6.1 从实际问题到方程
第六章 一元一次方程
学习目标
1.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程.（难点）
2.理解方程、方程的解等概念.(重点）
导入新课
问题引入
一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44
人，那么还要租多少辆客车？
思考 这个问题是我们在生活中碰到的实际问题，你能利用所学的知识来解决
吗？
讲授新课
列算式一
完成下列问题:
1. 一本笔记本1.2元，买x本需要 元。
2. 一支铅笔a元，一支钢笔b元，小强买两支铅笔和三支钢笔，一共需要 元。
3. 长方形的宽为a,长比宽长3，则该长方形的 面积为___________.
4. x辆44座的汽车加上2辆23座的汽车最多可以坐___________人。
自主学习
1.2x
2a+3b
a(a+3)
44x+64
通过上面的练习回顾，可设租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车在64人，
就是全体的328人。可得出等式
44x+64=328
合作探究
问题 一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每
辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？
含有未知数的等式叫做方程.
① ②
小学我们已经学过简易方程，那么方程是
如何定义的呢？
做一做
判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-1=7 ( )
(3) 2a+b ( ) (4) x﹥3 ( )
(5) x+y=8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( )
√×
√
×
√
×
比较：列算式和列方程
从算式到方程是数学的进步！
列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题,
列算式比较困难.
列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,
解决问题比较方便.
典例精析
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程
(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形
的边长是多少？
4 2 4x
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长.
列方程： .
x
列方程二
(2)一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台
计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？
解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h
等量关系：已用时间+再用时间=检修时间.
列方程 ： .1 7 0 0 1 5 0 2 4 5 0x
(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，
男生数为(1－0.52)x.
等量关系：女生人数－男生人数=80
列方程：0.52x－(1－0.52)x=80
请同学们思考：
（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？
（2）列方程的依据是什么？
实际问题
设未知数列方程
方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学
解决实际问题的一种方法.
抓关键句子找等量关系
思
考
方程的解三
问题 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁。就问同学：“我今
年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一？”
合作探究
一年后年龄：老师 46岁 同学 14岁
3
1
不是老师的
二年后年龄：老师 47岁 同学 15岁 也不是老师的 3
1
三年后年龄：老师 48岁 同学 16岁 恰好是老师的 3
1
分析：
3
1
13+x 45+x
通过刚才的分析方法可以启发我们，只要将x=1，2，3，4等等代入方程的
左右两边，使得两边相等的那个数就是方程的解，这里x=3 是方程的解.
方法归纳
１.将数值代入方程左边进行计算，
２.将数值代入方程右边进行计算，
３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
判断一个数值是不是方程的解的步骤：
典例精析
例2 以下各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解。
（1）6x+2=14 (0,1,2,3)
（2）10=3x+1 (0,1,2,3)
（3）2x－4=12 (4,8,12)
x=2
x=3
x=8
当堂练习
1. 方程2(x+3)=x+10的解是 ( )
A x=3 B x=－3 C x=4 D x=－4
2. 已知x=2是方程2(x－3)+1=x+m的解，则m=（ ）
A 3 B 2 C －3 D －2
C
C
A
2(x－1)＋3x＝13
课堂小结
从实际问题到
方程
方程的定义
{列方程
方程的街
6.2 解一元一次方程
第1课时 等式的性质
6.2.1 等式的性质与方程的简单变形
学习目标
1.理解等式的基本性质；
2.能利用等式性质对等式进行变形.（重点、难点）
导入新课
思考：要让天平平衡应该满足什么条件？
情境引入
讲授新课
等式的性质一
问题1.对比天平与等式，你有什么发现？
等号成立就可看作是天平保持两边平衡！
等号
合作探究
问题2.观察天平有什么特性？
天平两边同时加入相同质量的砝码 天平仍然平衡
天平两边同时拿去相同质量的砝码
天平仍然平衡
天平两边同时 天平仍然平衡
加入
拿去
相同质量的砝码
两边同时 相同的 等式 加上
减去
数(或式) 结果仍是等式
等式性质1:
结论
等式两边同时加(或减)同一个数(或式)，所得结果仍是等式.
即，如果a = b，那么
a +c= b+c，a－c=b－c .
由天平性质看等式性质2
等式两边同时乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除
式不能为0)，所得结果仍是等式.
