专题13 天体运动（解析版）-2021届高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练

2021 届高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练 专题 13 天体运动 【专题导航】 目录 热点题型一　开普勒三定律的理解和应用 ...............................................................................................................1 热点题型二　万有引力定律的理解 ...........................................................................................................................4 热点题型三 天体质量和密度的估算 .......................................................................................................................7 热点题型四 卫星运行参量的比较与计算 .............................................................................................................12 热点题型五 近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题 .............................................................................15 热点题型六 卫星(航天器)的变轨及对接问题.......................................................................................................19 热点题型七 双星与多星模型 .................................................................................................................................24 热点题型八 卫星的追及与相遇问题 .....................................................................................................................28 【题型归纳】 热点题型一　开普勒三定律的理解和应用 【题型要点】开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道 都是椭圆，太阳处在椭圆的一 个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太 阳的连线在相等的时间内扫 过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的 三次方跟它的公转周期的二 次方的比值都相等 a3 T2＝k，k 是一个与行星 无关的常量 【解题要领】1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理． 2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动． 3．开普勒第三定律a3 T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同．但该定律只能用在 同一中心天体的两星体之间． 【例 1】(多选)(2020·辽宁丹东质检)(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设 卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月，地球自转周期为 T 地，则(　　) A．T 卫T 月 C．T 卫r 同>r 卫， 由开普勒第三定律r3 T2＝k，可知，T 月>T 同>T 卫，又同步卫星的周期 T 同＝T 地，故有 T 月>T 地>T 卫，选项 A、C 正确． 【变式 1】地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在 1662 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一 定时间就会再次出现．这颗彗星最近出现的时间是 1986 年，它下次飞近地球大约是哪一年(　　) A．2042 年 B．2052 年 C．2062 年 D．2072 年 【答案】C　【解析】：设彗星的周期为 T1，地球的公转周期为 T2，这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍， 由开普勒第三定律R3 T2＝k 得：T1 T2＝ R R＝ 183≈76.所以 1986＋76＝2062 年，故选 C. 【例 2】(多选)(2020·四川绵阳市第三次诊断)2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，我国嫦娥四号探测器完成了“人 类探测器首次实现月球背面软着陆”的壮举．嫦娥四号近月制动后环月飞行时先在月球上空半径为 R 的轨道 上做匀速圆周运动，后贴近月球表面做匀速圆周运动，线速度大小分别是 vR 和 v0，周期分别是 TR 和 T0，已 知月球半径为 r，则(　　) A.vR v0＝r R B.vR v0＝ r R C．TR>T0 D．TRT0，C 正确，D 错误． 【变式 2】(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经过 M、Q 到 N 的运动过程中(　　) A．从 P 到 M 所用的时间等于T0 4 B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 【答案】CD　 【解析】：由行星运动的对称性可知，从 P 经 M 到 Q 点的时间为 1 2T0，根据开普勒第二定律可知，从 P 到 M 运动的速率大于从 M 到 Q 运动的速率，可知从 P 到 M 所用的时间小于 1 4T0，选项 A 错误；海王星在运动 过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B 错误；根据开普勒第二定律可知，从 P 到 Q 阶段，速 率逐渐变小，选项 C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做 正功，选项 D 正确．热点题型二　万有引力定律的理解 【题型要点】1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F 向． (1)在赤道上：GMm R2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMm R2 ＝mg0. (3)在一般位置：万有引力 G Mm R2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 GMm R2 ＝mg. 2．