1
（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
（3）了解双曲线的简单应用.
（4）理解数形结合的思想.
一、双曲线的定义和标准方程
1．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫
做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言： 1 2 1 22 0 2，MF MF a a F F .
（3）当 1 2 2MF MF a 时，曲线仅表示焦点 2F 所对应的双曲线的一支；
当 1 2 2MF MF a 时，曲线仅表示焦点 1F 所对应的双曲线的一支；
当 1 2| |2a F F 时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线；
当 1 2| |2a F F 时，动点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程有两种形式：
（1）焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，
焦距为 2c，且 2 2 2c a b ，如图 1 所示；
2
（2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(0，－c)，F2(0，c)，
焦距为 2c，且 2 2 2c a b ，如图 2 所示．
图 1 图 2
注：双曲线方程中 a，b 的大小关系是不确定的，但必有 c＞a＞0，c＞b＞0．
3．必记结论
（1）焦点到渐近线的距离为 b.
（2）与双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为
2 2
2 2 ( 0, 0, 0)x y a ba b
．
（3）若双曲线的渐近线方程为 ny xm
，则双曲线方程可设为
2 2
2 2 ( 0, 0, 0)x y m nm n
或
2 2 2 2 ( 0, 0, 0)mn x m y n ．
（4）与双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为
2 2
2 2 1( 0, 0,x y a ba k b k
2 2 )b k a ．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 2 2 1 0mx ny mn ．
（6）与椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为
2 2
2 2 1( 0,x y a ba b
2 2 )b a ．
3
二、双曲线的几何性质
1．双曲线的几何性质
标准方程
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞0，b＞0)
图形
范围 | |x a ， yR | |y a ， xR
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点 F1(－c，0)，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0，－c)，上焦点 F2(0，c)
顶点 1 2( ,0), ( ,0)A a A a 1 2(0, ), (0, )A a A a
轴
线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B1B2 是双曲线的虚轴；
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线 by xa
ay xb
离心率 e 2
2
c ce a a
( 1)e
2．等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为 2 2 ( 0)x y ；
4
（2）渐近线方程为 y x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于 2a ，离心率 e 2 ．
考向一 双曲线的定义和标准方程
1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值
为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同
时注意定义的转化应用． @#网
2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意 a、b、c 的关系易错易混.
典例 1 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=
A． 1
4 B． 3
5
C． 3
4 D． 4
5
【答案】C
∴cos∠F1PF2=
2 2 2
1 2 1 2
1 2
| | | |
2
PF PF F F
PF PF
=
32 8 16 3
42 4 2 2 2
.
典例 2 已知 F 为双曲线 的左焦点， 为 上的点．若 的长等于虚轴长的 2 倍，点
5
在线段 上，则 的周长为__________．
【答案】44
【解析】易知双曲线 的左焦点为 ，
点 是双曲线的右焦点，虚轴长为 ，
双曲线的图象如图：
1．若双曲线
2 2
4 12
x y =1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|+|PA|的最小值是
________.
考向二 求双曲线的方程
求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y
轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的 2 2,a b 的值，最后写出双曲线
6
的标准方程.
在 求 双 曲 线 的 方 程 时 ， 若 不 知 道 焦 点 的 位 置 ， 则 进 行 讨 论 ， 或 可 直 接 设 双 曲 线 的 方 程 为
2 2 1( 0)Ax By AB .
典例 3 已知双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的倾斜角是
的一条渐近线的倾斜角的 倍，则 的方程为__________________.
【答案】
2
2 13
yx
典例 4 如图,已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的
轨迹方程.
7
2．已知 1 2,F F 分别是双曲线 E：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0, 0)a b 的左、右焦点，P 是双曲线上一点， 2F 到左顶点
的距离等于它到渐近线距离的 2 倍.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当 1 2 60F PF 时， 1 2PF F△ 的面积为 48 3 ，求此双曲线的方程.
考向三 双曲线的渐近线
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定 a,b 的关系，结合已知条件可解.
