高考冲刺之解析几何题型--4.7

1 高考冲刺之解析几何 知识梳理 1、与直线平行的向量叫作直线的方向向量，记作 。 ， 时，直线通过某个点 ，把方程 叫做直线的点方向式方程；与直线垂直的向量叫作直线的法向量，记作 ，直线通过某个点 ，且与向量 垂直的直线方程 叫做 直线的点法向式方程。所有与 向量平行的向量都是直线的方向向量；所有与向量 平行的向量都是直线 的法向量。 【例 1】已知点 和 ，求经过点 、C 两点的直线 的点方向式方程. 解析：因为直线经过点 、C 两点，可知它的一个方向向量 ，而且 ，所以直线 的点方 向式方程是 . 【例 2】已知点 和 ，求线段 BC 的垂直平分线 的点法向式方程. 解析：因为 是 BC 的垂直平分线，所以 经过线段 BC 的中点，且垂直于向量 ，由于中点坐标公式可 求得 BC 的中点 M 的坐标（ ， ），又因为向量 是直线 的一个法向量，所以直线 的点 法向量方程为： 2 、 若 直 线 与 轴 相 交 于 点 ， 将 轴 绕 点 逆 时 针 方 向 旋 转 至 与 直 线 重 合 时 所 成 的 最小正角 叫做直线 的倾斜角。当直线是 轴或与 轴平行时，直线的倾斜角是 0°，直线倾斜角的范围 是 .当 时，记 的正切值为 ，把 叫做直线 的斜率. 【例 1】已知直线 的斜率是 ，直线 过坐标原点且倾斜角是 倾斜角的两倍，则直线 的方程为＿. 分析：由 的斜率是 ，知直线 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，则 的斜率为 ，所以 直线 的议程为 . ( ),d u v= 0u ≠ 0v ≠ ),( 00 yx 0 0x x y y u v − −= ( ),n a b= ),( 00 yx ( ),n a b= 0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = d n ( )3 1B − −， ( )54 −，C B l B BC −−→ ( )7, 4BC −−→ = − l 4 6 7 4 x y− −= − ( )3 1B − −， ( )54 −，C l l l BC −−→ 1 2 3− ( )7, 4BC −−→ = − l l 17( ) 4( 3) 02x y− − + = l x M x M l α l x x ),0[ π 2 πα ≠ α k tank α= l 1l 3 3 2l 1l 2l 1l 3 3 1l 6 π 2l 3 π 2l 3 2l xy 3=2 【例 2】已知 ，直线 过 点且与线段 相交，求： （1）直线 的斜率 的取值范围； （2）直线 的倾斜角 的范围. 分析：本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用. 解析：（1） ； （2）当 时，倾斜角 ；当 时， ；又 也符合题意， 综上， . 解这类问题通常有两种方法： 法一：数形结合，求出直线 的倾斜角和斜率，利用图像，观察直线与 相交是倾斜角和 斜率的变化情况来确定取值范围。 法二：线性规划法。设直线 的方程为 ， ，若 与线段 有公共点 （ 两点在直线 的两侧或有一点在直线上），则 ；若 与 没有公共点 （ 两点在直线 的同侧），则 .这样可很方便地求出直线 的斜率范围. 3、若直线的倾斜角为 ，直线的斜率为 ，则 与 的关系是： ；　　 . 【例 1】已知直线 的方程为 且 不经过第二象限，则直线 的倾斜角 大小为―――――――――――――――――――――――――――――――（　　） A、 ；　　　B、 ；　　　C、 ；　　　D、 . 解析：注意到直线 的斜率 ，又直线不过第二象限，则 ，所以此直线的倾斜角为 ， 选 B. (3, 1), (5,1), (2, 3 1)P M N− − l P MN l k l α 1 ( 1) 31, 3, ( , 3] [1, )5 3 2 3PM PNk k k − −= = = = − ∈ −∞ − ∪ +∞− − 故 ( , 3]k ∈ −∞ − 2( , ]2 3 πα π∈ [1, )k ∈ +∞ [ , )4 2 π πα ∈ 2 πα = α ∈ 2[ , ]4 3 π π ,PM PN MN l 0),( =yxf 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y l MN ,M N l 0),(),( 2211 ≤⋅ yxfyxf l MN ,M N l 0),(),( 2211 >⋅ yxfyxf l α k α k tan , [0, ) ( , )2 2 2 k π πα α π πα  ∈=     不存在， ＝ arctan , 0 arctan , 0 k k k k α π ≥  + k arctan k3 4、直线方程的几种形式及适用范围要熟悉： 直线方程 类型 方程 方向向量 法向量 斜率 局限性 点方向式 不包括垂 直 轴和 轴直线 点法向式 无限制，可 表示任何 位置直线 点斜式 不包括垂 直 轴直 线 斜截式 不包括垂 直于 轴 的直线 两点式 不包括垂 直于 轴 和 轴的 直线 截距式 不包括垂 直 轴和 轴或过 原点直线 一般式 无限制，可 表示任何 位置直线 d → n → k 0 0( ) ( )x x y y u v − −= ( , )u v ( , )v u− ( 0)v uu ≠ x y 0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = ( , )b a− ( , )a b ( 0)a bb − ≠ 0 0( )y y k x x− = − (1, )k ( ,1)k− k x y kx b= + (1, )k ( ,1)k− k x 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2( ) y y x x y y x x x x y y − −=− − ≠ ≠且 2 1 2 1( , )x x y y− − 1 2 2 1( , )y y x x− − 2 1 2 1 y y x x − − x y 1x y m n + = ( , )m n− ( ),n m n m − x y 0ax by c+ + = ( , )b a− ( , )a b ( 0)a bb − ≠4 【例 1】与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（　　） A、2 条；　　　　　　B、3 条；　　　　　　C、4 条；　　　　　　D、5 条. 