2019-2020学年八年级下期中数学试卷5(含答案)
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2019-2020学年八年级下期中数学试卷5(含答案)

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资料简介
八年级(下)期中数学试卷 一、选择題(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分下列各题均有四个备选选项,其中有且只有一个正 确,请在答题卡上将正确答案的字母涂黑. 1.若式子 在实数范围内有意义,则 a 的取值范围是(  ) A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3 2.若 =4﹣b,则 b 满足的条件是(  ) A.b>4 B.b<4 C.b≥4 D.b≤4 3.以下列长度的线段为边,不能构成直角三角形的是(  ) A.2,3,4 B.1,1, C. D.5,12,13 4.在平行四边形 ABCD 中,已知∠A=60°,则∠D 的度数是(  ) A.60° B.90° C.120° D.30° 5.下列计算正确的是(  ) A. B. C. D. 6.如图,一竖直的木杆在离地面 4 米处折断,木頂端落在地面离木杆底端 3 米处,木杆折断之前的 高度为(  ) A.7 米 B.8 米 C.9 米 D.12 米 7.如图,▱ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,4)、B(1,1)、C(5,2),则点 D 的坐标为(  ) A.(5,5) B.(5,6) C.(6,6) D.(5,4) 8.如图,A(0,1),B(3,2),点 P 为 x 轴上任意一点,则 PA+PB 的最小值为(  ) A.3 B. C. D. 9.如图,在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为 的平行四边形.在 1×3 的正方形 网格中最多作 2 个,在 1×4 的正方形网格中最多作 6 个,在 1×5 的正方形网格中最多作 12 个, 则在 1×8 的正方形网格中最多可以作(  ) A.28 个 B.42 个 C.21 个 D.56 个 10.如图,正方形 ABCD 中,点 O 为对角线的交点,直线 EF 过点 O 分别交 AB、CD 于 E、F 两点( BE>EA),若过点 O 作直线与正方形的一组对边分別交于 G、H 两点,满足 GH=EF,则这样 的直线 GH(不同于直线 EF)的条数共有(  ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分 11.16 的平方根是   . 12.计算: ÷ =   . 13.已知等边三角形的边长为 6,则面积为   . 14.如图,菱形 ABCD 的周长为 8,对角线 BD=2,则对角线 AC 为   . 15.如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(1, 3),将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点落在 D 点的位置,且 AD 交 y 轴于点 E.那么点 E 的坐标    . 16.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,DA=5 ,则 BD 的长为    . 三、解答题(共 8 小題,共 72 分) 17.(8 分)计算: ① ; ② . 18.(8 分)计算: ① ② 19.(8 分)一根直立于水中的芦节(BD)高出水面(AC)2 米,一阵风吹来,芦苇的顶端 D 恰好 到达水面的 C 处,且 C 到 BD 的距离 AC=6 米,求水的深度(AB)为多少米? 20.(8 分)如图,AE∥BF,AC 平分∠BAD,且交 BF 于点 C,BD 平分∠ABC,且交 AE 于点 D, 连接 CD.求证:四边形 ABCD 是菱形. 21.(8 分)如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1. (1)求△ABC 的周长; (2)求证:∠ABC=90°; (3)若点 P 为直线 AC 上任意一点,则线段 BP 的最小值为   . 22.(10 分)如图 1,点 D、E、F、G 分别为线段 AB、OB、OC、AC 的中点. (1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形; (2)如图 2,若点 M 为 EF 的中点,BE:CF:DG=2:3: ,求证:∠MOF=∠EFO. 23.(10 分)已知点 A 为正方形 BCDE 内一动点,满足∠DAC=135°,且 b= +5. (1)求 a、b 的值; (2)如图 1,若线段 AB=b,AC=a,求线段 AD 的长; (3)如图 2,设线段 AB=m,AC=n,AD=h,请探究并直接写出三个量 m2、n2、h2 之间满足的数 量关系. 24.(12 分)在正方形 ABCD 中,点 E 为边 BC(不含 B 点)上的一动点,AE⊥EF,且 AE=EF, FG⊥BC 的延长线于点 G. (1)如图 1,求证:BE=FG; (2)如图 2,连接 BD,过点 F 作 FH∥BC 交 BD 于点 H,连接 HE,判断四边形 EGFH 的形状,并 给出证明; (3)如图 3,点 P、Q 为正方形 ABCD 内两点,AB=BQ,且∠ABQ=30°,BP 平分∠QBC,BP= DP,若 BC= +1,求线段 PQ 的长. 2016-2017 学年湖北省武汉市硚口区八年级(下)期中数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择題(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分下列各题均有四个备选选项,其中有且只有一个正 确,请在答题卡上将正确答案的字母涂黑. 