等式性质2：
结论
ac=bc
即，如果a = b，那么=
( 0).a b c
c c
例1.填空，并说明理由.
（1）如果a+2 = b+7,那么a= ；
（2）如果3x = 9y，那么 x= ；
（3）如果 ，那么3a= .1 1=2 3a b
典例精析
（1）如果a+2 = b+7,那么a= ；
解：因为a+2=b+7 ，由等式性质1可知，
等式两边都减去2，得
a + 2 - 2 = b + 7 -2，
即 a = b + 5 .
（2）如果3x = 9y，那么 x= ；
解：因为3x=9y，由等式性质2可知，
等式两边都除以3，得
，
即 x = 3y.
93 =3 3
yx
b + 5
3y
（3）如果 ,那么3a= .1 1=2 3a b
解：因为 ，由等式性质2可知，
等式两边都乘6，得
即 3a = 2b .
1 1=2 3a b
1 16 = 62 3a b
2b
请在括号中写出下列等式变形的理由：
（1）如果 a-3=b+4，那么a=b+7 ( )；
（2）如果 3x=2y，那么 ( )；
等式性质1
2= 3x y 等式性质2
（3）如果 ，那么x=2y ( )；等式性质21 1=4 2x y- -
（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10 ( ). 等式性质1
练一练
例2.判断下列等式变形是否正确，并说明理由.（1）如果a-
3=2b-5,那么a=2b-8；
（2）如果 ，那么 10x-5=16x-8.2 1 4 2= 54
x x- -
解:（1）错误. 由等式性质1可知，等式两边都加上3，
得 a-3+3=2b-5+3
即 a = 2b - 2 .
（2）正确. 由等式性质2可知，等式两边都乘20，
得
即 5(2x-1) = 4(4x-2)
去括号，得10x-5=16x-8.
2 1 4 22 0 = 2 054
x x- -
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
（1）若 ，则a+3=3b-3；
不正确，应该是 a+9=3b-3.
（2）若 2x-6=4y-2，则 x-3=2y-2.
1 +3= 13a b-
不正确，应该是 x-3=2y-1.
练一练
当堂练习
D
D
C
C
课堂小结
等式的性质
等式的性质1，2
{
利用等式性质对等式
进行变形
6.2 解一元一次方程
第2课时 方程的简单变形
6.2.1 等式的性质与方程的简单变形
学习目标
1.正确理解和使用移项法则；（难点）
2.能利用移项求解一元一次方程.（重点）
导入新课
复习引入
等式性质1: 等式两边同时加(或减)同一个数(或式)，所得结果仍是等式.
即，如果a = b，那么 a +c= b+c，a－c=b－c .
等式两边同时乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除
式不能为0)，所得结果仍是等式.
等式性质2：
ac=bc
即，如果a = b，那么=
( 0).a b c
c c
讲授新课
移项一
请利用等式的性质，把方程
2345 + 12x = 5129
变形成x = a (其中a是已知数)的形式.
①
在方程①两边都减去2345，
得 2345+12x-2345= 5129-2345，
即 12x=2784. ②
方程②两边都除以12，得x=232 .
求方程的解的过程叫
做解方程.(把方程化
成x = a 的形式)
合作探究
+ 12x = 51292345 12x = 5129-2345
在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程①两边都减去
2345，相当于作了如下变形：
这个变形有什么
特点？
把方程中的某一项改变________后，从________的一边移到
________，这种变形叫做移项.
(1)移项的根据是等式的性质1.
(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号.
(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数
的项)移到方程的右边.
移项要点：
符号 方程
另一边
总结归纳
(1)5＋x＝10移项得x＝ 10＋5 ；
(2)6x＝2x＋8移项得 6x＋2x ＝8；
(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；
(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.
×
×
√
√
10－5
6x－2x
下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？
练一练
1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动
的项变号，如从2＋5x＝7得到5x＝7＋2是不对的．
2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到x＝8，犯这样的错误，
其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清．
总结归纳
例1. 解下列方程：
4x+3 = 2x-7 ；
利用移项解一元一次方程二
4x + 3 = 2 x -7-2
=
-
典例精析
解 （1） 原方程为4x+3 = 2x-7
将同类项放在一起
合并同类项，得 2x = -10
移项，得 4x -2x = -7-3
所以 x=-5 是原方程的解.