分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也 可以是 0）之分.选 B. 【例 2】过点 作直线 与 轴， 轴正半轴分别交于 ， 两点。 为坐标原点。 （1）求 面积最小值，并求此时直线方程； （2）求 的最小值； （3）当 达到最小值时，求直线方程。 解析：（1）设直线的截距式方程为 ，∴ , ∵ ，∴ 当且仅当 时， 面积最小,此时直线 的方程为 （2） （3）设 ，则 ， ，∴ 最小值为 4，此时 ，直线方程为 5、掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式 点 到直线 的距离为： 两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则 与 的距离 为 1)2()1( 22 =−+− yx (2,1)P l x y A B O AOB∆ | | | |OA OB+ | | | |PA PB⋅ 1x y m n + = 2 1 1m n + = 1 1×2 2AOBS OA OB mn= = 2 1 22m n mn + ≥ 8mn ≥ 2 1 , 4, 2m nm n = = =即 AOBS l 2 4 0x y+ − = ( ) 2 1 3 2 2OA OB m n m n m n  + = + = + + ≥ +   OAB θ∠ = 1 2,sin cosPA PBθ θ= = 2 4 4sin cos sin 2PA PB θ θ θ⋅ = = ≥ PA PB⋅ 4 πθ = 3 0x y+ − = ),( 00 yxP 0: =++ CByAxl 22 00 BA CByAxd + ++= 1l 2l 1l 01 =++ CByAx 2l 02 =++ CByAx 1l 2l 22 21 BA CCd + −=5 夹角公式： 直线 （1） （2） （3）如果直线 和 中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出。 （4）两条直线 、 的夹角 的取值范围为 能够根据斜率和行列式判断两直线之间的关系： 已知直线 直线 记 ， ， “直线 与直线 相交”是“ ”的_充要_条件， 时，直线 与直线 位置关系为 平行或重合， 其中：（1） 时， 与 平行； （2） 时， 与 重合 一般情况下，若 ，可用 判断 ∥ ； 判断 与 相交 若直线 、 的斜率都存在，分别为 、 ，则“ ”是“ ”的 必要不充分 条件。 两条直线 、 垂直的充要条件是： （1） （用方程的系数表示） （2） （用直线的斜率表示） 与直线 （ ， 不全为零）存在下列位置关系的直线方程： （1）平行： （2）垂直： 1 1 1 1 1 1: 0( 0),l a x b y c a b+ + = ≠ 2 2 2 2 2 2: 0( 0)l a x b y c a b+ + = ≠ cosθ = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | |a a b b a b a b + + + tanθ = 2 1 1 21 k k k k − + 1l 2l 1l 2l θ [0, ]2 π 1 1 1 1 1 1: 0( 0),l a x b y c a b+ + = ≠ 2 2 2 2 2 2: 0( 0)l a x b y c a b+ + = ≠ 1 1 2 2 a bD a b = 1 1 2 2 x c bD c b −= − 1 1 2 2 y a cD a c −= − 1l 2l 0D ≠ 0D = 1l 2l 0 0 0D D D= ≠ ≠x y且 或 1l 2l 0D D D= = =x y 1l 2l 1 1 1 2 2 20, 0a b c a b c≠ ≠ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = ≠ 1l 2l 2 1 2 1 b b a a ≠ 1l 2l 1l 2l 1k 2k 1 2k k= 1 2//l l 1l 2l 1 2 1 2 0a a b b+ = 1 2 1k k = − 或一个斜率为零一个斜率不存在 0ax by c+ + = a b 1 10 )ax by c c c+ + = ≠（ 2 0bx ay c− + =6 【例 1】直线 斜率相等是 的――――――――――――――――――（　　） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析：直线 斜率相等，两直线可能重合，不一定有 ；又两直线 ，考虑到特殊情况，若 都与 轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选 D. 【例 2】已知两直线 ； ， 当 为何值时， （1）相交；（2）平行；（3）重合?. 解析： ， 故（1）当 ， 且 时， 相交； （2）当 或 时， ； （3）当 时， 重合. 【例 3】 为何值时，直线 ， ， 不能构成三角形？ 分析：直线不能构成三角形，分为两种情况：任意两条平行或重合；三条直线交于一点。 任意两条平行或重合： ； 三条直线交于一点： ， 无解 综上， 21,ll 21 //ll 21,ll 21 //ll 21 //ll 21,ll x 2 1 : 6 0l x m y+ + = ( )2 : 2 3 2 0l m x my m− + + = m 21,ll 2 3 21 2 3 ( 1)( 3) 2 3 mD m m m m m m m m = = − + + = − + − − 26 2 ( 3)( 3) 2 3x mD m m m m m −= = + − − 1 6 4( 3)2 2yD mm m −= = −− − 1m ≠ − 3m ≠ 0m ≠ 1 2,l l 1m = − 0m = 1 2l l 3m = 1 2,l l m 1 : 4 0l x y+ = 2 : 0l mx y+ = 3 : 2 3 4 0l x my− − = 14, 3m m= = − 4 1 0 1 0 0 2 3 4 m m = − − m 14, 3m m= = −7 【例 4】过直线 和直线 的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线 和 之间的线段长为 ，求该直线的方程. 