30.2 二次函数的图像和性质
一、选择题
1. 二次函数 的图象一定不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限．
2. 抛物线 的顶点坐标是
A. B. C. D.
3. 已知抛物线 是常数且 ，下列选项中可能是它大致图象的是
A. B.
C. D.
4. 下列函数中，y 的值随着 x 逐渐增大而减小的是
A. B. C. D.
5. 将抛物线 向下平移 2 个单位后，所得抛物线解析式为
A. B. C. D.
6. 如果抛物线 经过点 和 ，那么对称轴是直线
A. B. C. D.
7. 函数 是二次函数时，则 a 的值是
A. 1 B. C. D. 0
8. 将抛物线 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线 重合，现
有一直线 与抛物线 相交，当 时，利用图象写出此时 x 的取值范围是
A. B. C. D.
9. 将抛物线 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的函数表达式为
A. B. C. D. 10. 小明将图中两水平线 与 的其中一条当成 x 轴，且向右为正方向；两铅垂线 与 的其中一条当成 y 轴，
且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数 的图象，则关于他选择 x 轴与 y
轴的叙述正确的是
A. 为 x 轴， 为 y 轴 B. 为 x 轴， 为 y 轴
C. 为 x 轴， 为 y 轴 D. 为 x 轴， 为 y 轴
二、解答题
11. 已知：抛物线 经过 、 两点，顶点为 A．
求： 抛物线的表达式；
顶点 A 的坐标．
12. 已知抛物线 ．
求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
将这个抛物线平移，使顶点移到点 的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．
13. 在平面直角坐标系 xOy 中 如图 ，已知抛物线 ，经过点 、 ．求此抛物线顶点 C 的坐标；
联结 AC 交 y 轴于点 D，联结 BD、BC，过点 C 作 ，垂足为点 H，抛物线对称轴交 x 轴于 G，联结
HG，求 HG 的长．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 y 轴交于点 ，与 x 轴交于点 ，点 B 坐标
为 ．
求二次函数解析式及顶点坐标；
过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点 点 P 在 AC 上方 ，作 PD 平行于 y 轴
交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积．答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】∵二次函数 y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线 x ，∴其顶点坐标在第二或第三
象限.∵当 x=0 时，y=-3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图像一定不经过第一象限.故选 A.
2. 【答案】C
【解析】根据抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）可得：抛物线 y=-
（x+1）2+3 的顶点坐标为（-1，3），所以 C 选项的结论正确.故选 C.
【点睛】抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．
3. 【答案】B
【解析】∵抛物线 y=ax2+3x+（a-2），a 是常数且 a＜0，∴图象开口向下，a-2＜0，∴图象与 y 轴交于负半
轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在 y 轴右侧．故选 B．
4. 【答案】D
【解析】A 选项：函数 y=2x 的图象是 y 随着 x 增大而增大，故本选项错误；B 选项：函数函数 y=x2 的对称
轴为 x=0，当 x≤0 时 y 随着 x 增大而减小，故本选项错误；C 选项：函数 ，当 x＜0 或 x＞0 时，y 随
着 x 增大而增大，故本选项错误；D 选项：函数 ，当 x＞0 时，y 随着 x 增大而减小，故本选项错
误；故选 D．
5. 【答案】D
【解析】抛物线 y=（x+2）2 的顶点坐标为（-2，0），向下平移 2 个单位后的顶点坐标是（-2，-2），所以，
平移后得到的抛物线解析式为 y=（x+2）2-2．故选 D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题目常用的方法，
一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，上加下减”．
6. 【答案】B
【解析】∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点的坐标为（-1，0）和（3，0），而抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两
交点是对称点，∴抛物线的对称轴为直线 x=1．故选 B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当 a＞0，抛
物线开口向上；对称轴为直线 x=- ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b2-4ac＞0，抛物线与 x 轴
有两个交点；当 b2-4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2-4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点．7. 【答案】B
【解析】依题意，得 a2+1=2 且 a-1≠0，解得 a=-1.故选 B.
8. 【答案】C
【解析】y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，则它的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线 y1=x2-2x-3 先向左平移 1 个单
位，再向上平移 4 个单位后的解析式为 y=x2，解方程组 得 ,所以当
-1≤x≤3．故选 C．
9.【答案】D
【解析】因为 y=x2-4x-4=（x-2）2-8，所以抛物线 y=x2-4x-4 的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左
平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为
y=（x+1）2-3．故选 D．
10. 【答案】D
【解析】y=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，故抛物线的对称轴为：直线 x=-1，顶点坐标为：（-1，2），则关于他选
择 x 轴与 y 轴的叙述正确的是：l2 为 x 轴，l4 为 y 轴．故选 D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确求出二次函数的对称轴与顶点坐标是解题关键．
二、解答题
11. 【答案】(1) (2)
【解析】（1）直接把 B（3，0）、C（0，3）代入 y=-x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，解方程组求出 b、c，
可确定抛物线的解析式；（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．
解： 把 、 代入 ，
解得 ．
故抛物线的解析式为 ；
(2) = ，
所以顶点 A 的坐标为 ．
12.【答案】(1)对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；(2)平移过程为：向右平移 3 个单位，向下平移
3 个单位
【解析】（1）将抛物线整理成顶点式形式，然后解答即可；（2）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标
减解答．
解： ， ， ，所以，对称轴是直线 ，
顶点坐标为 ；
新顶点 ，
，
，
，
平移过程为：向右平移 3 个单位，向下平移 3 个单位．
13. 【答案】(1) (2) ．
【解析】（1）已知抛物线过 A，B 两点，可将 A，B 的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛
物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点 C 的坐标．（2）本题介绍三种解法：方法一：分别求
直线 AC 的解析式和 BD 的解析式，直线 AC：y=-x-1，直线 BD：y= x-1，可得 D 和 P 的坐标，证明△BPG∽△CPH
和△HPG∽△CPB，列比例式可得 HG 的长；方法二：如图 2，过点 H 作 HM⊥CG 于 M，先根据勾股定理的逆定
理证明∠BCD=90°，利用面积法求 CH 的长，再证明△OBD∽△MCH，列比例式可得 CM 的长，从而可得结论；
方法三：直线 AC：y=-x-1，求 CH 和 BD 的解析式，联立方程组可得 H 的坐标，由勾股定理可得 GH 的长．
解： 把 、 代入抛物线解析式，
得： ，解得： ，
抛物线的解析式为： ，
顶点
方法一：设 BD 与 CG 相交于点 P，
设直线 AC 的解析式为：
把 和 代入得：
解得：
则直线 AC： ，
，
同理可得直线 BD： ，∽ ，
∽ ，
， ，
；
方法二：如图 2，过点 H 作 于 M，
，
，
，
，
，
，
∽ ，
， ，
，由勾股定理得：
，
方法三：直线 AC： ，
，
直线 BD： ，
，
，
直线 CH： ，
联立解析式： ，解得： ，
．
14. 【答案】(1) (2)
【解析】（1）用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；（2）先求出直线 AB 解析式，设
出点 P 坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式 S 四边形 APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值；可得 P 的坐
标．
解： 把点 ，点 B 坐标为 代入抛物线 中，
得： ，解得： ，
抛物线的解析式为： ，
顶点坐标为 ；
设直线 AB 的解析式为： ，
，
，解得： ，
直线 AB 的解析式为： ，
设 ，则 ，
，
点 C 在抛物线上，且纵坐标为 5，，
，
，
， 有最大值，
当 时，S 有最大值为 ，
此时
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边
形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．
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