检验：把x=-5分别代入原方程的左、右两边，
左边= 4×(-5)+3=-17，
右边= 2×(-5)-7+3=-17，
左边=右边
计算结果
进行检验两边都除以2，得 x = -5
提示：以上解一元一次方程的检验过程可以省略.
例2.解下列方程：
3 1
2 3
x
解：方程两边都除以 （或都乘以 ），得
3
2
2
3
1 3 1 2
3 2 3 3
x
即 2 .
9
x
(1)移项；
利用移项解方程的步骤是
(3)系数化为1.
(2)合并同类项；
总结归纳
当堂练习
加10
等式基本性质1
乘－3
等式基本性质2
－9/8
D
D
课堂小结
（1）一般地,把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一
边,这种变形叫做移项.
（2）移项的依据是等式的性质1.
1.移项
2.解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤：
(1)移项；(2)合并同类项；(3)化未知数的系数为1.
6.2 解一元一次方程
第3课时 利用方程的变形求方程的解
6.2.1 等式的性质与方程的简单变形
学习目标
1.回顾移项的方法步骤.
2.学会用移项的方法解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.(重点）
导入新课
复习引入
(1)移项；
利用移项解方程的步骤是
(3)系数化为1.
(2)合并同类项；
讲授新课
用移项解一元一次方程
例1 请运用等式的性质解下列方程
(1)4x － 15 = 9
解：两边都减去 5x ,得
－3x=－21．
系数化为1，得
x = 6．
解:两边都加上 15 ,得
系数化为1，得
x = 7．
合并同类项 ,得 合并同类项 ,得
4x = 24．
2x = 5x – 214x – 15 = 9 + 15 + 15
4x－15 = 9
4x = 9+15 2x－5x= －21
4x= 9+ ．
你能发现什么
吗？典例精析
4x －15 = 9 ①
4x = 9 +15 ②
由方程① 到方程 ② ,
“– 15”这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
从方程的左边移到了方程的右边.
－15 4x－15 = 9
4x = 9+15
2x = 5x －21 ③
2x －5x = －21 ④
由方程③ 到方程 ④ ,
“ 5x ” 这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
从方程的右边移到了方程的左边.
5x
2x－5x= －21
例2 解方程 .23273 xx
解：移项，得
合并同类项 ,得
3 2 32 7 .x x
5 2 5 .x
5 .x
系数化为1，得
移项实际上是利用等式的性
质1，但是解题步骤更为简捷！
(1) 8x=2x－7 ； (2) 6=8+2x
解：
(1)移项得 8x－2x=－7
即 6x=－7
两边同时除以6得
(2)移项得 6－8=2x
即 －2=2x
两边同时除以2得 －1=x
即 x=－1
例3 解方程
7
6
x
(3)
1 12 3 .
2 2
y y
1 12 3
2 2
y y
3 5
2 2
y
5
3
y
解：移项，得
即
两边都除以 ，得
3
2
练一练
解下列方程：
（1） 2.5x+318 =1068；
（2） 2.4y + 2y+2.4 = 6.8.
x = 300
y = 1
当堂练习
(1) 7 2 3 4x x (2)1.8 30 0.3t t
1.解下列一元一次方程：
5 4 1 1 8( 4 )
3 3 3 3
x x xx 31
2
1)3(
答案：(1) x=-2 (2) t=20
(3) x=-4 (4) x=2
课堂小结
解形如“ax+b=cx+d”的方程的一般步骤：
(1)移项；
(2)合并同类项；
(3)化未知数的系数为1.
6.2 解一元一次方程
第1课时 解含有括号的一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
学习目标
1.理解一元一次方程概念及特点.(重点）
2. 了解“去括号”是解方程的重要步骤；
3.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程.(难点、重点）
导入新课
问题引入
44 64 328
113 45
3
x
x x
观察这两个方程
有什么共同特点?
讲授新课
一元一次方程的概念一
合作探究
问题 观察以下两个方程有什么共同特点?
4 4 6 4 3 2 8
11 3 4 5
3
x
x x
只含有一个未知数, （一元）
（一次）未知数的次数都是1,
等号两边都是整式，
这样的方程叫做一元一次方程.
我们发现 ，
一元一次方程定义:
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样
的方程叫做一元一次方程.