1.若式子 在实数范围内有意义,则 a 的取值范围是(  ) A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得,a﹣3≥0, 解得 a≥3. 故选:B. 【点评】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数. 2.若 =4﹣b,则 b 满足的条件是(  ) A.b>4 B.b<4 C.b≥4 D.b≤4 【分析】根据二次根式的性质列出不等式,解不等式即可. 【解答】解:∵ =4﹣b, ∴4﹣b≥0, 解得,b≤4, 故选:D. 【点评】本题考查的是二次根式的化简,掌握二次根式的性质: =|a|是解题的关键. 3.以下列长度的线段为边,不能构成直角三角形的是(  ) A.2,3,4 B.1,1, C. D.5,12,13 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可. 【解答】解:A、∵22+32=13≠42,∴不能构成直角三角形,故本选项符合要求; B、∵12+12=( )2,∴能构成直角三角形,故本选项不符合要求; C、∵( )2+( )2=( )2,∴能构成直角三角形,故本选项不符合要求; D、∵52+122=132,∴能构成直角三角形,故本选项不符合要求. 故选:A. 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这 个三角形就是直角三角形. 4.在平行四边形 ABCD 中,已知∠A=60°,则∠D 的度数是(  ) A.60° B.90° C.120° D.30° 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解. 【解答】解:∵在平行四边形 ABCD 中,∠A=60°, ∴∠D=180°﹣60°=120°. 故选:C. 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点. 5.下列计算正确的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得. 【解答】解:A、 与 不是同类二次根式,不能合并,此选项错误; B、4 ﹣3 =3 ,此选项错误; C、 × = ,此选项正确; D、(3 )2=18,此选项错误; 故选:C. 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混 合运算顺序及其法则. 6.如图,一竖直的木杆在离地面 4 米处折断,木頂端落在地面离木杆底端 3 米处,木杆折断之前的 高度为(  ) A.7 米 B.8 米 C.9 米 D.12 米 【分析】由题意得,在直角三角形中,知道了两直角边,运用勾股定理即可求出斜边,从而得出这 棵树折断之前的高度. 【解答】解:∵一竖直的木杆在离地面 4 米处折断,頂端落在地面离木杆底端 3 米处, ∴折断的部分长为 =5(米), ∴折断前高度为 5+4=9(米). 故选:C. 【点评】此题考查了勾股定理的应用,主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力. 7.如图,▱ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,4)、B(1,1)、C(5,2),则点 D 的坐标为(  ) A.(5,5) B.(5,6) C.(6,6) D.(5,4) 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形,可得 AB∥CD,AB=CD,继而求得答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵A(1,4)、B(1,1)、C(5,2), ∴AB=3, ∴点 D 的坐标为(5,5). 故选:A. 【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意平行四边形的对边平行且相等. 8.如图,A(0,1),B(3,2),点 P 为 x 轴上任意一点,则 PA+PB 的最小值为(  ) A.3 B. C. D. 【分析】作点A 关于 x 轴的对称点 A′.连接 BA′交 x 轴于点 P,此时 PA+PB 的值最小.根据勾股 定理求出 BA′即可; 【解答】解:作点 A 关于 x 轴的对称点 A′.连接 BA′交 x 轴于点 P,此时 PA+PB 的值最小. PA+PB 的最小值=BA′= =3 , 故选:B. 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题,坐标用图形的性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解 决最短问题,属于中考常考题型. 9.如图,在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为 的平行四边形.在 1×3 的正方形 网格中最多作 2 个,在 1×4 的正方形网格中最多作 6 个,在 1×5 的正方形网格中最多作 12 个, 则在 1×8 的正方形网格中最多可以作(  ) A.28 个 B.42 个 C.21 个 D.56 个 【分析】根据已知图形的出在 1×n 的正方形网格中最多作 2×(1+2+3+…+n﹣2)个,据此可得. 