华师版七年级数学上册第5章相交线与平行线

第5章 相交线与平行线 HS版 两条直线相交有几个交点？ 只有一个交点 A B C D O 如图，直线AB与直线CD相交，交点为O,可 以说成“直线AB、CD相交于点O” 观察这些图片， 你能否看到相交线、平行线？ 这里有一把剪刀，握紧剪刀的把手，就 能剪开物体，你能说出其中的道理吗？ 如果把剪子的构造抽象成一个几何图形， 会是什么样的图形？请你在笔记本上画 出． 仔细观察你所画的图形，当两条直线相交 时，所形成的四个角中，∠1、∠2、 ∠3、 ∠4各之间有怎样的位置关系？ A B C D O1 2 3 4 A B C D O1 2 3 4 A BC D 4 3 2 1 ) ) ) ) O 两条直线相交形成了∠1、 ∠2、 ∠3和∠4.我 们已经知道，有些角之间存在一定的关系，例如： 角 ∠1和∠2 ∠2和∠3 … 位置关系 相邻 相邻 … 数量关系 互补 互补 … A B C D 4 3 2 1 ) ) ) ) O 从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角 之间存在某种关系呢？将你的发现填入下表中。 角 位置关系 数量关系 ∠1和∠3 ∠2和∠4 相对 相对 相等 相等 图中还有哪些对顶角？ A B C D O1 2 3 4 对顶角的定义： ∠1和∠3有一个相同的顶点O，并且∠1的 两边OA、OD分别与∠3的两边OB、OC互为反向 延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角. A B C D 4 3 2 1 ) ) ) ) O 每相邻的两个角有公共的顶点、有一条公共边,且另 一条边在同一直线上，这样的两个角叫做邻补角. ∠1与 ∠2、∠2与∠3、∠1与∠4、∠3与∠4是邻补角。 不相邻的两个角有公共顶点，且一个角的两边 是另一个角两边的反向延长线。这样的两个角叫做对顶角。 ∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角 1、下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？ （1） （2） （3） 1 2 1 1 22 1 2 （2） （3） （4） 2 1 （1） 1 2 （5） 1 2 1 2 2、下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？ 3、请分别画出图中∠1的对顶角 和∠2的邻补角． 21 4、如图，三条直线AB ，CD ，EF相交于 点O，∠AOE的对顶角是 ， ∠EOD的邻补角是 ． A B F C D E O ∠FOB ∠FOD、∠COE ∠1与∠2有怎样的数量关系？ A B C D O1 2 3 4 互 补 ∠1与∠3有怎样的数量关系？ A B C D O1 2 3 4 你是怎样得到的？ 相 等 例1， 如图，直线a，b相交于点O， ∠1= 30° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 1 2 34a b解：由邻补角定义， O ∠2=180°- ∠1=180°-30°=150°， ∠3=180°- ∠2=180°-150°=30° ∠4=180°- ∠1=180°-30°=150° 由此可得： ∠1=∠3 ，∠2 =∠4 你还能说出∠1=∠3的道理吗？ 因为 ∠1与∠2 互补， ∠3与∠2 互补 （邻补角的定义）， 所以 ∠1=∠3（同角的补角相等）， 同理 ∠2=∠4 ． A B C D O1 2 3 4 请你用数学的语言写出这个过程． 结论：对顶角相等 例2 如图，直线AB、CD相交于点E，∠AEC=50°， 求∠BED的度数。 A B C D E 解：因为直线AB、CD相交与点E， 所以∠AEC与∠BED是对顶角。 根据对顶角相等，得 ∠BED=∠AEC=50. 如图，直线a，b相交于点O，∠1 = ， 求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 40 1 2 34a b O变式2 若∠2是∠1的 3.5倍， 求各个角的度数． 变式1 若∠1+∠3= 80º ， 求各个角的度数． 变式3 若 1: 2 = 2: 7 ， 求各个角的度数． 变式训练 （2）什么是对顶角？ 对顶角有什么性质？ （1）什么是邻补角？ 邻补角与补角有什么区别？ 问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起， 固定木条a，转动木条b． 问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定 木条a，转动木条b． （2）当a与b所成角α为90 º时，其余角的分别为 多少？ 35º, 145º, 145º 均为90º （1）当a与b所成锐角α为35º时，其余的角分别为多 少？ 问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条a，转动木条b． （3）在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？ （4）木条b与a成90º的位置有几个？此时，木条b 与a所在的直线有什么位置关系？ a与b所成的角也随之发生改变 a与b垂直 垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个 角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直线 互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足． 1.垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一 个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直 线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线，它们的交点叫做垂足． 如图，AB ⊥CD，垂足为Ｏ． 记作：AB ⊥CD于点Ｏ． 2.符号语言： 因为 AB ⊥CD，   所以 ∠AOC=90°． 反之，因为 ∠AOC=90°， 所以 AB⊥CD． 问题2： （1）两条直线垂直和相交是什么关系？ （2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有3种：相交，平行，垂直？ 垂直是相交的特殊情况 不能，因为垂直是相交的特殊情况 问题2： （3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ （4）你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？ 两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线 垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直， 都是指它们所在的直线垂直． 问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线． （１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这 样的垂线能画出几条？ 无数条 问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线 （１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这 样的垂线能画出几条？ （２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线 能画出几条？ ①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？ ②通过画图，你发现过一个点可以画几条直 线与已知直线垂直？ 垂线性质1： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直． 练习：1．过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线． （1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ （2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相 连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？ （3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一 吗？为什么？ （4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 线段的长度，叫点到直线的距离． 体育老师实际上测量 的是点到直线的距离起 跳 线 落脚点 立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？ A 小海龟的运动路线图 小海龟每 次转弯90 度后，所 走的路线 总与前一 次的路线 垂直。 1．什么是垂直？垂直和相交有什么关系？ 我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？ 2．垂线有哪些性质？ 1．如图，∠ABD=90° （1）点B在直线 上，点D在直线 外； （2）直线 与直线 __相交于点 A，点 D 是直线 ___ 与直线 的交点，也是直线_____ 与 直线 的交点，又是直线 与直线 的交点 ； （ 3 ） 直 线 ⊥ 直 线 ， 垂 足 为 点 ； （4）过点D有且只有 条直线与直线AC垂直。 AC AC AC AD CD AD AD BD BD CD AC BD B 一 如图:∠ACB=90°,CD ⊥ AB于点D, 1.则点A到线段BC的距离等于___________； 2.点C到线段AB的距离等于_____________: 3.点A到点B的距离等于_________________. D C A B 线段AC的长度 线段CD的长度 线段AB的长度 如图，直线AB与EF相交,你能说出其中的对顶 角与邻补角吗？ 对顶角: ∠1和∠3，∠2和∠4． 邻补角: ∠1和∠2，∠2和∠3， ∠3和∠4，∠4和∠1． 三条直线相交可以分为哪些情况？ 