解析：由 交点 M（－5，2），设所求直线 l 与 l1、l2 分别交于 B、A 两点， 由已知 |AB|= ，又 l1、l2 间距离 ， 在 Rt△ABC 中， ． 设 l1 到 l 的角为 α，则 . 设直线 l 的斜率为 k，由夹角公式得 所求直线的方程为 或 . 评述：根据平行线间距离及所夹线段长，求出所求直线与已知直线的夹角，利用夹角公式求出斜率， 代入点的坐标即可。 【例 5】若直线 经过直线 和 的交点，且点 到直线 的距离相等， 则直线 的方程为_____ 分析： 两点到一条直线的距离相等：直线与 平行；直线经过 的中点。 直线 和 的交点为 直线与 平行时， ，直线方程为 ； 直线经过 的中点 ，直线方程为 6、当利用斜率来设直线的方程，求解时一定要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分 类讨论，不要漏解，可借助于图形辅助观察。 【例 1】过点 与坐标原点距离为 2 的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候 就排除了斜率存在的情况.考虑到直线 满足题义，故所求直线有两条，其方程为： 2 8 0x y+ + = 3 0x y+ + = 5 0x y− − = 2 0x y− − = 5 { 2 8 0 3 0 x y x y + + = + + = 5 3| | 2 AC = 1| | 2 BC = | |tan 3| | AC BC α = = | 1| 13 2| 1| 2 k k kk − = ⇒ = − = −+ 或 2 8 0x y+ + = 2 1 0x y+ + = l 3 0x y+ + = 7x y− = (3, 2), ( 1,6)A B− − l l ,A B AB AB 3 0x y+ + = 7x y− = ( )2, 5− AB 2ABk = − 2 1 0x y+ + = AB ( )1,2 7 9 0x y+ − = ( )2,3P 2=x 026125 =+− yx8 与 . 【例 2】求过点 ，且与直线 相交成 30°角的直线 l 的方程. 分析：若设直线斜率为 ，利用夹角公式， ，则 ，只有一解，但显然还有另 外一条直线满足条件，这条直线垂直于 轴，斜率是不存在的。 满足条件的直线方程应为 和 7、对称问题： 点关于点的对称：对称点即为中点； 点关于直线的对称；点 关于直线 对称即 是线段 的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明 AB 的中点在 上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为 1 或－1 时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点 关于直线 的对称点是 ；点 关于直线 的对 称点是 . 直线关于点的对称， 关于点 对称，则 // ，且已知点 到两直线的距离相等。 直线关于直线的对称，即光线反射问题，若 是 关于 的对称直线，则 与 的夹角等于 与 的夹角， 且 经过 和 的交点。若 和 平行，则 和 也平行，且 到 和 的距离相等。 【例 1】将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点 与点 重合，若点 与点 D 重合，则点 D 的坐标为＿＿＿＿＿； 解析：实际上这是一个对称的问题，对称轴是 AB 的垂直平分线 ： ，D 点是 C 点关于直线 的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方 程组求解.设 D 点的坐标为 ，则 ，且 ，求得： . 2=x ( )5, 2P − 3 0x y− = k 3tan30 1 3 k k −° = + 3 3k = x ( )32 53y x+ = − 5x = ,A B l l AB l ),( 00 yx 0=++ cyx ),( 00 cxcy −−−− ),( 00 yx 0=+− cyx ),( 00 cxcy +− 21,ll P 1l 2l P 2l 1l l 2l l 1l l 2l 1l l 1l l 2l l l 1l 2l )0,2(A (0,6)B )0,3(C l 3 8 0x y− + = l ),( ba 23 −=−a b 05222 3 =+⋅−+ ba 4 33( , )5 5D9 【例 2】已知 的一个顶点 ，内角 的角平分线方程分别是 和 ，求 所在直线方程。 解析：设 关于 的对称点 直线 的法向量为 。易得： 的中点 ，代入直线 ， ， 的中点 ，∴直线 的方向向量 ∴ 的点方向式方程为 ， 的一般式方程为 【例 3】光线沿直线 1 照射到直线 2 上后反射，求反射线所在直线 的方程. 解析：由 . 设 的方程为 （其中 为一法向量， 不同时为零） 由反射原理,直线 与 的夹角等于 与 的夹角，得 ,舍 去 (否则与 重合) ,所以 ,得 的方程为 . 【例 4】分别在 轴和直线 上各找一个点 ，使他们与点 组成的三角形周长最小。 解析：作 关于直线 的对称点 ，作 关于直线 轴的对称点 则 连接 ，直线 与 轴和直线 的交点即为所求点 直 线 的 方 向 向 量 ， ∴ 直 线 的 点 方 向 式 方 程 为 直线 的一般式方程为 ，令 ABC∆ ( )4, 1A − ,B C∠ ∠ 1 : 1 0l x y− − = 2 : 1 0l x − = BC A 1l 1( , )A m n 1AA⇒ = ( 4, 1)m n− + 1l (1, 1)n = − 1 / /AA n  ( 4) ( 1) 1m n⇒ − × − = + 1AA 4 1( , )2 2 m nD + − l 4 1 1 02 2 m n+ −− − = 0 3 m n = = ⇒   1(0,3)A⇒ 2AA (1, 1)E − 2 ( 2, 1)A⇒ − − BC 1 2 ( 2, 4)A A = − − l 2 1 2 4 x y+ +=− − l 2 3 0x y− + = l 022 =−+ yx l 022 =++ yx 3l 2 2 0 (2, 2)2 2 0 x y x y + − = − + + = ，得反射点的坐标为 