专题12 四边形综合问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)
加入VIP免费下载

专题12 四边形综合问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)

ID:649028

大小:1.13 MB

页数:25页

时间:2022-05-14

加入VIP免费下载
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
【课标解读】 四边形是中考中的重要考点,主要考察学生对图形的认识、图形知识的掌握,辅助线的添加等内容, 综合性较强,注重学生正确的推理与计算能力的培养 【解题策略】 解决这类问题的关键应把握四边形的性质与判定,加强相关图形之间的联系,利用所给图形及图形之 间关系,进行观察、分析找到解决途径,进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系。 【考点深剖】 ★考点一 特殊四边形与三角形的综合 此类问题主要涉及到特殊平行四边形的性质与全等三角形、特殊三角形的性质及其知识的综合,把握 各个知识点并能灵活应用是解题的关键。 【典例 1】(2018 贵阳)(12.00 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB═2,AD= ,P 是 BC 边上的一点,且 BP=2CP. (1)用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E,连接 AE、BE(保留作图痕迹,不写作法); (2)如图②,在(1)的条体下,判断 EB 是否平分∠AEC,并说明理由; (3)如图③,在(2)的条件下,连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F,连接 AP,不添加辅助线, △ PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 △ PAE 组成一个等腰三角形?如果能,说明理由,并写出两种方法(指出对 称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离) 【解答】解:(1)依题意作出图形如图①所示, (2)EB 是平分∠AEC,理由: ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠C=∠D=90°,CD=AB=2,BC=AD= , ∵点 E 是 CD 的中点, ∴DE=CE= CD=1, (3)∵BP=2CP,BC= , ∴CP= ,BP= , 在 Rt △ CEP 中,tan∠CEP= = , ∴∠CEP=30°, ∴∠BEP=30°, ∴∠AEP=90°, ∵CD∥AB, ∴∠F=∠CEP=30°, 在 Rt △ ABP 中,tan∠BAP= = , ∴∠PAB=30°, ∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB, ∵CB⊥AF, ∴AP=FP, ∴△AEP≌△FBP, ∴△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与 △ PAE 组成一个等腰三角形, 变换的方法为:将 △ BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和 △ EPA 重合,①沿 PF 折叠,②沿 AE 折叠.学科&网 ★考点二 特殊四边形与四边形的综合 此类问题主要涉及到多个特殊平行四边形之间的关系,充分利用各个四边形的特点并建立相关的联系, 根据性质进行解答即可,这种问题经常和旋转变换及其勾股定理相结合进行考查. 【典例 2】(2018·湖北十堰·10 分)已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG,M 是 AF 的中点,连接 DM,EM. (1)如图 1,点 E 在 CD 上,点 G 在 BC 的延长线上,请判断 DM,EM 的数量关系与位置关系,并直接写 出结论; (2)如图 2,点 E 在 DC 的延长线上,点 G 在 BC 上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论; (3)将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转,使 D,E,F 三点在一条直线上,若 AB=13,CE=5,请画出图 形,并直接写出 MF 的长. 【解答】解:(1)结论:DM⊥EM,DM=EM. 理由:如图 1 中,延长 EM 交 AD 于 H. (2)如图 2 中,结论不变.DM⊥EM,DM=EM. 理由:如图 2 中,延长 EM 交 DA 的延长线于 H. ∵四边形 ABCD 是正方形,四边形 EFGC 是正方形, ∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD, ∴AD∥EF, ∴∠MAH=∠MFE, ∵AM=MF,∠AMH=∠FME, ∴△AMH≌△FME, ∴MH=ME,AH=EF=EC, ∴DH=DE, ∵∠EDH=90°, ∴DM⊥EM,DM=ME. (3)如图 3 中,作 MR⊥DE 于 R. 在 Rt △ MRF 中,FM= = , 故满足条件的 MF 的值为 或 . ★考点三 特殊四边形与图形变换的综合 对于特殊平行四边形的综合考查过程中,,特殊平行四边形与折叠、平移、旋转等图形变换常常如影随 形.解决相关问题时,既要关注特殊平行四边形的性质,又要关注图形变换的性质. 【典例 3】(2018 湖南郴州)(12.00 分)在矩形 ABCD 中,AD>AB,点 P 是 CD 边上的任意一点(不含 C, D 两端点),过点 P 作 PF∥BC,交对角线 BD 于点 F. (1)如图 1,将 △ PDF 沿对角线 BD 翻折得到 △ QDF,QF 交 AD 于点 E. 