对三条直线相交按交点的个数分为 如下三种情况： （1）三条直线交点的个数有一个，即三条直 线交于一点； （2）三条直线交点的个数有两个，即两条直线 平行且被第三条直线所截； （3）三条直线交点的个数有三个，即三条直线 两两相交． 对三条直线相交分为两种情况： （1）三条直线交于一点； （2）两条直线被第三条直线所截． 观察图中的∠1和∠5，它们具有怎样的位置关系? 如图，像∠1和 ∠5，两个角分别 在直线AB、CD的同 一方，并且都在直 线EF的同侧．具有 这种位置关系的一 对角叫做同位角． 思考： （１）你能找出图中还有哪几对角构成同位角？ （２）两条直线被第三条直线所截构成的八个角 中，共有几对同位角？ （1）除了∠1和∠5是同 位角,还有∠2和∠6，∠3 和∠7， ∠4和∠8也构成 同位角． （2）共有4对同位角． 观察图中的∠3和∠5，它们有怎样的位置关系？ 如图，像∠3和 ∠5，两个角都在 直线AB、CD之间， 并且分别在直线EF 两侧．具有这种位 置关系的一对角叫 做内错角． 思考： （1）你能找出图中还有哪几对角构成内错角？ （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中， 共有几对内错角？ （1）除了∠3和∠5是内 错角，还有∠4和∠6 也 构成内错角． （2）共有2对 内错角． 如图，我们称∠3和∠6为同旁内角，你能根据两 个角的特征，描述一下同旁内角的定义吗？ 如图，像∠3和∠6， 两个角都在直线AB、CD 之间，并且都在直线EF 的同一旁．具有这种位 置关系的一对角叫做同 旁内角． 思考： （1）你能找出图中还有哪几对角构成同旁内角？ （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中， 共有几对同旁内角？ （1）除了∠4和∠5是 同旁内角，还有∠3和 ∠6 也构成同旁内角． （2）共有2对 同旁内角． 试一试 如图，∠1是直线a、b相交 所成的一个角，用量角器量 出∠1的度数；画一条直线c， 使直线c与直线b相交所成的 角中有一个与∠1为同位角， 且这对同位角的度数相等。 a b 1 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 同位角：∠l与∠5，     ∠2与∠6． 内错角：∠4与∠6，     ∠3与∠5． 同旁内角：∠4与∠5 ，      ∠3与∠6． 同位角：∠l与∠3，     ∠2与∠4． 内错角：无． 同旁内角：∠2与 ∠3． 如图，直线DE、BC被直线AB所截， （1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么 关系的角？ ∠l与∠2是内错角， ∠1与∠3是同旁内角， ∠1与∠4是同位角． 如图，直线DE、BC被直线AB所截， （1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么 关系的角？ （2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？ ∠1和∠3互补吗？为什么？ 如果∠1＝∠4，由对顶角相等， 得∠2＝∠4，那么∠1=∠2. 因为∠4与∠3互补，得 ∠4+∠3=180º,， 又因为∠1=∠4， 所以∠1+∠3 =180º， 即∠1和∠3互补． 1．你能总结一下同位角、内错角、同旁内角分 别具有哪些特征吗？ 2．你认为在图形中识别同位角、内错角、同旁 内角的关键是什么？ 1.同位角、内错角、同旁内角的特点： 与被截直线的关系 与截线的关系 同位角 内错角 同旁内角 被截直线的同一方向 被截直线的内部 被截直线的内部 截线的同侧 截线的两侧 截线的同侧 2.两条直线相交有几个交点？ 3.相交的两条直线有什么特殊的位置关系？ 两条直线相交有一个 分别将木条a，b与木条c钉在一起,并把它们想 象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线, 顺时针转动a （1）直线a与直线b的交点位置将发生什么变化? （2）在这个过程中, 有没有直线a与b不相交的位置? 1、平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 （１）如果没有“同一平面内”，不相交的两条 直线平行吗？ （２）定义中的“直线”能改成“线段或射线” 吗？ 注意：线段或射线的平行，是指它们所在的 直线的平行。 问题1：同一平面内,两条直线存在哪些位置 关系? 问题2：平行线在生活中很常见, 你能举出一 些例子吗? 相交和平行 观察如图所示的长方体后填空： （1）用符号表示下列两棱的位置关系： A1B1 AB， AA1 AB， A1D1 C1D1， AD BC。 （2） A1B1与BC所在的直线是两条不 相交的直线，他们 平行。 （填“是”或“不是”）， 由此可知，在 内，两条 不相交的直线才能叫做平行线。 ∥ ∥ ⊥ ⊥ 同一平面 C B D B1 A1 A C1 D1 不是 我们通常用“//”表示平行。 2、平行线的表示法： C D BA ·· · · m ∥ n AB ∥ CD m n 读作：“AB 平行于 CD”  读作：“ m平行于n ”   3.平行线画法 问题：如何画平行线呢？给一条直线a， 你能画出直线a的平行线吗？ 