崇明区2019学年第二学期第二次高考模拟考试试卷
数 学
考生注意：
1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．行列式的值等于 ．
2．设集合，，则 ．
3．已知复数满足，i为虚数单位，则 ．
4．已知函数，其反函数为，则 ．
5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于 ．
6．的展开式中含项的系数是 ．（用数字作答）
7．若，则 ．
8．已知数列是无穷等比数列，其前n项和记为，若,，
则 ．
9．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像．若对满足
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的任意、，的最小值是，则的最小值是 ．
10．已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本
数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是 ．
11．在中，，则面积的最大值是 ．
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12．对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”．若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（ ）
A． B． C． D．
14．若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．13
15．设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（ ）
A．是等差数列
B．或是等差数列
C．和都是等差数列
D．和都是等差数列，且公差相同
16．已知函数，记集合，集合．
若，且A、B都不是空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点．
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A
B
C
D
E
B1
A1
C1
D1
（1） 求直线BE与平面所成的角的大小；
（2） 求点C到平面的距离.
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18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知函数．
（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
某开发商欲将一块如图所示的四边形空地沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域．经测量，边界与的长都是2千米，，．
（1）如果，求的长（结果精确到0.001千米）；
（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）
B
A
C
D
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20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）
已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C，直线AF与直线BC交于点P．
（1） 当时，求线段AF的长；
（2） 求证：点P在椭圆上；
（3） 求证：．
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21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
在无穷数列中，，且，记的前n项和为．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）证明：中必有一项为1或3．
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崇明区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准
一、 填空题
1. ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. ； 6. 32；
7. ； 8. 8； 9. ； 10. 7； 11. ； 12. .
二、 选择题
13. A； 14. B； 15. D； 16.A .
三、 解答题
17. 解：（1）联结，
因为平面，所以是直线BE与平面所成的角……………2分
在中，
所以
所以直线BE与平面所成的角的大小是…………………………6分
（2） 以为坐标原点，射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则
所以，，…………………………2分
设平面的一个法向量为，
则，所以
取，则，于是平面的一个法向量为…………………5分
于是点到平面的距离…………………………8分
18. 解：（1）函数的定义域是，任取，设，有
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…………………………3分
因为，所以，又，所以，
所以函数在其定义域上是增函数…………………………6分
（2）当时，
所以函数是奇函数…………………………2分
当时，
若，则，与矛盾，所以函数不是奇函数………………5分
若，则，与矛盾，所以函数不是偶函数
综上所述，当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数…………………………8分
19.解：（1）联结BD，则在中
由，
得：
所以的长约为1.633千米…………………………6分
（2）方法一：设，则
在中，由，
得：…………………………3分
所以…………………………6分
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所以当时，取得最大值，
此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为6.309千米………8分
方法二：设千米，千米，（）
在中，由，得………………2分
所以
又由，得，当且仅当时等号成立………………………6分
所以
故
所以围成该施工区域所需的板材长度最长为千米，约为6.309千米………………8分
17. 解：（1）椭圆的右焦点，
由，得，所以…………………………4分
（2）证明：由题意，得：
所以直线的方程是：
直线的方程是：
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由，得：
即点的坐标是
因为
所以点在椭圆上…………………………5分
（3）证明：设直线的方程是，代入中，得
设，则有
所以…………………………3分
因为，当且仅当时等号成立
所以
所以，…………………………6分
所以…………………………7分
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17. 解：（1）当时，中的各项依次为，
所以. …………………………4分
（2）① 若是奇数，则是偶数，，
由，得，解得，适合题意……………2分
② 若是偶数，不妨设，则.
若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；
若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.
综上，. …………………………6分
（3）首先证明：一定存在某个，使得成立.
否则，对任意，都有，
当为奇数时，有
当为偶数时，有，或
因此，若对任意，都有，则单调递减………………4分
注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，
所以必定存在某个，使得成立.…………………………6分
经检验，当，或，或时，中出现；
当时，中出现，
综上，中总有一项为或. …………………………8分
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