注意以下三点：
（1）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数；
②未知数的次数是1；③含有未知数的式子是整式。
（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a≠0)。
（3）一元一次方程的标准形式为：ax+b= 0
（其中x是未知数，a、b是已知数，并且(a≠0)。
归纳总结
下列哪些是一元一次方程？
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
（7）
2 1x 2 15 3m
3 5 5 4x x－ ＝ ＋ 2 2 6 0x x ＋ －
3 1.8 3x y ＋ ＝ 3 9 15a
1 1
6x
做一做
√
√
利用去括号解一元一次方程二
1.利用乘法分配律计算下列各式：
(1) 2(x+8)=
(2) -3(3x+4)=
(3) -7(7y-5)=
2x+16
-9x-12
-49y+35
2. 去括号:
(1) a + (– b + c ) =
(2) ( a – b ) – ( c + d ) =
(3) – (– a + b ) – c =
(4) – (2x – y ) – ( – x2 + y2 ) =
a-b+c
a-b-c-d
a-b-c
-2x+y+x2-y2
合作探究
去括号法则：
去掉“+( )”，括号内各项的符号不变.
去掉“–( )”，括号内各项的符号改变.
用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律:
a+(b+c)
a–(b+c)
= a+b+c
= a–b–c
典例精析
例1 解方程：3(x－2)+1=x－(2x－1)
3x－6+1=x－2x+1，
解：原方程的两边分别去括号，得
即 3x－5=－x+1
移项，得 3x+x=1+5
即 4x=6
两边都除以4，得
3
2
x
例2 解下列方程：
(1 )2 ( 1 0 ) 5 2 ( 1 )x x x x－ ＋ ＝ ＋ －
解：去括号，得
2 1 0 5 2 2 .x x x x－ － ＝ ＋ －
移项，得
2 5 2 2 1 0 .x x x x－ － － ＝ － ＋
合并同类项，得
6 8.x ＝
系数化为1，得
4 .
3
x＝－
( 2 ) 3 7 ( 1 ) 3 2 ( 3 )x x x－ － ＝ － ＋
解：去括号，得
3 7 7 3 2 6x x x－ ＋ ＝ － －
移项，得
3 7 2 3 6 7x x x－ ＋ ＝ － －
合并同类项，得
2 10x－ ＝－
系数化为1，得
5x＝
移 项
合并同类项
系数化为1
去括号
通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号一元一次方程的
一般步骤吗？
归纳总结
练一练
(1) 6x ＝－2(3x－5) ＋10; (2) －2(x＋5)=3(x－5)－6
5x
3
1 1x
5
解下列方程
解: (1) 6x＝－2(3x－5)＋10
6x＝－6x＋10＋10
6x +6x＝10＋10
12x＝20
(2) －2(x＋5)=3(x－5)－6
－2x－10=3x－15－6
－2x－3x=－15－6＋10
－5x＝－11
当堂练习
(1) 3x－5(x－3)=9－(x+4)
1.解下列方程．
x＝10
x＝14 2 12 6 5 6 1
3 2
x x x
课堂小结
2. 解一元一次方程的步骤：去括号→移项 → 合并同类项 → 系数
化为1
3. 如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项的符号要改
变符号.
1.一元一次方程的概念
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的
方程叫做一元一次方程.
6.2 解一元一次方程
第2课时 利用去分母解一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
学习目标
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点）
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点）
导入新课
情境引入
问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共
是33，求这个数？
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文
物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就
出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸
草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问
题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.
纸莎草文书
你能解决以上古代问题吗？
分析：你认为本题用算术方法解方便，还是
用方程方法解方便？
请你列出本题的方程.
2 1 1 33
3 2 7
x x x x
结论：设这个数是 x，则可列方程
你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法
好.
总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系
数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.
2 1 1 33
3 2 7
x x x x
讲授新课
解含分母的一元一次方程
合作探究
2.去分母时要注意什么问题?
想一想 1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以
什么数?
解方程：
3 1 3 2 22 .
2 1 0 5
x x x
3 1 3 2 22 .
2 10 5
x x x
5 (3 1) 1 0 2 (3 2 ) 2 ( 2 3)x x x
1 5 5 2 0 3 2 4 6x x x
1 5 3 4 2 6 5 2 0x x x
1 6 7x
7
16
x
系数化为1
去分母（方程两边同乘各分母的
最小公倍数）
移项
合并同类项
去括号 注意:(1)为什么同乘
各分母的最小公倍数
6；
(2)小心漏乘,记得添
括号
典例精析
.1
3
12
2
3:
xx
解方程
: 6 ,解 两 边 都 乘 以 得
3 2 16 6 1 6
2 3
x x
3( 3 ) 2 ( 2 1) 6x x
3 9x
3 4 6 9 2x x
1 7x
1 7 .x
4 2 6x
例1.
