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2020 届高三 适应性训练 2 理科数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分 150 分，,时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1.设集合 ( ) 2lg 3 4A x Z y x x= = − + + , 24xBx=则 AB= ( )
A. )2,4 B. 2,4 C. 3 D. 2,3
2.已知 ( ) 5tan 12−=,且 3,22
,则sin 2
+=
( )
A. 5
13
B. 5
13−
C.12
13
D. 12
13−
3.下列四个命题中,正确的有( )
①随机变量 服从正态分布 ( )1,9N ,则 ( ) ( )1 0 2 3PP− =
② 0 0 0
3,sin cos 2x R x x + =
③命题 2" , 2 0"x R x x − − 的否定是 2" , 2 0"x R x x − −
④复数 1 2 3,,z z z C ,若( ) ( )22
1 2 2 3 0z z z z− + − = 则 13zz=
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.已知在等比数列 na 中, 0na , 22
2 4 1 5 5 3900 2 , 9a a a a a a+ = − = ,则 2020a = ( )
A. 10103 B. 10093 C. 20193 D. 20203
5.如下图所示，是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的表面积为( )
A.( )12 4 3 +
B. 20 C.( )20 4 3 + D. 28
6.2020 年,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学, 不得不在家“停课不停学”.
为了解高三学生居家学习时长,从某校的调查问卷中,随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析,得到学生可接
受的学习时长频率分布直方图（如下图所示）,已知学习时长在[9,11) 的学生人数为 25，则 n 的值为（ ）
A.40 B.50 C.60 D.70
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7.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒
头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”.
如右图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图，
则输出的 n ＝（ ）
A.25 B.45 C.60 D.75
8.已知实数 ,xy满足
,
2 0,
5,
yx
xy
xy
−
+
则 22z x y=+的最大值为( )
A. 25
2 B. 25
4 C. 25
8 D.125
9
9.已知两个夹角为
3
的单位向量 ,ab.若向量 m 满足 1m a b− − = ,则 m 的最大值是( )
A. 31− B. 31+ C. 2 D. 6 2 1++
10.已知抛物线 2 2yx= 的焦点为 F ,其准线与 x 轴的交点为Q ,过点 作直线与此抛物线交于 ,AB两点,
若 0FA QB•=,则 AF BF−=( )
A.3 B. 2 C. 4 D.6
11.将函数 xy 2sin= 的图像向右平移 0 2
个单位长度得到 )(xf 的图像，若函数 )(xf 在区间
0, 3
上单调递增，且 )(xf 的最大负零点在区间 5 ,12 12
−−
上，则 的取值范围是( )
A. ]4,6( B. )4,6(
C. ]4,12(
D.[ , ]12 4
12.已知函数 ( ) ( ) ( )3 2ln 1xf x x e a x x= − + − + 在 ( )1, + 上有两个极值点,且 ( )fx在( )1,2 上单调递增,
则实数 a 的取值范围是( )
A.( ),e + B.( )2,2ee C.( )22e + D.( ) ( )22,2 2e e e +
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分(共 90 分).第 13 ～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22～23
为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13.二项式
8
3 3x x
−
的展开式中的常数项为 .
14.已知双曲线 ( )
22
221 0, 0xy abab− = 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 ( )0,Bb,双曲线的渐近线上存在
一点 P ,使得 , , ,A B F P 顺次连接构成平行四边形,则双曲线C 的离心率 e = .
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15.定义在 R 上的函数 ( )fx对任意 xR ，都有 ( ) ( )
( ) ( )1 12 , 214
fxf x ffx
−+ = =+
，则 ( )2020f = .
16.如图，矩形 ABCD 中， 2 3,AB = 2,AD = Q 为 BC 的中点，点 M，N 分别在线段 AB，CD 上运动（其
中 M 不与 A，B 重合，N 不与 C，D 重合），且 MN∥AD，沿 MN 将△DMN 折起，得到三棱锥 D﹣MNQ，
则三棱锥 D﹣MNQ 体积的最大值为 ；当三棱锥 D﹣MNQ 体积最大时，其外接球的半径 R = ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分 12 分)
如图, ,CM CN 为某公园景观湖畔的两条木栈道, 120oMCN=,现拟在两条木栈道的 ,AB处设置观景
台,记 , , .BC a AC b AB c= = =
（Ⅰ）若 ,,abc成等差数列，且公差为 4，求b 的值；
（Ⅱ）已知 12,AB = 记 ,ABC =试用 表示观景路线 AC CB+ 的长，并求
观景路线长 的最大值.
18.(本小题满分 12 分)
为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过 6000 元商品的顾客可以参与抽奖活动.现有甲品牌和
乙品牌的扫地机器人作为奖品,从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取 6 台,检测它们充满电后的工作时
长,相关数据见下表(工作时长单位:分)
机器序号 1 2 3 4 5 6
甲品牌工作
时长∕分
220 180 210 220 200 230
乙品牌工作
时长∕分
200 190 240 230 220 210
（Ⅰ）根据所提供的数据,计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差;
（Ⅱ）从 乙品牌被抽取的 6 台扫地机器人中随机抽出 3 台扫地机器人,记抽出的扫地机器人充满电后工作时
长不低于 220 分钟的台数为 X ,求 的分布列与数学期望.
19.(本小题满分 12 分)
如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，AB ⊥侧面 11BB C C ，已知 1 3BCC =， 1BC = ， 1 2AB C C==，
点 E 是棱 1C C 的中点.
（Ⅰ）求证: 1CB⊥ 平面 ABC ；
（Ⅱ）在棱CA 上是否存在一点 M ，使得 EM 与平面 11A B E 所成角的
正弦值为 2 11
11
，若存在，求出 CM
CA
的值；若不存在，请说明理由. 理科数学第4页共4页
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆
22
22: 1( 0)xyE a bab+ = 的离心率为 e ,点(1, )e 在椭圆 E 上，点 ( , ), ( , ),A a B b AOB
的面积为 3
2 ,O 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程;
（Ⅱ）若直线l 交椭圆 于 ,MN两点,直线OM 的斜率为 1k ,直线ON 的斜率为 2k ,且 12
1
9kk• = − ,
证明: OMN 的面积是定值,并求此定值.
21. (本小题满分 12 分)
设函数 ( ) 2 lnf x x ax x= − + .
（Ⅰ）若当 1x = 时， ( )fx取得极值，求 a 的值，并求 的单调区间.
（Ⅱ）若 存在两个极值点 12,xx，求 的取值范围，并证明: ( ) ( )21
21
4
2
f x f x a
x x a−−
−
.
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分) 选修 4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程是
cos ,
()
2 sin
x
y
= =
为参数 .以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， ,AB为曲线C 上两点,且OA OB⊥ ,设射线 : 0 .2OA =
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）求 OA OB• 的最小值.
23.(本小题满分 10 分) 选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ( ) 1 2 1f x x x= − − + ,若 ()fx的最大值为 k ；
（Ⅰ）求 k 的值；
（Ⅱ）设函数 ()g x x k=−,若 2b ,且 () bg ab a g a
•
,求证: 1a ..
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