2019-2020哈尔滨市道里区中考数学三模试卷解析版

2019-2020 年哈尔滨市道里区中考数学三模试卷 一．选择题（共 10 小题） 1．某天的最低气温是 5℃，最高气温是 7℃，则这一天的最高气温与最低气温的差是（　　） A．﹣2℃ B．2℃ C．12° D．﹣12℃ 2．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5 B．（x2）3＝x5 C．（x2+1）0＝1 D．x•x3＝x3 3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．由 6 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．点（4，﹣2）在反比例函数 y＝ 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（4，2） B．（3，﹣3） C．（﹣1，﹣8） D．（﹣4，2） 6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B．C． D． 7．在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠BCD＝120°，则对角线 BD 的长为（　　） A．20 B．10 C．4 D．5 8．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按 标价的六折销售，仍可获利 30 元，则这件商品的进价为（　　） A．80 元 B．90 元 C．100 元 D．120 元 9．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AD 边上，BE 交对角线 AC 于点 F，则下列各式错误的是 （　　） A． B． C． D． 10．甲、乙两车同时从 A 地出发，以各自的速度匀速向 B 地行驶，甲车先到 B 地，停车 1 小时按原速度匀速返回，直到两车相遇．乙车速度是 60 千米/时，如图是两车之间的距 离 y（干米）与乙车行驶时间 x（小时）之间的函数图象，则下列说法正确的是（　　） A．A、B 两地相距 150 千米 B．甲车速度是 100 千米/时 C．乙车从出发到与甲车相遇共用 小时 D．点 M 的纵坐标为 90 二．填空题（共 10 小题） 11．将数 0.0000102 用科学记数法表示为　 　． 12．函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是　 　．13．计算 + 的结果是　 　． 14．把多项式 2a3﹣8a 分解因式的结果是　 　． 15．抛物线 y＝x2+2x﹣a2（a 为常数）的顶点在第　 　象限． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠AOC＝70°，AD∥OC，则∠ABD ＝　 　． 17．一个扇形的面积为 12πcm2，圆心角为 120°，则该扇形的半径是　 　． 18．如图，一个转盘的盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1、0、1、2 若转动 转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不 记，重转），则记录的两个数字的和等于 0 的概率为　 　． 19．已知▱ABCD，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 E，∠BAE＝30°，BC＝2，AE＝ ，则 点 B 到直线 AC 的距离为　 　． 20．如图，在△ABC 中，∠ACB＝45°，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，ED⊥AB， ED 交 BC 于点 F，AB＝DF，3DF＝5EF，CF＝l，则 AC＝　 　．三．解答题（共 7 小题） 21．先化简，再求代数式 ÷（a﹣ ）的值，其中 a＝1+2sin60°，b＝1﹣3tan30 °． 22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ACE 的顶点均在小正方形的 顶点上． （1）画出 Rt△MAE，且∠MAE＝90°，点 M 在小正方形的顶点上； （2）画出矩形 ABCD，点 M 在矩形 ABCD 的一边上，点 B、D 均在小正方形的顶点上 （矩形顶点的字母顺序按逆时针排序）； （3）连接 MD、DE，请直接写出四边形 MAED 与△CDE 的面积的比值． 23．在一次向贫困山区学生“爱心助学”捐款活动中，某校学生人人拿出自己的零花钱踊跃 捐款，学生捐款额有 5 元、10 元、15 元、20 元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了 图①和图②两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并求捐款额为 5 元的学生人数占抽样人数的百分比？ （2）请你将图②的条形统计图补充完整； （3）若该校九年级人数为 600 人，请你估计该校九年级一共捐款多少元？ 24．如图，在△ABC 中，AC＝AB，把△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE（点 B、C 分别 对应点 D、E），BD 和 CE 交于点 F．（1）求证：CE＝BD； （2）若 AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形 ADFC 是平行四边形时，求 BF 的长． 25．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少用 8 天，甲队单独做 3 天的工作乙队单独做 需要 5 天． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？ （2）甲队每施工一天则需付给甲队工程款 5.5 万元，乙队每施工一天则需付给乙队工程 款 3 万元．该工程先由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩下的工程．若要求完 成此项工程的工程款不超过 65 万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 26．四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°． （1）如图 1，求证：AC＝BC； （2）如图 2，E 为⊙O 上一点， ＝ ，F 为 AC 上一点，DE 与 BF 相交于点 T，连接 AT，若∠BFC＝∠BDC+ ∠ABD，求证：AT 平分∠DAB； （3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求 DE 的长． 27．已知：抛物线 y＝ax2﹣3ax+4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB＝ 5． （1）如图 1，求抛物线的解析式； （2）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 C，F 是第四象限抛物线上一点，FD⊥x 轴，垂足为D，E 是 FD 延长线上一点，ER⊥y 轴，垂足为 R，FA 交 y 轴于点 Q，若 BC∥RD．求证： OQ＝CR； （3）在（2）的条件下，在 RD 上取一点 M，延长 OM 交线段 DE 于点 N，RE 交抛物线 于点 T（点 T 在抛物线对称轴的右侧），连接 MT、NT，且 TM⊥OM， ＝ ，H 是 AF 上一点，当∠DHF＝135°时，求点 H 的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．某天的最低气温是 5℃，最高气温是 7℃，则这一天的最高气温与最低气温的差是（　　） A．﹣2℃ B．2℃ C．12° D．﹣12℃ 【分析】用某天的最高气温减去最低气温，求出这一天的最高气温与最低气温的差是多 少即可． 【解答】解：7﹣5＝2（℃） 答：这一天的最高气温与最低气温的差是 2℃． 故选：B． 2．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5 B．（x2）3＝x5 C．（x2+1）0＝1 D．x•x3＝x3 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的运算方法，零指数幂的运算方法， 以及合并同类项的方法，逐项判断即可． 【解答】解：∵2x+3y＝5 不一定成立， ∴选项 A 不符合题意； ∵（x2）3＝x6， ∴选项 B 不符合题意； ∵（x2+1）0＝1， ∴选项 C 符合题意； ∵x•x3＝x4， ∴选项 D 不符合题意． 故选：C． 3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：B． 4．由 6 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是一个 正方形， 故选：B． 5．点（4，﹣2）在反比例函数 y＝ 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（4，2） B．（3，﹣3） C．（﹣1，﹣8） D．（﹣4，2） 【分析】点（4，﹣2）在反比例函数 y＝ 的图象上，可求 k 的值，验证点的纵横坐标的 积等于 k 的点即可． 【解答】解：∵点（4，﹣2）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴k＝4×（﹣2）＝﹣8， 又∵D（﹣4，2），（﹣4）×2＝﹣8， ∴点 D 在函数的图象上，故选：D． 6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集． 