一、选择题（10×3=30 分）
1. 古希腊著名的毕达哥拉斯派 1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把 1、4、9、16…这样的数
称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”
之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31
解：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，即 1、3、6、10、15、
21、28 等数构成“三角形数”，而根据题意任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”
之和，而把 1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”，所以 25=10+15、36=15+21，所以选 C
2. （2017·莱芜）对于实数 a，b，定义符号 min{a，b}，其意义为：当 a≥b 时，min{a，b}＝b：当 a＜b
时，min{a，b}＝a.例如 min{2，－1}＝－1.若关于 x 的函数 y＝min{2x－1，－x＋3}，则该函数的最大值
为( )
A.2
3
B．1 C.4
3
D.5
3
3. （2017·潍坊）定义[x]表示不超过实数 x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数
y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝1
2
x2 的解为( )
A．0 或 2 B．0 或 2 C．1 或－ 2 D. 2或－ 2
解：由函数图象可知，当－2≤x＜－1 时，y＝－2，即有[x]＝－2，此时方程无解；当－1≤x＜0 时，y＝
－1，即有[x]＝－1，此时方程无解；当 0≤x＜1 时，y＝0，即有[x]＝0，此时方程为 0＝1
2
x2，解得 x＝0；
当 1≤x＜2 时，y＝1，即有[x]＝1，此时方程为 1＝1
2
x2，解得 x＝ 2或 x＝－ 2(不在 x 的取值范围内，舍
去)．综上可知，方程[x]＝1
2
x2 的解为 0 或 2.
4. （2016·四 川 宜 宾 ） 规 定 ： log a b（ a＞ 0， a≠1， b＞ 0） 表 示 a， b 之 间 的 一 种 运 算 ．
现 有 如 下 的 运 算 法 则 ： log n a n =n． log N M= （ a＞ 0， a≠1， N＞ 0， N≠1， M＞ 0）．
例 如 ： log 2 2 3 =3， log 2 5= ， 则 log 1 0 0 1000 的 值 为 （ ）．
A.2
3
B． C.4
3
D.5
3
解 ： log 1 0 0 1000= = = ．
故 答 案 为 ： ． 故 选 B.
5. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成该数在 S0 中出现的次数，可
得到一个新序列 S1，例如序列 S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列 S1：（2，2，1，2，2），若 S0
可以为任意序列，则下面的序列可作为 S1 的是（ ）
A． （1，2，1，2，2） B． （2，2，2，3，3）
C． （1，1，2，2，3） D． （1，2，1，1，2）
6. 定义符号 min{a，b}的含义为：当 a≥b 时 min{a，b}=b；当 a＜b 时 min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=
﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则 min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A. B． C.1 D.0
解：由﹣x2+1≤﹣x，
解得 x≤ 或 x≥ ．
故函数 min{﹣x2+1，﹣x}= ，
7. （2016·浙江省湖州市·3 分）定义：若点 P（a，b）在函数 y= 的图象上，将以 a 为二次项系数，b
为一次项系数构造的二次函数 y=ax2+bx 称为函数 y= 的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数 y=
的图象上，则函数 y=2x2+ 称为函数 y= 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数 y= 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在 y 轴的右侧
（2）函数 y= 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（ ）
A．命题（1）与命题（2）都是真命题
B．命题（1）与命题（2）都是假命题
C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
解：（1）∵P（a，b）在 y= 上，
∴a 和 b 同号，所以对称轴在 y 轴左侧，
∴存在函数 y= 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在 y 轴的右侧是假命题．
（2）∵函数 y= 的所有“派生函数”为 y=ax2+bx，
∴x=0 时，y=0，
∴所有“派生函数”为 y=ax2+bx 经过原点，
∴函数 y= 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．
故选 C．学科&网
8. 已知 22
2
2211
2
11 , cxbxaycxbxay 且满足 )1,0(
2
1
2
1
2
1 kkc
c
b
b
a
a .则称抛物线 21, yy
互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）
A．y1,y2 开口方向，开口大小不一定相同 .
