宝山区2019学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120分钟，150分）
考生注意：
1．本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
2．在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
3．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．己知复数z满足（其中，为虚数单位），则 .
2．函数的定义域是 .
3．计算行列式的值，=源 .
4．已知双曲线C：的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是 .
5．已知无穷数列，，则数列的各项和为 .
6．一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为 .
7．某种微生物的日增长率为，经过天后其数量由变化为，并且满足方程.实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率 .
（精确到1%）
8．已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为 .
9．某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是 .
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10．已知方程的两个根是，若，则= .
11．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，
则的取值范围是 .
12．已知平面向量满足，，，，则的最小值
是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．抛物线的准线方程是（ ）
(A) (B) (C) (D)
14．若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）
(A) 1 (B) (C) (D)
15．用数学归纳法证明-1+3-5+⋯+-1n2n-1=-1nn, n∈N*成立。
那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（ ）
(A) 充分不必要条件. (B) 必要不充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既不充分也不必要条件.
16．已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，则函数（ ）
(A) 是偶函数，且在上单调递减. (B) 是偶函数，且在上单调递增.
(C) 是奇函数，且单调递减. (D) 是奇函数，且单调递增.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
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17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在直三棱柱中，，
，是的中点．
（1）若三棱柱的体积为，
求三棱柱的高；
（2）若，求二面角的大小.
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知函数，，，，它们的最小正周期为.
（1）若是奇函数，求和在上的公共递减区间；
（2）若的一个零点为，求的最大值.
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19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.
（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个。（精确到0.1万个）
（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划? （精确到1万个）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知直线：和椭圆：相交于点.
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（1）当直线过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线的方程；
（2）点在上，若，求面积的最大值；
（3）如果原点到直线的距离是，证明：为直角三角形．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
定义 设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有（），则称是近似递增（减）数列，其中叫近似递增（减）数列的间隔数.
（1）若，是不是近似递增数列，并说明理由；
（2）已知数列的通项公式为,其前项的和为,若2是近似递增数列的间隔数，求的取值范围；
（3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.
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高三数学参考答案 2020.4
一、填空题
1、 2、 3、 4、y=±x 5、-12 6、
7、25% 8、-638 9、 10、 11、 12、
二、选择题
13、D 14、A 15、B 16、A
三、解答题
17. 解：（1）由题意，求得， ……………………………………………2分
所以， …………………………………………………4分
由， ………………………………………………………5分
解得.……………………………………………………………………………6分
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立如图所示的坐标系.
则，，，……………………………………7分
，，……………………………………8分
设平面的法向量为，
则由得，
所以，平面的法向量为， ……………………………………10分
平面的法向量为， ……………………………………11分
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记二面角为，则，………………………13分
所以。 ………………………………………………………14分
18、解：（1）由，得， …………………………………2分
又是奇函数，所以， ……………………………………3分
在上，的递减区间是，…………………5分
的递减区间是，…………………………………6分
所以。……………………………………………………7分
（2），
把点代入得，
即， …………………………………………………………8分
所以，……………………………………………9分
得， …………………………………………………………………10分
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所以…………11分
………………………………………………………13分
因而。………………………………………………………………14分
19、解：（1）计划2020年新建基站数为
每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项是3万个。………2分
，……………………………4分
，
2020年底全国共有基站62.2万个. ……………………………………………6分
（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，…………………7分
，即，…………………9分
解得， ……………………………………………10分
2021年至少建设基站的个数为60q≈181万个， ………………………………12分
2022年至少建设基站的个数为60q2≈546万个。………………………………14分
20、解：（1），所以椭圆的左焦点是，…………………2分
上顶点是，，…………………………………………………………………3分
所以直线的方程是。 …………………………………………4分
（2）由得， ………………………………5分
不妨设，所以，，
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所以， ………………………………………6分
又C到直线的距离为， ………………………………………7分
所以，……………………8分
令，则，所以，………………………9分
当且仅当，即时，。 ……………………………10分
（3）原点到直线的距离是，
即, ………………………………11分
由得，,
所以………………………………13分
所以
………………………………14分
………………………………15分
所以，即为直角三角形．………………………………16分
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21、解：（1）是近似递增数列。………………………………………1分
因为，……3分
或[注：2，3，4……都是间隔数。]
即，所以是近似递增数列。………………………………………4分
（2）由题意得Sn=1--12n1+12+an=231--12n+an，……………………5分
或，由Sn+2-Sn=an+1+an+2=--12n+1+2a>0，
即恒成立， ……………………………………………7分
令，则，…………………………………9分
即的取值范围是。………………………………………………10分
（3）由得，
即，（*） ………………………………………12分
因为是正整数，所以均取不到， ……………………14分
所以时上式恒成立，即是近似递减数列，4是它的间隔数。………15分
当k=3,当n=5时,2sin(5+3)-sin5≈3.9>3，故不等式(*)不成立；……16分
当k=2,当n=5时,2sin(5+2)-sin5≈3.23>2，故不等式(*)不成立；……17分
当k=1,当n=5时,2sin(5+1)-sin5≈1.36>1，故不等式(*)不成立；
所以，4是它的最小间隔数。 …………………………………………………18分
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