1落，把三角尺的一边落在直线上 2靠，紧靠三角尺的另一边放一直尺 3推，把三角尺沿直尺的边推到三角尺的 第一边恰好经过点P的位置 4画，沿三角尺的这一边画直线 用直尺和三角板画平行线的方法： 在转动木条a的过程中有几个位置使得直线a与b 平行? 过点B 画直线a的平行线，能画出几条？再过 点C 画直线a的平行线，它和前面过点B 画出的直线 平行吗? 4.平行公理及其推论 如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条 直线平行． 平行公理推论： 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这 条直线也互相平行． （1） （2） ． P E F D C 1.读下列语句，并画出图形． 1）如图（1），过点A画EF ∥ BC； 2）如图（2），在∠AOB内取一点P，过点P画PC ∥ OA交OB于C，PD ∥ OB交OA于D． 2.下列说法正确的个数是（ ） （1）两条直线不相交就平行。 （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一 个交点 （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）平行于同一直线的两条直线互相平行 （5）两直线的位置关系只有相交与平行 A、0 B、1 C、2 D、4 B 2、下列推理正确的是（ ） A、因为a // d,b // c，所以c // d； B、因为a // c,b // d，所以c // d； C、因为a // b,a // c，所以b // c； D、因为a // b,c // d，所以a // c。 C 3、已知直线L1与L2都经过点P，并且L1//L3， L2//L3，那么L1与L2必须重合，这是因为什么？ 答：因为“经过直线外一点，有且只有 一条直线与已知直线平行。” 4、下列说法正确的是（   ） Ａ、一条直线的平行线有且只有一条 Ｂ、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 Ｃ、经过一点有两条直线与某一直线平行 Ｄ、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 Ｄ 5、完成下列推理，并在括号内注明理由。 （1）如图1所示， 因为AB // DE，BC // DE（已知）， 所以A,B,C三点__________________ （ ） · ·· A D E B C 图 1 在同一直线上 经过直线外一点,有 且只有一条直线与这 条直线平行 5、完成下列推理，并在括号内注明理由。 （2）如图2所示， 因为AB // CD，CD // EF（已知）， 所以_______ //______ ( ) A B C D E F 图 2 AB EF （1） 根据定义. （2） 根据平行公理的推论. 1.如何判断两条直线是否平行？ 2.你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？ 2、平行线的画法： · A B C D 你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？ 简单说成: 同位角相等，两直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行. 判定方法1 数学语言：如图 ∵ ∠1=∠2（已知） ∴ AB∥CD （同位角相等，两直线平行） 2 1 b c a 2 1 b c a 3 如图，∠1＝ ∠3，你能得出哪两条直线平 行？ 思考：除了同位角，我们能否依据内错角或同 旁内角判定两条直线平行呢？ 数学语言：如图 ∵∠1＝∠3(已知) ∠2＝∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2(等量代换) ∴a∥b(同位角相等，两直线平行) 简单说成: 内错角相等，两直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行. 判定方法2 数学语言：如图 ∵ ∠3=∠4（已知） ∴ a∥b （内错角相等，两直线平行） 3 4 a b c 简单说成: 同旁内角互补，两直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互 补，那么这两条直线平行. 判定方法3 数学语言：如图 ∵ ∠1+∠2=180°（已知） ∴ a∥b （同旁内角互补，两直线平行） 1 b c a 2 你能说出其中的理由吗？ 如图，直线a、b被直线c所截， 若∠1+∠2=180°， 则a b 数学语言，如图 ∵ ∠1+∠2=180°(已知) ∠3+∠2=180°(邻补角定义) ∴ ∠1=∠3 (同角的补角相等) ∴a∥b(同位角相等，两直线平行) ∥ 1 b c a 2 3 判定方法1 同位角相等，两直线平行． 判定方法2 内错角相等，两直线平行． 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行． 平行线的判定 例1:如图，直线a、b被直线c所截， 已知∠1=115°，∠2=115°， a//b吗？为什么？ 1 2 b c a ∵∠1=150°，∠2=150°（ ）解： ∴∠1=∠2（ ）， ∴a∥b（ _________） 已知 等量代换 同位角相等，两直线平行 解：同位角相 等，两直线平行. 