星球上空的重力加速度 g′ 星球上空距离星体中心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，mg′＝ GmM （R＋h）2，得 g′＝ GM （R＋h）2.所以 g g′＝ （R＋h）2 R2 . 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论 ①推论 1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0. ②推论 2：在匀质球体内部距离球心 r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为 r 的同心球体(M′)对其 的万有引力，即 F＝GM′m r2 . 【例 1】(2020·安徽合肥市质检)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012 年中国十大科技进展新闻，于 2013 年 1 月 19 日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破 7000 米分别排在第 一、第二．若地球半径为 R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为 d，“天宫一号”轨道距离 地面高度为 h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为(　　) A.R－d R＋h B. （R－d）2 （R＋h）2 C. （R－d）（R＋h）2 R3 　 D. （R－d）（R＋h） R2 【答案】C　 【解析】：令地球的密度为 ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝GM R2.由于地球的 质量为：M＝ρ·4 3πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝GM R2 ＝ G·ρ4 3πR3 R2 ＝4 3πGρR.根据题意有，质量分布 均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为 d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的 球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度 g′＝4 3πGρ(R－d)，所以有g g＝R－d R .根据万有引力提 供 向 心 力 G Mm （R＋h）2＝ ma ， “ 天 宫 一 号 ” 的 加 速 度 为 a ＝ GM （R＋h）2， 所 以 a g＝ R2 （R＋h）2， g a＝ （R－d）（R＋h）2 R3 ，故 C 正确，A、B、D 错误． 【变式 1】．如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷．如只考虑 物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　) A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D　 【解析】：设地球的平均密度为 ρ，物体在隧道内部离地心的距离为 r，则物体 m 所受的万有引力 F＝G· ρ·4 3πr3·m r2 ＝4 3πGρmr，此处的重力加速度 a＝F m＝4 3πGρr，故选项 D 正确． 【例 2】2017 年诺贝尔物理学奖授予了三位美国科学家，以表彰他们为“激光干涉引力波天文台”(LIGO)项 目和发现引力波所做的贡献，引力波的形成与中子星有关。通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因 此任何的微小凸起都将造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号，这种引力辐射过程会带走一部分能量并 使中子星的自转速度逐渐下降。现有一中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为 T0 时恰能维持该星体的 稳定(不因自转而瓦解)，则当中子星的自转周期增为 T＝2T0 时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤 道”所受重力的比值为(　　) A.1 2 B．2 C.3 4 D.4 3 【答案】D 【解析】考虑中子星“赤道”上的一物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体转动所需的向心力时， 中子星才不会瓦解。设中子星的质量为 M，半径为 R，已知自转周期为 T0，位于“赤道”处的物体的质量为 m，则有GMm R2 ＝mR4π2 T ，当中子星的自转周期增为 T＝2T0 时，质量为 m 的某物体在该中子星“两极”所受重 力 G1＝GMm R2 ＝mR4π2 T ，在该中子星“赤道”处所受重力 G2＝GMm R2 －mR 4π2 （2T0）2＝3 4mR4π2 T ，解得G1 G2＝4 3，即 D 正确。 【变式 2】(2019·安徽淮南市第二次模拟)已知地球两极处的重力加速度大小约为 9.8 m/s 2，贴近地球表面飞 行的卫星的运行周期约为 1.5 小时，试结合生活常识，估算一质量为 60 kg 的人站在地球赤道上随地球自转 所需要的向心力约为(　　) A．0.2 N B．0.4 N C．2 N D．4 N 【答案】C 【解析】在两极：GMm R2 ＝mg； 对贴近地球表面飞行的卫星 GMm′ R2 ＝m′4π2 T2 R， 解得 R＝gT2 4π2；则站在地球赤道上随地球自转的人所受的向心力：F 向＝m 人 4π2 T′2 R＝m 人 4π2 T′2 ×gT2 4π2＝m 人 gT2 T′2＝60×9.8×(1.5 24)2 N≈2 N，故选 C. 热点题型三 天体质量和密度的估算 【题型要点】天体质量、密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 r、T GMm r2 ＝mr4π2 T2 M＝4π2r3 GT2 r、v GMm r2 ＝mv2 r M＝rv2 G 利用运行天体 v、T GMm r2 ＝mv2 r GMm r2 ＝mr4π2 T2 M＝ v3T 2πG 只能得到 中心天体 的质量 质量的 计算 　 利用天体表面 重力加速度 g、R mg＝GMm R2 M＝gR2 G 利用运行天体 r、T、R GMm r2 ＝mr4π2 T2 M＝ρ·4 3πR3 ρ＝ 3πr3 GT2R3 当 r＝R 时 ρ＝ 3π GT2 利用近地 卫星只需 测出其运 行周期密度的 计算 利用天体表面 重力加速度 g、R mg＝GMm R2 M＝ρ·4 3πR3 ρ＝ 3g 4πGR 【核心解题技巧】 1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 (1)由 GMm R2 ＝mg，得天体质量 M＝gR2 G 。