2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷1（Word版 含答案解析）

第 1 页（共 26 页） 2019-2020 学年八年级（下）期末数学试卷   一、选择题（本大题共 12 个小题；1～6 小题每小题 3 分，7～12 小题每小题 3 分，满分共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 等于（  ） A．±4 B．4 C．﹣4 D．±2 2．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（  ） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≤﹣3 3．一次函数 y=﹣2x﹣1 的图象大致是（  ） A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（  ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 5．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计 如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（  ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．在图形旋转中，下列说法错误的是（  ） A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上的每一点转动的角度相同 C．图形上可能存在不动点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 第 2 页（共 26 页） 7．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错误的是（  ） A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 8．下列计算正确的是（  ） A． B． C．4 D．3 9．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数 是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（  ） A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论 10．如图，菱形 ABCD 的边长是 2，∠B=120°，P 是对角线 AC 上一个动点，E 是 CD 的中点，则 PE+PD 的最小值为（  ） A． B． C．2 D． 11．梅梅以每件 6 元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额 y（元） 与销售量 x（件）的函数关系图象如图所示，则降价后每件商品的销售利润为 （  ） A．4 元 B．5 元 C．10 元 D．15 元 12．如图，函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 B（2，0），与函数 y=2x 的图象交 第 3 页（共 26 页） 于点 A，则不等式组 的解集为（  ） A．x＜1 B．x＞2C．0＜x＜2 D．0＜x＜1   二、填空题（本大题共 6 个小题；每小题 2 分，满分共 12 分．把答案写在题中 横线上） 13．直线 y= x 与 x 轴交点的坐标是   ． 14．如图，四边形 ABCD 是正方形，AE⊥BE 于点 E，且 AE=3，BE=4，则阴影部 分的面积是   ． 15．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为 α （0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=   ． 16．如图，直线 y= x+2 和 x=3 的交点坐标是   ． 第 4 页（共 26 页） 17．已知小明家 5 月份总支出共计 5000 元，各项支出所占百分比如图所示，那 么用于教育的支出是   元． 18．已知 y 是 x 的函数，在 y=（m+2）x+m﹣3 中，y 随 x 的增大而减小，图象与 y 轴交于负半轴，则 m 的取值范围是   ．   三、解答题（本大题共 7 个/小题；满分共 58 分.解答应按要求写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 19．计算： （1）5 ﹣ ； （2）（3 + ）（3 ﹣ ）． 20．如图，在平面直角坐标系中，有一 Rt△ABC，且点 A（﹣1，3），B（﹣3， ﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1 是由△ABC 旋转得到的． （1）旋转中心的坐标是   ，旋转角的度数是   ． （2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1 顺时针旋转 90°，180°的三 角形． （3）利用变换前后所形成的图案，可以证明的定理是   ． 21．某总公司为了评价甲、乙两个分公司去年的产值，统计了这两个分公司去年 12 个月的产值（单位：万元）情况，分别如图所示： 第 5 页（共 26 页） （1）利用上图中的信息，完成下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8    3 乙 8     9 1.5 （2）假若你是公司的总经理，请你请从以下三个不同的角度对两个分公司的产 值进行分析，对两个分公司做出评价； ①从平均数和众数相结合看（分析哪个公司产值好些）； ②从平均数和中位数相结合看（分析哪个公司产值好些）． ③从平均数和方差相结合看（分析哪个公司产值好些）． 22．如图，直线 l：y=mx﹣3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 P1（2，1）在直 线 l 上，将点 P1 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到像点 P2． （1）判断点 P2 是否在直线 l 上；并说明理由． （2）若直线 l 上的点在 x 轴上方，直接写出 x 的取值范围． （3）若点 P 为过原点 O 与直线 l 平行的直线上任意一点，直接写出 S△PAB 的 值． 第 6 页（共 26 页） 23．