华师版七年级下册数学第九章多边形PPT教学课件

9.1 三角形 9.1.1 认识三角形 第1课时 三角形的有关概念 第九章 多边形 教学课件 情境引入 学习目标 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类。 2.掌握三角形的三边关系。（难点） 导入新课 问题引入 埃及金字塔 水 分 子 结 构 示 意 图 飞机机翼 问题： （1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什 么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例。 讲授新课 三角形的概念一 问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫 做三角形. 问题2：三角形中有几条线段?有几个角? A B C 有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角. 记法：三角形ABC用符号表示________. 边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表 示为________. △ABC c，a，b 边c 边b 边a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次. u三角形应满足以下两个条件： 要点提醒 u表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还 可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等. u基本要素： 三角形的边：边AB、BC、CA； 三角形的顶点：顶点A、B、C； 三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C. u特别规定： 三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b, 顶点C所对的边记作c. 找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E 5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD. (2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. （3）以E为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△BCE、 △CDE. （4）以∠D为角的三角形有哪些？ △ BCD、 △DEC. （5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边. △BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对 应的边为BD，顶点D所对应的边为BC. 问题3： 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.它与 △ABC有和 联系呢？ 像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角. 对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内 角. D 三角形的分类二 问题1：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 由图可发现，在三角形中， 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形， 有 一个角是直角的三角形叫直角三角形， 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 (1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么? (2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样 的三角形? (3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？ 等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等. 三边都不相等的三角形. 问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？ 等边三角形 等腰三角形 不等边三角形 （ 顶角 （ 底角 （底角 u按是否有边相等分 三角形 不等边三 角形 等腰 三角形 底和腰不相等的等 腰三角形 等边三角形 u按内角大小分 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 腰 底边 当堂练习 1.三角形是指（ ） A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成 的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成 的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 C 2.判断： （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） √ × （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） × √ 3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ． A B FEDC AC 课堂小结 三角形 定义及其基本 要素 顶点、角、边 分 类 按角分类 按边分类分类 不重不漏 9.1 三角形 9.1.1 认识三角形 第2课时 三角形中的重要线段 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 导入新课 复习回顾 1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？ 只能画一条. 2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面积。 讲授新课 三角形的高一 问题1 什么是三角形的高？ 问题2 怎样画三角形的高？ u定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂 线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. A B CD 垂直符 号 垂足 想一想 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° A B CD E F A B CD A B CD E F u画图发现 三角形的三条高交于一点. （1）锐角三角形的高交于三角形内一点； （2）直角三角形的高交于直角的顶点； （3）钝角三角形的高交于三角形外一点. O (E,F) O 画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的 交点有什么规律？ 三角形的中线二 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB 1 2 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三 角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C u定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的 中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中 线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD=CD= BC 1 2 D 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察 它们中线的交点有什么规律？ u画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B CD EF D D EF EFO O O 问题3 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断 △ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B CD E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们 面积相等. 问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 三角形的角平分线三 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C BO 答： ∠AOC= ∠BOC 问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD 是△ABC的角平分线．类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论？ B CD A ( (答：三角形的三条角平分线交于三角形内一点. 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？ 答：相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线. 典例精析 例1 如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm， ∠CAB=90 °,试求： （1）△ABE的面积； （2）△ACE和△ABE的周长的差. A B CD E解：（1） 1 1 , 2 2 6 8 10 , ABCS AB AC BC AD AD           即AD=4.8. 2 1 1 , 2 2 1 1 5 4.8 12(cm ) 2 2               ABC ABE S AB AC BC AD S BE AD （2） ∵AE是△ABC的中线， ∴BE=CE. ∴△ACE和△ABE的周长的差 =（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE) =AC+AE+CE-AB-AE-BE =AC-AB =8-6 =2(cm) 重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的 差. A B CD E 例2 如图，在△ABC中，请作图 （1）画出△ABC的∠C的平分线； （2）画出△ABC的边AC上的中线； （3）画出△ABC的边BC上的高 A B CD E F 答：如图，CF是一条角平分线；BE是 AC边上的中线；AD是边BC上的高. 