【解答】解： 由①得，x≤3； 由②得，x＞﹣ ； 所以，不等式组的解集为﹣ ＜x≤3． 故选：A． 7．在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠BCD＝120°，则对角线 BD 的长为（　　） A．20 B．10 C．4 D．5 【分析】由四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得∠ACB＝ BCD＝ ×120°＝60 °，AC⊥BD，OC＝ AC＝ ×4＝2，BD＝2OB，又由三角函数的性质，即可求得答 案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ACB＝ BCD＝ ×120°＝60°，AC⊥BD，OC＝ AC＝ ×4＝2，BD＝2OB， ∴在 Rt△OBC 中，OB＝OC•tan∠ACB＝2× ＝2 ， ∴BD＝2OB＝4 ． 故选：C．8．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为 200 元，按 标价的六折销售，仍可获利 30 元，则这件商品的进价为（　　） A．80 元 B．90 元 C．100 元 D．120 元 【分析】设这件商品的进价为 x 元，根据利润＝销售价格﹣进价，即可得出关于 x 的一 元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这件商品的进价为 x 元， 根据题意得：200×0.6﹣x＝30， 解得：x＝90． 答：这件商品的进价为 90 元． 故选：B． 9．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AD 边上，BE 交对角线 AC 于点 F，则下列各式错误的是 （　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质可得出 AE∥BC，根据平行线的性质可得出∠EAF＝∠ BCF、∠AEF＝∠CBF，进而可得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可得出 ＝ （A 选项不符合题意）、 ＝ （D 选项不符合题意）， ＝ （C 选项不符合题 意），此题得解． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AE∥BC， ∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF， ∴△AEF∽△CBF，∴ ＝ （A 选项不符合题意）， ＝ （D 选项不符合题意）， ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ （C 选项不符合题意）． 故选：B． 10．甲、乙两车同时从 A 地出发，以各自的速度匀速向 B 地行驶，甲车先到 B 地，停车 1 小时按原速度匀速返回，直到两车相遇．乙车速度是 60 千米/时，如图是两车之间的距 离 y（干米）与乙车行驶时间 x（小时）之间的函数图象，则下列说法正确的是（　　） A．A、B 两地相距 150 千米 B．甲车速度是 100 千米/时 C．乙车从出发到与甲车相遇共用 小时 D．点 M 的纵坐标为 90 【分析】仔细观察图象可知：两车行驶 5 小时后，两车相距 150 千米； 根据两车之间的距离 y（千米）与乙车行驶时间 x（小时）之间的函数关系及乙车的速度 为每小时 60 千米可得出甲车得速度； 根据题意列式计算即可得出乙车从出发到与甲车相遇共用的时间； 根据题意列式计算即可得出点 M 的纵坐标． 【解答】解：根据题意仔细观察图象可知 5 小时后两车相距 150 千米，故选项 A 不合题 意； 设甲的速度变为 xkm/h，根据 5（x﹣60）＝150，解得：x＝90，故甲车 A 到 B 的行驶速 度为 90 千米/时，故选项 B 不合题意； 乙车从出发到与甲车相遇共用的时间为：6+（90×5﹣60×6）÷（90+60）＝ （小 时），故选项 C 不合题意； 点 M 的纵坐标为：90×5﹣60×6＝90，故选项 D 符合题意．故选：D． 二．填空题（共 10 小题） 11．将数 0.0000102 用科学记数法表示为　1.02×10﹣5　． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较 大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的 数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：0.0000102＝1.02×10﹣5． 故答案为：1.02×10﹣5． 12．函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是　x≠ 　． 【分析】根据分式的意义，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 【解答】解：根据题意得：2x﹣3≠0， 解得：x≠ ． 