B．y1,y2 的对称轴相同.
C．如果 y1 与 x 轴有两个不同的交点，则 y2 与 x 轴也有两个不同的交点.
D．如果 y2 的最大值为 m，则 y1 的最大值为 km.
9. 平面直角坐标系中有两点 M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点 Q
（a+c，b+d）为 M，N 的“和点”．若以坐标原点 O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则
称这个四边形为“和点四边形”，现有点 A（2，5），B（﹣1，3），若以 O，A，B，C 四点为顶点的四边形
是“和点四边形”，则点 C 的坐标是 ．
A. （2，6） B. （1，8） C. （1，7） D. （2，8）
解：已知以 O，A，B，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，根据题意可得点 C 的坐标为（2﹣1，5+3）
，即 C（1，8）
10. (2017 湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，称为勾股数．世界上第
一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其中
m＞n＞0，m，n 是互质的奇数．
应用：当 n=1 时，则一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长分别是（ ）．
A．12，13 B． 3，4． C．12， 3． D. 12，13 或 3，4．
【分析】由 n=1，得到 a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，根据直角三角形有一边长为 5，列方程
即可得到结论．21·cn·jy·com
二、填空题（6×4=24 分）.
11. ．（2017 甘肃天水）定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2= ．
解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（ ）*2=4*2= =2，
故答案为：2
12. （2018•金华、丽水•4 分）对于两个非零实数 x ， y ， 定义一种新的运算：
．若 ，则 的值是________．
解：∵ ，
∴ ，
则 =
故答案为：-1.
13. （2018·湖北省恩施·3 分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录
数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到
的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1946 个．
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为 2.0×6.3×6×6.2×6
×6×6.1×6×6×6×6，然后把它们相加即可．
解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946，
故答案为：1946．
14. （2017·成都）在平面直角坐标系 xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点 P(x，y)，我们把点 P′(1
x
，
1
y
)称为点 P 的“倒影点”．直线 y＝－x＋1 上有两点 A，B，它们的倒影点 A′，B′均在反比例函数 y＝k
x
的
图象上．若 AB＝2 2，则 k＝________．
15. （2017·齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果
其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割
线”．如图 Z3－4，线段 CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A
＝46°，则∠ACB 的度数为________．
②若 AD＝CD，则∠ACD＝∠A，
即 46°＝x－46°，
∴x＝92°.
综上所述，∠ACB 的度数为 113°或 92°. 学科&网
16. 任何实数 a，可用 a 表示不超过 a 的最大整数，如 4 =4，[来%源:z#~&z@step.com]
3 =1，现对 72 进行如下操作：72 第 1 次 72 =8 第 2 次 8 =2 第 3 次 2 =1，这样对 72 只需进行 3 次操
作后变为 1，类似地，①对 81 只需进行 次操作后变为 1；②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整
数中，最大的是 ．
解：①首先理解 a 的意义，它表示不超过 a 的最大整数，然后仿照“72”的操作，
81 第 1 次 81 =9 第 2 次 9 =3 第 3 次 3 =1，，所以对 81 只需进行 3 次操作后变为 1；
②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中找出最大的，需要进行逆向思维，若 a =1，则 a 可以取的
最大整数为 3；若 a =3，则 a 可以取的最大整数为 15；若 a =15，则 a 可以取的最大整数为 255，
∴最大为 255.
三、解答题（共 46 分）.
