一、选择题(10×3=30 分)
1. (2018•贵阳)如图,在菱形 ABCD 中,E 是 AC 的中点,EF∥CB,交 AB 于点 F,如果 EF=3,那么菱形 ABCD
的周长为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
【分析】易得 BC 长为 EF 长的 2 倍,那么菱形 ABCD 的周长=4BC 问题得解.
2. (2018•哈尔滨)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,BD=8,tan∠ABD= ,则线段 AB 的
长为( )
A. B.2 C.5 D.10
【分析】根据菱形的性质得出 AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出 OB,解直角三角形求出 AO,根据勾股定理求出
AB 即可.
【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,
∴∠AOB=90°,
∵BD=8,
∴OB=4,
∵tan∠ABD= = ,
∴AO=3,
在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:AB= = =5,
故选:C.学科&网
3. (2018•无锡)如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点,正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边
AD 上,若 AB=3,BC=4,则 tan∠AFE 的值( )
A.等于 B.等于
C.等于 D.随点 E 位置的变化而变化
【分析】根据题意推知 EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例
和锐角三角函数的定义解答.
4. (2018•遵义)如图,点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过点 P 作 EF∥BC,分别交 AB,CD 于 E、F,
连接 PB、PD.若 AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为( )
A.10 B.12 C.16 D.18
【分析】想办法证明 S△PEB=S△PFD 解答即可.
【解答】解:作 PM⊥AD 于 M,交 BC 于 N.
5. (2017 毕节)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且∠EAF=45°,将△ABE 绕点 A 顺
时针旋转 90°,使点 E 落在点 E'处,则下列判断不正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A.△AEE′是等腰直角三角形 B.AF 垂直平分 EE'
C.△E′EC∽△AFD D.△AE′F 是等腰三角形
【考点】R2:旋转的性质;KG:线段垂直平分线的性质;KI:等腰三角形的判定;KW:等腰直角三角形;
LE:正方形的性质;S8:相似三角形的判定.
【分析】由旋转的性质得到 AE′=AE,∠E′AE=90°,于是得到△AEE′是等腰直角三角形,故 A 正确;由
旋转的性质得到∠E′AD=∠BAE,由正方形的性质得到∠DAB=90°,推出∠E′AF=∠EAF,于是得到 AF 垂直
平分 EE',故 B 正确;根据余角的性质得到∠FE′E=∠DAF,于是得到△E′EC∽△AFD,故 C 正确;由于 AD
⊥E′F,但∠E′AD 不一定等于∠DAE′,于是得到△AE′F 不一定是等腰三角形,故 D 错误.
∵AE′=AE,
∴AF 垂直平分 EE',故 B 正确;
∵AF⊥E′E,∠ADF=90°,
∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF,
∴∠FE′E=∠DAF,
∴△E′EC∽△AFD,故 C 正确;
∵AD⊥E′F,但∠E′AD 不一定等于∠DAE′,
∴△AE′F 不一定是等腰三角形,故 D 错误;
故选 D.
6. (2017 内江)如图,在矩形 AOBC 中,O 为坐标原点,OA、OB 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的坐标为(0,
3 ),∠ABO=30°,将△ABC 沿 AB 所在直线对折后,点 C 落在点 D 处,则点 D 的坐标为( )
A.( , ) B.(2, ) C.( , ) D.( ,3﹣ )
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);D5:坐标与图形性质;LB:矩形的性质.
【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长,进而得出 D 点坐标.
过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M,
∵∠CAB=∠BAD=30°,
∴∠DAM=30°,
∴DM= AD= ,
∴AM=3 ×cos30°= ,
∴MO= ﹣3= ,
∴点 D 的坐标为( , ).
故选:A.
7. (2018•聊城)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OA,OC 分别在 x 轴和 y 轴上,并且 OA=5,
OC=3.若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转,使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1 处,则点 C 的对应点 C1 的坐标为
( )
A.(﹣ , )B.(﹣ , )C.(﹣ , ) D.(﹣ , )
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1 三边关系,再利用勾股定理得出答案.