8
典例 5 已知 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0, 0)a b 的左、右焦点， 1F 的坐标为 7,0 ，若
双曲线的右支上有一点 P ，且满足 1 2 4PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为
A． 3
2y x B． 2 3
2y x
C． 3
4y x D． 4
3y x
【答案】A
典例 6 如图,已知 F1、F2 分别为双曲线 C:
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且
满足|F2P|=a,( + )· =0,线段 F2P 与双曲线 C 交于点 Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线 C 的渐近线方程为
A．y=± 5
5
x B．y=± 1
2 x
C．y=± 3
2
x D．y=± 3
3
x
【答案】B
9
3．已知双曲线 ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
，过左焦点 的直线切圆 于点 ，交双曲线 的右支
于点 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程为
A． B．
C． 1
2y x D． 3
2y x
考向四 双曲线的离心率
1.求双曲线的离心率一般有两种方法：
10
（1）由条件寻找 ,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 a b c， ， 的关系 2 2 2c a b 将双曲线的离
心率公式变形，即
2
2 2
2
11
1
c be a a b
c
，注意区分双曲线中 a b c， ， 的关系与椭圆中 a b c， ， 的关
系，在椭圆中 2 2 2a b c ，而在双曲线中 2 2 2c a b .
（2）根据条件列含 ,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式 ce a
转化为含 e 或 2e 的方程，求解可得，
注意根据双曲线离心率的范围 1( )e , 对解进行取舍.
2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合 2 2 2c a b 和 ce a
，得到关于 e 的不等式，求解即
得.注意区分双曲线离心率的范围 1( )e , ，椭圆离心率的范围 )1(0e ， .另外，在建立关于 e 的不等式时，
注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
典例 7 设 F1、F2 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点.若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90°,
且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于
A． 5
2
B． 10
2
C． 15
2
D． 5
【答案】B
【解析】由 1 2
1 2
2
3
AF AF a
AF AF
⇒
,
由∠F1AF2=90°,得 2 2 2
1 2 1 2AF AF F F ,
即(3a)2+a2=(2c)2,
得 e= 10
2
,选 B.
11
典例 8 已知 F1、F2 分别为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P，使
得
2
2
1
| |PF
PF =8a,则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】(1,3]
4．已知点 P 为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
右支上一点，点 1 2,F F 分别为双曲线的左、右焦点，点 I 是
1 2PF F△ 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有
1 2 1 2
1
3IPF IPF IF FS S S △ △ △ 成立，则双曲线离心率的取
值范围是
A． 1,2 B． 1,2
C． 0,3 D． 1,3
5．已知 1F 、 2F 分别是双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点，点 P 在双曲线上，若 1 2 0PF PF ，
1 2PF F△ 的面积为9 ，且 7a b ，则该双曲线的离心率为______________.
12
1．在平面直角坐标系中,F1(-2,0),F2(2,0),动点 P 满足||PF1|-|PF2||=3,则动点 P 的集合是
A．两条射线 B．以 F1,F2 为焦点的双曲线
C．以 F1,F2 为焦点的双曲线的一支 D．不存在
2．方程
2 2
12 3
x y
m m
表示双曲线的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
3．双曲线
2
2 13
yx 的渐近线方程为
A． B．
C． 1
3y x D． 3
3y x
4．已知双曲线 的右焦点在直线 上，则实数 的值为
A． B．
C． D．
5．若双曲线
2 2
2 1 016
x y aa
的离心率为 5
3
，则该双曲线的焦距为
A．10 B． 6
C．8 D．5
6．已知点 1 2,F F 分别为双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且
满足 2 1 2 1 2, 120PF F F F F P ，则双曲线的离心率为
A． 3 1
2
B． 5 1
2
C． 3 D． 5
7．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ，满足
，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
13
A． B．
C． D．
8．设 、 分别是双曲线 C： 的左、右焦点，点 在双曲线 C 的右支上，且 ，则
A． B．
C． D．
9．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左焦点为 F，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行于
双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． 2 2 1x y B．
2 2
12 2
x y
C．
2 2
14 4
x y D．
2 2
18 8
x y
10．已知方程
2 2
1x y
a b
和 1x y
a b
(其中 ab≠0 且 a≠b),则它们所表示的曲线可能是
11．设 ， 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则
的面积等于
A． B．
C．24 D．48
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还
提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设 、 分别是双曲线
14
， 的左、右焦点， 是该双曲线右支上的一点，若 分别是 的
“勾”“股”，且 ，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
13．已知 O 是坐标原点，双曲线
2
2 1( 1)x y aa
与椭圆
2
2 1( 1)2
x y aa
的一个交点为 P，点
，则 的面积为
A． B．
C． D．
14．过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________．
15．设 分别是双曲线 的左、右焦点， 为左顶点，点 为双曲线 右支上
一点， ， ， ， 为坐标原点，则 __________．
16．已知离心率 5
2e 的双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 ， 为坐标原点，以 为直径的
圆与双曲线 的一条渐近线相交于 两点.若 AOF△ 的面积为 1，则实数 的值为___________.