【解答】解:∵在 1×3 的正方形网格中最多作 2=2×1 个, 在 1×4 的正方形网格中最多作 6=2×(1+2)个, 在 1×5 的正方形网格中最多作 12=2×(1+2+3)个, …… ∴在 1×8 的正方形网格中最多作 2×(1+2+3+4+5+6)=42 个, 故选:B. 【点评】本题主要考查图形的变化规律,解题的关键是根据题意得出在1×n 的正方形网格中最多作 2×(1+2+3+…+n﹣2)个. 10.如图,正方形 ABCD 中,点 O 为对角线的交点,直线 EF 过点 O 分别交 AB、CD 于 E、F 两点( BE>EA),若过点 O 作直线与正方形的一组对边分別交于 G、H 两点,满足 GH=EF,则这样 的直线 GH(不同于直线 EF)的条数共有(  ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条 【分析】根据对称性以及旋转变换的性质,画出图形即可解决问题,如图所示; 【解答】解:根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有 3 条,如图所示; 故选:C. 【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属 于中考常考题型. 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分 11.16 的平方根是 ±4 . 【分析】根据平方根的定义,求数 a 的平方根,也就是求一个数 x,使得 x2=a,则 x 就是 a 的平方 根,由此即可解决问题. 【解答】解:∵(±4)2=16, ∴16 的平方根是±4. 故答案为:±4. 【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 的平方根是 0 ;负数没有平方根. 12.计算: ÷ = 3  . 【分析】根据二次根式是除法法则进行计算. 【解答】解:原式= = = =3 . 故答案是:3 . 【点评】本题考查了二次根式的乘除法.二次根式的除法法则: ÷ = (a≥0,b>0). 13.已知等边三角形的边长为 6,则面积为 9  . 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D 为 BC 的中点,即 BD=CD,在直角三角形 ABD 中 ,已知 AB、BD,根据勾股定理即可求得 AD 的长,即可求三角形 ABC 的面积,即可解题. 【解答】解:等边三角形高线即中线,故 D 为 BC 中点, ∵AB=6, ∴BD=3, ∴AD= =3 , ∴等边△ABC 的面积= BC•AD= ×6×3 =9 . 故答案为:9 . 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,等边三角形面积的计算,本题中根据勾股定 理计算 AD 的值是解题的关键. 14.如图,菱形 ABCD 的周长为 8,对角线 BD=2,则对角线 AC 为 2  . 【分析】设菱形的对角线相交于O,根据菱形性质得出 AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BO=OD,AO =OC,求出 OB,根据勾股定理求出 OA,即可求出 AC. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BO=OD,AO=OC, ∵菱形的周长是 8, ∴DC= ×8=2, ∵BD=2, ∴OD=1, 在 Rt△DOC 中,OC= = , ∴AC=2OC=2 , 故答案为:2 . 【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理,注意:菱形的对角线互相垂直平分,菱形的四条边相 等. 15.如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(1, 3),将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点落在 D 点的位置,且 AD 交 y 轴于点 E.那么点 E 的坐标 ( 0, ) . 【分析】先证明 EA=EC(设为 x);根据勾股定理列出 x2=12+(3﹣x)2,求得 x= ,即可解决 问题. 【解答】解:由题意知:∠BAC=∠DAC,AB∥OC, ∴∠ECA=∠BAC, ∴∠ECA=∠DAC, ∴EA=EC(设为 x);由题意得: OA=1,OC=AB=3; 由勾股定理得:x2=12+(3﹣x)2, 解得:x= , ∴OE=3﹣ = , ∴E 点的坐标为(0, ). 故答案为:(0, ). 【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题;解题的关键是灵活运用有关定理来分析、 判断、推理或解答;对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求. 16.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,DA=5 ,则 BD 的长为   . 【分析】作DM⊥BC,交 BC 延长线于 M,由勾股定理得出 AC2=AB2+BC2=25,求出 AC2+CD2=AD2 ,由勾股定理的逆定理得出△ACD 是直角三角形,∠ACD=90°,证出∠ACB=∠CDM,得出△ ABC≌△CMD,由全等三角形的性质求出 CM=AB=3,DM=BC=4,得出 BM=BC+CM=7, 再由勾股定理求出 BD 即可. 【解答】解:作 DM⊥BC,交 BC 延长线于 M,如图所示: 则∠M=90°, ∴∠DCM+∠CDM=90°, ∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4, ∴AC2=AB2+BC2=25, ∴AC=5, ∵AD=5 ,CD=5, ∴AC2+CD2=AD2, ∴△ACD 是直角三角形,∠ACD=90°, ∴∠ACB+∠DCM=90°, ∴∠ACB=∠CDM, ∵∠ABC=∠M=90°, 在△ABC 和△CMD 中 ∴△ABC≌△CMD, ∴CM=AB=3,DM=BC=4, ∴BM=BC+CM=7, ∴BD= = = , 故答案为: . 