【课标解读】
四边形是中考中的重要考点，主要考察学生对图形的认识、图形知识的掌握，辅助线的添加等内容，
综合性较强，注重学生正确的推理与计算能力的培养
【解题策略】
解决这类问题的关键应把握四边形的性质与判定，加强相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之
间关系，进行观察、分析找到解决途径，进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系。
【考点深剖】
★考点一 特殊四边形与三角形的综合
此类问题主要涉及到特殊平行四边形的性质与全等三角形、特殊三角形的性质及其知识的综合，把握
各个知识点并能灵活应用是解题的关键。
【典例 1】（2018 贵阳）（12.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB═2，AD= ，P 是 BC 边上的一点，且 BP=2CP．
（1）用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图②，在（1）的条体下，判断 EB 是否平分∠AEC，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F，连接 AP，不添加辅助线，
△
PFB
能否由都经过 P 点的两次变换与
△
PAE 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对
称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）
【解答】解：（1）依题意作出图形如图①所示，
（2）EB 是平分∠AEC，理由：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD= ，
∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE=CE= CD=1，
（3）∵BP=2CP，BC= ，
∴CP= ，BP= ，
在 Rt
△
CEP 中，tan∠CEP= = ，
∴∠CEP=30°，
∴∠BEP=30°，
∴∠AEP=90°，
∵CD∥AB，
∴∠F=∠CEP=30°，
在 Rt
△
ABP 中，tan∠BAP= = ，
∴∠PAB=30°，
∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，
∵CB⊥AF，
∴AP=FP，
∴△AEP≌△FBP，
∴△PFB 能由都经过 P 点的两次变换与
△
PAE 组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将
△
BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和
△
EPA 重合，①沿 PF 折叠，②沿 AE 折叠．学科&网
★考点二 特殊四边形与四边形的综合
此类问题主要涉及到多个特殊平行四边形之间的关系，充分利用各个四边形的特点并建立相关的联系，
根据性质进行解答即可，这种问题经常和旋转变换及其勾股定理相结合进行考查.
【典例 2】（2018·湖北十堰·10 分）已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，M 是 AF 的中点，连接 DM，EM．
（1）如图 1，点 E 在 CD 上，点 G 在 BC 的延长线上，请判断 DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写
出结论；
（2）如图 2，点 E 在 DC 的延长线上，点 G 在 BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若 AB=13，CE=5，请画出图
形，并直接写出 MF 的长．
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．
理由：如图 1 中，延长 EM 交 AD 于 H．
（2）如图 2 中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM．
理由：如图 2 中，延长 EM 交 DA 的延长线于 H．
∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，
∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH=∠MFE，
∵AM=MF，∠AMH=∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH=ME，AH=EF=EC，
∴DH=DE，
∵∠EDH=90°，
∴DM⊥EM，DM=ME．
（3）如图 3 中，作 MR⊥DE 于 R．
在 Rt
△
MRF 中，FM= = ，
故满足条件的 MF 的值为 或 ．
★考点三 特殊四边形与图形变换的综合
对于特殊平行四边形的综合考查过程中，,特殊平行四边形与折叠、平移、旋转等图形变换常常如影随
形.解决相关问题时,既要关注特殊平行四边形的性质,又要关注图形变换的性质.
【典例 3】（2018 湖南郴州）（12.00 分）在矩形 ABCD 中，AD＞AB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，
D 两端点），过点 P 作 PF∥BC，交对角线 BD 于点 F．
（1）如图 1，将
△
PDF 沿对角线 BD 翻折得到
△
QDF，QF 交 AD 于点 E．
求证：
△
DEF 是等腰三角形；
（2）如图 2，将
△
PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到
△
P'DF'，连接 P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若 0°＜α＜∠BDC，即 DF'在∠BDC 的内部时，求证：
△
DP'C∽△DF'B．[
②如图 3，若点 P 是 CD 的中点，
△
DF 'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tan∠DBF'的值，如果不
能，请说明理由．
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以
△
DEF 是等腰三角形；
（2）①由于 PF∥BC，所以
△
DPF∽△DCB，从而易证
△
DP′F′∽△DCB；
②由于
△
DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
（2）①若 0°＜α＜∠BDC，即 DF'在∠BDC 的内部时，
∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，
∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：
△
DP′F′≌△DPF，
∵PF∥BC，
∴△DPF∽△DCB，
∴△DP′F′∽△DCB
∴ ，
∴△DP'C∽△DF'B
②当∠F′DB=90°时，如图所示，
∵DF′=DF= BD，
∴ = ，
∴tan∠DBF′= = ，
★考点四 特殊四边形与相似三角形的综合
这类问题经常涉及到边边之间的关系时出现相似，对应边成比例，找到边边关系从而容易解答相关问
题，必要时利用解直角三角形的知识.