3l ( 2) ( 2) 0a x b y− + + = ( , )n a b → = ,a b 1l 2l 2l 3l 2 2 2 2 2 2 11 2 5 5 5 a b a b a b a b + += ⇒ = = − ⋅ ⋅ + 或 2a b= 1l 2 11a b= − 3l 2 11 26 0x y− − = x y x= B C、 (4,2)A A y x= (2,4)D A x (4, 2)E − | | | | | | | || | ||CAC AB BC BD BE C+ + = + + DE DE x y x= .B C、 DE (2, 6)DE = − DE 2 4 2 6 x y− −= − DE 3 10 0x y+ − = 0y = 10( ,0)3B∴10 8 、 有 向 距 离 ： 已 知 直 线 ， ， ， 则 记 ， 位 于 给 定 直 线 同 侧 的 点 ， 的 符 号 相 同 。 直 线 的法向量取 ，则法向量指向的一侧的点， ，另外一侧的点， 当 时， 、 在直线 同侧； 当 时， 、 在直线 异侧； 当 时， 或 在直线 上 【例 1】设 、 为不同的两点，直线 ： ， ,以下命题 中正确的序号为 ． （1）不论 为何值，点 都不在直线 上； （2）若 ，则过 、 的直线与直线 平行； （3）若 ，则直线 经过 的中点； （4）若 ，则点 、 在直线 的同侧且直线 与线段 的延长线相交. 答案：（1）（2）（3）(4) 9、圆的标准方程 和圆的一般方程 在求圆方程的问题 中，两类方程形式各有千秋。标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然，一般方程表现出明 显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用。无论哪种形式，确定一个圆的方程都需要三个互相独立 的条件. 【例 1】二次方程 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿； 解析：注意到圆的一般方程中没有 这样的项，且二次项系数都为 1.则必有 ，且 ，此时 方程可以化成： .与圆的一般方程比较可以得出： . 其充要条件为： . 3 10 0x y y x + − =  =  5 5( , )2 2C⇒ : 0( 0)l Ax By C AB+ + = ≠ 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y P δ = 1 1Ax By C+ + Q δ = 2 2Ax By C+ + l δ : 0( 0)l Ax By C AB+ + = ≠ ( ),n A B= 0δ > 0δ < 0P Q δ δ > P Q l 0P Q δ δ < P Q l 0P Q δ δ = P Q l ),( 11 yxM ),( 22 yxN l 0=++ cbyax cbyax cbyax ++ ++= 22 11δ δ N l 1=δ M N l 1−=δ l MN 1>δ M N l l MN 222 )()( rbyax =−+− 022 =++++ FEyDxyx 022 =+++++ FEyDxCyBxyAx xy 0=B 0≠= CA 022 =++++ A FyA ExA Dyx 04)()( 22 >−+ A F A E A D 04,0,0 22 >−+=≠= AFEDBCA11 【例 2】已知圆 C 被 轴截得的弦长是 2，被 轴分成的两段弧长之比为 ，求圆心 C 的轨迹方程. 分析：如图，设圆心 ，圆半径为 .因圆被 轴截得的线段长为 2，圆心 到 轴的距离为 ，则根据直线与圆的位置关系，知 ， 又圆被 轴所分成的两段弧长之比为 ，则 轴被所截得的弦所对的中心角 为直角，圆心到 轴距离为 ，则 .则 .即所求的轨迹方程为 . 【例 3】一圆与 轴相切，圆心在直线 上，且直线 截圆所得的弦长为 ，求此圆方程. 分析：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一 般方程；（2）根据几何关系（如相切、弦长等）建立方程求得 或 （3）待定系数法的应用， 解答中要尽量减少未知量的个数。 解析：因圆与 轴相切，且圆心在直线 上，故设圆方程为 又因为直线 截圆得弦长为 ，则有 ，解得 ，故所求圆方程为 或 10、掌握圆的基本特征和各种方程的形式。 与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（以 、 为直径的圆的 方程为 ）与两定点连线所成角（张角）为定值的动点的轨迹是两条 对称的圆弧。平面上到两个定点距离之比为常数 的动点的轨迹是圆。掌握圆的切线方程和切点 弦方程。 【例 1】已知 ，求点 坐标，使 的正切值为定值 ，且使 最大。 答案： y x 3:1 ),( yxC r y y || x 122 += xr x 3:1 x x || y ||2 yr = 22 21 yx =+ 12 22 =− xy y 03 =− yx xy = 2 7 , ,a b r , ,D E F y 03 =− yx ( ) ( )2 2 23 9x b y b b− + − = xy = 2 7 ( )2 2 2| 3 | 7 9 2 b b b −  + =   1b = ± ( ) ( )2 23 1 9x y− + − = ( ) ( )2 23 1 9x y+ + + = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = ( )1λ λ ≠ ( 4,0), (4,0), (6,5)A B C− M AMB∠ 4 3 MC ( 3, 7)M − − x y O C r r12 【例 2】 满足条件 AB = 2，AC = 2BC， 的面积的最大值是______ 分析：点 的轨迹为阿波罗尼斯圆，当点 到直径 所在直线的距离为圆的半径 时， 取得最 大值，所以，三角形 的面积的最大值 = . 【例 3】过圆 外一点 ，引圆的两条切线，切点为 ，则直线 的方程为 ________ 结论：过圆 上一点 的切线方程： 圆为 ，切线方程是 . 当 圆外时, 和 表示过两个切点的切点弦方程．注意不要漏掉平行于 轴切 线． 11、掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法。 