如图，点 O 是△ABC 内一点，连结 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连结，得到四边形 DEFG． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； （2）如果∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，求 EF 的长． 24．小李从甲地前往乙地，到达乙地休息了半个小时后，又按原路返回甲地，他 与甲地的距离 y（千米）和所用的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小李从乙地返回甲地用了多少小时？ （2）求小李出发 5 小时后距离甲地多远？ （3）在甲、乙两地之间有一丙地，小李从去时途经丙地，到返回时路过丙地， 共用了 2 小时 50 分钟，求甲、丙两地相距多少千米． 25．如图①，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等， （1）求∠EAF 的度数； （2）在图①中，连结 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，将△ADN 绕点 A 顺时针旋 转 90°至△ABH 位置，连结 MH，得到图②．求证：MN2=MB2+ND2； （3）在图②中，若 AG=12，BM=3 ，直接写出 MN 的值． 第 7 页（共 26 页）   第 8 页（共 26 页） 2016-2017 学年河北省唐山市路南区八年级（下）期末数 学试卷 参考答案与试题解析   一、选择题（本大题共 12 个小题；1～6 小题每小题 3 分，7～12 小题每小题 3 分，满分共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 等于（  ） A．±4 B．4 C．﹣4 D．±2 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的性质进行计算． 【解答】解： =|﹣4|=4， 故选 B．   2．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（  ） A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≤﹣3 【考点】E4：函数自变量的取值范围． 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+3≥0， 解得 x≥﹣3． 故选 B．   3．一次函数 y=﹣2x﹣1 的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【考点】F3：一次函数的图象． 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结 第 9 页（共 26 页） 论． 【解答】解：在 y=﹣2x﹣1 中， ∵﹣2＜0，﹣1＜0， ∴此函数的图象经过二、三、四象限， 故选 D．   4．下列命题正确的是（  ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点】O1：命题与定理． 【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据正方形的判定方法对 B 进行 判定；根据菱形的判定方法对 C 进行判定，根据平行四边形的判定方法对 D 进 行判定． 【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以 B 选项为假命题； C、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以 D 选项为真命题． 故选 D．   5．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计 如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（  ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【考点】WA：统计量的选择． 【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的有关知识判断即可． 第 10 页（共 26 页） 【解答】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数， 故选 C．   6．在图形旋转中，下列说法错误的是（  ） A．图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上的每一点转动的角度相同 C．图形上可能存在不动点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 【考点】R2：旋转的性质． 【分析】根据旋转的性质分别对各选项进行判断． 【解答】解：A、在图形旋转中，根据旋转的性质，图形上对应点到旋转中心的 距离相等，故本选项错误； B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角，正确； C、以图形上一点为旋转中心，则这个点不动，正确； D、旋转前后两个图形全等，则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等， 正确． 故选 A．   7．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错误的是（  ） A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 【考点】LB：矩形的性质． 【分析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质 容易得出结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴OA=OB， 第 11 页（共 26 页） ∴A、B、C 正确，D 错误， 故选：D．   8．下列计算正确的是（  ） A． B． C．4 D．3 【考点】79：二次根式的混合运算． 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、 + 无法计算，故此选项错误； B、 ÷ =3，正确； C、4 ﹣3 = ，故此选项错误； D、3 ×2 =12，故此选项错误； 故选：B．   9．