故答案为 x≠ ． 13．计算 + 的结果是　1　． 【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣2+3＝1， 故答案为：1 14．把多项式 2a3﹣8a 分解因式的结果是　2a（a+2）（a﹣2）　． 【分析】首先提取公因式进而利用平方差公式法分解因式得出即可． 【解答】解：2a3﹣8a＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：2a（a+2）（a﹣2）． 15．抛物线 y＝x2+2x﹣a2（a 为常数）的顶点在第　三　象限． 【分析】根据抛物线的顶点式求出抛物线 y＝x2+2x﹣a2（a 为常数）的顶点坐标，再根据 各象限内点的坐标特点进行解答． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣a2＝（x+1）2﹣a2﹣1， ∴顶点坐标为：（﹣1，﹣a2﹣1）， ∵﹣1＜0，﹣a2﹣1＜0， ∴顶点在第三象限．故答案为：三． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠AOC＝70°，AD∥OC，则∠ABD＝　20 °　． 【分析】利用平行线的性质得到∠BAD＝∠AOC＝70°，再根据圆周角定理得到∠D＝90 °，然后利用互余计算∠ABD 的度数． 【解答】解：∵AD∥OC， ∴∠BAD＝∠AOC＝70°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠D＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣70°＝20°． 故答案为 20°． 17．一个扇形的面积为 12πcm2，圆心角为 120°，则该扇形的半径是　6　． 【分析】设该扇形的半径是 rcm，再根据扇形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设该扇形的半径是 rcm，则 12π＝ ， 解得 r＝6． 故答案为：6 18．如图，一个转盘的盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1、0、1、2 若转动 转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不 记，重转），则记录的两个数字的和等于 0 的概率为　 　．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都 是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 16 种等可能的结果，记录的两个数字的和等于 0 的由 3 种结果， ∴记录的两个数字的和等于 0 的概率为 ， 故答案为： ． 19．已知▱ABCD，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 E，∠BAE＝30°，BC＝2，AE＝ ，则 点 B 到直线 AC 的距离为　 或 1　． 【分析】分两种情况：①作 BF⊥AC 于 F，由直角三角形的性质得出 BE＝1，AB＝2，∠ ABE＝60°，证出△ABC 是等边三角形，得出 AC＝BC＝2，证出 CF＝ AC＝1，由勾股 定理即可得出结果； ②作 BF⊥AC 于 F，由直角三角形的性质得出 BE＝1，AB＝2，∠ABE＝60°，由等腰三 角形的性质和三角形的外角性质得出∠BCA＝∠BAC＝30°，由直角三角形的性质即可 得出结果． 【解答】解：分两种情况： ①如图 1 所示：作 BF⊥AC 于 F， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BAE＝30°，AE＝ ， ∴BE＝1，AB＝2，∠ABE＝60°，∵BC＝2＝AB， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC＝BC＝2， ∵BF⊥AC， ∴CF＝ AC＝1， ∴BF＝ ＝ ； ②如图 2 所示：作 BF⊥AC 于 F， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BAE＝30°，AE＝ ， ∴BE＝1，AB＝2，∠ABE＝60°， ∵BC＝2＝AB， ∴∠BCA＝∠BAC＝30°， ∴BF＝ BC＝1； 综上所述，点 B 到直线 AC 的距离为 或 1； 故答案为： 或 1． 20．如图，在△ABC 中，∠ACB＝45°，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，ED⊥AB， ED 交 BC 于点 F，AB＝DF，3DF＝5EF，CF＝l，则 AC＝　 　．【分析】注意到 DF 与 AB 垂直且相等，于是构造矩形 ABGF，连接 GC、GE，然后可导 出 A、B、G、C 四点共圆，G、F、C、E 四点共圆，算出 CG 的长度和∠GAC 的正切值 即可算出 AC 长度． 