点和圆的位置关系： 给定点 及圆 : ① 在圆 内 ② 在圆 上 ③ 在圆 外 圆与直线的位置关系： 法一：几何方法：圆的半径为 ，圆心与直线的距离为 ，则 （1） 时直线与圆相交； （2） 时直线与圆相切； （3） 时直线与圆相离 法二：判别式法。 M M M ABC∆ ABC∆ 2 2 C C PQ 2 2 ABCS∆ ABC ABCS∆ 1 2 2 2 2 22 ⋅ ⋅ = 2 2( 2) 4x y+ − = (2, 2)A − 1 2,T T 1 2TT 2 2 0x y− + = 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 0 0( , )P x y 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r− − + − − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 0 0 0 0 ( ) ( ) 02 2 D x x E y yx x y y F + ++ + + + = 0 0( , )P x y 0 0( , )x y 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r− − + − − = 0 0 0 0 ( ) ( ) 02 2 D x x E y yx x y y F + ++ + + + = y 0 0( , )M x y C 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = C 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r⇔ − + − < C 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r⇔ − + − = C 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r⇔ − + − > r d rd > rd = rd + 2rbyax =+ r ba rd < + = 22 2 0≠d ),( ba 222 ryx =+ 2rbyax =+ ),( ba 222 ryx =+ 2rbyax =+ l )0,4(M 422 =+ yx ABON ⊥ +− 2)2(x 42 =y 422 =+ yx 4)2( 22 =+− yx )10 21|| rrAB += 1 2 1 2| |r r AB r r− < < + 21|| rrAB −= 1 2| |AB r r< − A B MN O x y14 【例 1】已知动圆 C 与定圆 M： 相切，且与 轴相切，则圆心 C 的轨迹方程是＿＿＿； 分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半径为 ，则 ， C 到 轴的距离为 ，则 C 到直线 的距离 ，那么 C 到直线 的距离与 C 到 M 的距离相等，所以点 C 的轨迹是以 M 为 焦点，直线 为准线的抛物线.其方程为： . （2）当两圆内切时，可得 C 到 M 的距离与 C 到直线 的距离相等， 所以此时点 C 的轨迹是以 M 为焦点，直线 为准线的抛物线. 其方程为： . 所以圆心 C 的轨迹方程为： 与 . 【例 2】已知 ，一动圆 I 过点 M 与圆 N： 内切. （1）求动圆圆心 I 的轨迹 C 的方程； （2）经过点 作直线 交曲线 C 于 A、B 两点，设 ，当四边形 OAPB 的面积最大时， 求直线 的方程. 解析：（1）如图，动圆 I 与定圆 N 内切，设动圆半径为 ，则 .那么有： ， ， 所 以 I 点 轨 迹 是 以 M 、 N 为 焦 点 4 为 长 轴 长 的 椭 圆 . 其 方 程 为 . （2）由 知，四边形 OAPB 是平行四边形.要使得四边形 OAPB 面积最大，则△OAB 的面积最大，注意变化中的定值条件.△OAB 的 面积是△AOQ 的面积与△BOQ 的面积之差.设 A ， 则 . 可在联立方程组时，消去变量 ，保留 .设直线 的方程为 ， 由 . 由△= ，得 . 1)2( 22 =+− yx y r 1|| += rCM y r 1−=x 1|| += rCN 1−=x 1−=x )2 1(62 −= xy 1x = 1x = 2 32( )2y x= − )2 1(62 −= xy 2 32( )2y x= − )3,0(M 16)3( 22 =++ yx (2,0)Q l OP OA OB= +   l r rIMrIN =−= ||,4|| 4|||| =+ IMIN | | 2 3MN = 14 2 2 =+ yx OBOAOP += ),(),,( 2211 yxByx 1 2|| | | ||AOBS y y∆ = − x y l 2x my= + 2 2 2 21 (4 1) 16 12 04 2 yx m y my x my  + = ⇒ + + + =  = + 2 2(16 ) 4 12 (4 1) 0m m− × × + > 24 3 0m − > C M x y O N 1−=x M N IO x y A B P O Q x y C M x y O N 1x =15 由韦达定理得： 知 . 则 = .令 ， 那么： ，当 时等号成立.此时 ， 即所求的直线方程为 . 13、圆的方程具有明确的几何意义，在求解圆的问题时，莫忘了“数形几何”这一有力的手段。常见的模 型如 （斜率模型）， （截距模型）， （距离模型）要熟悉其形式和几 何意义。 【例 1】若圆 O： 上有且只有两点到直线 的距离为 2， 则圆的半径 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 解析：如图：圆心 O 到直线 的距离为 3，与直线 距离为 2 的点的轨迹是与 平行且与 距离为 2 的两平 行直线（图中虚线 ）.由题义知直线 与圆 O 有两不同交点，而 与圆 O 没有公共点.因此圆 O 半径 的取值范围是 . 