高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系（共39张PPT） .ppt

1.1.3　四种命题间的相互关系一、四种命题的相互关系 ¬p ¬q ¬q ¬p思考:在四种命题中,具有互逆、互否、互为逆否关系的命题 各有两对? 提示:正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系 各有两对.二、四种命题的真假关系 1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 ___ ___ 真 ___ 假 ___ ___ ___ 真 假 ___ 假 ___ 假 真 真 假 真 假 真 假 假2.四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为_________,它们有相同的真假性. (2)两个命题为_________或_________,其真假性没有关系. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.(　　) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.(　　) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.(　　) 逆否命题 互逆命题 互否命题提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真 命题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若 0b,则a2>b2”的逆否命题; ③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题; ④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是(　　) A.0　　　 B.1　　 　C.2　 　　D.32.判断命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假. 【解题探究】1.写四种命题的关键是什么? 2.一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系? 探究提示: 1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题关键是分清命题 的条件和结论. 2.一个命题与它的逆否命题同真同假.【解析】1.选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数, 真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若 x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是对顶 角,假命题.故选B.2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0, ∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0有实数根. ∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果m>0,则x2+x-m=0 有实数根”的逆否命题也为真.方法二:原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题 为“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”. ∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 【解题指南】先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断.【解析】选A.因为选项A:逆命题为“x>|y|,所以x>0”.当 y≥0时,x>y;当y-y>y,所以x>y.命题“若x>y,则 x>|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命题为“若x2>1,则 x>1”,是假命题.因为x2>1,所以x1;选项C:它的否命题 是“若x≠1,则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0,所以 是假命题;选项D:因为原命题是假命题,所以它的逆否命题也 是假命题.类型 二 原命题与逆否命题的等价性应用 【典型例题】 1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是　　　　命题 (填真、假). 2.判断下列命题的真假,并说明理由: (1)若x2≠9,则x≠3. (2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2.【解题探究】1.题1中命题的条件与结论有什么特点? 2.当直接判断一个命题的真假比较困难时,我们一般如何处理 ? 探究提示: 1.命题的条件和结论都是否定的形式. 2.当直接判断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假.【解析】1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否 命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原 命题是真命题. 答案:真2.(1)原命题:若x2≠9,则x≠3; 逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是真命题. (2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2; 逆否命题:若a>2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根. 若a>2,则-a1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根”的 逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则a≤1”,由 于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命题是真命题.【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的 真假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.【变式训练】判断下列命题的真假,并说明理由: (1)不内接于圆的四边形的对角不互补. (2)若a+b2①,则p>2-q,………………………………………………………3分 ∴p3 >(2-q)3②,………………………………………………4分 ∴p3+q3>(2-q)3+q3.…………………………………………6分 又(2-q)3+q3 =(8-12q+6q2-q3)+q3…………………………………………8分 =6q2-12q+8 =6(q-1)2+2≥2.③……………………………………………10分∴p3+q3>2, 即p3+q3≠2,…………………………………………………11分 这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题. ………………………………………………………………12分【失分警示】【防范措施】 1.正难则反思想的应用 若判断或证明一个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆 否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命 题的真假来说明原命题的真假. 2.不等式性质的应用 不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问 题时要灵活应用,如本例中由a>b可推出a3>b3(但由a>b不一定 推出a2>b2).【类题试解】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数. 【证明】依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能 都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都 是奇数,则a2+b2≠c2”为真命题. ∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶数,而c2 为奇数,即a2+b2≠c2. ∴原命题的逆否命题为真命题,∴原命题成立.1.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是(　　) A.若m∉M,则n∉M　　　　 B.若n∉M,则m∈M C.若m∉M,则n∈M D.若n∈M,则m∉M 【解析】选D.与命题等价的命题是其逆否命题,故选D.2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象 限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的 个数是(　　) A.3　　　 　 B.2　　 　　C.1　　　 　D.0【解析】选C.逆命题:若函数y=f(x)图象不过第四象限,则这 个函数是幂函数,假命题. 否命题:若函数y=f(x)不是幂函数,则它的图象过第四象限,假 命题. 逆否命题:若函数y=f(x)的图象过第四象限,则它不是幂函数, 真命题.3.“若tanθ= ,则θ=60°”的否命题是　　　　　, 否命题是　　　　命题(填真、假). 【解析】“若tanθ= ,则θ=60°”的否命题是 “若tanθ≠ ,则θ≠60°”,是真命题. 答案:若tanθ≠ ,则θ≠60°　真4.命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为　　　　　　 ,是　　　　命题(填真、假). 【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为 “10的常用对数是1”,是真命题. 答案:10的常用对数是1　真5.写出命题“设x为实数,若x>0,则x2>0”的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断它们的真假. 【解析】逆命题:设x为实数,若x2>0,则x>0,逆命题为假命题; 否命题:设x为实数,若x≤0,则x2≤0,否命题为假命题; 逆否命题:设x为实数,若x2≤0,则x≤0,逆否命题为真命题.