1.1.3 四种命题间的相互关系 路边苦李
小故事
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小
伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把
树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎
站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙
伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,
怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,
李子早就没了！李子现在还那么多,所以
啊,肯定李子是苦的，不好吃!”
下面让我们进入今天的学习1.明确四种命题的相互关系.（重点）
2.能够判断四种命题的真假.（难点）
3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立.四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p , 则 q
若 q , 则 p
若┐p , 则┐q
若┐q , 则┐p
符号“￢”叫做否
定符号．“￢p”读
作“非p”，表示p
的否定，即不是p
探究点1 四种命题之间的关系
四种命题形式:
原命题,逆命题,否命题,逆
否命题观察与思考？
你能说出其中任意
两个命题之间的关
系吗?
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.四种命题之间的关系
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若﹁p,则﹁q
逆否命题
若﹁q,则﹁p
互逆
互
否
互
否
互逆(真)
探究点2 四种命题的真假
看下面的例子：（判断真假）
（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0.
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3.
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0.
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.
(真)
(真)
(真)（2）原命题：若a > b, 则 ac2>bc2.
逆命题：若ac2>bc2,则a>b.
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.
（假）
（真）
（真）
（假）原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有
下面四种情况:比一比
【提升总结】
（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真.
但其逆命题、否命题不一定为真.
（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真.
但原命题、其逆否命题不一定为真.
由以上三例及总结我们能发现什么？
解：原命题与其逆否命题同真假.
原命题的逆命题与否命题同真假.
(两个命题为互逆命题或互否命题,
它们的真假性没有关系).判一判
1.判断下列说法是否正确.
（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定
为真； （对）
（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.
（对）
（3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.
（错）
（4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假.
（错） 例1 设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc.
写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它
们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该
保留.
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真）
（真）
（真）例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、
否命题、逆否命题，并分别指出其真假.
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”
“或”的否定为“或” “且”.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0.
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真）
（真）
（假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两
种命题的真假.因为逆命题与否命题真假等价，
逆否命题与原命题真假等价.【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的
真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难
时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来
间接证明原命题为真命题.
例3 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.
证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则
x2＞0，所以x2+y2 ＞0，
也就是说x2+y2 ≠0.
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题
为真命题. 在数学的证明中，我们会常常用到一种
方法——反证法.
反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾
来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种
数学证明方法.
此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论
的反面成立;
（2）从这个假设出发 , 经过推理论证,
得出矛盾;
（3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定
命题的结论正确.
反设
归谬
结论1.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一
个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况
是（ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
A2.命题“若a＞b,则ac＞bc”(这里a,b,c
都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题
中，真命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．0
D3.命题“ 若△ABC不是等腰三角形，则它的任
何两个内角都不相等”的逆否命题是
________________________________________.
它是 命题（“真”或“假”）.真
若△ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形4. 命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的
逆否命题是__ _______________ _ .
逆命题是_____________________ __ ，
它是 命题（“ 真 ”或“ 假 ” ）.
若x2+2x+q =0 无实根，则q>1
若x2+2x+q=0有实根，则q≤1
真5.命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空
解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命
题，逆否命题，并判断真假． 解：逆命题“已知a，b为实数，若a2－4b≥0，
则x2＋ax＋b≤0有非空解集”.
否命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0
没有非空解集，则a2－4b＜0”.
逆否命题“已知a，b为实数，若a2－4b＜0，
则x2＋ax＋b≤0没有非空解集”.
原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为
真命题．6.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两
条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，
根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三
角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是
说两条边相等.
这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的
逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.（1）四种命题的关系；
（2）四种命题的真假及其关系；
（3）一种方法——反证法.青年最主要的任务是学习.
朱德
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