全章热门考点整合应用
名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，多以选择题，填
空题的形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别，最短距离问题，与翻折有
关的计算和证明题等．21*cnjy*com
两个概念
概念 1：轴对称图形
1．【2016·赤峰】下列图形是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图
形的是________．(填序号)
(第 1 题)
2．【2016·北京】甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，
不是轴对称的是( )
概念 2：轴对称
3．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．
(第 3 题)
五个性质
性质 1：轴对称的性质
4．如图，将四边形纸片 ABCD 沿 AE 向上折叠，使点 B 落在 DC 边上的点 F 处．若
△AFD 的周长为 24 cm，△ECF 的周长为 8 cm，求四边形纸片 ABCD 的周长．(第 4 题)
性质 2：等腰三角形的性质
(第 5 题)
5. 如图，△ABC 内有一点 D，且 DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则
∠BDC 的度数是( )
A．100° B．80°
C．70° D．50°
性质 3：等边三角形的性质
6．如图，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，试说明：BD＋CD＝AD.
(第 6 题)性质 4：线段垂直平分线的性质
7．如图，直线 PG 为△ABC 的边 BC 的垂直平分线，∠PBC＝错误!∠A，BP，CP 的延
长线分别交 AC，AB 于点 D，E.试说明：BE＝CD.【版权所有：21 教育】
(第 7 题)
性质 5：含 30°角的直角三角形的性质
8．如图，在 Rt△ABD 中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作 DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，
DC 与 BC 交于点 C，CD＝4.【出处：21 教育名师】
求：(1)∠CBD 的度数；
(2)AB 的长．
(第 8 题)三个判定
判定 1：等腰三角形的判定
9．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC
＝1∶2∶1，连接 MD，NE 交于点 O，求证：△OMN 是等腰三角形．
(第 9 题)
判定 2：等边三角形的判定
10．如图，设在一个宽度 AB＝a 的小巷内，一个梯子的长度为 b，梯子的脚位于 P 点，
将该梯子的顶端放于一面墙上的 Q 点时，Q 点离地面的高为 c，梯子与地面的夹角为 45°，
将梯子顶端放于另一面墙上的 R 点时，离地面的高度为 d，此时梯子与地面的夹角为 75°，
则 d＝a，为什么？
(第 10 题)判定 3：线段垂直平分线的判定
11．如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE⊥AC 于点 E，DF⊥AB 于点 F，EF 交 AD 于
点 M，试说明：AD 垂直平分 EF.2·1·c·n·j·y
(第 11 题)
两个应用
应用 1：线段垂直平分线的应用
12．如图，A，B，C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新
建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．
(第 12 题)
应用 2：最短与最长路径的应用
13．如图，A，B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C，使点 C 到点 A，B 的距离之
差最大，并说明理由．(第 13 题)
两种思想
思想 1：方程思想
14．如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC 外部分别作等边三角形 ADB 和
等边三角形 ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC 三个内角的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
(第 14 题)思想 2：分类思想
15．在等腰三角形 ABC 中，∠A 比∠B 的 2 倍少 50°，求∠B 的度数．答案：
1．①②③④
2．D
3．解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题
图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．21 教育网
(第 3 题)
点拨：判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看
两个图形能否沿一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不
成轴对称．21cnjy.com
4．解：由题意可知，△ABE 和△AFE 关于直线 AE 成轴对称，所以 AB＝AF，BE＝FE.
因为△AFD 的周长为 24 cm，△ECF 的周长为 8 cm，
即 AD＋DF＋AF＝24 cm，FC＋CE＋FE＝8 cm，
所以四边形纸片 ABCD 的周长为 AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB
＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．21·cn·jy·com
5．A 点拨：(方法一)因为 DA＝DB，
所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为 DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.
在△ABC 中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC＝180°－
(∠DBC＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.21·世纪*教育网
(方法二)在△ADB 中，由方法一可得∠ADB＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理
∠ADC＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC＝360°－140°－120°＝100°.故选 A.
6．解：因为△ABC，△BDE 均为等边三角形，
所以 BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°.
所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC.
所以∠ABE＝∠DBC.
在△ABE 和△CBD 中，
AB＝CB，
∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD，所以△ABE≌△CBD(SAS)．所以 AE＝CD.
又因为 AD＝AE＋ED，ED＝BD，所以 BD＋CD＝AD.
7．解：如图，在 BD 上截取 BE′，使 BE′＝CE，连接 CE′.
因为直线 PG 为 BC 的垂直平分线，
所以 PB＝PC.
(第 7 题)
所以∠PBC＝∠PCB，PE′＝PE.
又因为∠BPE＝∠CPE′，
所以△BPE≌△CPE′(SAS)．
所以 BE＝CE′，∠EBP＝∠E′CP.