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理;熟练掌握全等三角 形的判定与性质,由勾股定理的逆定理证出△ACD 是直角三角形是解决问题的关键. 三、解答题(共 8 小題,共 72 分) 17.(8 分)计算: ① ; ② . 【分析】①先化简各二次根式,再合并同类二次根式即可得; ②根据二次根式的乘法运算法则计算可得. 【解答】解:①原式=3 ﹣4 +2 = ; ②原式= = =3. 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混 合运算顺序及其法则. 18.(8 分)计算: ① ② 【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方,再合并同类二次根式即可得; ②先化简各二次根式,再计算乘法,继而合并同类二次根式即可得. 【解答】解:①原式=2+6+4 +3﹣6=5+4 ; ②原式=6× ﹣ ×6 =3 ﹣15 =﹣12 . 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混 合运算顺序和运算法则. 19.(8 分)一根直立于水中的芦节(BD)高出水面(AC)2 米,一阵风吹来,芦苇的顶端 D 恰好 到达水面的 C 处,且 C 到 BD 的距离 AC=6 米,求水的深度(AB)为多少米? 【分析】先设水深为 x,则 AB=x,求出 x 的长,再由勾股定理即可得出结论. 【解答】解:∵先设水深为 x,则 AB=x,BC=(x+2), ∵AC=6 米, 在△ABC 中,AB2+AC2=BC2,即 62+x2=(x+2)2,解得 x=8(米). 答:水深 AB 为 8 米. 【点评】本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是 解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领 会数形结合的思想的应用. 20.(8 分)如图,AE∥BF,AC 平分∠BAD,且交 BF 于点 C,BD 平分∠ABC,且交 AE 于点 D, 连接 CD.求证:四边形 ABCD 是菱形. 【分析】根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,根据角平分线定义得出∠DAC= ∠BAC,∠ABD=∠DBC,求出∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,根据等腰三角形的判定得出 AB =BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形,即可得出答案. 【解答】证明: ∵AE∥BF, ∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA, ∵AC、BD 分别是∠BAD、∠ABC 的平分线, ∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC, ∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB, ∴AB=BC,AB=AD ∴AD=BC, ∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵AD=AB, ∴四边形 ABCD 是菱形. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,能得出四边形ABCD 是平行四边形是解此题的关键. 21.(8 分)如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1. (1)求△ABC 的周长; (2)求证:∠ABC=90°; (3)若点 P 为直线 AC 上任意一点,则线段 BP 的最小值为 2 . 【分析】(1)运用勾股定理求得 AB,BC 及 AC 的长,即可求出△ABC 的周长. (2)运用勾股定理的逆定理求得 AC2=AB2+BC2,得出∠ABC=90°. (3)过 B 作 BP⊥AC,解答即可. 【解答】解:(1)AB= ,BC= ,AC= , △ABC 的周长=2 + +5=3 +5, (2)∵AC2=25,AB2=20,BC2=5, ∴AC2=AB2+BC2, ∴∠ABC=90°. (3)过 B 作 BP⊥AC, ∵△ABC 的面积= , 即 , 解得 BP=2, 故答案为:2 【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理,熟记勾股定理是解题的关键. 22.(10 分)如图 1,点 D、E、F、G 分别为线段 AB、OB、OC、AC 的中点. (1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形; (2)如图 2,若点 M 为 EF 的中点,BE:CF:DG=2:3: ,求证:∠MOF=∠EFO. 【分析】(1)根据中位线定理得:DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC,则 DG=BC,DE∥ BC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得:四边形 DEFG 是平行四边形; (2)先根据已知的比的关系设未知数:设 BE=2x,CF=3x,DG= x,根据勾股定理的逆定理 得:∠EOF=90°,最后利用直角三角形斜边中线的性质可得 OM=FM,由等边对等角可得结论 . 