则(3x)2+(4x)2=9,
解得:x=± (负数舍去),
则 NO= ,NC1= ,
故点 C 的对应点 C1 的坐标为:(﹣ , ).
故选:A.
8. 2018•威海)矩形 ABCD 与 CEFG,如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连接 AF,取 AF 的中点
H,连接 GH.若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH=( )
A.1 B. C. D.
【分析】延长 GH 交 AD 于点 P,先证△APH≌△FGH 得 AP=GF=1,GH=PH= PG,再利用勾股定理求得 PG= ,
从而得出答案.
【解答】解:如图,延长 GH 交 AD 于点 P,
在△APH 和△FGH 中,
∵ ,
∴△APH≌△FGH(ASA),
∴AP=GF=1,GH=PH= PG,
∴PD=AD﹣AP=1,
∵CG=2、CD=1,
∴DG=1,
则 GH= PG= × = ,
故选:C.学科&网
9. (2017 呼和浩特)如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,E,F 为 BD 所在直线上的两点,若 AE= ,
∠EAF=135°,则下列结论正确的是( )
A.DE=1 B.tan∠AFO=
C.AF= D.四边形 AFCE 的面积为
【考点】LE:正方形的性质;T7:解直角三角形.
【分析】根据正方形的性质求出 AO 的长,用勾股定理求出 EO 的长,然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以
得到相似三角形,根据相似三角形的性质求出 BF 的长,再一一计算即可判断.
∴ = ,
∴ = ,
∴BF= ,
在 Rt△AOF 中,AF= = = ,故 C 正确,
tan∠AFO= = = ,故 B 错误,
∴S 四边形 AECF= •AC•EF= × × = ,故 D 错误,
故选 C.
10. (2017 广西)如图,在正方形 ABCD 中,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,M 是 BC 边上的动点(点 M 不与 B,
C 重合),CN⊥DM,CN 与 AB 交于点 N,连接 OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;
③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若 AB=2,则 S△OMN 的最小值是 ,其中正确结论的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质;LE:正方形的性质.
【解答】解:∵正方形 ABCD 中,CD=BC,∠BCD=90°,
∴∠BCN+∠DCN=90°,
又∵CN⊥DM,
∴∠CDM+∠DCN=90°,
∴∠BCN=∠CDM,
又∵∠CBN=∠DCM=90°,
∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确;
根据△CNB≌△DMC,可得 CM=BN,
又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,
∴△OCM≌△OBN(SAS),
∴OM=ON,∠COM=∠BON,
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,
又∵Rt△BMN 中,BM2+BN2=MN2,
∴AN2+CM2=MN2,故④正确;
∵△OCM≌△OBN,
∴四边形 BMON 的面积=△BOC 的面积=1,即四边形 BMON 的面积是定值 1,
∴当△MNB 的面积最大时,△MNO 的面积最小,
设 BN=x=CM,则 BM=2﹣x,
∴△MNB 的面积= x(2﹣x)=﹣ x2+x,
∴当 x=1 时,△MNB 的面积有最大值 ,
此时 S△OMN 的最小值是 1﹣ = ,故⑤正确;
综上所述,正确结论的个数是 5 个,
故选:D.
二、填空题(6×4=24 分).
11. (2017 贵州安顺)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 6,△ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,
在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最小,则这个最小值为 .
【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称,所以连接 BD,与 AC 的交点即为 P 点.此时 PD+PE=BE 最小,而 BE 是
等边△ABE 的边,BE=AB,由正方形 ABCD 的边长为 6,可求出 AB 的长,从而得出结果.
又∵△ABE 是等边三角形,
∴BE=AB=6.
故所求最小值为 6.
故答案为:6.
12. (2017•营口)在矩形纸片 ABCD 中,AD=8,AB=6,E 是边 BC 上的点,将纸片沿 AE 折叠,使点 B 落在点
F 处,连接 FC,当△EFC 为直角三角形时,BE 的长为 .
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.