【解答】解：如图，作 GB⊥AB，GF⊥DE，GB 与 GF 交于点 G，连接 GC、GE． ∵ED⊥AB 于 D，则四边形 BDFG 是矩形， ∴BG＝DF，GF＝BD， ∵AB＝DF， ∴AB＝BG， ∴∠AGB＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠AGB， ∴A、B、G、C 四点共圆， ∴∠ACG＝∠ABG＝90°，∠GCB＝∠ACB＝45°， ∴∠GFE＝∠GCE＝90°， ∴G、F、C、E 四点共圆， ∴∠FGC＝∠FEC，∠FEG＝∠FCG＝45°， ∴FG＝FE，作 HF⊥CF 交 CG 于 H，则∠CFH＝∠GFE＝90°，FC＝FH， ∴∠GFH＝∠EFC， 在△GFH 和△EFC 中： ∴△GFH≌△EFC（AAS）， ∴GH＝CE． ∵3DF＝5EF， ∴3DF＝5FG＝5BD， ∴∠tan∠DFB＝ ＝ ， ∴tan∠CGE＝ ＝tan∠CFE＝∠tan∠DFB＝ ， 设 CE＝GH＝3x，则 CG＝5x，所以 CH＝2x， ∵CF＝1， ∴CH＝ ， ∴2x＝ ， ∴x＝ ， ∴CG＝5x＝ ， ∵tan∠CAG＝ ＝tan∠FBG＝∠tan∠DFB＝ ， ∴CA＝ CG＝ ． 三．解答题（共 7 小题） 21．先化简，再求代数式 ÷（a﹣ ）的值，其中 a＝1+2sin60°，b＝1﹣3tan30 °． 【分析】先化简分式，然后将 a、b 的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝当 a＝1+2sin60°＝1 ，b＝1﹣3tan30°＝1 ， 原式＝ ＝ ＝ ． 22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ACE 的顶点均在小正方形的 顶点上． （1）画出 Rt△MAE，且∠MAE＝90°，点 M 在小正方形的顶点上； （2）画出矩形 ABCD，点 M 在矩形 ABCD 的一边上，点 B、D 均在小正方形的顶点上 （矩形顶点的字母顺序按逆时针排序）； （3）连接 MD、DE，请直接写出四边形 MAED 与△CDE 的面积的比值． 【分析】（1）利用数形结合的思想画出等腰直角三角形 AEM 即可． （2）利用数形结合的思想画出矩形 ABCD 即可． （3）求出正方形 AMDE，△CDE 的面积即可． 【解答】解：（1）Rt△MAE 即为所求． （2）矩形 ABCD 即为所求． （3） ＝ ＝4． 23．在一次向贫困山区学生“爱心助学”捐款活动中，某校学生人人拿出自己的零花钱踊跃 捐款，学生捐款额有 5 元、10 元、15 元、20 元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并求捐款额为 5 元的学生人数占抽样人数的百分比？ （2）请你将图②的条形统计图补充完整； （3）若该校九年级人数为 600 人，请你估计该校九年级一共捐款多少元？ 【分析】（1）从两个统计图中可以得到捐款 15 元的有 16 人，占调查人数的 32%，可求 出调查人数即样本容量，捐款 5 元的有 6 人占 50 人的百分比即可， （2）求出捐款 10 元的人数，即可补全条形统计图， （3）样本估计总体，求出样本平均数，估计总体平均数，进而求出捐款总钱数． 【解答】解：（1）16÷32%＝50 人，6÷50＝12%， 答：本次抽样的学生人数为 50 人，捐款额为 5 元的学生人数占抽样人数的百分比为 12%． （2）50﹣6﹣16﹣10＝18 人，补全条形统计图如图所示： （3） ×600＝7800 元， 答：该校九年级 600 人，一共捐款 7800 元． 24．如图，在△ABC 中，AC＝AB，把△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE（点 B、C 分别对应点 D、E），BD 和 CE 交于点 F． （1）求证：CE＝BD； （2）若 AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形 ADFC 是平行四边形时，求 BF 的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得 AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC，由“SAS”可证△ AEC≌△ADB，可得 CE＝BD； （2）由平行四边形的性质可得 DF＝AC，AC∥BD，可得∠ABD＝∠BAC＝45°，可求∠ BAD＝90°，可得 BD＝ AB＝2 ，即可求 BF 的长． 