专题13 函数综合问题（精讲）-中考数学高频考点突破（解析版）

【课标解读】 函数问题是指一次函数、反比例函数与二次函数之间的综合运用问题的研究。涉及的内容主要体现在 函数之间的综合结合，正确把握各个函数关系的图像与性质并能灵活应用是解题的关键. 【解题策略】 从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论 【考点深剖】 ★考点一 一次函数与反比例函数的综合 此类题考查了反比例函数与-次函数的交点问题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式，坐标与图 形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 【典例 1】（2018•贵港）如图，已知反比例函数 y= （x＞0）的图象与一次函数 y=﹣ x+4 的图象交于 A 和 B（6，n）两点． （1）求 k 和 n 的值； （2）若点 C（x，y）也在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，求当 2≤x≤6 时，函数值 y 的取值范围． 【解答】解：（1）当 x=6 时，n=﹣ ×6+4=1， ∴点 B 的坐标为（6，1）． ∵反比例函数 y= 过点 B（6，1）， ∴k=6×1=6． （2）∵k=6＞0， ∴当 x＞0 时，y 随 x 值增大而减小， ∴当 2≤x≤6 时，1≤y≤3．学科&网 ★考点二 一次函数与二次函数的综合 此类题考查了二次函数与-次函数的交点问题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式，坐标与图形 性质，以及三角形周长、面积及其最值方面的求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 【典例 2】（2018·湖南省常德·10 分）如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0）．A（8，4），与 x 轴交于另 一点 B，且对称轴是直线 x=3． （1）求该二次函数的解析式； （2）若 M 是 OB 上的一点，作 MN∥AB 交 OA 于 N，当 △ ANM 面积最大时，求 M 的坐标； （3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQ⊥x 轴与抛物线交于 Q．过 A 作 AC⊥x 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点的 三角形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标． （3）设 Q（m， m2﹣ m），根据相似三角形的判定方法，当 = 时， △ PQO∽△COA，则| m2﹣ m|=2|m|； 当 = 时， △ PQO∽△CAO，则| m2﹣ m|= |m|，然后分别解关于 m 的绝对值方程可得到对应的 P 点 坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线 x=3， ∴B 点坐标为（6，0）， 设抛物线解析式为 y=ax（x﹣6）， 把 A（8，4）代入得 a•8•2=4，解得 a= ， ∴抛物线解析式为 y= x（x﹣6），即 y= x2﹣ x； ∴S △ AMN=S △ AOM﹣S △ NOM = •4•t﹣ •t• t =﹣ t2+2t =﹣ （t﹣3）2+3， 当 t=3 时，S △ AMN 有最大值 3，此时 M 点坐标为（3，0）； （3）设 Q（m， m2﹣ m）， ∵∠OPQ=∠ACO， ∴当 = 时， △ PQO∽△COA，即 = ， ∴PQ=2PO，即| m2﹣ m|=2|m|， 解方程 m2﹣ m=2m 得 m1=0（舍去），m2=14，此时 P 点坐标为（14，28）； 解方程 m2﹣ m=﹣2m 得 m1=0（舍去），m2=﹣2，此时 P 点坐标为（﹣2，4）； ★考点三 反比例函数与二次函数的综合 此类题考查了反比例函数与二次函数的交点问题，涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式，坐标与 图形性质，以及三角形面积求法，这类问题中考涉及的内容不是很多. 【典例 3】（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴交于点 B， 与滑道 y= （x≥1）交于点 A，且 AB=1 米．运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v 米/秒后，从 A 处向 右下飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离 h（米）与飞出 时间 t（秒）的平方成正比，且 t=1 时 h=5，M，A 的水平距离是 vt 米． （1）求 k，并用 t 表示 h； （2）设 v=5．用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y 与 x 的关系式（不写 x 的取值范围），及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v 乙米/秒．当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t 的值及 v 乙的范围． 【分析】（1）用待定系数法解题即可； （2）根据题意，分别用 t 表示 x、y，再用代入消元法得出 y 与 x 之间的关系式； （3）求出甲距 x 轴 1.8 米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过 4.5 米的 v 乙． 