1.如图，你能说出木工用图中的角尺画 平行线的道理吗？ E C D B A （1）由∠CBE =∠A可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？ 2 .如图， BE是AB的延长线. 答： AD∥BC .根据同位角相等，两直线平行. E C D B A （2）由∠CBE=∠C可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？ 2. 如图， BE 是AB的延长线. 答： AE∥CD .根据内错角相等，两直线平行. E C D B A （3）由∠D+∠A= 180°可以判定哪两条直线平 行？根据是什么？ 2. 如图， BE是AB的延长线. 答： AE∥CD .根据同旁内角互补，两直线平行. A C 1 4 2 3 5 8 6 7 B D 3.如图： ① ∵ ∠2 =___（已知） ∴ ___∥___ ② ∵ ∠3 = ∠5（已知） ∴ ___∥___ ③∵ ∠4 +___=180o（已知） ∴ ___∥___ ∠6 AB CD AB CD AB CD 同位角相等,两直线平行 内错角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 ∠5 （1）本节课，你学习了哪些平行线的判 定方法？ （2）你能用自己的语言叙述得到平行线 判定方法的过程吗？ （3）判定方法2和判定方法3是通过简单 推理得到的，在推理论证中需要注意哪 些问题？ 3、平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行 平行线的判定方法 1、平行线的定义 2、平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行 4、平行线的判定方法3：同旁内角互补，两直线平行 1.根据定义. 2.根据平行公理的推论.  判定两条直线平行的方法有哪些？  3.判定方法1 同位角相等，两直线平行. 4.判定方法2 内错角相等，两直线平行. 5.判定方法3 同旁内角互补，两直线平行. 结合图形回答问题： 答： AB∥CD ．根据内错角相等，两直线平行． 1.如果∠1=∠2，能判定哪两条直线平行？ 为什么？ 3 2 1 F E D C B A 结合图形回答问题： 答： DE∥FB.根据同位角相等，两直线平行． 2.如果∠1=∠3，能判定哪两条直线平行？为什么？ 3 2 1 F E D C B A 结合图形回答问题： 答： AD∥CB.根据同旁内角互补，两直线平行. 3. 如果∠A+∠ABC=180º ，能判定哪两条直线平 行？为什么？ 3 2 1 F E D C B A 1.如图，当∠1=∠2时, AB 与CD平行吗？为什么？ 3 2 1 F E D C B A ∴ AB∥CD（ ）. 答： AB∥CD . 理由如下： ∵ ∠1=∠2（ ）， ∴ ∠1=∠3 （ ）. ∠2=∠3 （ ）. 同位角相等，两直线平行 已知 对顶角相等 等量代换 A B C D 2.例2：如图，在四边形ABCD中，已知 ∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？ AD与BC平行吗？ 解：∵ ∠B=60°，∠C=120°（已知） ∴ ∠B+∠C=180°（等式的性质） ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 本题中，根据已知条件，无法判断AD与BC是否平行。 3.例3 如图，在同一平面内，直线CD、EF均与直线 AB垂直，D、F为垂足。试判断CD与EF是否平行。 1 2 C E B D FA 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知） ∴∠1=∠2=90°（垂线的定义） ∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行） 在同一平面内，垂 直于同一条直线的两 条直线平行。 ∴ AB∥CD（ ）. 已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， ∠1=∠2，AB与CD平行吗？为什么？ 3 2 1 D C B A 答： AB∥CD . 理由如下： ∵ AC平分∠BAD（ ）， ∴ ∠1=∠3（ ） . ∵∠1=∠2（ ）， ∴ ∠2=∠3（ ） 内错角相等，两直线平行 已知 角平分线的定义 已知 等量代换 1．如下图． （1）如果∠B =∠1， 那么根据_________________， 可得AD∥BC； （2）如果∠D =∠1， 那么根据_________________， 可得AB∥CD。 （第1题） 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 2．如下图． （1）如果∠BAD +∠ABC =180°，那么根据同 旁内角互补，两直线平行，可得_____∥____； （2）如果∠BCD +∠ABC =180°，那么根据同 旁内角互补，两直线平行，可得_____∥____。 