17．已知点 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左，右焦点，过 1F 且垂直于 x 轴的直线与双曲
线交于 ,A B 两点，若 2ABF△ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________________．
18．已知 是双曲线
2
2: 14
yC x 的右焦点, 的右支上一点 到一条渐近线的距离为 2,在另一条渐近线上
有一点 满足 ,则 ___________.
19．若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 ，双曲线
2 2
2 2 1x y
b a
的离心率为 ，则 的最小值为
___________.
15
20．已知 F1、F2 分别是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 C 的实轴长为 6，离心率
为 ．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）设点 P 是双曲线 C 上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|．
21．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点 在第一象限且是渐近线上的点，当 时，求点 的坐标．
22．已知双曲线
2
2: 4
xC y = ,P 是 C 上的任意一点.
(1)求证:点 P 到 C 的两条渐近线的距离之积是一个常数;
(2)设点 A 的坐标为 ,求 的最小值.
16
23．已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标轴上，离心率 e= ，且过点(4, ).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: .
24．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 2 24 9 36x y 有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若点 M 在双曲线上, 1 2,F F 是双曲线的左、右焦点，且 1 2 6 3MF MF ，试判断 1 2MF F△ 的形
状.
17
1．（2018 浙江）双曲线
2
2 13
x y 的焦点坐标是
A．(− 2 ，0)，( 2 ，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− 2 )，(0， 2 )
D．(0，−2)，(0，2)
2．（2017 天津理科）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左焦点为 F ，离心率为 2 ．若经过 F 和 (0,4)P
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．
2 2
14 4
x y B．
2 2
18 8
x y
C．
2 2
14 8
x y D．
2 2
18 4
x y
3．（2018 新课标全国Ⅱ理科）双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A． 2y x B． 3y x
18
C． 2
2y x D． 3
2y x
4．（2017 新课标全国 II 理科）若双曲线 :C
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的一条渐近线被圆 2 22 4x y
所截得的弦长为 2，则C 的离心率为
A．2 B． 3
C． 2 D． 2 3
3
5．（2017 新课标全国 III 理科）已知双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 5
2y x ，
且与椭圆
2 2
112 3
x y 有公共焦点，则 C 的方程为
A．
2 2
18 10
x y B．
2 2
14 5
x y
C．
2 2
15 4
x y D．
2 2
14 3
x y
6．（2016 新课标全国 I 理科）已知方程
2 2
2 2 13
x y
m n m n
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4，则 n 的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1, 3 )
C．(0,3) D．(0, 3 )
7．（2018 新课标全国Ⅲ理科）设 1F ， 2F 是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点，O 是坐标原
点．过 2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 1| 6 || |PF OP ，则C 的离心率为
A． 5 B． 2
C． 3 D． 2
8．（2016 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2 2
17 3
x y 的焦距是_______________．
19
9．（2017 北京理科）若双曲线
2
2 1yx m
的离心率为 3 ，则实数 m=_______________．
10．（2018 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右焦点 ( ,0)F c 到一条渐
近线的距离为 3
2 c ，则其离心率的值是________________．
11．（2018 北京理科）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
，双曲线
2 2
2 2: 1x yN m n
．若双曲线 N 的两条
渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为
________________；双曲线 N 的离心率为________________．
12．（2017 山东理科）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右支与焦点为 F 的抛
物线 2 2 0x px p 交于 ,A B 两点，若 4AF BF OF ，则该双曲线的渐近线方程为_____________．
13．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2
2 13
x y 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，
Q ，其焦点是 1 2,F F ，则四边形 1 2F PF Q 的面积是_______________．
14．（2017 新课标全国 I 理科）已知双曲线 C：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右顶点为 A，以 A 为圆心，b
为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点．若∠MAN=60°，则 C 的离心率为
_______________．
变式拓展
1．【答案】9
20
2．【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为 0bx ay ，所以点 2F 到渐近线的距离为
2 2
0bc b
b a
（其中
c 是双曲线的半焦距）， ！@网
由题意知 2c a b ，
又因为 2 2 2a b c ，解得 4
3b a ，
故所求双曲线的渐近线方程是 4 3 0x y .