【例 2】方程 表示的曲线是（ ） A 一个圆 B 两个半圆 C 两个圆 D 半圆 解析：B 对 分类讨论得两种情况 【例 3】若过定点 且斜率为 的直线与圆 在第一象限内的部分有交点，则 的取值范围是（ ） A B C D 解：A 圆与 轴的正半轴交于 1 2 1 22 2 16 12,4 1 4 1 my y y ym m + = − =+ + 021 >yy 1 2|| | | ||AOBS y y∆ = − || 21 yy − 2 2 1 2 1 2 2 2 4 3( ) 4 4 (4 1) my y y y m −= + − = + 24 3 ( 0)m t t− = > 2 1 18 8 8 216( 4) 2 16 88 tS t t t = = ≤ =+ ++ + 16t t = 2 7 4m = 7 42x y= ± + y b x a − − ax by+ ( ) ( )2 2 0 0x x y y− + − 222 ryx =+ 01543: =−+ yxl r l l l l 21,ll 1l 2l r 51 ( )4, 3 5 420 【例 3】若双曲线 的左、右顶点分别为 A、B，点 P 是第一象限内双曲线上的点。若直 线 PA、PB 的倾斜角分别为 α，β，且 ，那么 α 的值是 （ ） A． B． C． D． 解析：若取特殊的点也需要进行计算，比较麻烦。不妨考虑极端情况。当点 P 位于第一象限无穷远处时， 直线 PA、PB 的倾斜角都趋近于渐近线的倾斜角 ，此时 趋近于 1，所以选 D。 19、熟记双曲线中常见的结论，灵活解题。 （1）焦半径：当 在右（上）支上时， , .（ ） 当 在左（下）支上时， , （2）双曲线的通径= （过焦点与实轴垂直的弦），通径是过焦点被双曲线同支截得的最短的弦长，过 焦点被两支截得的弦长的最小值是实轴； （3）双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是 ，到异侧一支上点的距离最小值是 ； 【例 1】已知双曲线的方程为 ，P 是双曲线上的一点，F1、F2 分别是它的两个焦点， 若 ，则 ＿＿＿＿＿＿； 解 析 ： 由 双 曲 线 的 定 义 ， 知 或 13. 注 意 P 点 存 在 的 隐 含 条 件 ，所以 . 双曲线这类问题通常要检验。检验方法： 1、利用图形，焦半径需满足 ；2、利用焦半径的范围 ，落在此范围内的 解才可取 【例 2】经过双曲线 的右焦点 作直线 交双曲线与 、 两点，若 ，则这样的直 线存在的条数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　B ） （A）４； （B）3；　　　　 （C）2； 　　　（D）１ 2 2 2 ( 0)x y a a− = > ( 1)m mβ α= > 2 1m π − 2m π 2 1m π + 2 2m π + 4 π m 0 0( , )M x y axa cMF += 01 axa cMF −= 02 00 yx 换成 0 0( , )M x y axa cMF +−= 01 axa cMF −−= 02 22b a ac − ac + 1169 22 =− yx 7|| 1 =PF =|| 2PF 6|||||| 21 =− PFPF 1|| 2 =PF 10|||||| 2121 =≥+ FFPFPF 13|| 2 =PF 1 2 1 2| | | | | |PF PF F F+ ≥ [ ),c a− +∞ 12 2 2 =− yx 2F l A B 4AB =21 解析：计算得实轴 ，通径 ，∴AB 都交于右支时弦有 1 条，交于两支时弦有 2 条，共 3 条 20、焦三角形有关的结论：双曲线 的焦点为 ，P 是双曲线上的一点，设 ， 则△ 的面积为 （推导方法与椭圆一致）. 【例 1】椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ，P 是它们的一个公共点， 则 ＿＿＿＿＿； 解析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得 ，所以 由.又由椭圆的焦点三角形的面积知 △PF1F2 的面积为 ，由双曲线的焦点三角形的面积知△PF1F2 的面积为 ，则 . 解得 ，由万能公式得 . 另解：也可以由 （不妨设 ），求得 ， ， 又由 ，利用余弦定理可得 . 【例 2】双曲线 的两焦点为 是此双曲线上的一点，且满足 ＝ ，则△ 的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿. 解析：由题可以得出点 P 在椭圆 上，设 ，由焦点三角形的面积公式可知对于 椭圆 ，对于双曲线 ，则必有 ，所以△ 的面积等于 1. 【例 3】已知双曲线 的左、右焦点分别为 在双曲线上，且 ，则点 P 到 x 轴的距离等于 ； 解析：3 2 2a = 22 4b a = 12 2 2 2 =− b y a x 21, FF θ=∠ 21PFF 21PFF 2 cot 2b θ 126 22 =+ yx 2 2 1x ya − = 21, FF =∠ 21cos PFF 6 2 1a− = + 3a = 1 2 12tan 2 F PF∠ 1 2 1cot 2 F PF∠ 1 2 1 2 1 12tan cot2 2F PF F PF∠ = ∠ 1 2 1 2tan 2 2F PF∠ = 3 1cos 21 =∠ PFF 1 2 1 2 | | | | 2 6 | | | | 2 3 PF PF PF PF  + = − = 1 2| | | |PF PF> 1| | 6 3PF = + 2| | 6 3PF = − 1 2| | 4F F = 3 1cos 21 =∠ PFF )1(12 2 >=− nyn x PFF ,, 21 |||| 21 PFPF + 22 +n 21FPF 12 2 2 =++ yn x θ=∠ 21PFF 2 θ tgS = 2 θ ctgS = 2 πθ = 21FPF 1124 22 =− yx PFF ,, 21 0 21 90=∠ PFF22 【例 4】已知有相同两焦点 的椭圆 和双曲线 ，点 是它们 的一个交点，则 面积的大小是（ ）． （A） （B） （C）1 （D）2 解析：点 是椭圆和双曲线的公共点，且椭圆和双曲线共焦点，则 面积公式在椭圆和双曲线中都 成立。 ，∴ ， 21、抛物线的定义也有需要注意的地方。到定点的距离等于到定直线的距离（定点不在定直线上），灵活 利用抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，可以解决一类与距离有关的问题。 【例 1】（1）动点 满足 ，问点 P 的轨迹形状？ （2）动点 满足 ，问点 P 的轨迹形状？ 解析：（1）到定点的距离等于到定直线的距离，定点不在定直线上，轨迹为抛物线； （2）到定点的距离等于到定直线的距离，定点恰好在定直线上，轨迹为一条直线 【例 2】设 为抛物线 的焦点 （1）点 ，若点 在抛物线上移动，则 的最小值是__________． （2）点 ，若点 在抛物线上移动，则 的最小值是__________． （3）直线 、直线 ，若点 在抛物线上移动，则 到 和 的距离之和的最小值是__________． 解析：（1）3 （2） （3） 21 FF、 2 2 1( 1)x y mm + = > 2 2 1( 0)x y nn − = > P 21Δ PFF 2 1 2 2 P 21Δ PFF 1 2 2 2tan = cot tan cot2 2 2 2PF FS b b θ θ θ θ ∆ = = =椭圆 双曲线 tan 12 θ = 1 2 1PF FS∆ = ),( yxP 2 3)1()2( 22 +−=++− yxyx ),( yxP 2 3)1()2( 22 −−=++− yxyx F 2 4y x= A ( )2 2, P PA PF+ B ( )2 3, ( )0 0,P x y 0x PB+ 0634:1 =+− yxl 1:2 −=xl P P 1l 2l 10 1− 123 22、抛物线的焦点弦性质： 过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线 为例，焦点弦 有下列常用性质：设抛物线 的焦点为 F， 是抛物线的一条焦点弦. （1） ； （2） ， ； （3）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；. （4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线 的通径长为 ；（5）通径 是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条. 【例 1】直线 过抛物线 的焦点与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 两点到 轴的距离 之和等于 3，则这样的直线 有―――――――――――――――――（　　） A、1 条；　　　　　B、2 条；　　　　　C、3 条；　　　　　D、不存在. 解析：A、B 两点到 轴的距离之和为 3，则 A、B 两点到准线 的距离之和为 5. 根据抛物线的定义 可得弦长 ，此抛物线的通径为 4，故满足题义的直线有 2 条.选 B. 【例 2】设 为抛物线 的焦点 （1）过 焦 点 的 直 线 交 抛 物 线 于 ， 两 点 ， 若 ， 则 的 中 点 到 轴 的 距 离 等 于 ． （2） 为该抛物线上三点，若 ，则 ______. （3）若动弦 在抛物线上移动，但其中点横坐标始终是 4，则 的最大值为_____. （4）若点 在抛物线上移动，点 在 上移动，则 的最小值为_____. 解析：（1）4 （2）6 （3）10 （4） )0(22 >= ppxy )0(22 >= ppxy ),(),,( 2211 yxByxA )4( 2 21 2 21 pxxpyy =−= 1 2,2 1 cos 2 1 cos p p p pAF x BF xθ θ= + = = + =− + 1 2 2 2| | sin pAB x x p θ= + + = 1 1 2 AF BF p + = )0(22 >= ppxy p2 l yx 42 = x l x 1−=y 5|| =AB F 2 4y x= F A B 10=AB AB P y , ,A B C 0FA FB FC+ + =    | | | | | |FA FB FC+ + =   PQ PQ P Q 2 2 1( 1) 9x y− + = PQ 2 324 23、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法。“点”是指弦端点、弦中 点；“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差。点差法的本质是弦中点的坐标与弦所在直线的斜率的关系. 为提高解题速度和熟练度，应熟记公式。 （1）、 是椭圆 的不平行于对称轴的弦， 为 的中点，则 ， 即 （2）、 是双曲线 的不平行于对称轴的弦， 为 的中点，则 ， 即 （3）、 是抛物线 的弦， 为 的中点，则 切记：双曲线在运用点差法求中点坐标或斜率时，要利用判别式检验直线与双曲线是否相交 【例 1】（1）已知双曲线 ，求以 为中点的弦 所在的直线方程为 . （2）已知双曲线 ，求以 为中点的弦 所在的直线方程为 . 解析：（1） ，则 的直线方程为 ，即 易验算 与 有两个交点.故直线方程存在，且为 . （2） ，则 的直线方程为 ，即 变式：已知直线 y=－x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L： x－2y=0 上，则此椭圆中 为_______ 解析： AB 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0 0,M x y AB 2 2OM AB bk k a ⋅ = − 0 2 0 2 ya xbK AB −= AB 2 2 2 2 1x y a b − = ( )0 0,M x y AB 2 2 a bKK ABOM =⋅ 0 2 0 2 ya xbK AB = AB 2 2y px= ( )0 0,M x y AB 0 AB pK y = 124 22 =− xy )1,1(P AB 124 22 =− xy )2,1(P AB 222 4 2 2 =⇒===⋅ ABOPAB ka bkk ABl )1(21 −=− xy 012 =−− yx 012 =−− yx 124 22 =− xy 012 =−− yx 122 4 2 2 =⇒===⋅ ABOPAB ka bkk ABl 11 −=− xy 0=− yx 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > :c a 2 225 【例 2】在抛物线 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范围. 