例2.解下列方程：
1 2(1 ) 1 2
2 4
x x
解：去分母(方程两边乘4)，得
2(x+1) －4=8+ (2 －x)
去括号，得
2x+2 －4=8+2 －x
移项，得
2x+x =8+2 －2+4
合并同类项，得
3x = 12
系数化为1，得
x = 12
1 2 1( 2 ) 3 3
2 3
x xx
解：去分母(方程两边乘6)，得
18x+3(x－1) =18－2 (2x －1)
去括号，得
18x+3x－3 =18－4x +2
移项，得
18x+3x+4x =18 +2+3
合并同类项，得
25x = 23
系数化为1，得
2 3
2 5
x
下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？
解方程：
解：去分母，得 4x－1－3x+6=1
移项，合并同类项，得 x=4
2 1 2 1
3 2
x x
去括号符号错误
约去分母3后，(2x－1)×2在去括号
时出错.
观察与思考
方程右边的“1”去分
母时漏乘最小公倍
数6
1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的 ；
2 .去分母的依据是 ，去分母时不能漏
乘 ；
3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变
号.
最小公倍数
等式性质2
没有分母的项
要点归纳
当堂练习
5 7 171. 3
2 4
A.3 2(5 7) ( 17)
B.12 2(5 7) 17
C.12 2(5 7) ( 17)
D.12 10 14 ( 17)
x x
x x
x x
x x
x x
方程 去分母正确的是（ ）
2 3 9 52. 1
2 3
A.3(2 3) 2(9 5) 6
B.3(2 3) 6 2(9 5) 1
C.3(2 3) 9 5 6
D.3(2 3) 6 2(9 5) 6
x xx
x x x
x x x
x x x
x x x
方程 去分母得（ ）
C
D
3.解下列方程:
答案：
5(1)
6
x
15
43
5
3)1(
xx
12
552
4
1
3
45)2(
yyy
4(2)
7
y
课堂小结
变形名称 具体的做法
去分母
乘所有的分母的最小公倍数.
依据是等式性质二
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
依据是去括号法则和乘法分配律
移项
把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依
据是等式性质一
合并同类项
将未知数的系数相加，常数项相加.
依据是乘法分配律
系数化为1
在方程的两边除以未知数的系数.
依据是等式性质二.
解
一
元
一
次
方
程
的
一
般
步
骤:
6.2 解一元一次方程
第3课时 实际问题与一元一次方程
6.2.2 解一元一次方程
学习目标
1.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(难点）
2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)
导入新课
小敏，我能猜出
你年龄.
小敏
不信
你的年龄乘2减5得数
是多少？
你今年13岁 21
她怎么知道我的
年龄是13岁的呢？
问题引入
讲授新课
列方程解决实际问题
合作探究
某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
全价票 20元/人
半价票 10元/人
该公园共售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票
各售出多少张？
全价票数＋________＝1200张；
________＋半价票款＝________．
分析题意可得此题中的等量关系有：
半价票数
全价票款 20000元
设售出全价票x张，填写下表：
全价 半价
票数/张
票款/元
根据等量关系②，可列出方程：
.
解得x＝ .
因此，售出全价票 张，半价票 张
x 1200－ x
20x 10(1200－ x)
全价票款＋半价票款＝
20000元
20x 10(1200－ x)+ = 20000
800
800 400
可不可以设其
他未知量为x？
典例精析
例1．如图,天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐到盘B
内，才能使两者所盛盐的质量相等？
g51
gx )45( gx )51( g45
A
B A B
分析
应从盘A内拿出盐 x g ， 列表如下
)(g原有盐
盘A 盘B
51 45
)(g现有盐 x51 x45
解：设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内，则根据题意，得
51－x=45+x
解这个方程，得 x=3.
经检验，符合题意.
答：应从盘A内拿出盐3g放到盘B内.
例2．学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人每次搬6块,男同学每人每
次搬8块,每人各搬了4次，总共搬了1800块.问这些新团员中有多少名男同学?