【解答】证明：（1）∵把△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE ∴△ABC≌△ADE ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC ∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AB＝AC ∴AD＝AB＝AC＝AE ∵∠DAB＝∠EAC，AD＝AB，AC＝AE ∴△AEC≌△ADB（SAS） ∴CE＝BD （2）∵四边形 ADFC 是平行四边形 ∴DF＝AC，AC∥BD ∴∠ABD＝∠BAC＝45° ∵AB＝AD ∴∠DBA＝∠BDA＝45° ∴∠BAD＝90° ∴BD＝ AB＝2∵DF＝AC＝AB＝2 ∴BF＝BD﹣DF＝2 ﹣2 25．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少用 8 天，甲队单独做 3 天的工作乙队单独做 需要 5 天． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？ （2）甲队每施工一天则需付给甲队工程款 5.5 万元，乙队每施工一天则需付给乙队工程 款 3 万元．该工程先由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩下的工程．若要求完 成此项工程的工程款不超过 65 万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需 x 天，乙队单独完成此项工程需（x+8）天，根 据甲队单独做 3 天的工作乙队单独做需要 5 天，列分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作 m 天，根据工程款不超过 65 万元，列关于 m 的一元一次不等式并 求解即可． 【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需 x 天，乙队单独完成此项工程需（x+8） 天 根据题意得： ＝ 解得 x＝12 经检验 x＝12 是原方程的解 当 x＝12 时，x+8＝20 答：甲队单独完成此项工程需 12 天，乙队单独完成此项工程需 20 天． （2）设甲乙两队合作 m 天，根据题意得： 5.5m+ ×3≤65 解得 m≤10 答：甲乙两队最多合作 10 天． 26．四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°． （1）如图 1，求证：AC＝BC； （2）如图 2，E 为⊙O 上一点， ＝ ，F 为 AC 上一点，DE 与 BF 相交于点 T，连接 AT，若∠BFC＝∠BDC+ ∠ABD，求证：AT 平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求 DE 的长． 【分析】（1）只要证明∠CAB＝∠CBA 即可． （2）如图 2 中，作 TR＝TH＝TLTH⊥AD 于 H，TR⊥BD 于 R，TL⊥AB 于 L．想办法证 明 TL＝TH 即可解决问题． （3）如图 3 中，连接 EA，EB，作 TR＝TH＝TLTH⊥AD 于 H，TR⊥BD 于 R，TL⊥AB 于 L，AQ⊥BD 于 Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出 AG＝DH，证明 Rt△TDR≌Rt△ TDH（HL），推出 DH＝DR，同理可得 ALAH，BR＝BL，设 DH＝x，则 AB＝2x， 由 S△ADB＝ •BD•AQ＝ •AD•h+ •AB•h+ •DB•h，可得 AQ＝ h，再根据 sin∠BDE ＝sin∠ADE，sin∠AED＝sin∠ABD，构建方程组求出 m 即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图 1 中， ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°， ∵2∠BDC+∠ADB＝180°， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠ABC， ∴AC＝BC．（2）证明：如图 2 中，作 TR＝TH＝TLTH⊥AD 于 H，TR⊥BD 于 R，TL⊥AB 于 L． ∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC， ∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF， ∵∠BFC＝∠BDC+ ∠ABD， ∴∠ABF＝ ∠ABD， ∴BT 平分∠ABD， ∵ ＝ ， ∴∠ADE＝∠BDE， ∴DT 平分∠ADB， ∵TH⊥AD 于 H，TR⊥BD 于 R，TL⊥AB 于 L． ∴TR＝TL，TR＝TH， ∴TL＝TH， ∴AT 平分∠DAB． （3）解：如图 3 中，连接 EA，EB，作 TR＝TH＝TLTH⊥AD 于 H，TR⊥BD 于 R，TL⊥ AB 于 L，AQ⊥BD 于 Q．