金山区2019学年第二学期质量监控
高三数学试卷
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．集合，，则= .
2．函数的定义域是____________.
3．i是虚数单位，则的值为____________.
4．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数________.
5．已知函数，则 .
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数=___________.
7．已知函数，若，则 .
8．数列的通项公式，前项和为，则 .
9．甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表示）．
10．若点集，，则点集
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所表示的区域的面积是__________.
11．我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.
12．设，为的展开式的各项系数之和，，，（x表示不超过实数的最大整数），则的最小值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的( )．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( ).
（A） （B） （C） （D）
15．在正方体中，下列结论错误的是( ).
（A）
（B）
（C）向量 与 的夹角是
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（D）正方体的体积为
16．函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当 时，.若函数 有三个零点，则实数的取值范围是( ).
（A） （B）
（C）（Z） （D）（Z）
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分7分，第2小题满分7分．
E
P
D
C
B
A
已知四棱锥底面,，底面是正方形，是的中点，与底面所成角的大小为.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数.
（1）求函数在区间上的单调递增区间；
（2）当，且，求的值.
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19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．
随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型：
以表示第个时刻进入园区的人数；
以表示第个时刻离开园区的人数．
设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即；8点30分作为第2个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数f(19)+f(20)+f(21)+f(22)和离开园区的游客人数g19+g20+g21+g22；
（2）请问，从12点（即n=16）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知动直线与椭圆C:交于、两不同点，且△OPQ的面积，其中O为坐标原点.
（1）若动直线垂直于轴，求直线的方程;
（2）证明 和 均为定值;
（3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得三角形面积? 若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
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21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若无穷数列满足：存在，对任意的，都有（为常数）,则称具有性质 .
（1）若无穷数列具有性质，且，，，求的值；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设无穷数列既具有性质，又具有性质，其中互质，
求证：数列具有性质.
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高三数学试卷评分参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1． ；2． ；3． ； 4．2；5．0；6．
7．-2；8．；9． ；10．；11．；12．
二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．B；14．C；15．D；16．C.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
解：(1)由底面，得与底面所成角为， …………………3分
由，得， ……………………………………………………4分
所以; ……………………………………………………………………7分
(2)解法一：
取中点，连接，因为，所以就是所求角（或其补角） 10分
由计算得，
所以，异面直线所成角为其补角，大小为. ………………………………………14分
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解法二：如图建系（图略），得， …………………10分
设异面直线所成角为 ，则
所以，异面直线所成角大小为. ………………………………………14分
18．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
解：(1) ， ……………………………3分
，， ………5分
所以，当 时，函数单调递增区间是; ……………………7分
(2) ………………………9分
因为 ，所以，， …11分
因而………14分
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
解：(1)进入园区人数为
（人）， …………………3分
离开园区的人数（人）； ………………6分
（2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减， …8分
①当时，，
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由计算器计算可得：
当时，，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多;
当时，，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；…10分 ………………11分
②当时，由递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分
综上，当天下午13：30时（）园区内的游客人数最多人. ………………14分
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
解：(1)直线垂直于轴时，两点关于轴对称，由与，…2分
可得，所以，直线的方程为 ； ……………………………………4分
(2) 若直线垂直于轴时，由（1）知，，均为定值 ……………5分
若直线与轴不垂直时，设直线的方程为 ，
联立，消去y得：，
则，由 得， …………………6分
由 ，，
10
得 满足， ……………8分
， ………9分
，
综上， 和 均为定值; ……………10分
(3) 椭圆C上不存在点，使得三角形面积, ………11分
假设存在由（2）得 ，得 同理，, ………13分
所以只能在这4个点中任取3个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，不构成三角形，所以产生矛盾，假设不成立.所以，椭圆C上不在点. …………16分
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
解：(1) 由 …………1分
知，所以； …………………4分
(2) 设等差数列公差为， 等比数列的公比为，则由题意，
解得， …………………7分
10
，对任意，不恒为0，所以，不具有性质. …………………………………………10分
（解法二：说明从第二项起单调递增）
(3) 由题意得， …………………………………………12分
由（1）得 （3）
由（2）得 （4）
得 …………………………………………15分
由（1）得 （5），
由 得
即数列具有性质. ……………………………………18分
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