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数 是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（  ） A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论 【考点】29：实数与数轴． 【分析】本题利用实数与数轴上的点对应关系结合数学思想即可求解答． 【解答】解：如图在数轴上 表示点P，这是利用直观的图形﹣﹣数轴表示抽象 的无理数， ∴说明问题的方式体现的数学思想方法叫做数形结合， ∴A，B，D 的说法显然不正确． 故选 C．   10．如图，菱形 ABCD 的边长是 2，∠B=120°，P 是对角线 AC 上一个动点，E 是 CD 的中点，则 PE+PD 的最小值为（  ） 第 12 页（共 26 页） A． B． C．2 D． 【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；L8：菱形的性质． 【分析】如图，连接 BD、BE、PB．由 B、D 关于 AC 对称，推出 PB=PD，推出 PD+PE=PB+PE，在△PBE 中，PB+PE≥BE，推出 PD+PE 的最小值为 BE 的值，求出 BE 的值即可． 【解答】解：如图，连接 BD、BE、PB． ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=120°， ∴AB∥CD，BC=CD=2， ∴∠BCD=180°﹣120°=60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∵CE=DE， ∴BE⊥CD，易知 BE= ， ∵B、D 关于 AC 对称， ∴PB=PD， ∴PD+PE=PB+PE， 在△PBE 中，PB+PE≥BE， ∴PD+PE 的最小值为 BE 的值， ∴PD+PE 的最小值为 ．   11．梅梅以每件 6 元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额 y（元） 第 13 页（共 26 页） 与销售量 x（件）的函数关系图象如图所示，则降价后每件商品的销售利润为 （  ） A．4 元 B．5 元 C．10 元 D．15 元 【考点】FH：一次函数的应用． 【分析】由图象可知 40 件销售金额为 600 元，80 件的销售金额为 1000 元，所 以降价后买了 80﹣40=40 件，销售金额为 1000﹣600=400 元，则降价后每件商品 销售的价格为 400÷40=10 元，进而得出降价后每件商品的销售利润． 【解答】解：∵由图象可知 40 件销售金额为 600 元，80 件的销售金额为 1000 元， ∴降价后买了 80﹣40=40 件，销售金额为 1000﹣600=400 元， ∴降价后每件商品销售的价格为 400÷40=10 元， 故降价后每件商品的销售利润为：10﹣6=4（元）． 故选：A．   12．如图，函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 B（2，0），与函数 y=2x 的图象交 于点 A，则不等式组 的解集为（  ） A．x＜1 B．x＞2C．0＜x＜2 D．0＜x＜1 【考点】FD：一次函数与一元一次不等式． 【分析】先利用正比例函数解析式确定 A 点坐标，再利用函数图象找出直线 第 14 页（共 26 页） y=kx+b 在 x 轴上方且在直线 y=2x 上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当 y=2 时，2x=2，解得 x=1，则 A（1，2）， 当 x＜2 时，kx+b＞0； 当 x＜1 时，kx+b＞2x， 所以不等式组 的解集为 x＜1． 故选 A．   二、填空题（本大题共 6 个小题；每小题 2 分，满分共 12 分．把答案写在题中 横线上） 13．直线 y= x 与 x 轴交点的坐标是 （0，0） ． 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】令 y=0，求出 x 的值即可． 【解答】解：∵令 y=0，则 x=0，解得 x=0， ∴直线 y= 与 x 轴交点的坐标是（0，0）． 故答案为：（0，0）．   14．如图，四边形 ABCD 是正方形，AE⊥BE 于点 E，且 AE=3，BE=4，则阴影部 分的面积是 19 ． 【考点】LE：正方形的性质；KQ：勾股定理． 【分析】根据勾股定理列式求出 AB 的长度，然后利用正方形的面积减去三角形 的面积，列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵AE⊥BE， ∴△ABE 是直角三角形， ∵AE=3，BE=4， 第 15 页（共 26 页） ∴AB= = =5， ∴阴影部分的面积=S 正方形 ABCD﹣S△ABE=52﹣ ×3×4=25﹣6=19． 故答案为：19．   15．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为 α （0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= 20° ． 【考点】R2：旋转的性质；LB：矩形的性质． 【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠ D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为 360° 可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α 的度数． 【解答】解：如图， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠B=∠D=∠BAD=90°， ∵矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 AB′C′D′， ∴∠D′=∠D=90°，∠4=α， ∵∠1=∠2=110°， ∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°， ∴∠4=90°﹣70°=20°， ∴∠α=20°． 故答案为：20°．   第 16 页（共 26 页） 16．如图，直线 y= x+2 和 x=3 的交点坐标是 （3，4） ． 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】将 x=3 代入直线 AB 的解析式中求出 y 值，由此即可得出直线 y= x+2 和 x=3 的交点坐标． 