∵ ＝ ， ∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE， ∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT， ∴∠TAE＝∠ATE， ∴AE＝TE， ∵DT＝TE， ∴AE＝DT， ∵∠AGE＝∠DHT＝90°， ∴△EAG≌△TDH（AAS）， ∴AG＝DH， ∵AE＝EB，EG⊥AB， ∴AG＝BG， ∴2DH＝AB， ∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL）， ∴DH＝DR，同理可得 ALAH，BR＝BL， 设 DH＝x，则 AB＝2x， ∵AD＝8，DB＝12， ∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x， ∴x＝5， ∴DH＝5，AB＝10， 设 TR＝TL＝TH＝h，DT＝m， ∵S△ADB＝ •BD•AQ＝ •AD•h+ •AB•h+ •DB•h， ∴12AQ＝（8+12+10）h， ∴AQ＝ h， ∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得 ＝ ＝ ， sin∠AED＝sin∠ABD，可得 ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， 解得 m＝4 或﹣4 （舍弃）， ∴DE＝2m＝8 ． 27．已知：抛物线 y＝ax2﹣3ax+4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB＝ 5． （1）如图 1，求抛物线的解析式； （2）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 C，F 是第四象限抛物线上一点，FD⊥x 轴，垂足为 D，E 是 FD 延长线上一点，ER⊥y 轴，垂足为 R，FA 交 y 轴于点 Q，若 BC∥RD．求证： OQ＝CR； （3）在（2）的条件下，在 RD 上取一点 M，延长 OM 交线段 DE 于点 N，RE 交抛物线 于点 T（点 T 在抛物线对称轴的右侧），连接 MT、NT，且 TM⊥OM， ＝ ，H 是 AF 上一点，当∠DHF＝135°时，求点 H 的坐标． 【分析】（1）先求出点 A，点 B 坐标，代入解析式可求解； （2）设点 F（m，﹣m2+3m+4），由平行线分线段成比例，可求 OR＝OD＝m﹣4，通过 证明△AOQ∽△ADF，可得 ，可得 OQ＝m﹣4，即可求解；（3）如图，过点 M 作 MG⊥OR，MP⊥RE，过点 D 作 DK⊥AF，过点 O 作 WO⊥ON， 交 ER 的延长线于 W，利用全等三角形的性质求出 T 点坐标，可求 OQ＝2，由锐角三角 函数可求点 H 坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣3ax+4 的对称轴为 x＝﹣ ＝ ，且 AB＝5， ∴OB＝ + ＝4，OA＝ ﹣ ＝1， ∴点 A（﹣1，0），点 C（4，0）， ∴0＝a+3a+4， ∴a＝﹣1， ∴抛物线 y＝﹣x2+3x+4； （2）设点 F（m，﹣m2+3m+4） ∴OD＝m，DF＝m2﹣3m﹣4， ∵抛物线 y＝﹣x2+3x+4 与 y 轴交于点 C， ∴点 C（0，4）， ∴OB＝OC＝4， ∵BC∥RD， ∴ ， ∴OR＝OD＝m﹣4， ∵OQ∥DF， ∴△AOQ∽△ADF， ∴ ， ∴ ∴OQ＝m﹣4， ∴OQ＝OR； （3）如图，过点 M 作 MG⊥OR，MP⊥RE，过点 D 作 DK⊥AF，过点 O 作 WO⊥ON， 交 ER 的延长线于 W，∵∠ORD＝45°＝ ∠ERO， ∴∠ERD＝∠ORD，且 MG⊥OR，MP⊥RE， ∴MG＝MP， ∵∠GMP＝∠TMO＝90°， ∴∠GMO＝∠PMT，且 GM＝MP，∠MGO＝∠MPT＝90°， ∴△MGO≌△MPT（AAS） ∴OG＝PT，MO＝MT， ∵TM⊥ON， ∴∠TOM＝45°， ∵RO＝RG+GO＝RG+（RP﹣RT）＝ RM+（ RM﹣RT） ∴RO+RT＝ RM， ∵ ＝ ， ∴设 RM＝4 t，TN＝5t， ∴RO+RT＝8t， ∵∠WON＝∠ROD， ∴∠WOR＝∠NOD，且 RO＝OD，∠WRO＝∠NDO， ∴△WRO≌△NDO（ASA） ∴WO＝NO，WR＝DN，∵∠TON＝∠TOW＝45°，OT＝OT，WO＝NO， ∴△WTO≌△NTO（SAS） ∴WT＝NT， ∴RT+WR＝RT+ND＝TN＝5t， ∴EN＝ED﹣ND＝RO﹣（5t﹣RT）＝RO+RT﹣5t＝8t﹣5t＝3t， ∴ET＝ ＝ ＝4t， ∴RO＝8t﹣RT＝4t+RT， ∴RT＝2t，RO＝6t， ∴T（2t，6t） ∴6t＝﹣4t2+6t+4； ∴t＝1 或 t＝﹣1（舍去） ∴RC＝2＝OQ， ∴AQ＝ ＝ ＝ ∴tan∠QAO＝ ＝2， ∵∠DHF＝135°， ∴∠DHK＝45°，且 DK⊥AF， ∴∠DHK＝∠KDH＝45°， ∴DK＝KH， ∵sin∠DAK＝ ＝ ， ∴DK＝7× ＝ ∴tan∠QAO＝ ＝2 ∴AK＝ ∴AH＝ ， ∵sin∠QAO＝ ＝ ＝ ， ∴HS＝ ， ∵tan∠QAO＝∴AS＝ ， ∴OS＝ ， ∴点 H（ ，﹣ ）