（2）由余弦定理得 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 2 cos60 | |PF PF PF PF F F ，
即 2 2 2
1 2 1 2| | 4PF PF PF PF c ①.
又由双曲线的定义得 1 2 2PF PF a ，
两边平方得 2 2 2
1 2 1 2| | 2 4PF PF PF PF a ②，
①-②得 2 2 2
1 2 4 4 4PF PF c a b .
根据三角形的面积公式得 2 2
1 2
1 3sin60 4 3 48 32 4S PF PF b b ，即 2 48b .
又 4
3b a ，
则 2 29 2716a b ，
故所求双曲线的方程是
2 2
127 48
x y .
3．【答案】B
21
4．【答案】D
【解析】设 1 2PF F△ 的内切圆半径为 r ，如图，
由双曲线的定义得 1 2 1 22 , 2PF PF a F F c ，
则
1 21 2
1 1,2 2IPF IPFS PF r S PF r △ △ ，
1 2
1 22IF FS c r cr △ ，
由题意得 1 2
1 1 1
2 2 3PF r PF r cr ，
故 1 2
3 32c PF PF a ，
则 3ce a
，
22
又 1e ，
所以双曲线离心率的取值范围是 1,3 ，故选 D．
5．【答案】 5
4
学#%
考点冲关
1．【答案】B
【解析】|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=30,b>0,
2 2
1x y
a b
满足 a>0,b0,b>0,矛盾;
25
D 中, 1x y
a b
满足 a0,
2 2
1x y
a b
满足 a>0,b>0,矛盾.故选 A.
11．【答案】C
12．【答案】D
【解析】由双曲线的定义得 ，所以 ，即
，
由题意得 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
从而离心率 .故选 D．
13．【答案】D
【解析】由题意知两曲线有相同的焦点，设左、右两个焦点分别为 ， ，
设 P 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得到 ，
根据椭圆的定义得到 ，
联立两个式子得到 ， = ，
由椭圆与双曲线的标准方程得 = ，所以 与 重合，
由余弦定理得
1 2
2 2 2 4 1cos 04
a aF PF
，
26
故 1 2
π
2F PF ，
则 的面积为 ，故答案为 D．
14．【答案】 ￥%网
15．【答案】
【解析】由题得
2 2
2
25
16
3
a b
b
a
则双曲线的方程为 ，
从而点 P 的坐标为（5， ）或（5， ），
故 或 .
16．【答案】
【解析】双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 ， 为坐标原点，以 为直径的圆与双曲线
的一条渐近线相交于 ， 两点，所以 ，则 ， ，
由 AOF△ 的面积为 1，可得 1 12 ab ，
又双曲线C 的离心率 ，则
2 2 2
2 2
5
4
c a b
a a
，
即 ，解得 ， .
17．【答案】 (1,1 2)
27
18．【答案】4
【解析】由题意得 ,渐近线方程为 ,
因为点 P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以 P 必在过右焦点与一条渐近线平行的
直线上，不妨设 P 在直线 上，
联立方程
2
2
2 5
14
y x
yx
,解得 ,
联立方程 2 5
2
y x
y x
,解得 ,
所以 ,
而 ,解得
19．【答案】
【解析】由双曲线的方程可知， 1 2,c ce ea b
，所以
1 2
c a bc ce e a b ab
，
又由 2 2 2c a b ，且
2
2
a bab
，所以
1 2 2
4
4
c a b c a b ce e ab a ba b
，
因为
2 2 2 22
2 2 2 2
16 164 82 2
a b a bc
a b a b ab a b
，
所以 的最小值为 .
20．【解析】（1）由题易知， ， ，解得 ， ，
28
综上，|PF2|＝16 或 4.
21．【解析】（1）∵双曲线的离心率为 ，∴双曲线是等轴双曲线，
∴设双曲线的方程为 ，
将点 代入方程得： ，
则 ，
故双曲线方程为 ．
（2）∵等轴双曲线的渐近线方程为 ，
点 在第一象限且是渐近线上的点，
∴设点 的坐标为 ，
∵等轴双曲线中 ，∴ ，
不妨设 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，所以 ，
∴ ，
解得 （舍去负值），
∴点 的坐标为 ．
22．【解析】(1)设 P(x0,y0),P 到双曲线的两条渐近线的距离记为 d1、d2.
29
23．【解析】(1)∵ ,∴ ,
∵ ,∴ ,
∴可设双曲线方程为 .