【解答】解：（1）由题意，点 A（1，18）带入 y= 得：18= ∴k=18 设 h=at2，把 t=1，h=5 代入 ∴a=5 ∴h=5t2 （3）把 y=1.8 代入 y=﹣5t2+18 得 t2= 解得 t=1.8 或﹣1.8（负值舍去） ∴x=10 ∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道 y= 上 此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8） 由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5 ∴v 乙＞7.5 ★考点四 函数与图形变换的综合 此类题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了各类图形变换的应用，考查了从已 知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．此类题还考查了待定系数法求函数 解析式的方法、各个变换的性质要熟练掌握． 【典例 4】（2018•达州）矩形 AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如 图 1 所示的平面直角坐标系．F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反比例函数 y= （k＞0） 的图象与边 AC 交于点 E． （1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （2）连接 EF，求∠EFC 的正切值； （3）如图 2，将 △ CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式． 【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4， ∴B（4，0），C（4，3）， ∵F 是 BC 的中点， ∴F（4， ）， ∵F 在反比例 y= 函数图象上， ∴k=4× =6， ∴反比例函数的解析式为 y= ， ∵E 点的坐标为 3， ∴E（2，3）； （2）∵F 点的横坐标为 4， ∴F（4， ）， ∴CF=BC﹣BF=3﹣ = ∵E 的纵坐标为 3， ∴E（ ，3）， ∴CE=AC﹣AE=4﹣ = ， 在 Rt △ CEF 中，tan∠EFC= = ， ∴ = ， ∴ ， ∴BG= ， 在 Rt △ FBG 中，FG2﹣BF2=BG2， ∴（ ）2﹣（ ）2= ， ∴k= ， ∴反比例函数解析式为 y= ．学科&网 【讲透练活】 变式 1：（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣x+3 过点 A（5，m）且与 y 轴交于点 B，把 点 A 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 C．过点 C 且与 y=2x 平行的直线交 y 轴于点 D． （1）求直线 CD 的解析式； （2）直线 AB 与 CD 交于点 E，将直线 CD 沿 EB 方向平移，平移到经过点 B 的位置结束，求直线 CD 在平 移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）把 A（5，m）代入 y=﹣x+3 得 m=﹣5+3=﹣2，则 A（5，﹣2）， ∵点 A 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 C， ∴C（3，2）， ∵过点 C 且与 y=2x 平行的直线交 y 轴于点 D， ∴CD 的解析式可设为 y=2x+b， 把 C（3，2）代入得 6+b=2，解得 b=﹣4， ∴直线 CD 的解析式为 y=2x﹣4； （2）当 x=0 时，y=﹣x+3=3，则 B（0，3）， 当 y=0 时，2x﹣4=0，解得 x=2，则直线 CD 与 x 轴的交点坐标为（2，0）； 易得 CD 平移到经过点 B 时的直线解析式为 y=2x+3， 当 y=0 时，2x+3=0，解的 x=﹣ ，则直线 y=2x+3 与 x 轴的交点坐标为（﹣ ，0）， ∴直线 CD 在平移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围为﹣ ≤x≤2． 变式 2：（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧）， 作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若 △ ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式． 【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6 ∴反比例函数的解析式为 y= ． （2）设 B 点坐标为（a，b），如图 ， 作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b） ∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b） ∴b= ∴AD=3﹣ ． ∴S △ ABC= BC•AD = a（3﹣ ）=6 解得 a=6 ∴b= =1 ∴B（6，1）． 