分析 设新团员中有x名男同学,列表如下：
男同学 女同学 总数
参加人数
每人搬砖数
共搬砖数
65
1800
x 65－x
32x 24(65－x)
8×4 6×4
解：设新团员中有x名男同学,根据题意，得：
32x+24(65－x)=1800
32x+1560－24x=1800
32x－24x=1800－1560
8x=240
x=30
经检验，符合题意.
答：这些新团员中有30名男同学.
用方程解实际问题的过程:
问题 方程 解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1)弄清题意,设未知数;
(2)找相等关系;
(3)列方程.
归纳总结
1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米／秒的速度跑完了大部分路程,最后
以8米／秒的速度冲刺到达终点,成绩为 1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?
路程 速度 时间(秒)
前一段
后一段
总数 400
6
8
65
x
x65
分析:设小刚在冲刺阶段花了x 秒时间,可列表
6 ( 6 5 )x
8x
当堂练习
解:小刚在冲刺阶段花了x秒时间,根据题意，得
)65(6 x ﹢ x8 = 400
x6656
40086390 xx
39040086 xx
102 x
.5x
答:小刚在冲刺阶段花了 5 秒时间.
4008 x
经检验，符合题意.
8 1 . 2 ( 3 ) 1 7 . 6x
2.某市的出租车计价规则如下:行程不超过3千米,收起步价8元;超过部分每
千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租
车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?
解:设共乘坐了x千米的路程,根据题意，得
解方程得 x=11.
经检验，符合题意.
答:他们共乘坐了11千米的路程.
课堂小结
用方程解实际问题的过程:
问题 方程 解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1)弄清题意,设未知数;
(2)找相等关系;
(3)列方程.
6.3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
学习目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
导入新课
情境引入
从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
讲授新课
图形的等长变化一
合作探究
(1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少
米呢？
在这个过程中
什么没有发生
变化？
长方形的周长(或
长与宽的和)不变
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
x m
(x+1.4) m
等量关系： （长+宽）× 2=周长
解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米. 根
据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x =1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多
少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变
化？
x m
(x+1.4) m
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.根据
题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
解得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为2.9 ×2.1=6.09(平
方米)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－
5.76=0.33(平方米).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边
长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
x m
(x +x) ×2 =10
解得 x=2.5
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米)
解：设正方形的边长为x米.
根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（平方米）
正方形的边长为2.5米
同样长的铁丝
可以围更大的
地方
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的
边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说
明谁的面积大．
典例精析
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求
得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周
长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根
据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
所以圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作
为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，
从而可列方程．
归纳总结
图形的等积变化二
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该
楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的
底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高
度将由原先的4 m变为多少米？
合作探究
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m
3.列出方程并求解.
2.根据表格中的分析，找出等量关系.
2 1.6
4 x
π×2×4 π×1.6×x
旧水箱的容积=新水箱的容积
π×22×4 π×1.62×x=
解得x=5
因此，水箱的高度变成了5 m.
例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，
这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为
6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
思考：
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
做一做
1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应
截取直径为4厘米的圆钢______厘米
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分
别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
答案：30厘米.
16
当堂练习
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成
了正方形，则正方形的边长为( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D. 9 cm
B
2.
C
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( ) B
课堂小结
应用一元一次
方程
图形等长变化
{
应用一元一次方程解决实际
问题的步骤
图形等积变化
列
⑤检
{④解
设
审
⑥答
6.3 实践与探索
第1课时 销售问题及百分率问题
学习目标
1.掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.(重点）
2.掌握解决“销售中的盈亏”的一般思路.（难点）
跳楼价清仓处理
满200返1605折酬宾
导入新课
情境引入
讲授新课
销售中的盈亏一
合作探究
1.商品原价200元，九折出售，卖价是 元.
2.商品进价是150元，售价是180元，则利润
是 元.利润率是_______.
3.某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是
元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价
应为 元.
5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是 .
180
30 20％
0.9a
1.25a
17
上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量?
成本价(进价); 标价; 销售价;
利润; 盈利; 亏损: 利润率
上面这些量有何关系?
要点归纳
= 商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润 ×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝ 标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价商品售价= ×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
典例精析
例1. 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈
利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈
不亏?