求证: △ DEF 是等腰三角形; (2)如图 2,将 △ PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到 △ P'DF',连接 P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°). ①若 0°<α<∠BDC,即 DF'在∠BDC 的内部时,求证: △ DP'C∽△DF'B.[ ②如图 3,若点 P 是 CD 的中点, △ DF 'B 能否为直角三角形?如果能,试求出此时 tan∠DBF'的值,如果不 能,请说明理由. 【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF,所以 △ DEF 是等腰三角形; (2)①由于 PF∥BC,所以 △ DPF∽△DCB,从而易证 △ DP′F′∽△DCB; ②由于 △ DF'B 是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论. (2)①若 0°<α<∠BDC,即 DF'在∠BDC 的内部时, ∵∠P′DF′=∠PDF, ∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC, ∴∠P′DC=∠F′DB, 由旋转的性质可知: △ DP′F′≌△DPF, ∵PF∥BC, ∴△DPF∽△DCB, ∴△DP′F′∽△DCB ∴ , ∴△DP'C∽△DF'B ②当∠F′DB=90°时,如图所示, ∵DF′=DF= BD, ∴ = , ∴tan∠DBF′= = , ★考点四 特殊四边形与相似三角形的综合 这类问题经常涉及到边边之间的关系时出现相似,对应边成比例,找到边边关系从而容易解答相关问 题,必要时利用解直角三角形的知识. 【典例 4】(2018 包头)(12.00 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,E 是 AD 上的一个动 点. (1)如图 1,连接 BD,O 是对角线 BD 的中点,连接 OE.当 OE=DE 时,求 AE 的长; (2)如图 2,连接 BE,EC,过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F,连接 CF,与 BE 交于点 G.当 BE 平分∠ ABC 时,求 BG 的长; (3)如图 3,连接 EC,点 H 在 CD 上,将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠,折叠后点 D 落在 EC 上的点 D'处, 过点 D′作 D′N⊥AD 于点 N,与 EH 交于点 M,且 AE=1. ①求 的值; ②连接 BE, △ D'MH 与 △ CBE 是否相似?请说明理由. 【解答】解:(1)如图 1,连接 OA,在矩形 ABCD 中,CD=AB=3,AD=BC=5,∠BAD=90° 在 Rt △ ABD 中,根据勾股定理得,BD= , ∵O 是 BD 中点, ∴OD=OB=OA= , ∴∠OAD=∠ODA, ∵OE=DE, ∴∠EOD=∠ODE, ∴∠EOD=∠ODE=∠OAD, ∴△ODE∽△ADO, ∴ ,∴ DO2=DE•DA, ∴设 AE=x, ∴DE=5﹣x, ∴( )2=5(5﹣x), ∴x= , 即:AE= ; (2)如图 2,在矩形 ABCD 中, ∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC=45°, ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠EBC, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AE=AB=3, ∴AE=CD=3, ∵∠D=∠A=90°, ∴△AEF≌△DCE, ∴AF=DE=2, ∴BF=AB﹣AF=1, 过点 G 作 GK⊥BC 于 K, ∴∠EBC=∠BGK=45°, ∴BK=GK,∠ABC=∠GKC=90°, ∵∠KCG=∠BCF, ∴△CHG∽△CBF, ∴ , 设 BK=GK=y, ∴CK=5﹣y, ∴y= , ∴BK=GK= , 在 Rt △ GKB 中,BG= ; (3)①在矩形 ABCD 中,∠D=90°, ∵AE=1,AD=5, ∴DE=4, ∵DC=3, ∴EC=5, 由折叠知,ED'=ED=4,D'H=DH,∠ED'H=∠D=90°, ∴D'C=1, ∴△EMN∽△EHD, ∴ , ∵D'N∥DC, ∴∠ED'M=∠ECH, ∵∠MED'=∠HEC, ∴△ED'M∽△ECH, ∴ , ∴ , ∴ , ∴ ; ②相似,理由:由折叠知,∠EHD'=∠EHD,∠ED'H=∠D=90°, ∴∠MD'H+∠ED'N=90°, ∵∠END'=90°, ∴∠ED'N+∠NED'=90°, ★考点五 特殊四边形与圆的综合 【典例 5】(2018 湖南怀化)(12.00 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC.点 E 为 CD 边上一点, AE 与 BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线. (1)请你添加一个适当的条件 ,使得四边形 ABCD 是平行四边形,并证明你的结论; (2)作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O,并以 AB 为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不 写作法); (3)在(2)的条件下,⊙O 交边 AD 于点 F,连接 BF,交 AE 于点 G,若 AE=4,sin∠AGF= ,求⊙O 的半径. 