2020-2021学年高二数学人教A版数学选修2-2：2.2.1.2分析法课件

第2课时　分　析　法 　 分析法 (1)概念:从_____________出发,逐步寻求使结论成立的 ___________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件. (2)思维过程 用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表示为: 导思 1.什么是分析法? 2.如何利用分析法解决简单命题? 要证明的结论 充分条件 【思考】 (1)分析法与综合法有何不同? 提示:①综合法是由因导果,步骤严谨、逐层递进、步步为营,书写表达过程条 理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.缺点是探路艰难、困于思考、 不易达到所要证明的结论. ②分析法是执果索因,方向明确、利于思考、思路自然,便于寻找解题思路.缺 点是思路逆行、易表述出错. (2)分析法与综合法能否结合使用? 提示:可以.对于比较复杂的证明题,比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证 题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)分析法是演绎推理. (　　) (2)分析法是“执果索因”. (　　) (3)应用分析法证明数学命题实际上是寻求使命题成立的必要条件.(　　) 提示:(1)√.分析法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑 推理,得到的结论是正确的. (2)√.由分析法的证明过程可知其正确性. (3)×.应用分析法证明数学命题实际上是寻求使命题成立的充分条件. 2.用分析法证明:要证①A>B,只需证②C0,y>0,求证(x2+y2 >(x3+y3 . 【思路导引】从要证明的结论出发,利用分析法证明不等式. 【证明】要证明(x2+y2 >(x3+y3 ,只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2.只需证x6+ 3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,只需证3x4y2+3x2y4>2x3y3.又x>0,y>0,所以x2y2>0, 所以只需证3x2+3y2>2xy.因为3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立,故 (x2+y2 >(x3+y3 . 1 2) 1 3) 1 2) 1 3) 1 2) 1 3) 【解题策略】 分析法证明不等式的方法与技巧 提醒:逆向思考是分析法证明的立体思路,通过反推,逐步探寻使结论成立的充 分条件,正确把握转化方向,使问题得以解决.切记“逆向”“反推”,否则会出 现错误. 【跟踪训练】 已知00,所以要证 ≥1,只需证明1+ab+bc+ ca≥a+b+c+abc,即证1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0.因为1+ab+bc+ca-(a+b+c +abc)=(1-a)+b(a-1)+c(a-c)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c), 又a≤1,b≤1,c≤1,所以(1-a)(1-b)(1-c)≥0.所以1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc) ≥0成立,即 ≥1成立. 1 ab bc ca a b c abc       1 ab bc ca a b c abc       1 ab bc ca a b c abc       类型二　分析法与综合法的应用(逻辑推理、数学抽象) 【典例】已知a,b,c表示△ABC的三边长,m>0,求证: 【思路导引】先用分析法转化为证明 然后用综合法完 成证明. a b c .a m b m c m     a b c 0,a m b m c m      【证明】要证明 只需证明 即可, 所以 因为a>0,b>0,c>0,m>0,所以(a+m)(b+m)(c+m)>0. 因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m) =abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2 =2abm+abc+(a+b-c)m2. a b c .a m b m c m     a b c 0a m b m c m    － a b c a m b m c m   －              a b m c m b a m c m c a m b m a m b m c m           － 因为△ABC中任意两边之和大于第三边, 所以a+b-c>0,所以(a+b-c)m2>0, 所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0, 所以 a b c .a m b m c m     【解题策略】 1.分析法与综合法的关系 分析法与综合法的关系可表示为下图: 从图中可以看出,逆向书写分析过程,同样可以完成证明,这就是综合法.由此 使我们想到,用分析法探路,用综合法书写,也是一种很好的思维方式. 2.分析综合法 分析法与综合法是两种思路相反的推理方法,分析法是倒溯,综合法是顺推.因 此常将二者交互使用,互补优缺点,从而形成分析综合法,其证明模式可用框图 表示如下: 其中P表示已知条件、定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论. 【跟踪训练】 　若a,b,c为不全相等的正数,求证 >lg a+lg b+lg c. 【证明】要证 >lg a+lg b+lg c, 只需证 >lg(a·b·c),即证 >abc. 因为a,b,c为不全相等的正数, 所以 且上述三式中等号不能同时成 立.所以 >abc成立, 所以 >lga+lgb+lgc成立. a b b c c alg lg lg2 2 2     a b b c c alg lg lg2 2 2     a b b c c alg( )2 2 2     a b b c c a 2 2 2     a b b c c aab 0, bc 0, ac 0,2 2 2        ＞ a b b c c a 2 2 2     a b b c c alg lg lg2 2 2     【补偿训练】 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证f 为偶函数. 1(x )2  【证明】证法一:要证f 为偶函数, 只需证f 的对称轴为x=0, 只需证 =0,只需证a=-b. 因为函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称, 即x=- -1与x=- 关于y轴对称, 所以- -1=- ,所以a=-b, 所以f 为偶函数. 1(x )2  1(x )2  b 1 2a 2   b 2a b 2ab 2a b 2a  1(x )2  证法二:要证f 是偶函数, 只需证 因为f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,而f(x)与 f(-x)的图象关于y轴对称,所以f(-x)=f(x+1), 所以f 是偶函数. 1(x )2  1 1f( x ) f(x ).2 2     1(x )2  1 1 1f( x ) f[ (x )] f[(x )2 2 2        11] f(x ),2    1.要证明 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 (　　) A.综合法 B.分析法 C.直接法 D.归纳法 【解析】选B.根据条件和分析法的定义可知B项最合理. 2.使不等式 成立的条件是 (　　) A.a>b B.ab且abb且ab>0 【解析】选D.要使 ,须使 a2b+ab2. 【证明】要证a3+b3>a2b+ab2成立. 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,又因为a+b>0,所以只需证a2-ab+b2>ab成 立,只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.而a≠b,则(a-b)2>0显然成立. 由此命题得证.