￥60 ￥60
思考：销售的盈亏决定于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
售价120 ＞ 总成本
售价120 ＜ 总成本
售价120 ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
(2)设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
(1)设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60
解得 x＝48
解：
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
与你猜想的一致
吗？
1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏
损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
练一练
2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中
一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？
答案：买这两个计算器盈利8元
答案：这次琴行亏本80元
例2. 一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此
时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8 元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
解得 x＝60
售价60=成本60
答：这家商店不盈不亏.
1.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利
10%, 则该商品的标价为 元.
做一做
2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价
格，某种药品在2005年涨价30%后，2007降价70%至a元，则这种
药品在2005年涨价前价格为 元.
2725
110
39
a
当堂练习
1.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决
定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商
品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意，得
1500×x/10=1000(1+5%)
解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
2.据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高
出进价50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围
内还价？
高于进价50%标价 高于进价100%标价
进价 x元 y元
标价 (1＋50%)x (1＋100%)y
方程 (1＋50%)x＝600 (1＋100%)y＝600
方程的解 x＝400 y＝300
盈利价 400(1＋20%)＝480 300(1＋20%)＝360
= 商品售价—商品进价
●售价、进价、利润的关系式：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润 ×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝ 标价×
折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价商品售价= ×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
课堂小结
6.3 实践与探索
第3课时 速率问题
学习目标
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型；（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.（重点）
3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重点）
导入新课
情境引入
你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？
讲授新课
相遇问题一
星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷
锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑
10km，他在上午10时到达；小强每小时骑
15km，他在上午9时30分
到达.求他们的家到雷锋
纪念馆的路程.
情境引入
由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多.
本问题中涉及的等量关系有：
.
=路程 路程 他们到达的时间差.
小斌的速度 小强的速度
-
因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为s km，
解得 s = ＿＿＿＿.
因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为 km．
根据等量关系，得
.
15
15
= 0.510 15-s s
注意单位要
统一
例1.小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人
商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，
小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路
程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
典例精析
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
小明走的路程 小红走的路程
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相
遇？
小明先走的路程 小红出发后小明走的路程 小红走的路程
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
路程＝速度×时间 {甲走的路程+乙走的路程=甲、
乙之间的距离
相遇问题
总结归纳
注意相向而行的始发时间和地点
甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知A，B
两地的距离为480km，且甲车以
65km/ h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车
的行驶速度是多少？
答：乙车的行驶速度是55km/h.
练一练
追及问题二
例2 小明早晨要在7：20
以前赶到距家1000米的学校
上学．一天，小明以80米/分
钟的速度出发，5分钟后，小
明的爸爸发现 他忘了带历史
作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并
且在途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线
段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
解得 x=4.
80×5 80x
180x
一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生
甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以6km/h
的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队伍？
答：该生用了1小时追上了队伍.
练一练
路程＝速度×时间 {
S快－S慢=S原来距离
追及问题
总结归纳
注意同向而行始发时间和地点
工程问题三
例3 生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40 h 完成.现计划由一部
分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作
效率相同，具体应该安排多少人工作？
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
40
1
40
1
× ＝× 40
4 x
× ×
40
28 )( x
＝
工作量之和等于总工
作量1
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系：
可列方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人做4 小时.
4 8 ( 2 ) 1
4 0 4 0
x x＋
＋ ＝
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需
要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析：把工作量看作单位“1‘”，则甲的工作效率为 ,
1
12 乙的工作效率为 , 1
24 根据工作效率×工作时间=
工作量，列方程.
解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得
1
12
x + 1
24 x =1
解方程，得 x=8
答：要8天可以铺好这条管线.
做一做
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量
+乙的工作量=完成的工作量.
1 .
工作时间
要点归纳
当堂练习
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B两地相向而行，2小时
相遇，如果甲比乙每小时多行5千米，则乙每小时行( )
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
B
1．甲每小时走5千米，甲出发4.5小时后，乙骑车从同一地点出发追
赶甲，乙用了35分钟追上甲，设乙骑车的速度为x千米/时，则所列方程
为( )
B
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，
甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了(
)
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
A
4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余
下的工作再由甲独做x天完成，
那么所列方程为____________.
8 8 x 1
18 24 18
课堂小结
行程问题
路程＝速度×时间
{相遇问题
追及问题
甲走的路程+乙走的路程=甲、
乙之间的距离
S快－S慢=S原来距离
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量
+乙的工作量=完成的工作量.
1 .
工作时间
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