【典例 4】（2018 包头）（12.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动
点．
（1）如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE．当 OE=DE 时，求 AE 的长；
（2）如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于点 G．当 BE 平分∠
ABC 时，求 BG 的长；
（3）如图 3，连接 EC，点 H 在 CD 上，将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠，折叠后点 D 落在 EC 上的点 D'处，
过点 D′作 D′N⊥AD 于点 N，与 EH 交于点 M，且 AE=1．
①求 的值；
②连接 BE，
△
D'MH 与
△
CBE 是否相似？请说明理由．
【解答】解：（1）如图 1，连接 OA，在矩形 ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在 Rt
△
ABD 中，根据勾股定理得，BD= ，
∵O 是 BD 中点，
∴OD=OB=OA= ，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴ ，∴
DO2=DE•DA，
∴设 AE=x，
∴DE=5﹣x，
∴（ ）2=5（5﹣x），
∴x= ，
即：AE= ；
（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB﹣AF=1，
过点 G 作 GK⊥BC 于 K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CHG∽△CBF，
∴ ，
设 BK=GK=y，
∴CK=5﹣y，
∴y= ，
∴BK=GK= ，
在 Rt
△
GKB 中，BG= ；
（3）①在矩形 ABCD 中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
∴△EMN∽△EHD，
∴ ，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
★考点五 特殊四边形与圆的综合
【典例 5】（2018 湖南怀化）（12.00 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC．点 E 为 CD 边上一点，
AE 与 BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形 ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O，并以 AB 为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O 交边 AD 于点 F，连接 BF，交 AE 于点 G，若 AE=4，sin∠AGF= ，求⊙O
的半径．
【分析】（1）添加条件 AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到 AD 与 BC 平行，可得同旁内角互补，再由 AE 与 BE 为角平分线，可得
出 AE 与 BE 垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到 AF 与 FB 垂直，可得出两锐角互余，根据角平分
线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据 sin∠AGF 的值，确定出 sin∠AEB 的值，求出 AB 的长，即可
确定出圆的半径．学科&网
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE 与 BE 分别为∠DAB 与∠CBA 的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB 为圆 O 的直径，点 F 在圆 O 上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE 平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF= = ，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆 O 的半径为 2.5．
考点六 特殊四边形与函数的综合
【例题 6】（2018 哈尔滨）（10.00 分）已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的负半
轴上，直线 y=﹣ x+ 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，四边形 ABCD 为菱形．
（1）如图 1，求点 A 的坐标；
（2）如图 2，连接 AC，点 P 为
△
ACD 内一点，连接 AP、BP，BP 与 AC 交于点 G，且∠APB=60°，点 E
在线段 AP 上，点 F 在线段 BP 上，且 BF=AE，连接 AF、EF，若∠AFE=30°，求 AF2+EF2 的值；
（3）如图 3，在（2）的条件下，当 PE=AE 时，求点 P 的坐标．
【解答】解：（1）如图 1 中，
∵y=﹣ x+ ，
∴B（ ，0），C（0， ），
∴BO= ，OC= ，
在 Rt
△
OBC 中，BC= =7，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=7，
∴OA=AB﹣OB=7﹣ = ，
∴A（﹣ ，0）．
（2）如图 2 中，连接 CE、CF．
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，
∴△CEF 是等边三角形，
∴∠CFE=60°，EF=FC，
∵∠AFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，
在 Rt
△
ACF 中，AF2+CF2=AC2=49，
∴AF2+EF2=49．
（3）如图 3 中，延长 CE 交 FA 的延长线于 H，作 PQ⊥AB 于 Q，PK⊥OC 于 K，在 BP 设截取 BT=PA，
连接 AT、CT、CF、PC．
∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，
∴△CPE≌△HAE，
∴∠PCE=∠H，
∴PC∥FH，
∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，
∴△ACP≌△BCT，
∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，
∴∠PCT=∠ACB=60°，
∴△CPT 是等边三角形，
∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，
∵CP∥FH，
∴∠HFP=∠CPT=60°，
∵∠APB=60°，
∴△APF 是等边三角形，
∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°，
∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°，
∴∠TCF=∠TFC，
∴TF=TC=TP，
∴AT⊥PF，设 BF=m，则 AE=PE=m，
∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，
【讲透练活】
变式 1：（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）如图，菱形 ABCD 的边 AD⊥y 轴，垂足为点 E，顶点 A 在第二象
限，顶点 B 在 y 轴的正半轴上，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点 C，D．若点 C 的横坐
标为 5，BE=3DE，则 k 的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
【分析】由已知，可得菱形边长为 5，设出点 D 坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出 k 值．
【解答】
设 OB=a
则点 D 坐标为（1，a+3），点 C 坐标为（5，a）
∵点 D.C 在双曲线上
∴1×（a+3）=5a
∴a=
∴点 C 坐标为（5， ）
∴k=
故选：C．
变式 2：（2018 古呼和浩特）（6.00 分）如图，已知 A、F、C、D 四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，
且 AB=DE．
（1）求证：
△
ABC≌△DEF；
（2）若 EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度．
【分析】（1）根据 SAS 即可证明．
（2）解直角三角形求出 DF、OE、OF 即可解决问题；
（2）如图，连接 AB 交 AD 于 O．
在 Rt
△
EFD 中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF= =5，
∵四边形 EFBC 是菱形，
∴BE⊥CF，'∴EO= = ，
∴OF=OC= = ，
∴CF= ，
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = ．学科&网
变式 3：(2017·潍坊)边长为 6 的等边
△
ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DE∥AB，EC＝2 3.