∵双曲线过点(4,− ),∴16−10=λ,即λ=6,
∴双曲线方程为 .
(2)由(1)可知,在双曲线中 a=b= ,∴c= ,
∴ (− ,0), ,0).
∴
1 2
,
3 2 3 3 2 3MF MF
m mk k
，
又∵点 M(3,m)在双曲线上，∴ =3，
∴
1 2
2
133 2 3 3 2 3MF MF
m m mk k
，
∴ . 学@#
24．【解析】(1)椭圆方程可化为
2 2
19 4
x y ,焦点在 x 轴上,且 9 4 5.c
30
直通高考
31
2 2
2 2
x y
a b
( 0) ，③等轴双曲线可设为 2 2 ( 0)x y ．
3．【答案】A
【解析】因为 3ce a
，所以
2 2 2
2
2 2 1 3 1 2b c a ea a
，所以 2b
a
，因为渐近线方程为
by xa
，所以渐近线方程为 2y x ，故选 A．
4．【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的渐近线方程为 0bx ay ，
圆心 2,0 到渐近线的距离为 2 22 1 3d ，
则点 2,0 到直线 0bx ay 的距离为
2 2
2 0 2 3b a bd ca b
，即
2 2
2
4( ) 3c a
c
，
整理可得 2 24c a ，则双曲线的离心率
2
2 4 2ce a
．故选 A．
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，
常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ce a
；②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，
结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等
32
式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
5．【答案】B
【解析】双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 by xa
，
在椭圆中： 2 212, 3a b ， 2 2 2 9, 3c a b c ，故双曲线 C 的焦点坐标为 ( 3,0) ，
据此可得双曲线中的方程组： 2 2 25 , 3,2
b c c a ba
，解得 2 24, 5a b ，
则双曲线C 的方程为
2
14 5
x y
．故选 B．
【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲
线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值.如果已知双曲线的渐
近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
2
2 2 0x y
a b
，再由条件
求出λ的值即可. @#网
6．【答案】A
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦
距是 2c 而不是 c,这一点易出错.
7．【答案】C
【解析】由题可知 2PF b ， 2OF c ， PO a ，
在 2Rt POF△ 中， 2
2
2
cos PF bPF O OF c
，
在 1 2Rt PF F△ 中，
2 2 2
2 1 2 1
2
2 1 2
cos 2
PF F F PF bPF O PF F F c
，
2 2 24 ( 6 )
2 2
b c a b
b c c
，即 2 23c a ，
3e ，故选 C．
33
8．【答案】 2 10
9．【答案】2
【解析】 2 21,a b m ，所以 1 31
c m
a
，解得 2m ．
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要
注意 a 、b 、c 的关系，即 2 2 2c a b ，以及当焦点在 x 轴时，哪些量表示 2 2,a b ，否则很容易出现错
误．最后根据离心率的公式计算即可.
10．【答案】 2
【解析】因为双曲线的焦点 ( ,0)F c 到渐近线 by xa
，即 0bx ay 的距离为
2 2
0bc bc bca b
，
所以 3
2b c ，因此 2 2 2 2 2 23 1
4 4a c b c c c ， 1
2a c ， 2e ．
11．【答案】 3 1 2
【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 3c c ，再根据椭圆定义得 3 2c c a ，
所以椭圆 M 的离心率为 2 3 1
1 3
c
a
．双曲线 N 的渐近线方程为 ny xm
，由题意得双曲线
N 的一条渐近线的倾斜角为 π
3
，所以
2
2
2
πtan 33
n
m
，所以
2 2 2 2
2
2 2
3 4m n m me m m
，所以
2e ．
12．【答案】 2
2y x
【解析】由抛物线定义可得：| | | | = 42 2 2A B A B
p p pAF BF y y y y p ,
因为
2 2
2 2 2 2 22 2
2
1 2 0
2
x y
a y pb y a ba b
x py
,所以
2
2
2 2A B
pby y p a ba
渐近线方程
34
为 2
2y x .
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：
（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲
线与椭圆的标准方程可统一为 122 ByAx 的形式，当 0A ， 0B ， BA 时为椭圆，当 0AB
时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．
13．【答案】 2 3
14．【答案】 2 3
3
【解析】如图所示，作 AP MN ，
35
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要
抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；
③双曲线的顶点到渐近线的距离是 ab
c
. 学@#
微信/支付宝扫码支付