2020-2021学年高二数学人教A版数学选修2-2：2.2.1.1综合法课件

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第1课时 综 合 法 导思 1.什么是综合法? 2.如何利用综合法解决问题? 综合法 (1)定义:利用_________和某些数学_____、_____、_____等,经过一系列的 _________,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 已知条件 定义 定理 公理 推理论证 (2)框图表示:用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明 的结论,则综合法可用框图表示为: 【思考】  (1)合情推理得到的结论为什么要证明? 提示:归纳推理和类比推理可以发现很多新的结论,但这些结论都不一定正确, 需要进一步证明. (2)求差比较两个数的大小是不是综合法? 提示:是,这是利用两个实数的大小与差的符号间的关系证明两个数的大小. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)综合法是演绎推理. (  ) (2)综合法是“由果索因”. (  ) (3)应用综合法证明数学命题实际上是寻求使命题成立的充分条件. (  ) 提示:(1)√.综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推 理,得到的结论是正确的. (2)×.综合法是由因导果. (3)×.应用综合法证明数学命题实际上是寻求使命题成立的必要条件. 2.在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是 (  ) A.锐角三角形       B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【解析】选A.因为tan A·tan B>1,所以A,B只能都是锐角, 所以tan A>0,tan B>0,1-tan A·tan B0 所以tan(A+B)= sin α+sin β B.sin(α+β)>cos α+cos β C.cos(α+β)>sin α+sin β D.cos(α+β)0, >0,当且仅当a=b= 时 取等号, 所以(a+b) ≥4.又a+b=1,所以 ≥4,当且仅当a=b= 时取等号. 证法三: 当且仅当a=b= 时,取等号. 2 ab 1 1 12a b ab ＋ 1 2 1 1( )a b＋ 1 1 a b＋ 1 2 1 1 a b a b b a b a1 1 2 2 4.a b a b a b a b  ＋ ＋＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 1 2 2.已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 【证明】因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc, 所以a(b2+c2)≥2abc.① 同理,b(c2+a2)≥2abc,② c(a2+b2)≥2abc.③因为a,b,c不全相等, 所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式中不能同时取到“=”.所以 ①②③式相加得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 【解题策略】  综合法证明不等式的主要依据 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式, 其中常用的有以下几个: ①a2≥0(a∈R); ②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab, ≥ab,a2+b2≥ ; ③若a,b∈(0,+∞),则 ≥ ,特别地, ≥2; 2a b( )2  2(a b) 2  a b 2  ab b a a b  ④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R),由不等式a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥ 2bc,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ac,此结论是一个重要的不等式,在不等式的证明中 使用频率很高; ⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),体现了a+b+c,a2+b2+c2与ab+bc+ac这三个式 子之间的关系. 类型二 用综合法解决三角问题(逻辑推理、数学抽象) 【典例】1.在△ABC中,三边a,b,c成等比数列,求证:acos2 +ccos2 ≥ b. 2.证明:sin (2α+β)=sin β+2sin αcos (α+β). 【思路导引】 1.利用降幂公式化简acos2 +ccos2 ,再结合余弦定理证明. 2.配凑角:2α+β=α+(α+β),展开左边即可. C 2 A 2 3 2 C 2 A 2 【解析】1.因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 因为左边= = (a+c)+ (acos C+ccos A) = (a+c)+ = (a+c)+ b≥ + =b+ = b=右边, 当且仅当a=c时取等号, 所以acos 2 +ccos 2 ≥ b. a(1 cos C) c(1 cos A) 2 2  ＋ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 21 a b c b c a(a c2 2ab 2bc    g g 1 2 1 2 ac b 2 b 2 3 2 C 2 A 2 3 2 2.因为sin (2α+β)-2sin αcos (α+β) =sin [(α+β)+α]-2sin αcos (α+β) =sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α-2sin αcos (α+β) =sin (α+β)cos α-cos (α+β)sin α =sin [(α+β)-α]=sin β.所以原命题成立. 【解题策略】 证明三角等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式. 【跟踪训练】  在△ABC中,用综合法证明: =1是∠B≤60°的充分 不必要条件. sin A sin A sin B  sin C sin B sin C 【证明】 ⇒ =1⇒a(b+c)+c(a+b)=(b+c)(a+b) ⇒b2=ac. cos B= ⇒∠B≤60°, 而b2=ac⇒cos B≥ 不可逆,故 是∠B≤60°的充分 不必要条件. sin A sin C 1sin A sin B sin B sin C    a c a b b c   2 2 2 2 2a c b a c ac 2ac ac 1 2ac 2ac 2ac 2        1 2 sin A sin A sin B  sin C 1sin B sin C  类型三 用综合法证明立体几何问题(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图所示,在四面体P -ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,D是AC的中点, 求证PD垂直于平面ABC. 【思路导引】根据线面垂直的判定定理,要证PD⊥平面ABC,只需在平面ABC内 找到两条相交的直线,使它们分别与PD垂直即可. 【证明】连接BD. 因为BD是Rt△ABC斜边上的中线, 所以DA=DB=DC. 又PA=PB=PC, 且PD为△PAD,△PBD,△PCD的公共边, 所以△PAD≌△PBD≌△PCD, 于是∠PDA=∠PDC=90°, 所以∠PDB=90°, 所以PD⊥AC,PD⊥BD.因为AC∩BD=D,所以PD⊥平面ABC. 【解题策略】 综合法证明问题的步骤 【跟踪训练】 如图所示,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点. (1)求证:CD⊥AE. (2)求证:PD⊥平面ABE. 【证明】(1)在四棱锥P -ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故PA⊥CD. 因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1) 知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为 PA⊥底面ABCD,BA⊂平面ABCD,所以PA⊥BA,又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以 AB⊥平面PAD,而PD⊂面PAD,所以PD⊥AB,又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE. 【补偿训练】 如图所示,在四棱锥P -ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD 的中点,AB=1, 求证:CE∥平面PAB. 【证明】由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 .如图所示,延长DC,AB,设 其交于点N,连接PN,因为∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,所以C为ND的中点,又因为 E为PD的中点,所以EC∥PN,因为EC⊄ 平面PAB,PN⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB. 3 1.设 ,则a,b,c的大小顺序是 (  ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 【解析】选A. 因为 所以 所以a>b>c. a 3 2 b 6 5 c 7 6＝ － ， ＝ － ， ＝ － 1 1 1a b c 3 2 6 5 7 6 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＋ ＋ ＋ 0 3 2 6 5 7 6  ＋ ＋ ＋ ， 1 1 1 3 2 6 5 7 6   ， ＋ ＋ ＋ 2.已知函数f(x)=lg ,若f(a)=b,则f(-a)等于 (  ) A.b    B.-b    C.     D.- 【解析】选B.函数f(x)的定义域为{x|-1