高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.3 四种命题与四种命题间的相互关系 （共54张PPT） .ppt

第一章　常用逻辑用语 1．1.2　四种命题 1．1.3　四种命题间的相互关系1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2．会分析四种命题间的相互关系. 新 知 视 界 1．四种命题 (1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件 和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把 这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原 命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．也就是说， 如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q ，则p”．(2)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰 好为另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样 的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫 做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．也 就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题 为“若綈p，则綈q”．(3)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰 好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把 这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫 做原命题，则另一个命题叫做原命题的逆否命题．也 就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命 题是“若綈q，则綈p”．2．(1)四种命题间的相互关系(2)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四 种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假尝 试 应 用 1．若x>y，则x2>y2的否命题是(　　) A．若x≤y，则x2>y2 B．若x>y， 则x20或n>0.类型二　　四种命题真假判断 [例2]　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命 题，并判断其真假： (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧 ． [分析]　分清条件和结论．利用相关知识点判断真 假．[解]　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这 个数是实数．真命题． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非 负数．真命题． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个 数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形 等底等高．真命题． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两 个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角 形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对 的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这 条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所 对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．[点评]　分清条件和结论，即可容易的写出各种命 题．判断一个命题为假，只需举出一个反例，充分发 挥原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，可 大大简化判断过程．迁移体验2　写出下列命题的逆命题、否命题和逆 否命题．并判断其真假： (1)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (2)若a、b都是奇数，则ab必是奇数．解：(1)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝ 7；(真) 否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真) 逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真) (2)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数；(真) 否命题：若a、b不都是奇数，则ab不是奇数；(真) 逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不都是奇数． (真)类型三　　四种命题的相互关系 [例3]　若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r ，则r是p的逆命题的(　　) A．原命题　　　　　B．逆命题 C．否命题 D．逆否命题[分析]　由题目可获取以下主要信息： ①p与q互为否命题； ②q与r互为逆命题． 解答本题可利用四种命题之间的关系来寻找．[解析]　设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“ 若綈k，则綈s”；则命题q的逆命题r是“若綈s，则綈k”，而 p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命题． [答案]　C[点评]　(1)四种命题的结构分别为： 原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p； 否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(2)在四种命题中，原命题和逆命题，否命题和逆 否命题互为逆命题；原命题和否命题，逆命题和逆否 命题互为否命题；原命题和逆否命题，否命题和逆命 题互为逆否命题． (3)解决此类问题应正确区分好四种命题之间的关 系．迁移体验3　(1)与命题“若m∈M，则n∉M”等价的 命题是(　　) A．若m∈M，则n∉M B．若n∉M，则m∈M C．若m∉M，则n∈M D．若n∈M，则m∉M (2)给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b ，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命 题、逆否命题而言，真命题的个数是(　　)A．0 B．2 C．3 D．4 解析：(1)原命题与逆否命题等价． (2)因为原命题为真，逆命题为假． 答案：(1)D　(2)B　类型四　　等价命题的应用 [例4]　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不 等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆 否命题的真假．[分析]　由题目可以获取以下主要信息： ①所给命题涉及到一元二次不等式的解集； ②判断逆否命题的真假． 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的 范围，再去判断命题的真假．[解]　方法1：原命题的逆否命题： 已知a，x为实数，若a0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数 根”为真． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0， 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．思 悟 升 华 1．正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 (1)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论， 用綈p和綈q分别表示p和q的否定，因此，若原命题为： 若p，则q，则其逆命题为：若q，则p；否命题为：若綈 p，则綈q；逆否命题为：若綈q，则綈p. 为便于书写各种命题，当原命题不是“若p，则q” 的形式时，应先将命题写成规范形式“若p，则q”，然 后再进行书写其他三种命题． (2)在将一个命题改写为“若p，则q”的形式时，写 法不是惟一的． 如：命题“负数的平方是正数”可写成“若一个 数是负数，则它的平方是正数”，其对应的逆命题、 否命题、逆否命题分别为：逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正 数； 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是 负数． 也可写成“若一个数是负数的平方，则这个数是 正数”，则其对应的逆命题、否命题、逆否命题相应 变为：逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方； 否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不 是正数； 逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的 平方． 2．四种命题的相互关系(1)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四 种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此这 四种命题的真假性之间的关系如下： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假 性没有关系．(2)由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性， 即互为逆否命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否 命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．