17. （2017 日照）若 n 是一个两位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，则称 n 为“两位递增数”（如
13，35，56 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字 1，2，3，4，5，6 构成的所有的“两位
递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次．
（1）写出所有个位数字是 5 的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被 10 整除的概率．
【分析】（1）根据“两位递增数”定义可得；
（2）画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被 10 整除的结果数，根据概率
公式求解可得．
18. （2017 日照）阅读材料：
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x0，y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离公式为：d= ．
例如：求点 P0（0，0）到直线 4x+3y﹣3=0 的距离．
解：由直线 4x+3y﹣3=0 知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点 P0（0，0）到直线 4x+3y﹣3=0 的距离为 d= = ．
根据以上材料，解决下列问题：
问题 1：点 P1（3，4）到直线 y=﹣ x+ 的距离为 4 ；
问题 2：已知：⊙C 是以点 C（2，1）为圆心，1 为半径的圆，⊙C 与直线 y=﹣ x+b 相切，求实数 b 的值；
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问题 3：如图，设点 P 为问题 2 中⊙C 上的任意一点，点 A，B 为直线 3x+4y+5=0 上的两点，且 AB=2，请求
出 S△ABP 的最大值和最小值．www.21-cn-jy.com
【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心 C 到直线 3x+4y+5=0 的距离，求出⊙C 上点 P 到直线 3x+4y+5=0 的距离的最大值以及最小值
即可解决问题．21*cnjy*com
【解答】解：（1）点 P1（3，4）到直线 3x+4y﹣5=0 的距离 d= =4，
故答案为 4．
（3）点 C（2，1）到直线 3x+4y+5=0 的距离 d= =3，
∴⊙C 上点 P 到直线 3x+4y+5=0 的距离的最大值为 4，最小值为 2，
∴S△ABP 的最大值= ×2×4=4，S△ABP 的最小值= ×2×2=2．
19. （2018·重庆市 B 卷）（10.00 分）对任意一个四位数 n，如果千位与十位上的数字之和为 9，百位与个
位上的数字之和也为 9，则称 n 为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 99 的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数．若四位数 m 为“极数”，
记 D（m）= ，求满足 D（m）是完全平方数的所有 m．
【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数 n 的个位数字和十位数字，进而表示出 n，
即可得出结论；
（2）先确定出四位数 m，进而得出 D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．
（2）设四位数 m 为“极数”的个位数字为 x，十位数字为 y，（x 是 0 到 9 的整数，y 是 0 到 8 的整数）
∴m=99（100﹣10y﹣x），
∴D（m）= =3（100﹣10y﹣x），
而 m 是四位数，
∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即 1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∴30 ≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是 3 的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有 36，81，144，225 这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有 m 值为 1188 或 2673 或 4752 或 7425．
20. （2018·湖北荆州·12 分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐标分别是 P（x1，y1）、
Q（x2，y2），则 P、Q 这两点间的距离为|PQ|= ．如 P（1，2），Q（3，4），则
|PQ|= =2 ．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平
面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+ 交 y 轴于点 A，点 A 关于 x 轴的对称点为点
B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴．
（1）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是 ；
（2）若动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，求动点 C 轨迹的函数表达式；
问题拓展：（3）若（2）中的动点 C 的轨迹与直线 y=kx+ 交于 E.F 两点，分别过 E.F 作直线 l 的垂线，垂
足分别是 M、N，求证：①EF 是△AMN 外接圆的切线；② + 为定值．
（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，
∴直线 l 的解析式为 y=﹣ ，
∵C（x，y），A（0， ），
∴AC2=x2+（y﹣ ）2，点 C 到直线 l 的距离为：（y+ ），
∵动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，
∴x2+（y﹣ ）2=（y+ ）2，
∴动点 C 轨迹的函数表达式 y= x2，
∵A（0， ），
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN 是直角三角形，MN 为斜边，
取 MN 的中点 Q，
∴点 Q 是△AMN 的外接圆的圆心，
∴Q（k，﹣ ），
∵A（0， ），
∴直线 AQ 的解析式为 y=﹣ x+ ，
∵直线 EF 的解析式为 y=kx+ ，
∴AQ⊥EF，
∴EF 是△AMN 外接圆的切线；
②证明：∵点 E（m，a）点 F（n，b）在直线 y=kx+ 上，
∴a=mk+ ，b=nk+ ，
∵ME，NF，EF 是△AMN 的外接圆的切线，
∴AE=ME=a+ =mk+1，AF=NF=b+ =nk+1，
∴ + = + = = = =2，
即： + 为定值，定值为 2．
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