【分析】(1)添加条件 AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可; (2)作出相应的图形,如图所示; (3)由平行四边形的对边平行得到 AD 与 BC 平行,可得同旁内角互补,再由 AE 与 BE 为角平分线,可得 出 AE 与 BE 垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到 AF 与 FB 垂直,可得出两锐角互余,根据角平分 线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB,根据 sin∠AGF 的值,确定出 sin∠AEB 的值,求出 AB 的长,即可 确定出圆的半径.学科&网 (3)∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°, ∵AE 与 BE 分别为∠DAB 与∠CBA 的平分线, ∴∠EAB+∠EBA=90°, ∴∠AEB=90°, ∵AB 为圆 O 的直径,点 F 在圆 O 上, ∴∠AFB=90°, ∴∠FAG+∠FGA=90°, ∵AE 平分∠DAB, ∴∠FAG=∠EAB, ∴∠AGF=∠ABE, ∴sin∠ABE=sin∠AGF= = , ∵AE=4, ∴AB=5, 则圆 O 的半径为 2.5. 考点六 特殊四边形与函数的综合 【例题 6】(2018 哈尔滨)(10.00 分)已知:在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴的负半 轴上,直线 y=﹣ x+ 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,四边形 ABCD 为菱形. (1)如图 1,求点 A 的坐标; (2)如图 2,连接 AC,点 P 为 △ ACD 内一点,连接 AP、BP,BP 与 AC 交于点 G,且∠APB=60°,点 E 在线段 AP 上,点 F 在线段 BP 上,且 BF=AE,连接 AF、EF,若∠AFE=30°,求 AF2+EF2 的值; (3)如图 3,在(2)的条件下,当 PE=AE 时,求点 P 的坐标. 【解答】解:(1)如图 1 中, ∵y=﹣ x+ , ∴B( ,0),C(0, ), ∴BO= ,OC= , 在 Rt △ OBC 中,BC= =7, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=7, ∴OA=AB﹣OB=7﹣ = , ∴A(﹣ ,0). (2)如图 2 中,连接 CE、CF. ∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°, ∴△CEF 是等边三角形, ∴∠CFE=60°,EF=FC, ∵∠AFE=30°, ∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°, 在 Rt △ ACF 中,AF2+CF2=AC2=49, ∴AF2+EF2=49. (3)如图 3 中,延长 CE 交 FA 的延长线于 H,作 PQ⊥AB 于 Q,PK⊥OC 于 K,在 BP 设截取 BT=PA, 连接 AT、CT、CF、PC. ∵PE=AE,∠PEC=∠AEH, ∴△CPE≌△HAE, ∴∠PCE=∠H, ∴PC∥FH, ∵∠CAP=∠CBT,AC=BC, ∴△ACP≌△BCT, ∴CP=CT,∠ACP=∠BCT, ∴∠PCT=∠ACB=60°, ∴△CPT 是等边三角形, ∴CT=PT,∠CPT=∠CTP=60°, ∵CP∥FH, ∴∠HFP=∠CPT=60°, ∵∠APB=60°, ∴△APF 是等边三角形, ∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°, ∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°, ∴∠TCF=∠TFC, ∴TF=TC=TP, ∴AT⊥PF,设 BF=m,则 AE=PE=m, ∴PF=AP=2m,TF=TP=m,TB=2m,BP=3m, 【讲透练活】 变式 1:(2018·重庆市 B 卷)(4.00 分)如图,菱形 ABCD 的边 AD⊥y 轴,垂足为点 E,顶点 A 在第二象 限,顶点 B 在 y 轴的正半轴上,反比例函数 y= (k≠0,x>0)的图象同时经过顶点 C,D.若点 C 的横坐 标为 5,BE=3DE,则 k 的值为( ) A. B.3 C. D.5 【分析】由已知,可得菱形边长为 5,设出点 D 坐标,即可用勾股定理构造方程,进而求出 k 值. 【解答】 设 OB=a 则点 D 坐标为(1,a+3),点 C 坐标为(5,a) ∵点 D.C 在双曲线上 ∴1×(a+3)=5a ∴a= ∴点 C 坐标为(5, ) ∴k= 故选:C. 变式 2:(2018 古呼和浩特)(6.00 分)如图,已知 A、F、C、D 四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE, 且 AB=DE. (1)求证: △ ABC≌△DEF; (2)若 EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度. 【分析】(1)根据 SAS 即可证明. (2)解直角三角形求出 DF、OE、OF 即可解决问题; (2)如图,连接 AB 交 AD 于 O. 在 Rt △ EFD 中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4, ∴DF= =5, ∵四边形 EFBC 是菱形, ∴BE⊥CF,'∴EO= = , ∴OF=OC= = , ∴CF= , ∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = .学科&网 变式 3:(2017·潍坊)边长为 6 的等边 △ ABC 中,点 D,E 分别在 AC,BC 边上,DE∥AB,EC=2 3. (1)如图 1,将 △ DEC 沿射线方向平移,得到 △ D′E′C′,边 D′E′与 AC 的交点为 M,边 C′D′与∠ACC′的平分线 交于点 N,当 CC′多大时,四边形 MCND′为菱形?