(1)如图 1，将
△
DEC 沿射线方向平移，得到
△
D′E′C′，边 D′E′与 AC 的交点为 M，边 C′D′与∠ACC′的平分线
交于点 N，当 CC′多大时，四边形 MCND′为菱形？并说明理由；
(2)如图 2，将
△
DEC 绕点 C 旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到
△
D′E′C，连接 AD′，BE′.边 D′E′的中点为 P.
①在旋转过程中，AD′和 BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接 AP，当 AP 最大时，求 AD′的值．(结果保留根号)
图 1 图 2
解：(1)当 CC′＝ 3时，四边形 MCND′是菱形．
∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，
∠NCC′＝∠NC′C＝60°，
∴△MCE′和
△
NCC′都是等边三角形．
∴MC＝CE′，NC＝CC′.
∵E′C′＝EC＝2 3，四边形 MCND′是菱形．
∴CN＝CM.∴CC′＝1
2E′C′＝ 3.
②连接 CP.
在
△
ACP 中，由三角形三边关系，得 AP＜AC＋CP，∴当点 A，C，P 三点共线时，AP 最大，如图．
∵CD′＝CE′，P 为 D′E′的中点，∴AP⊥D′E′，PD′＝ 3.∴CP＝3.
∴AP＝6＋3＝9.
在 Rt
△
APD′中，由勾股定理，得 AD′＝ AP2＋PD′2＝2 21.
变式 4：（2018 吉林）（8.00 分）如图①，在
△
ABC 中，AB=AC，过 AB 上一点 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E，
以 E 为顶点，ED 为一边，作∠DEF=∠A，另一边 EF 交 AC 于点 F．
（1）求证：四边形 ADEF 为平行四边形；
（2）当点 D 为 AB 中点时，▱ADEF 的形状为 菱形 ；
（3）延长图①中的 DE 到点 G，使 EG=DE，连接 AE，AG，FG，得到图②，若 AD=AG，判断四边形 AEGF
的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得
到 AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理得到 DE= AC，得到 AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
（3）根据等腰三角形的性质得到 AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
（2）解：▱ADEF 的形状为菱形，
理由如下：∵点 D 为 AB 中点，
∴AD= AB，
∵DE∥AC，点 D 为 AB 中点，
∴DE= AC，
∵AB=AC，
∴AD=DE，
∴平行四边形 ADEF 为菱形，
故答案为：菱形；
（3）四边形 AEGF 是矩形，
理由如下：由（1）得，四边形 ADEF 为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形 AEGF 是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形 AEGF 是矩形．
变式 5. （2018·辽宁省盘锦市）如图，在 Rt
△
ABC 中，∠C=90°，点 D 在线段 AB 上，以 AD 为直径的⊙O
与 BC 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=3，求⊙O 的半径 r；
（3）在（1）的条件下，判断以 A.O、E.F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
（3）以 A.O、E.F 为顶点的四边形是菱形，
理由：如图 3．在 Rt
△
ABC 中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接 OF，
∴OA=OF，∴△AOF 是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接 EF，OE，∴OE=OF．
∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．
∵OE=OF，∴△OEF 是等边三角形，∴OE=EF．
∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形 OAFE 是菱形．
变式 6：（2018 吉林）（10.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q 两点分别从 A，B
同时出发，点 P 沿折线 AB﹣BC 运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2 cm/s；点 Q 在 BD
上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作 PN⊥AD，垂足为点 N．连接 PQ，以 PQ，PN 为邻边作▱PQMN．设
运动的时间为 x（s），▱PQMN 与矩形 ABCD 重叠部分的图形面积为 y（cm2）
（1）当 PQ⊥AB 时，x= ；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（3）直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成 1：3 两部分时，直接写出 x 的值．
【解答】解：（1）当 PQ⊥AB 时，BQ=2PB，
∴2x=2（2﹣2x），
∴x= s．
故答案为 s．
（2）①如图 1 中，当 0＜x≤ 时，重叠部分是四边形 PQMN．
y=2x× x=2 x2．
②如图②中，当 ＜x≤1 时，重叠部分是四边形 PQEN．
y= （2﹣x+2tx× x= x2+ x
③如图 3 中，当 1＜x＜2 时，重叠部分是四边形 PNEQ．
则有：tan∠EAB=tan∠QPB，
∴ = ，
解得 x= ．
②如图 5 中，当直线 AM 经过 CD 的中点 E 时，满足条件．学科&网
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