【解答】解：当 x=3 时，y= x+2=4， ∴直线 y= x+2 和 x=3 的交点坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）．   17．已知小明家 5 月份总支出共计 5000 元，各项支出所占百分比如图所示，那 么用于教育的支出是 900 元． 【考点】VB：扇形统计图． 【分析】求出教育所占百分比，乘以 5000 元即可． 【解答】解：教育支出为 5000×（1﹣10%﹣24%﹣12%﹣36%）=900 元； 故答案为 900．   18．已知 y 是 x 的函数，在 y=（m+2）x+m﹣3 中，y 随 x 的增大而减小，图象与 y 轴交于负半轴，则 m 的取值范围是 m＜﹣2 ． 【考点】F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】先利用一次函数的性质得 m+2＜0，再利用一次函数与系数的关系得到 第 17 页（共 26 页） m﹣3＜0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：∵y=（m+2）x+m﹣3 中，y 随 x 的增大而减小， ∴m+2＜0，解得 m＜﹣2； ∵图象与 y 轴交于负半轴， ∴m﹣3＜0，解得 m＜3， ∴m 的取值范围是 m＜﹣2． 故答案为 m＜﹣2．   三、解答题（本大题共 7 个/小题；满分共 58 分.解答应按要求写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 19．计算： （1）5 ﹣ ； （2）（3 + ）（3 ﹣ ）． 【考点】79：二次根式的混合运算． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． （2）利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式= ， = ． （2）原式= ， =18﹣5=13．   20．如图，在平面直角坐标系中，有一 Rt△ABC，且点 A（﹣1，3），B（﹣3， ﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1 是由△ABC 旋转得到的． （1）旋转中心的坐标是 O（0，0） ，旋转角的度数是 90° ． （2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1 顺时针旋转 90°，180°的三 角形． （3）利用变换前后所形成的图案，可以证明的定理是 勾股定理 ． 第 18 页（共 26 页） 【考点】R9：利用旋转设计图案． 【分析】（1）根据中心旋转图形的定义即可判断； （2）以 O 为旋转中心，旋转角为 90°，180°分别画出图形即可． （3）可以证明勾股定理． 【解答】解：（1）O（0，0），90°． 故答案为 O（0，0），90°． （2）△A1AC1 顺时针旋转 90°，180°的三角形如图所示．． （3）这是勾股弦图可以证明勾股定理． 故答案为勾股定理．   21．某总公司为了评价甲、乙两个分公司去年的产值，统计了这两个分公司去年 12 个月的产值（单位：万元）情况，分别如图所示： 第 19 页（共 26 页） （1）利用上图中的信息，完成下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8  7  3 乙 8  8.5  9 1.5 （2）假若你是公司的总经理，请你请从以下三个不同的角度对两个分公司的产 值进行分析，对两个分公司做出评价； ①从平均数和众数相结合看（分析哪个公司产值好些）； ②从平均数和中位数相结合看（分析哪个公司产值好些）． ③从平均数和方差相结合看（分析哪个公司产值好些）． 【考点】W7：方差；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得； （2）根据平均数、众数、中位数及方差的意义逐一分析判断． 【解答】解：（1）由图甲知 7 出现次数最多，有 5 次，故甲的众数为 7； 由图乙知，这 12 个数据为：6、6、7、7、7、8、9、9、9、9、9、10， 则乙的中位数为 =8.5， 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8 7 3 乙 8 8.5 9 1.5 （2）①∵平均数都相同，乙公司的众数较高， ∴乙公司的产值好一些； ②∵平均数都相同，乙公司的中位数较小， 第 20 页（共 26 页） ∴乙公司的产值好些． ③∵平均数都相同，乙公司的方差较小， ∴乙公司的产值稳定，故乙公司产值好些．   22．如图，直线 l：y=mx﹣3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 P1（2，1）在直 线 l 上，将点 P1 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到像点 P2． （1）判断点 P2 是否在直线 l 上；并说明理由． （2）若直线 l 上的点在 x 轴上方，直接写出 x 的取值范围． （3）若点 P 为过原点 O 与直线 l 平行的直线上任意一点，直接写出 S△PAB 的 值． 【考点】FF：两条直线相交或平行问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【分析】（1）根据“右加左减、上加下减”的规律来求点 P2 的坐标，把点 P1（2， 1），代入直线方程，利用方程组来求系数的值，把点（6，9）代入（2）中的函 数解析式进行验证即可； （2）根据直线 l 与 x 轴的交点坐标即可得到结论； （3）根据已知条件得到 S△PAB=S△OAB，根据勾股定理得到 AB= = ， 过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据三角形的面积公式得到 OC= = ，于是得到结 论． 【解答】解：（1）点 P2 在直线 l 上， 理由：∵直线 l：y=mx﹣3，过点 P1（2，1）， ∴把点 P1（2，1）代入 y=mx﹣3，得 1=2m﹣3， ∴m=2， 第 21 页（共 26 页） ∴直线 l 的解析式为：y=2x﹣3， ∵将点 P1 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到像点 P2． ∴P2（3，3）， ∵2×3﹣3=3， ∴点 P2 在直线 l 上； （2）∵直线 l 与 x 轴交于（ ，0）， ∴若直线 l 上的点在 x 轴上方，x 的取值范围为：x＞ ； （3）∵若点 P 为过原点 O 与直线 l 平行的直线上任意一点， ∴S△PAB=S△OAB， ∵在 y=2x﹣3 中，令 x=0，则 y=﹣3，令 y=0，则 x= ， ∴A（0，﹣3），B（ ，0）， ∴OA=3，OB= ， ∴AB= = ， 过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∴OC= = ， ∴S△PAB=S△OAB= × = ．   