(2)天体密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR。 2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 (1)由 GMm r2 ＝m4π2 T2 r，得 M＝4π2r3 GT2 。 (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3πr3 GT2R3。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝ 3π GT2。故只要测出卫星环 绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 【例 1】．(2020·河南安阳市下学期二模)半径为 R 的某均匀球形天体上，两“极点”处的重力加速度大小为 g， “赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的1 k.已知引力常量为 G，则下列说法正确的是(　　) A．该天体的质量为gR2 kG B．该天体的平均密度为 4g 3πGR C．该天体的第一宇宙速度为 gR k D．该天体的自转周期为 【答案】D 【解析】在两“极点”处：G Mm R2 ＝mg；在赤道处：GMm R2 －mg k＝m4π2 T2 R，解得天体的质量为 M＝gR2 G ，T＝ ，选项 A 错误，D 正确；该天体的平均密度为 ρ＝M V＝ gR2 G·4 3πR3 ＝ 3g 4πGR，选项 B 错误；由 GMm R2 ＝mv2 R＝mg 可知该天体的第一宇宙速度为 v＝ gR，选项 C 错误． 【变式 1】(2020·山东临沂市质检)2018 年 7 月 25 日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这 表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在 2018 年 11 月降落到火星表面．假设该探测器 在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为 T，已知火星的半径为 R1，地球的半径为 R2，地球的质量为 M， 地球表面的重力加速度为 g，引力常量为 G，则火星的质量为(　　) ( )gk kR 12 −π ( )gk kR 12 −πA.4π2R13M gR22T2 B.gR22T2M 4π2R13 C.gR12 G D.gR22 G 【答案】A 【解析】绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知： GMm R22 ＝mg 同理，对绕火星表面运动的天体有： GM 火 m R12 ＝m(2π T )2R1 结合两个公式可解得：M 火＝4π2R13M gR22T2 ，故 A 对． 【例 2】．(2018·全国卷Ⅱ·16)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋ 0253”，其自转周期 T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.67×10 － 11 N·m2/kg2.以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 【答案】C 【解析】脉冲星自转，边缘物体 m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有 GMm r2 ＝mr4π2 T2 ， 又知 M＝ρ·4 3πr3 整理得密度 ρ＝ 3π GT2＝ 3 × 3.14 6.67 × 10－11 × 5.19 × 10－32 kg/m3≈5.2×1015 kg/m3. 【变式 2】据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的 a 倍，质量是地球的 b 倍．已知近地卫星绕地球运行的周期约为 T，引力常量为 G.则该行星的平均密度为(　　) A. 3π GT2　　 B. π 3T2　　 C. 3πb aGT2　　 D. 3πa bGT2 【答案】C　 【解析】：万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：GM 地 m R2 ＝m4π2R T2 ，且 ρ 地＝3M 地 4πR3 ，联立得 ρ 地＝3π GT2.而ρ 星 ρ 地＝ M 星 V 星 M 地＝b a，因而 ρ 星＝ 3πb aGT2 【例 3】利用引力常量 G 和下列有关数据，不能计算出地球质量的是(　　) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【解析】因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即GM 地 m R2 ＝mg，得 M 地＝gR2 G ，所以据 A 中给出的条件可求出地球的质量；根据GM 地 m 卫 R2 ＝m 卫 v2 R和 T＝2πR v ，得 M 地＝ v3T 2πG，所以据 B 中给出的条 件可求出地球的质量；根据GM 地 m 月 r2 ＝m 月 4π2 T2 r，得 M 地＝4π2r3 GT2 ，所以据 C 中给出的条件可求出地球的质 量；根据GM 太 m 地 r2 ＝m 地 4π2 T2 r，得 M 太＝4π2r3 GT2 ，所以据 D 中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地 球质量，本题答案为 D。 【技巧方法】计算中心天体的质量、密度时的两点区别 (1)天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运 动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 (2)自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用 的时间。自转周期与公转周期一般不相等。 【例 4】.我国计划于 2019 年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经 过时间 t(小于绕行周期)，运动的弧长为 s，探测器与月球中心连线扫过的角度为 θ(弧度)，引力常量为 G， 则(　　)A．探测器的轨道半径为θ t B．探测器的环绕周期为πt θ C．月球的质量为 s3 Gt2θ D．月球的密度为3θ2 4Gt 【答案】C 【解析】利用 s＝θr，可得轨道半径 r＝s θ，选项 A 错误；由题意可知，角速度 ω＝θ t，故探测器的环绕周期 T ＝2π ω＝2π θ t ＝2πt θ ，选项 B 错误；根据万有引力提供向心力可知，GmM r2 ＝mv2 r ，再结合 v＝s t可以求出 M＝v2r G ＝ （s t）2·s θ G ＝ s3 Gt2θ，选项 C 正确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项 D 错误。 热点题型四 卫星运行参量的比较与计算 【题型要点】1．