【解答】证明:(1)∵D 是 AB 的中点,G 是 AC 的中点, ∴DG 是△ABC 的中位线, ∴DG∥BC,DG= BC, 同理得:EF 是△OBC 的中位线, ∴EF∥BC,EF= BC, ∴DG=EF,DG∥EF, ∴四边形 DEFG 是平行四边形; (2)∵BE:CF:DG=2:3: , ∴设 BE=2x,CF=3x,DG= x, ∴OE=2x,OF=3x, ∵四边形 DEFG 是平行四边形, ∴DG=EF= x, ∴OE2+OF2=EF2, ∴∠EOF=90°, ∵点 M 为 EF 的中点, ∴OM=MF, ∴∠MOF=∠EFO. 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理,掌握三角形中 位线定理是解题的关键. 23.(10 分)已知点 A 为正方形 BCDE 内一动点,满足∠DAC=135°,且 b= +5. (1)求 a、b 的值; (2)如图 1,若线段 AB=b,AC=a,求线段 AD 的长; (3)如图 2,设线段 AB=m,AC=n,AD=h,请探究并直接写出三个量 m2、n2、h2 之间满足的数 量关系. 【分析】(1)根据二次根式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案; (2)把△CAD 旋转 90°得到△CA′B,根据勾股定理求出 AA′,求出∠AA′B=90°,根据勾股 定理计算即可; (3)仿照(2)的计算方法解答. 【解答】解:(1)由二次根式有意义的条件可知,a﹣3≥0,3﹣a≥0, ∴a=3,b=5; (2)把△CAD 旋转 90°得到△CA′B, 则 AC=A′C,∠A′CB=∠ACD,AD=A′B, ∴∠ACA′=90°, ∴∠AA′C=45°,AA′= =3 , ∴∠AA′B=90°, ∴A′B= = , ∴AD=A′B= ; (3)由(2)得,AA′= = n, ∴m2﹣2n2=h2. 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用,掌握二次根式 的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键. 24.(12 分)在正方形 ABCD 中,点 E 为边 BC(不含 B 点)上的一动点,AE⊥EF,且 AE=EF, FG⊥BC 的延长线于点 G. (1)如图 1,求证:BE=FG; (2)如图 2,连接 BD,过点 F 作 FH∥BC 交 BD 于点 H,连接 HE,判断四边形 EGFH 的形状,并 给出证明; (3)如图 3,点 P、Q 为正方形 ABCD 内两点,AB=BQ,且∠ABQ=30°,BP 平分∠QBC,BP= DP,若 BC= +1,求线段 PQ 的长. 【分析】(1)欲证明 BE=FG,只要证明△ABE≌△EGF,即可解决问题; (2)四边形 EGFH 是矩形.首先证明四边形 ECMH 是矩形,可得∠FHE=∠HEG=∠EGF=90°, 推出四边形 EGFH 是矩形; (3)如图 3 中,连接 PC,作 PE⊥BC 于 E,PF⊥BQ 于 F.∴由 PCB≌△PCD,推出∠PCB=∠PCD =45°,可证 PE=EC,设 PE=EC=a,在 Rt△PEB 中,由∠PBE=30°,推出 PB=2PE,BE= a,由 BC= +1,可得 a+a= +1,推出 a=1,再求出 FQ、FP 即可解决问题; 【解答】解:(1)如图 1 中, ∵FG⊥EG,AE⊥EF,四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠AEF=∠G=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEG=90°, ∴∠BAE=∠FEG,∵AE=EF, ∴△ABE≌△EGF, ∴BE=FG. (2)结论:四边形 EGFH 是矩形. 理由:如图 2 中,设 FH 交 CD 于 M. ∵△ABE≌△EGF, ∴AB=EG=BC, ∴BE=CG=FG, ∵FM∥CG,FG∥CM, ∴四边形 CMFG 是平行四边形, ∵GC=FG,∠MCG=90°, ∴四边形 CMFG 是正方形, ∴CM=CG=BE, ∵BC=CD, ∴CE=DM, ∵FH∥BC, ∴∠DMH=∠DCB=90°, ∵∠MDH=45°, ∴∠MDH=∠MHD=45°, ∴DM=HM=EC, ∵HM∥EC, ∴四边形 CEHM 是平行四边形, ∵∠ECM=90°, ∴四边形 ECMH 是矩形, ∴∠FHE=∠HEG=∠EGF=90°, ∴四边形 EGFH 是矩形. (3)如图 3 中,连接 PC,作 PE⊥BC 于 E,PF⊥BQ 于 F. ∵PB=PD,PC=PC,BC=CD, ∴△PCB≌△PCD, ∴∠PCB=∠PCD=45°, ∵PE⊥EC, ∴∠PCE=∠EPC=45°, ∴PE=EC,设 PE=EC=a, 在 Rt△PEB 中,∵∠PBE=30°, ∴PB=2PE,BE= a, ∵BC= +1, ∴ a+a= +1, ∴a=1, ∴PB=2 在 Rt△PFB 中,∵∠PBF=30°, ∴PF=1,BF= , ∵BQ=BQ=BC= +1, ∴FQ=1, ∴PQ= = . 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、 勾股定理、直角三角形 30 度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三 角形解决问题,属于中考压轴题.

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