AD BC AB DC ① ∵ ∠1 =_____（已知） ∴ AB∥CE ② ∵ ∠1 +_____=180o（已知） ∴ CD∥BF ③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知） ∴ _____∥_____AB CE ∠2 ④ ∵ ∠4 +_____=180o（已知） ∴ CE∥AB ∠3 ∠3 3.如图： 1 3 5 42 C F E A D B （内错角相等,两直线平行） （同旁内角互补,两直线平行） （同旁内角互补,两直线平行） （同旁内角互补,两直线平行） 4.如图： 已知 ∠1=75o , ∠2 =105o 问：AB与CD平行吗？ 为什么？ A C 1 4 2 3 B D 5 5.已知∠3=45 °，∠1与∠2互余， 试求出 ？ 解：由于∠1与∠2是对顶角， ∴∠1=∠2 又∵∠1+∠2=90°(已知) ∴∠1=∠2=45° ∵ ∠3=45°(已知) ∴∠ 2=∠3 ∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 1 2 3 A B C D AB//CD （1）平行线的判定方法有哪些？ （2）结合例题，能用自己的语言说一说解 决与平行线的判定有关的问题的思路吗？ 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 平行线的判定示意图 判定 数量关系 位置关系  判定方法1 同位角相等，两直线平行. 判定方法2 内错角相等，两直线平行. 判定方法3 同旁内角互补，两直线平行. 结论 平行线的判定 两条平行线 被第三条直 线所截 条件 结论 同位角？ 内错角？ 同旁内角？   两条平行线被第三条直线截得的同 位角会具有怎样的数量关系？ 如图，已知直线 a∥b ，c是截线. 8 7 6 5 4 3 2 1 c b a c a b 1 5 探究:两直线平行,同位角有什么关系? 65° 65° c a b 1 5 a∥b 方法一：测量法 b5 a c 1 a∥b方 法 二 ： 裁 剪 叠 合 法 两直线平行，同位角相等. 两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等. ∵a∥b, 简写为： 符号语言: b 1 2 a c 如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么? 解∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行, 同位角相等). 又∵ ∠1=∠3(对顶角相等), ∴ ∠2=∠3(等量代换). b 1 2 a c 3 两直线平行，内错角相等. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相 等. ∵a∥b,符号语言: 简写为： b 1 2 a c 3 解： ∵a//b （已知）, 如图,已知a//b,那 么2与4有什么关 系呢？为什么? b 1 2 a c 4 ∴ 1=  2（两直线平行，同位角相等）. ∵  1+  4=180°（邻补角定义）, ∴ 2+  4=180°（等量代换）. 两直线平行，同旁内角互补. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角 互补. ∵a∥b,符号语言: 简写为： b 1 2 a c 4 （1）从∠1=110º．可以知道∠2是多少度吗？为什么？ 答：∠2 =110º．因为AB∥CD，∠1和∠2是内错角，根据两直线平行，内错角相等， 得到∠1=∠2．因为∠1=110º，所以∠2 =110º． E D C B A 1 2 3 4 如图，平行线AB，CD被直线AE所截. （2）从∠1=110º可以知道∠3是多少度吗？为什么？ 如图，平行线AB，CD被直线AE所截． E D C B A 1 2 3 4 答：∠3 =110º．因为AB∥CD ，∠1和∠3是同位角，根据两直线平行，同位角相等， 得到∠1=∠3．因为∠1=110º，所以∠3 =110º． （3）从∠1=110º可以知道∠4是多少度吗？为什么？ 如图，平行线AB，CD被直线AE所截． E D C B A 1 2 3 4 答：∠4=70º．因为AB∥CD , ∠1和∠4是同旁内角，根据两直线平行，同旁 内角互补，得到∠1+∠4=180º．因为∠1=110º，所以∠4=70º． 例1：如图，已知直线a∥b，∠1=50°，求∠2的度数。 a b 1 2 解：∵a∥b（已知） ∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=50°（已知） ∴∠2=50°（等量代换） 如图，已知AB∥CD，AE∥CF，∠A= 39°， ∠C是多少度？为什么？ G F E D C B A 方法一 解：∵AB∥CD， ∴ ∠C=∠1． ∵ AE∥CF， ∴ ∠A=∠1． ∴ ∠C=∠A． ∵∠A= 39º， ∴∠C= 39º． G F E D C B A 1 方法二 解：∵AB∥CD，        ∴ ∠C=∠2.   ∵ AE∥CF，   ∴ ∠A=∠2.   ∴ ∠C=∠A.   ∵∠A= 39º，   ∴∠C= 39º． G F E D C B A 2 （1）平行线的性质是什么？ （2）你能用自己的语言叙述研究平行线性 质的过程吗？ （3）性质2和性质3是通过简单推理得到的， 在推理论证中需要注意哪些问题？ 问题1 平行线的性质是什么？  性质1 两直线平行，同位角相等． 性质2 两直线平行，内错角相等． 