的求法：
(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝ ( )
( )
P AB
P A
，求出 P(B|A)；
(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基
本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝ ( )
( )
n AB
n A .
求离散型随机变量均值的步骤：
(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值；
(2)求 X 取每个值时的概率；
(3)写出 X 的分布列；
(4)由均值定义求出 EX．
9．【解析】（1）记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，
32
可得随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P 1
144
5
72
25
144
1
12
5
12
1
4
所以数学期望 1 5 25 1 5 1 230 1 2 3 4 6144 72 144 12 12 4 6EX .
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学
期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式
和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
10．【解析】（1）记事件 A1={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}，A2={从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，
B1={顾客抽奖 1 次获一等奖}，B2={顾客抽奖 1 次获二等奖}，C={顾客抽奖 1 次能获奖}. 学@#
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 与 A2 互斥，B1 与 B2 互斥，且 B1=A1A2，B2=A1 + A2，C=B1+B2.
因为 P(A1)= 4 2
10 5
，P(A2)= 5 1
10 2
，
33
所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= 2 1 1
5 2 5
，
P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2)=P(A1)P( )+P( )P(A2)=P(A1)[1−P(A2)]+[1−P(A1)]P(A2)
故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + 7
10
.
（2）顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 1
5
，
所以 X~B(3， 1
5 ).
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
X 的数学期望为 E(X)=3× 3
5 .
【思路分析】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率和离散型随机变量的分布列和数学期望，考查
考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.
第（1）问利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；第（2）问离散型随机
变量服从二项分布，进而利用公式得相应的概率，写出分布列，求出数学期望.
34
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