【分析】由 AD=8、AB=6 结合矩形的性质可得出 AC=10,△EFC 为直角三角形分两种情况:①当∠EFC=90°
时,可得出 AE 平分∠BAC,根据角平分线的性质即可得出 = ,解之即可得出 BE 的长度;②当∠
FEC=90°时,可得出四边形 ABEF 为正方形,根据正方形的性质即可得出 BE 的长度.
②当∠FEC=90°时,如图 2 所示.
∵∠FEC=90°,
∴∠FEB=90°,
∴∠AEF=∠BEA=45°,
∴四边形 ABEF 为正方形,
∴BE=AB=6.
综上所述:BE 的长为 3 或 6.
故答案为:3 或 6.
13. (2018•金华)如图 2,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形 ABCD 内,装饰图中的三角形顶点 E,
F 分别在边 AB,BC 上,三角形①的边 GD 在边 AD 上,则 的值是 .
【分析】设七巧板的边长为 x,根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出 AB,BC,进一步求出 的值.
14. (2018•连云港)如图,E、F,G、H 分别为矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,连接 AC、HE、EC,
GA,GF.已知 AG⊥GF,AC= ,则 AB 的长为 .
【分析】如图,连接 BD.由△ADG∽△GCF,设 CF=BF=a,CG=DG=b,可得 = ,推出 = ,可得 b= a,
在 Rt△GCF 中,利用勾股定理求出 b,即可解决问题;
【解答】解:如图,连接 BD.
∴b2=2a2,
∵a>0.b>0,
∴b= a,
在 Rt△GCF 中,3a2= ,
∴a= ,
∴AB=2b=2.
故答案为 2.学科&网
15. (2018•达州)如图,平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A(﹣6,0),C(0,2 ).将矩形 OABC
绕点 O 顺时针方向旋转,使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1 处,则点 B 的对应点 B1 的坐标为 .
【分析】连接 OB1,作 B1H⊥OA 于 H,证明△AOB≌△HB1O,得到 B1H=OA=6,OH=AB=2 ,得到答案.
在△AOB 和△HB1O,
,
∴△AOB≌△HB1O,
∴B1H=OA=6,OH=AB=2 ,
∴点 B1 的坐标为(﹣2 ,6),
故答案为:(﹣2 ,6).
16. (2018•嘉兴)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,点 E 在 CD 上,DE=1,点 F 是边 AB 上一动点,以
EF 为斜边作 Rt△EFP.若点 P 在矩形 ABCD 的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则 AF 的值是 .
【解答】解:∵△EFP 是直角三角形,且点 P 在矩形 ABCD 的边上,
∴P 是以 EF 为直径的圆 O 与矩形 ABCD 的交点,
①当 AF=0 时,如图 1,此时点 P 有两个,一个与 D 重合,一个交在边 AB 上;
②当⊙O 与 AD 相切时,设与 AD 边的切点为 P,如图 2,
此时△EFP 是直角三角形,点 P 只有一个,
当⊙O 与 BC 相切时,如图 4,连接 OP,此时构成三个直角三角形,
则 OP⊥BC,设 AF=x,则 BF=P1C=4﹣x,EP1=x﹣1,
∵OP∥EC,OE=OF,
∴OG= EP1= ,
∴⊙O 的半径为:OF=OP= ,
在 Rt△OGF 中,由勾股定理得:OF2=OG2+GF2,
∴ ,
解得:x= ,
∴当 1<AF< 时,这样的直角三角形恰好有两个,
③当 AF=4,即 F 与 B 重合时,这样的直角三角形恰好有两个,如图 5,
综上所述,则 AF 的值是:0 或 1<AF 或 4.
故答案为:0 或 1<AF 或 4.
三、解答题(共 46 分).
17. (2018 包头)(8.00 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD,连接 BD,点 E 在 AB
上,且∠BDE=15°,DE=4 ,DC=2 .