画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段. 注意 当堂练习 D 2.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. A D B C 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm, 又∵ △DBC的周长为25cm， ∴ △ADC的周长=25-5=20(cm). 3.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边上的中线，BC边上的高， ∠A的平分线. A B C D AD为中线（BD=DC） E AE为高（AE⊥BC） )) AF 为∠A的平分线 （∠BAF=∠CAF） F 能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它 们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘, 为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很 伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？ 如果不考虑水源,你认为还可以怎样分? A （思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.） 课堂小结 三角形重要线 段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中 线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形， 这两个三角形的周长差等于原三角形其余两 边的差 角 平 分 线 9.1 三角形 9.1.2 三角形的内角和与外角和 1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;（重点、 难点） 3.掌握三角形的外角的性质及外角和.重点、 难点） 学习目标 将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作， 你能发现什么？ 导入新课 折叠三角形纸板，可以把它的三个 角拼成一个角. 可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处 拼接成一个角. A B C 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观察与思考 因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 如图，将△ABC的边BC所在的直线 平移，使其经过点A，得到直线B'C' . 所以 B'C'∥BC. 则 ，∠ ∠B A B = B ∠ ∠C AC = C. 所以∠B+∠BAC+∠C=180°. 又   1 8 0∠ ∠ ∠B A B + B A C + C A C = ， B C 讲授新课 三角形的内角和一 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 你还能想出其它的方法推出这个结论吗？ 多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一 个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 34 5 l P 6 m A B C D E 例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°， 求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这 是一个重要的数学思想. 典例精析 例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分 线，求∠ADB的度数. A B C D 解: 由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °.1 2 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求 出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ A B C 直角三角形的两个锐角互余．   u应用格式： 在直角△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°．  直角三角形的内角性质二 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成Rt△ABC 例3 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为 什么？ A B C D E解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 问题1 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关 系？ 我觉得可以利用“三角形 的内角和等于180°”的结论. 三角形的外角的性质三 因为∠ACD+∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等） 于是∠ACD =∠A +∠B. 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 由此得到： 2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数. 解：因为∠B+∠C=∠CAD， 所以∠C=∠CAD-∠B， 所以∠C=100°-30°=70°. 做一做 问题2 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( (2 1 3 你还有其他解法 吗？ 方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( (2 1 3 要点归纳 三角形的外角和等于360°. A B C E F D ( ( ( ( ( (2 1 3 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. 典例精析 例4 (一题多解）如图，计算∠BDC. A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E C 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 解：（解法一）连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 （解法二）延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. （解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二） ) 2 A B C D ( ( ( 1 32 ( u重要发现： ∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3. 1.已知△ABC中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝______. 2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______. 3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______. 80° 20° 50° 当堂练习 4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°， ∠C= 76°，则∠DAC的度数为________. 34° 5 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求： （1）∠B 的度数； （2）∠C的度数. 在△ABC中： ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， 40° A B 70° 80°180 40 , 2 B    所以 CD 课堂小结 三角形的内角 三 角 形 的 内 角 和 定 理 证 明 了解添加辅助线的方法 及 其 目 的 内 容 三 角 形 内 角 和 等 于 1 8 0 ° 直角三角形的两锐角 互 余 课堂小结 三角形的外 角 定 义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角 形另一边的延长线 性 质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和 三角形的外角 和 三角形的外角和等于360 ° 9.1 三角形 9.1.3 三角形的三边关系 1.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能 初步运用;（重点、难点） 2.了解三角形的稳定性及应用. 学习目标 导入新课 观察与思考 小明 我要到学校怎么走呀？ 哪一条路最近呀？ 为什么？邮局 学校 商店 小明家 讲授新课 三角形的三边关系一 A B C 路线1：从A到C再到B的路线走； 路线2：沿线段AB走. 请问：路线1、路线2哪条路程较短， 你能说出根据吗？ 解：路线2较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： ABBCAC  BCABAC  ACBCAB  合作探究 三角形任意两边的和大于第三边 想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？ 三角形任意两边的差小于第三边 三角形三边的关系定理的理论根据是？ 三角形的三边关系定理 ABBCAC  BCABAC  ACBCAB  AC AB BC  AB BC AC  BC AC AB  两点之间，线段最短. 例1 已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两 边的长？ 解：若底边长为4cm，设腰长为x cm， 则2x+4=18，解得x=7. 若一条腰长为4cm，设底边长为x cm，则 2×4+x=18，解得x=10. 因为4+4