并说明理由; (2)如图 2,将 △ DEC 绕点 C 旋转∠α(0°<α<360°),得到 △ D′E′C,连接 AD′,BE′.边 D′E′的中点为 P. ①在旋转过程中,AD′和 BE′有怎样的数量关系?并说明理由; ②连接 AP,当 AP 最大时,求 AD′的值.(结果保留根号) 图 1 图 2 解:(1)当 CC′= 3时,四边形 MCND′是菱形. ∵∠ME′C′=∠MCE′=60°, ∠NCC′=∠NC′C=60°, ∴△MCE′和 △ NCC′都是等边三角形. ∴MC=CE′,NC=CC′. ∵E′C′=EC=2 3,四边形 MCND′是菱形. ∴CN=CM.∴CC′=1 2E′C′= 3. ②连接 CP. 在 △ ACP 中,由三角形三边关系,得 AP<AC+CP,∴当点 A,C,P 三点共线时,AP 最大,如图. ∵CD′=CE′,P 为 D′E′的中点,∴AP⊥D′E′,PD′= 3.∴CP=3. ∴AP=6+3=9. 在 Rt △ APD′中,由勾股定理,得 AD′= AP2+PD′2=2 21. 变式 4:(2018 吉林)(8.00 分)如图①,在 △ ABC 中,AB=AC,过 AB 上一点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E, 以 E 为顶点,ED 为一边,作∠DEF=∠A,另一边 EF 交 AC 于点 F. (1)求证:四边形 ADEF 为平行四边形; (2)当点 D 为 AB 中点时,▱ADEF 的形状为 菱形 ; (3)延长图①中的 DE 到点 G,使 EG=DE,连接 AE,AG,FG,得到图②,若 AD=AG,判断四边形 AEGF 的形状,并说明理由. 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A,根据题意得到∠DEF=∠BDE,根据平行线的判定定理得 到 AD∥EF,根据平行四边形的判定定理证明; (2)根据三角形中位线定理得到 DE= AC,得到 AD=DE,根据菱形的判定定理证明; (3)根据等腰三角形的性质得到 AE⊥EG,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明. (2)解:▱ADEF 的形状为菱形, 理由如下:∵点 D 为 AB 中点, ∴AD= AB, ∵DE∥AC,点 D 为 AB 中点, ∴DE= AC, ∵AB=AC, ∴AD=DE, ∴平行四边形 ADEF 为菱形, 故答案为:菱形; (3)四边形 AEGF 是矩形, 理由如下:由(1)得,四边形 ADEF 为平行四边形, ∴AF∥DE,AF=DE, ∵EG=DE, ∴AF∥DE,AF=GE, ∴四边形 AEGF 是平行四边形, ∵AD=AG,EG=DE, ∴AE⊥EG, ∴四边形 AEGF 是矩形. 变式 5. (2018·辽宁省盘锦市)如图,在 Rt △ ABC 中,∠C=90°,点 D 在线段 AB 上,以 AD 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 E,与 AC 相交于点 F,∠B=∠BAE=30°. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若 AC=3,求⊙O 的半径 r; (3)在(1)的条件下,判断以 A.O、E.F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形,并说明理由. (3)以 A.O、E.F 为顶点的四边形是菱形, 理由:如图 3.在 Rt △ ABC 中,∠B=30°,∴∠BAC=60°,连接 OF, ∴OA=OF,∴△AOF 是等边三角形,∴OA=AF,∠AOF=60°,连接 EF,OE,∴OE=OF. ∵∠OEB=90°,∠B=30°,∴∠AOE=90°+30°=120°,∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°. ∵OE=OF,∴△OEF 是等边三角形,∴OE=EF. ∵OA=OE,∴OA=AF=EF=OE,∴四边形 OAFE 是菱形. 变式 6:(2018 吉林)(10.00 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q 两点分别从 A,B 同时出发,点 P 沿折线 AB﹣BC 运动,在 AB 上的速度是 2cm/s,在 BC 上的速度是 2 cm/s;点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动,过点 P 作 PN⊥AD,垂足为点 N.连接 PQ,以 PQ,PN 为邻边作▱PQMN.设 运动的时间为 x(s),▱PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y(cm2) (1)当 PQ⊥AB 时,x= ; (2)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (3)直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1:3 两部分时,直接写出 x 的值. 【解答】解:(1)当 PQ⊥AB 时,BQ=2PB, ∴2x=2(2﹣2x), ∴x= s. 故答案为 s. (2)①如图 1 中,当 0<x≤ 时,重叠部分是四边形 PQMN. y=2x× x=2 x2. ②如图②中,当 <x≤1 时,重叠部分是四边形 PQEN. y= (2﹣x+2tx× x= x2+ x ③如图 3 中,当 1<x<2 时,重叠部分是四边形 PNEQ. 则有:tan∠EAB=tan∠QPB, ∴ = , 解得 x= . ②如图 5 中,当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时,满足条件.学科&网

资料: 3.2万

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料