(1)求 BE 的长;
(2)求四边形 DEBC 的面积.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
【分析】(1)解直角三角形求出 AD、AE 即可解决问题;
(2)作 DF⊥BC 于 F.则四边形 ABFD 是矩形,解直角三角形求出 CF,即可解决问题;
(2)作 DF⊥BC 于 F.则四边形 ABFD 是矩形,
∴BF=AD=6,DF=AB=6,
在 Rt△DFC 中,FC= =4 ,
∴BC=6+4 ,
∴S 四边形 DEBC=S△DEB+S△BCD= ×(6﹣2 )×6+ (6+4 )×6=36+6 .
18. 2018·吉林长春·9 分)在正方形 ABCD 中,E 是边 CD 上一点(点 E 不与点 C.D 重合),连结 BE.
【感知】如图①,过点 A 作 AF⊥BE 交 BC 于点 F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②,取 BE 的中点 M,过点 M 作 FG⊥BE 交 BC 于点 F,交 AD 于点 G.
(1)求证:BE=FG.
(2)连结 CM,若 CM=1,则 FG 的长为 .
【应用】如图③,取 BE 的中点 M,连结 CM.过点 C 作 CG⊥BE 交 AD 于点 G,连结 EG、MG.若 CM=3,则四边
形 GMCE 的面积为 .
【解答】解:感知:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠BCE=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠BAF=∠CBE,
在△ABF 和△BCE 中, ,
∴△ABF≌△BCE(ASA);
探究:(1)如图②,
(2)由(1)知,FG=BE,
连接 CM,
∵∠BCE=90°,点 M 是 BE 的中点,
∴BE=2CM=2,
∴FG=2,
故答案为:2.
应用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,
∴ME=3,
同探究(1)得,CG=BE=6,
∵BE⊥CG,
∴S 四边形 CEGM= CG×ME= ×6×3=9,
故答案为 9.学科&网
19. (2018·江苏镇江·8 分)如图 1,平行四边形 ABCD 中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点 P 在边 AD 上运动,
以 P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与对角线 AC 交于 A,E 两点.
(1)如图 2,当⊙P 与边 CD 相切于点 F 时,求 AP 的长;
(2)不难发现,当⊙P 与边 CD 相切时,⊙P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点,随着 AP 的变化,⊙P
与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为 4,直接写出相对应的 AP 的值的取值
范围 .
(2)当⊙P 与 BC 相切时,设切点为 G,如图 3,
S▱ABCD= =10PG,PG= ,
①当⊙P 与边 AD.CD 分别有两个公共点时, <AP< ,即此时⊙P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的
个数为 4,
②⊙P 过点 A.C.D 三点.,如图 4,⊙P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4,
此时 AP=5,
综上所述,AP 的值的取值范围是: <AP< 或 AP=5.
故答案为: <AP< 或 AP=5.
20. (2018 黑龙江龙东)(10.00 分)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,点 B 坐标
(﹣3,0),点 C 在 y 轴正半轴上,且 sin∠CBO= ,点 P 从原点 O 出发,以每秒一个单位长度的速度沿 x
轴正方向移动,移动时间为 t(0≤t≤5)秒,过点 P 作平行于 y 轴的直线 l,直线 l 扫过四边形 OCDA 的面
积为 S.
(1)求点 D 坐标.
(2)求 S 关于 t 的函数关系式.
(3)在直线 l 移动过程中,l 上是否存在一点 Q,使以 B、C、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存
在,直接写出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)在 Rt△BOC 中,OB=3,sin∠CBO= = ,设 CO=4k,BC=5k,
∵BC2=CO2+OB2,
∴25k2=16k2+9,
∴k=1 或﹣1(舍弃),
BC=5,OC=4,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴CD=BC=5,
∴D(5,4).
(2)①如图 1 中,当 0≤t≤2 时,直线 l 扫过的图象是四边形 CCQP,S=4t.
②如图 2 中,当 2<t≤5 时,直线 l 扫过的图形是五边形 OCQTA.
S=S 梯形 OCDA﹣S△DQT= ×(2+5)×4﹣ ×(5﹣t)× (5﹣t)=﹣ t2+ t﹣ .
综上所述,满足条件的点 Q 坐标为( , )或(4,1)或(1,﹣3).