性质3 两直线平行，同旁内角互补． 这三个性质中条件和结论分别是什么？ 1.结合图形回答问题： 答：相等.根据两直线平行，内错角相等. ①如果AB∥CD ,∠1与∠2相等吗？为什么？ 3 2 1 F E D C B A 1.结合图形回答问题： 答：∠1=∠3．根据两直线平行，同位角相等． ②如果DE∥FB,能得到∠1与∠3的关系吗？ 为什么？ 3 2 1 F E D C B A 1.结合图形回答问题： 答： AD∥CB ．根据两直线平行，同旁内角互补． ③根据哪两条直线平行可以得到 ∠A+∠ ABC=180º ？为什么？ 3 2 1 F E D C B A 问题2 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得 ∠A=100º，∠B=115º，梯形的另外两个角分别是 多少度？ 解：因为梯形上、下两底AB∥CD ， 根据“两直线平行，同旁内角互补”， 可得∠A+∠D=180º，∠B+∠C=180º． 于是∠D=180º－∠A =180º－100º=80º ， ∠C=180º－∠B =180º－115º =65º ． 所以，梯形的另外两个角分别是80º，65º ． 问题3 对比平行线的性质和判定方法，你能说出 它们的区别吗？ 条件 结论 判 定 同位角相等 两直线平行内错角相等 同旁内角互补 性 质 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 理由如下： ∵ CE∥BF， ∴∠1=∠B． ∵∠1=∠2 ， ∴∠2=∠B． ∵∠2和∠B是内错角， ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 问题4 已知，如图，∠1=∠2，CE∥BF， 试说明： AB∥CD． F E D C B A 2 1 例5：如图，在四边形ABCD中，已知AB//CD， ∠B＝60，求∠C 的度数。能否求得∠A的度数？ A B C D 解：∵AB//CD (已知) ∴∠B＋∠C＝180° (两直线平行, 同旁内角互补) ∵∠B＝60°（已知） ∴ ∠C＝120 °（等式的性质） 根据已知条件，无法求得∠A 的度数。 两条直线 被第三条直 线所截,同旁 内角互补? 例6 将如图所 示的方格纸 中的图形向 右平行移动 4格，再向 上平行移动 3格，画出 平行移动后 的图形。 例6 将如图所 示的方格纸 中的图形向 右平行移动 4格，再向 上平行移动 3格，画出 平行移动后 的图形。 例6 将如图所 示的方格纸 中的图形向 右平行移动 4格，再向 上平行移动 3格，画出 平行移动后 的图形。 练习1 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分 ∠BCD，你能发现BE与CF的位置关系吗？说明理由． 答：BE∥CF. F E D C B A 理由如下： ∵ BE平分∠ABC， ∴ 同理 ∵ AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD. ∴∠1=∠2. ∵∠1和∠2是内错角， ∴ BE∥CF（内错角相等，两直线平行）. 2 ABC.  11 2 2 BCD.  1 F E D C B A 1 2 练习2 已知：如图，∠AGD=∠ACB， ∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什么？ 答：CD∥EF． 2 1 G F E D C B A 2 1 G F E D C B A理由如下： ∵∠AGD =∠ACB， ∴GD∥BC. ∵∠1和∠3是内错角， ∴∠1=∠3（两直线平行,内错角相等）. ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3. ∵∠2和∠3是同位角， ∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）. 3 练习3 如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放 置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4， ∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线 和离开潜望镜的光线是平行的？ 已知条件：如图，AB∥CD，∠1=∠2， ∠3=∠4． 猜想：∠2和∠3有什么关系，并说明理由； 试说明：PM∥NQ． 答：∠2=∠3. 理由如下： ∵AB∥CD， ∴ ∠2=∠3 （两直线平行，内错 角相等）． 已知条件：如图，AB∥CD，∠1=∠2， ∠3=∠4．试说明：PM∥NQ． 理由如下： ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4， 又∵∠2=∠3． ∴∠1=∠2 =∠3=∠4． ∵∠1+∠2 +∠5=180º， ∠3+∠4 +∠6=180º， ∴∠5=∠6． ∵∠5和∠6是内错角， ∴PM∥NQ（内错角相等， 两直线平行）． 练习4 画出将如图所示的方格纸中的图形 向右平移3格，并向下平移4格后的图形。 （1）平行线的性质与判定的区别是什么？ （2）在解决具体问题过程中，你能区别 什么时候需要使用平行线的性质，什么 时候需要使用平行线的判定吗？