变式 3：（2018•武汉）已知点 A（a，m）在双曲线 y= 上且 m＜0，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B． （1）如图 1，当 a=﹣2 时，P（t，0）是 x 轴上的动点，将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90°至点 C， ①若 t=1，直接写出点 C 的坐标； ②若双曲线 y= 经过点 C，求 t 的值． （2）如图 2，将图 1 中的双曲线 y= （x＞0）沿 y 轴折叠得到双曲线 y=﹣ （x＜0），将线段 OA 绕点 O 旋转，点 A 刚好落在双曲线 y=﹣ （x＜0）上的点 D（d，n）处，求 m 和 n 的数量关系． 【分析】（1）①如图 1﹣1 中，求出 PB、PC 的长即可解决问题； ②图 1﹣2 中，由题意 C（t，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可； 【解答】解：（1）①如图 1﹣1 中， 由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3， ∴C（1，3）． ②图 1﹣2 中，由题意 C（t，t+2）， ∵点 C 在 y= 上， ∴t（t+2）=8， ∴t=﹣4 或 2， （2）如图 2 中， ①当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时，A（a，m），D（d，n）， ∴m+n=0． ②当点 A 绕点 O 旋转 90°时，得到 D′，D′在 y=﹣ 上， 作 D′H⊥y 轴，则 △ ABO≌△D′HO， ∴OB=OH，AB=D′H， ∵A（a，m）， ∴D′（m，﹣a），即 D′（m，n）， ∵D′在 y=﹣ 上， ∴mn=﹣8， 综上所述，满足条件的 m、n 的关系是 m+n=0 或 mn=﹣8．学科&网 变式 4：（2018·四川宜宾·12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4， 1），如图，直线 y= x 与抛物线交于 A、B 两点，直线 l 为 y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知 F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标． 【考点】HF：二次函数综合题． （3）由点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出 （1﹣ ﹣ y0）m2﹣（2﹣2x0﹣2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由 m 的任意性可得出关于 x0、y0 的方程组，解 之即可求出顶点 F 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a= ， ∴抛物线的解析式为 y= （x﹣2）2= x2﹣x+1． 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 将 A（1， ）、B′（4，﹣3）代入 y=kx+b，得： ，解得： ， ∴直线 AB′的解析式为 y=﹣ x+ ， 当 y=﹣1 时，有﹣ x+ =﹣1， 解得：x= ， ∴点 P 的坐标为（ ，﹣1）． （3）∵点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等， ∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2， ∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1． 变式 5：（2018 湖南湘西州）（22.00 分）如图 1，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bx（a、b 为常数，a≠0）与 x 轴相交于另一点 A（3，0）．直线 l：y=x 在第一象限内和此抛物线相交于点 B（5，t），与抛物线的对称轴 相交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴上找一点 P，使以点 P、O、C 为顶点的三角形与以点 A、O、B 为顶点的三角形相似，求满足 条件的点 P 的坐标； （3）直线 l 沿着 x 轴向右平移得到直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 M，与 x 轴下方的抛物线相交于点 N，过 点 N 作 NE⊥x 轴于点 E．把 △ MEN 沿直线 l′折叠，当点 E 恰好落在抛物线上时（图 2），求直线 l′的解析式； （4）在（3）问的条件下（图 3），直线 l′与 y 轴相交于点 K，把 △ MOK 绕点 O 顺时针旋转 90°得到 △ M′OK′， 点 F 为直线 l′上的动点．当 △ M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点 F 的坐标． 【解答】解：（1）由已知点 B 坐标为（5，5） 把点 B（5，5），A（3，0）代入 y=ax2+bx，得 解得 ∴抛物线的解析式为：y= （2）由（1）抛物线对称轴为直线 x= ，则点 C 坐标为（ ， ） ∴OC= ，OB=5 当 △ OBA∽△OCP 时， ∴ ∴OP= 当 △ OBA∽△OPC 时， ∴ ∴OP=5 ∴点 P 坐标为（5，0）或（ ，0）。学科&网 则点 N 坐标可化为（a，2a﹣3） 把点 N 坐标带入 y= 得： 2a﹣3= 解得 a1=1，a2=6 ∵a=6 时，b=2a﹣3=﹣9＜0 ∴a=6 舍去 则点 N 坐标为（1，﹣1） 把 N 坐标带入 y=x+c 则 c=﹣2 ∴直线 l′的解析式为：y=x﹣2