因为∠CDE′＝∠A＋∠ABP，∠CE′D＝∠E′BC＋∠BCE′＝2∠PBC＋∠E′CP＝∠A＋
∠E′CP，www-2-1-cnjy-com
所以∠CDE′＝∠CE′D.所以 CD＝CE′.所以 BE＝CD.
8．解：(1)在 Rt△ADB 中，∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝30°.
∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°.
又∵∠DBC＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°.
(第 8 题)
(2)如图，过点 C 作 CM⊥BD 于点 M，交 AB 于点 E，连接 DE，∵∠DBC＝∠BDC，
∴BC＝CD，又∵CM⊥BD，∴DM＝MB.∴CE 为线段 BD 的垂直平分线，∴DE＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°.
∵∠CDM＝30°，∠CMD＝90°，
∴CM＝1
2CD＝1
2
×4＝2.
又∵∠EBM＝∠CBM＝30°，∠EMB＝∠CMB＝90°，BM＝BM，
∴△EBM≌△CBM，∴EM＝CM＝2.∵∠EDM＝30°，∠EMD＝90°，
∴DE＝2EM＝4.
∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°，∴∠DEA＝∠A.
∴AD＝DE＝4.
又∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，
∴AB＝2AD＝8.
点拨：含 30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质
是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．2-1-c-n-j-y
9．证明：在△ABC 中，因为 AB＝AC，且 AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC
＝1∶2∶1，21*cnjy*com
所以 AD＝1
4AC，AE＝1
4AB＝1
4AC，
所以 AE＝AD.同理 AM＝AN.
在△ADM 与△AEN 中，
AD＝AE，
∠MAD＝∠NAE，
AM＝AN，
所以△ADM≌△AEN，
所以∠AMD＝∠ANE.
又因为 AM＝AN，所以∠AMN＝∠ANM，
所以∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，
所以 OM＝ON，所以△OMN 是等腰三角形．
10．解：连接 RQ，RB，设 BR 与 PQ 交于点 M.
∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°，
∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.
又∵PR＝PQ，
∴△PRQ 为等边三角形．
∴RP＝RQ.
在 Rt△BPQ 中，
∵∠BPQ＝45°，
∴∠BQP＝90°－45°＝45°，
∴∠BPQ＝∠BQP，
∴BP＝BQ.
∴点 R，B 在 PQ 的垂直平分线上，
∴BM⊥PQ.在 Rt△BMP 中，
∵∠BPQ＝45°，
∴∠RBA＝45°.
在 Rt△RAB 中，
∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，
∴∠ARB＝∠RBA，
∴AR＝AB，即 d＝a.
点拨：若两个点到线段两端点的距离相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．
11．解：因为 AD 为△ABC 的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
所以 DE＝DF.所以点 D 在线段 EF 的垂直平分线上．
因为∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，
AD＝AD，
所以△AFD≌△AED.
所以 AF＝AE.
所以点 A 在线段 EF 的垂直平分线上．
∴根据两点确定一条直线可知，AD 即为 EF 的垂直平分线，即 AD 垂直平分 EF.
12．解：作法：(1)连接 AB，BC；
(2)分别作 AB，BC 的垂直平分线交于点 P，则点 P 就是所要确定的学校的位置，如图．
(第 12 题)
点拨：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．找三角形
中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的交点．
13．解：如图，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B 并延长
交 l 于点 C，则点 C 即为所求．www.21-cn-jy.com
理由：在直线 l 上任找一点 C′(异于点 C)，连接 CA，C′A，C′A′，C′B.
因为点 A，A′关于直线 l 对称，
所以 l 为线段 AA′的垂直平分线．则有 CA＝CA′，
所以 CA－CB＝CA′－CB＝A′B.
又因为点 C′在 l 上，所以 C′A＝C′A′.
在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，
所以 C′A－C′B＜CA－CB.(第 13 题)
14．解：因为△ADB 和△ACE 都是等边三角形，
所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC
＝60°＋∠ABC.【来源：21cnj*y.co*m】
又因为∠DAE＝∠DBC，
所以 120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，
即∠ABC＝60°＋∠BAC.
又因为△ABC 是等腰三角形，
所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC.
设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，
则 x＋2(x＋60)＝180，解得 x＝20.
所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.
所以△ABC 三个内角的度数分别为 20°，80°，80°.
15．解：设∠B＝x°.
因为∠A 比∠B 的 2 倍少 50°，所以∠A＝2x°－50°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠C＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.
当 AB＝AC 时(如图①)，此时有∠B＝∠C，则 x＝230－3x.解得 x＝57.5.
当 AB＝BC 时(如图②)，此时有∠A＝∠C，则 2x－50＝230－3x.解得 x＝56.
当 AC＝BC 时(如图③)，此时有∠A＝∠B，则 2x－50＝x.解得 x＝50.
综上所述，∠B 为 57.5°或 56°或 50°.
点拨：本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的
重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，
再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类．21 教育名师原创作品
(第 15 题)
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