物理量随轨道半径变化的规律 规 律 {GMm r2 ＝ （r＝R 地＋h）{mv2 r ―→ v＝ GM r ―→ v ∝ 1 r mω2r ―→ ω＝ GM r3 ―→ ω ∝ 1 r3 m4π2 T2 r ―→ T＝ 4π2r3 GM ―→ T ∝ r3 ma ―→ a＝GM r2 ―→ a ∝ 1 r2 }越 高 越 慢 mg＝GMm R （地球表面） ―→GM＝gR 2．卫星的运行轨道(如图所示)(1)赤道轨道　(2)极地轨道　(3)其他轨道 注意：轨道平面一定通过地球的球心。 3．同步卫星的六个“一定” 【方法技巧】利用万有引力定律解决卫星运动的技巧 (1)一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 (2)两组公式 GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r＝ma GMm R2 ＝mg(g 为天体表面处的重力加速度) (3)a、v、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结 到半径的比较。 【例 1】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比， 下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)A．周期 B．角速度 C．线速度 D．向心加速度 【答案】A 【解析】由万有引力定律和牛顿第二定律有 GMm r2 ＝mrω2＝m4π2 T2 r＝mv2 r ＝ma，可得 T＝2π r3 GM，ω＝ GM r3 ，v ＝ GM r ，a＝GM r2 ，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径 r1 大于“高分五号”的轨道半径 r2，故可知“高分五 号”的周期较小，选项 A 正确。 【变式 1】．(2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度 大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径 R 金a 火 B．a 火>a 地>a 金 C．v 地>v 火>v 金 D．v 火>v 地>v 金 【答案】A 【解析】金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有 GMm R2 ＝ma，解得 a＝GM R2，结合题中 R 金a 火，选项 A 正确，B 错误；同理，有 GMm R2 ＝mv2 R，解得 v＝ GM R ，再结合题中 R 金v 火，选项 C、D 错误． 【变式 2】．(2020·广西钦州市 4 月综测)2018 年 5 月，我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高 分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约 7.0×102 km，质量约 2.8×103 kg.已知地球半径约 6.4×103 km，重 力加速度取 9.8 m/s2.则“高分五号”卫星(　　) A．运行的速度小于 7.9 km/s B．运行的加速度大于 9.8 m/s2 C．运行的线速度小于同步卫星的线速度 D．运行的角速度小于地球自转的角速度 【答案】A 【解析】第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，是发射卫星的最小速度，所以卫星的运行速度小于 7.9 km/s，故 A 正确；由 GMm R2 ＝ma 可知，运行的加速度随着高度的增大而减小，故运行的加速度小于地面的 重力加速度，即小于 9.8 m/s2，故 B 错误；“高分五号”轨道离地面的高度约 7.0×102 km，小于同步卫星的高 度(同步卫星的高度约为地球半径的 6 倍)，根据GMm R2 ＝m v2 R得：v＝ GM R ，故运行的线速度大于同步卫星的线速度，故 C 错误；地球的自转角速度与同步卫星相同，根据GMm R2 ＝mω2R 解得 ω＝ GM R3 ，轨道越高，角 速度越小，故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度，故 D 错误． 热点题型五 近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题 【要点归纳】1．卫星的轨道 (1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种． (2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星． (3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 2．同步卫星问题的“四点”注意 (1)基本关系：GMm r2 ＝ma＝mv2 r ＝mrω2＝m4π2 T2 r. (2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析． (3)物理规律： ①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． ②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径． ③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行． (4)重要条件： ①地球的公转周期为 1 年，其自转周期为 1 天(24 小时)，地球半径约为 6.4×103 km，地球表面重力加速度 g 约为 9.8 m/s2. ②月球的公转周期约 27.3 天，在一般估算中常取 27 天． ③人造地球卫星的运行半径最小为 r＝6.4×103 km，运行周期最小为 T＝84.8 min，运行速度最大为 v＝7.9 km/s. 3．两个向心加速度卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度 产生原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分 力为重力)产生 方向 指向地心 垂直且指向地轴 大小 a＝GM r2 (地面附近 a 近似等于 g) a＝rω2，r 为地面上某点到地轴 的距离，ω 为地球自转的角速度 特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小 4.两种周期 (1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢． (2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π r3 GM，取决于中心天体的质量和运行 天体到中心天体的距离． 5.如图所示，a 为近地卫星，半径为 r1；b 为地球同步卫星，半径为 r2；c 为赤道上随地球自转的物体，半径 为 r3。 