解析： （1）当 时，曲线上不存在关于直线对称的两点． （2）当 k≠0 时，设抛物线 y2=4x 上关于直线对称的两点 ，AB 的中点为 ， 则直线 直线的斜率为直线 ，可设 代入 y2=4x 得 ， 在直线 y=kx+3 上， ， 代入 得即 又 恒成立，所以 ． 综合（1）（2），k 的取值范围是（-1，0） 24、数形结合。能够识别方程类型，掌握常见的半圆锥曲线图形，并能够利用图形解决一类方程与根问题 圆锥曲线半图形： （1）当 时，通常为半双曲线，例如 ： （2）当 时，通常为半圆或半椭圆，例如 ， （3）当 时，通常为半抛物线，例如 【例 1】若关于 的方程 有两个不等的实数根，则实数 的取值范围是 . 解析：若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手，借助于双曲线的渐近线， 则很容易得解.在同一坐标系中作出 （双曲线 的上半部分） 与 （过定点 的直线）的图像.如图：可得 . 变式：若关于 方程 有且只有两个不同的实数根，则实数 范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：次方程可看做 与 有两个不同交点，数形分析 0=k ),(),,( 2211 yxByxA ),( 00 yxM AB k 1− bxkyAB +−= 1: 0442 =−+ kbkyy =∆ 01616 2 >+ kbk )(∗ kbyykyy 4,4 2121 −=⋅−=+ ky −=+−= 210 ,2 kbyy 2)( 21 ++ kbk 24 2 += kbkx += 2 0 2 M 3)2(2 2 ++=−∴ kbkkk kkbk 322 2 −−−=∴ )(∗ 01)3)(1( 2 +− kk 01 ∴ =+  ( )2 2 2 11 3 4CD k x x m= + − = − N CD 6 3d m= ( ) 2 2 2 21 2 2 44 22 2 2 2NCD m mS CD d m m  − += = − ≤ =   2 2 24 2m m m− = =，即 2m = ±33 此时 ，所以直线方程 本题是典型的韦达定理题，第二问可用韦达，也可用点差；第三问为弦长问题。 【例 2】如图，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两点，△ 的周长为 8，且 面积最大时， 为正三角形． （1）求椭圆 的方程； （2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ．试探究： ① 以 为直径的圆与 轴的位置关系？ ② 在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在， 说明理由． 解析：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ，椭圆 E 的方程为 （2）①由 ，得方程 由直线与椭圆相切得 求得 ， ， 中点到 轴距离 。 所以圆与 轴相交。 （2）②假设平面内存在定点 满足条件，由对称性知点 在 轴上，设点 坐标为 ， 。 由 得 所以 ，即 2 2 2 2: 1 ( 0)x yE a ba b + = > > 1F 2F 1F ,A B 2ABF 1 2AF F∆ 1 2AF F∆ E :l y kx m= + E P 4x = Q PQ x M PQ M M , , = , =A（0 b）a 2c 4a 8 2 2=4, =3b∴a 2 2 + =14 3 x y 2 2 14 3 y kx m x y = + + = 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 2 20, 0, 4 3 0.m k m≠ ∆ = ⇒ − + = 4 3( , )kP m m − (4,4 )Q k m+ PQ x 2 23(2 )2 2 md k m = + + 2 2 2 2 21 2( ) ( 1) 0(4 3 0 2 )2 kPQ d k m m km − = − > − + = ⇒ ≠ x M M x M 1( ,0)M x 1 1 4 3( , ), (4 ,4 )kMP x MQ x k mm m = − − = − +  0MP MQ⋅ =  2 1 1 1(4 4) 4 3 0kx x xm − + − + = 2 1 1 14 4 4 3 0x x x− = − + = 1 1x = 0> 2: 22l y x= ± y x A B O F1 F234 所以定点为 本题为证明过定点题型，典型的韦达定理题，最后分离出参数，定点则与参数无关，故参数的系数为 0， 其余的系数也为 0 【例 3】设抛物线 的焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与抛物线交于 两点， 已知 . （1）求抛物线 的方程； （2）设 ，过点 作方向向量为 的直线与抛物线 相交于 两点，求使 为钝角时实数 的取值范围； （3）①对给定的定点 ，过 作直线与抛物线 相交于 两点，问是否存在一条垂 直于 轴的直线与以线段 为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由。 ②对 ，过 作直线与抛物线 相交于 两点，问是否存在一条垂直于 轴的直线与以 线段 为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明） 解析：（1）由条件得 ， 抛物线 C 的方程为 ； （2）直线方程为 代入 得 ， 设 ，则 ， 。 为钝角， ， 即 ， ，因此 ， 综上得 。 （3）①设过 所作直线方程为 代入 得 ， 设 则 ， ， 中点 (1,0)M :C )0(22 >= ppxy F F x 21, PP 8|| 21 =PP C 0>m )0,(mM )3,1(= → d C BA, AFB∠ m M )0,3( M C BA, x AB )0)(0,( >mmM M C BA, x AB 82 =p ∴ xy 82 = )(3 mxy −= xy 82 = 03)86(3 22 =++− mxmx )0,2(),,(),,( 2211 FyxByxA ),2(),,2( 2211 yxFByxFA −=−= →→ 2 2121 ,3 86 mxxmxx =+=+ 0)2)(2(,0 2121