23．如图，点 O 是△ABC 内一点，连结 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连结，得到四边形 DEFG． （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形； 第 22 页（共 26 页） （2）如果∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，求 EF 的长． 【考点】LN：中点四边形． 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得 DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC，进而可得 DG∥EF，DG=EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形可得结论； （2）根据直角三角形的性质可得 CB=2OB=4，再根据三角形中位线的性质可得 EF= BC=2． 【解答】（1）证明：∵AB、OB、OC、AC 的中点分别为 D、E、F、G， ∴DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC， ∴DG∥EF，DG=EF， ∴四边形 DEFG 是平行四边形； （2）解：∵∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2， ∴在 Rt△BOC 中，CB=2OB=4， ∴EF= BC=2．   24．小李从甲地前往乙地，到达乙地休息了半个小时后，又按原路返回甲地，他 与甲地的距离 y（千米）和所用的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小李从乙地返回甲地用了多少小时？ （2）求小李出发 5 小时后距离甲地多远？ （3）在甲、乙两地之间有一丙地，小李从去时途经丙地，到返回时路过丙地， 共用了 2 小时 50 分钟，求甲、丙两地相距多少千米． 第 23 页（共 26 页） 【考点】FH：一次函数的应用． 【分析】（1）根据题意可以得到小李从乙地返回甲地用了多少小时； （2）根据题意可以求得小李返回时对应的函数解析式，从而可以求得小李出发 5 小时后距离甲地的距离； （3）根据题意可以得到小李从甲地到乙地的函数解析式，从而可以得到相应的 方程，本题得以解决． 【解答】解：（1）由题意可得， 7.5﹣（3+0.5）=4（小时）， 答：小李从乙地返回甲地用了 4 小时； （2）设小李返回时直线解析式为 y=kx+b， 将（3.5，240）、（7.5，0）分别代入得， ， 解得， ， ∴y=﹣60x+450， ∴当 x=5 时，y=﹣60×5+450=150， 答：小李出发 5 小时后距离甲地 150 千米； （3）设小李前往乙地的直线解析式为 y=mx， 将（3，240）代入得， 3m=240， 解得，m=80， ∴y=80x， ∴80x=﹣60（x+2 ）+450， 解得，x=2， ∴当 x=2 时，y=80×2=160， 第 24 页（共 26 页） 答：甲、丙两地相距 160 千米．   25．如图①，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等， （1）求∠EAF 的度数； （2）在图①中，连结 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，将△ADN 绕点 A 顺时针旋 转 90°至△ABH 位置，连结 MH，得到图②．求证：MN2=MB2+ND2； （3）在图②中，若 AG=12，BM=3 ，直接写出 MN 的值． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）如图①，通过证明 Rt△ABE≌Rt△AGE 得到∠BAE=∠GAE，证明 Rt△ ADF≌Rt△AGF 得到∠GAF=∠DAF，从而得到∠EAF= ∠BAD=45°； （2）如图②，先利用正方形的性质得∠ADB=∠ABD=45°，再利用旋转的性质得∠ ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，则∠HAM=45°，于是可根据 “SAS”证明△AHM≌△ANM，所以 MN=MH，接着证明∠HBM=90°，然后根据勾股 定理得到结论； （3）利用正方形的性质得 BD=12 ，设 MN=x，则 DN=9 ﹣x，然后利用 MN2=MB2+ND2 得到 x2=（3 ）2+（9 ﹣x）2，然后解方程求出 x 即可． 【解答】（1）解：如图①， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=∠BAD=90°， ∵AG⊥EF， ∴∠AGE=90°， ∵高 AG 与正方形的边长相等， 第 25 页（共 26 页） ∴AG=AB=AD， 在 Rt△ABE 和△AGE 中 ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴∠BAE=∠GAE， 同理可得 Rt△ADF≌Rt△AGF， ∴∠GAF=∠DAF， ∴∠EAF= ∠BAD=45°； （2）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADB=∠ABD=45°， ∵△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ABH 位置，如图②， ∴∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN， ∵∠EAF=45°， ∴∠HAM=45°， 在△AMH 和△AMN 中 ∴△AHM≌△ANM， ∴MN=MH， ∵∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°， ∴MH2=MB2+HB2， ∴MN2=MB2+ND2； （3）解：∵AB=AG=12， ∴BD=12 ， 设 MN=x，则 DN=12 ﹣3 ﹣x=9 ﹣x， 由（2）得，MN2=MB2+ND2， ∴x2=（3 ）2+（9 ﹣x）2，解得 x=5 ， 即 MN 的长为 5 ． 第 26 页（共 26 页）