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2＞r3＝r1 角速度 由GMm r2 ＝mω2r 得 同步卫星的角速度与地球 自转角速度相同，故ω＝ GM r3 ，故 ω1＞ω2 ω2＝ω3 ω1＞ω2＝ω3 由GMm r2 ＝mv2 r 得 v＝ GM r ，故 v1＞v2 由 v＝rω 得 v2＞v3线速度 v1＞v2＞v3 由GMm r2 ＝ma 得 a＝GM r2 ，故 a1＞a2 由 a＝ω2r 得 a2＞a3 向心加 速度 a1＞a2＞a3 【例 1】．(2020·青海西宁三校联考)如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆 周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c 为地球的同步卫星。 下列关于 a、b、c 的说法中正确的是(　　) A．b 卫星转动线速度大于 7.9 km/s B．a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 aa＞ab＞ac C．a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为 Tc＞Tb＞Ta D．在 b、c 中，b 的速度大 【答案】D 【解析】b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有 GMm R2 ＝mv2 R，解得 v＝ GM R ，代入数据得 v＝7.9 km/s，故 A 错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以 ωa＝ ωc，根据 a＝rω2 知，c 的向心加速度大于 a 的向心加速度，根据 a＝GM r2 得 b 的向心加速度大于 c 的向心加速度，即 ab＞ac＞aa，故 B 错误；卫星 c 为同步卫星，所以 Ta＝Tc，根据 T＝2π r3 GM得 c 的周期大于 b 的周 期，即 Ta＝Tc＞Tb，故 C 错误；在 b、c 中，根据 v＝ GM r ，可知 b 的速度比 c 的速度大，故 D 正确。 【变式 1】．(2020·安徽宣城市第二次模拟)有 a、b、c、d 四颗地球卫星，卫星 a 还未发射，在地球赤道上随 地球表面一起转动，卫星 b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫 星排列位置如图 1，则有(　　) A．a 的向心加速度等于重力加速度 g B．b 在相同时间内转过的弧长最长 C．c 在 4 h 内转过的圆心角是π 6 D．d 的运动周期有可能是 20 h 【答案】B 【解析】同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知 a 与 c 的角速度相同，根据 a＝ω2r 知，c 的向心加速度大于 a 的向心加速度．由 GMm r2 ＝mg，解得：g＝GM r2 ，卫星的轨道半径越大，向心加速 度越小，则 c 的向心加速度小于 b 的向心加速度，而 b 的向心加速度约为 g，则 a 的向心加速度小于重力加 速度 g，故 A 错误；由 GMm r2 ＝mv2 r ，解得：v＝ GM r ，卫星的半径 r 越大，速度 v 越小，所以 b 的速度最大， 在相同时间内转过的弧长最长，故 B 正确；c 是地球同步卫星，周期是 24 h，则 c 在 4 h 内转过的圆心角是 2π 24×4＝π 3，故 C 错误；由开普勒第三定律r3 T2＝k 可知：卫星的半径 r 越大，周期 T 越大，所以 d 的运动周期 大于 c 的周期 24 h，即不可能是 20 h，故 D 错误． 【变式 2】(多选)(2020·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统， 是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的 卫星导航系统.2018 年 12 月 27 日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统 中，有 5 颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这 5 颗静止轨道卫星，下列说 法正确的是(　　) A．它们均位于赤道正上方 B．它们的周期小于近地卫星的周期 C．它们离地面的高度都相同 D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯 【答案】AC【解析】所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故 A 项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大 于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故 B 项错 误；据 GMm r2 ＝m(2π T )2r 知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故 C 项正确；同步卫 星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故 D 项错误． 热点题型六 卫星(航天器)的变轨及对接问题 【题型要点】一.卫星的变轨、对接问题 1．卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图 5 所示。 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上。 (2)在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在 B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．对接 航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运 行问题。 二．变轨前、后各物理量的比较 1．航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度 由 v＝ GM r 判断。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 2．卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 GMm r2 mv2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨 道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 道上运动 3.变轨过程各物理量分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道Ⅱ上过 A 点和 B 点时速率分别为 vA、 vB.在 A 点加速，则 vA>v1，在 B 点加速，则 v3>vB，又因 v1>v3，故有 vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过 A 点，卫星的加速 度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为 r1、r2(半长轴)、r3， 由开普勒第三定律r3 T2＝k 可知 T1